aletos CAPÍTULO 8.01 LEY DE COULOMB

Transcripción

1 Estuctua del átomo: potones, neutones y electones. Caga y masa os átomos son agupaciones de patículas subatómicas más pequeñas, tales como electones, potones y neuto - nes. Según el modelo de átomo de BOHR, los neutones y potones constituyen el núcleo, que se supone de foma esféica con un diámeto del oden de 10-1 cm. os electones se encuentan fuea del núcleo, giando alededo de él a distancias elativamente gandes, descibiendo óbitas ciculaes o elípticas. os diámetos de las óbitas electónicas son del oden de 10 8 cm. Es deci, unas diez mil veces mayoes que el diámeto del núcleo. as masas de un neutón y de un potón son apoximadamente iguales a Kg, y la de un electón, Kg. a masa de un neutón, o la de un potón, es unas 1840 veces mayo que la de un electón. Casi toda la masa de un átomo está pácticamente concentada en su núcleo. os potones y electones inteaccionan mutuamente, ejeciendo además de las fuezas de tipo gavitatoio, oto tipo de fuezas que sólo es posible explica si se atibuye a los potones y electones una nueva popiedad física llamada caga eléctica. os potones ejecen fuezas de epulsión sobe otos potones, y de igual modo, los electones ejecen fuezas de epulsión sobe otos electones. En cambio, los electones y potones ejecen fuezas de atacción mutua. Se atibuye a los potones una popiedad física denominada caga positiva, y a los electones, una popiedad física llamada caga negativa. Diemos, pues, que os potones tienen caga positiva, y los electones, caga negativa. De los hechos expeimentales obsevados se deduce que: as cagas de igual signo se epelen, y las cagas de distinto signo se ataen. Todos los potones tienen exactamente la misma caga positiva, y todos los electones tienen la misma caga negativa. Un átomo nomal, que tiene igual númeo de potones y electones, no pesenta caga en exceso. Como consecuencia de esto último se deduce que: as cagas de un potón y de un electón son de signo contaio peo de igual valo absoluto. No se han obsevado nunca cagas de valo infeio a la de un potón o de un electón. as medidas expeimentales conducen siempe a cagas que, numéicamente, esultan se múltiplos de la caga de un electón, a la que designaemos po e. Esta caga paece se la unidad natual o fundamental de caga eléctica. Admitiemos, pues, que: a caga eléctica está cuantificada. No se han obsevado fuezas de atacción o epulsión actuando sobe los neutones. Admitiemos, po tanto, que: os neutones son patículas descagadas o elécticamente neutas. os átomos de cualquie sustancia contienen un númeo igual de potones en el núcleo, que de electones en las óbitas ciculaes o elípticas alededo del mismo. a mateia no pesenta, en geneal, efectos elécticos, y se dice que es elécticamente neuta o que está descagada Iones positivos y negativos Cuando se modifica duante un cieto poceso el equilibio ente el númeo de potones y electones de un átomo, se dice que el átomo se ioniza. a ionización de un átomo es debida siempe a un cambio en el númeo de sus electones. Un ión positivo es un átomo que ha pedido uno o vaios electones. Un ión negativo es un átomo que ha ganado uno o vaios electones. Existen difeentes pocedimientos paa modifica el equilibio ente el númeo de potones y de electones que contiene un átomo. Conológicamente, el método más antiguo conocido es la llamada electización po fotamiento: Cuando se fota una baa de ebonita con un paño se poduce un intecambio de unos pocos electones que pasan del paño a la baa de ebonita, quedando ésta cagada negativamente, y el paño, positivamente. Si se efectúan medidas po medio de un electoscopio, o de un electómeto, de las cagas adquiidas po la baa de ebonita y po el paño, se encuenta que son iguales y de signo contaio.

2 aletos o que demuesta que duante el poceso de electización po fotamiento no hay ceación de cagas elécticas, sino que lo que tiene luga es simplemente una cesión o tansmisión de unos cuantos electones, de un cuepo a oto. Esta popiedad suele denominase Pincipio de consevación de la caga eléctica, que puede enunciase diciendo que: a caga total de un sistema aislado se mantiene constante. Puede vese en Wikipedia la seie tiboeléctica de algunos mateiales, odenados de tal foma, que al fota dos cualesquiea de ellos, el que antecede al oto se caga positivamente y el segundo, negativamente. Véase: Tiboelecticidad Caga eléctica El concepto de caga puntual es una idealización que pemite maneja fácilmente las popiedades elécticas de la mateia. Una caga puntual se caacteiza po un cieto exceso de caga, y cuyas dimensiones, desde el punto de vista macoscópico, son muy pequeñas, y po tanto, despeciables, compaadas con el esto de las dimensiones que intevienen en el poblema. En ocasiones seá conveniente considea a una caga puntual como una pequeña esfea unifomemente cagada, de adio muy pequeño. O bien, como se veá más adelante, como una distibución volumínica unifome de caga, de adio asimismo muy pequeño Distibuciones continuas de caga a caga eléctica se encuenta epatida sobe cuepos de tamaño finito y su distibución es, en geneal, muy complicada, excepto en el caso de esta distibuidas las cagas sobe cuepos de foma geomética sencilla tales como hilos, baas cilíndicas, supeficies planas, supeficies esféicas o esfeas. Supondemos, po ahoa, que tales cagas se encuentan en el vacío. Paa simplifica el estudio de las popiedades elécticas utilizaemos las llamadas densidades de caga. En el caso de que la caga esté epatida sobe un hilo, se define la densidad lineal de caga, como: λ = dq dl y, en consecuencia, la caga dq que contiene un elemento de longitud dl, del hilo, es: [1] dq = λ dl Si la caga está epatida sobe una supeficie, se define la densidad supeficial de caga: σ = dq da y, po consiguiente, la caga dq que contiene un elemento de supeficie da, es: dq = σ da Y, po último, si la caga está epatida en un volumen, se define la densidad volumínica de caga: ρ = dq dv y, en consecuencia, la caga dq que contiene un elemento de volumen dv, es: dq = ρ dv a finalidad que se pesigue al defini estas densidades de caga es la de pode considea, macoscópicamente, cualquie elemento de caga dq, como una caga pácticamente puntual. Ahoa bien, la densidad volumínica de caga epesenta, de una foma geneal, cualquie tipo de caga, bien sea una caga puntual q i, una densidad lineal λ, o una densidad supeficial de caga σ. En ealidad, toda esta clase de cagas pueden considease como situaciones límite de una densidad volumética de caga ρ. Una caga puntual q puede considease epatida dento de un volumen esféico con cento en la caga puntual, de adio muy pequeño, con una densidad volumética de caga ρ de valo: ρ = q [5] 4π [] [] [4]

3 y cuando dicho adio tiende a ceo, FIG q = lim ρ 4 0 π Una densidad lineal de caga λ, se puede intepeta de la foma siguiente: ρ Δl λ Supongamos un pequeño elemento de longitud Δl de un hilo cagado con una densidad lineal de caga λ. Puesto que hemos supuesto que el elemento de longitud es muy pequeño puede considease λ constante. Si imaginamos una supeficie cilíndica coaxial con el hilo, de sección S muy pequeña, la caga total contenida en un cilindo de longitud Δl, es Σq = λδl y consideándola como si estuviese epatida en el volumen del cilindo de sección S y longitud Δl, con un cieta densidad volumética de caga ρ Σq = ρδls igualando los segundos miembos, en el caso límite de que la sección S tienda a ceo, λ = lim ρ S [9] S 0 de donde se deduce que la densidad lineal de caga λ se puede intepeta como el caso límite de una caga epatida dento de un cilindo de sección muy pequeña, cuando dicha sección tiende a ceo, con una densidad volumética de caga ρ de valo [6] [7] [8] ρ = λ S [10] Po un azonamiento simila se puede llega a la conclusión de que una densidad supeficial de caga σ, se puede considea epatida dento de un cilindo de sección S y altua z muy pequeña, cuando dicha altua tiende a ceo, y cuya geneatiz sea nomal a la supeficie que contiene la caga. a caga que contiene el elemento de supeficie S es: Σq = σs y consideándola como si estuviese epatida en el volumen del cilindo de sección S y altua z, con un cieta densidad volumética de caga ρ Σq = ρsz con lo cual, igualando los segundos miembos, en el caso límite de que la altua z tienda a ceo, de donde se deduce que la densidad supeficial de caga s se puede intepeta como el caso límite de una caga epatida dento de un cilindo de altua muy pequeña, cuando dicha altua tiende aceo, con una densidad volumética de caga de valo ey de Coulomb ρ = σ z [11] [1] σ = lim z 0 ρz [1] os pimeos tabajos de investigación cuantitativa aceca de las fuezas que se ejecen mutuamente los cuepos cagados, fueon ealizados po CHARES AUGUSTIN COUOMB ( ), hacia Coulomb colocó dos pequeñas esfeas cagadas a difeentes distancias, y midió la fueza de atacción o epulsión, según que el signo de las cagas fuea distinto o igual, empleando una balanza de tosión. De este modo pudo compoba que: a fueza de atacción o epulsión ea diectamente popocional al poducto de las cagas de cada esfea e invesamente popocional al cuadado de la distancia que sepaaba sus centos. Este enunciado se denomina, en su hono, ley de Coulomb. as expeiencias de Coulomb fueon ealizadas con esfeas cagadas de pequeño tamaño, peo de dimensiones finitas, situadas en la atmósfea, es deci, en pesencia del aie, no en el vacío. No obstante, de los esultados expeimentales de Coulomb es posible obtene infomación aceca de cómo debe se la fueza de inteacción en el caso límite de que las esfeas cagadas sean puntuales, situadas en eposo en el vacío, y caentes de masa paa considea despeciable su inteacción gavitatoia.en estas condiciones la ley de Coulomb se puede expesa en la foma: [14]

4 4 aletos F = k q 1 q [15] donde q 1 y q son dos númeos que miden la cantidad de caga eléctica de las patículas. as cagas positivas se expesan en cantidades positivas y las cagas negativas en cantidades negativas. Esta obsevación puede paece innecesaia, peo debe tenese en cuenta que la denominación de caga positiva y negativa, es totalmente abitaia. Simplemente son dos téminos que siven paa distingui dos tipos distintos de caga. Sin embago, la utilización de los signos positivo y negativo es sumamente útil paa expesa, en cualquie caso, la fueza de inteacción eléctica po medio de una fómula única, y pemite, además, expesa la caga total de un sistema como la suma algebáica de las cagas, o patículas cagadas, que contiene el sistema. epesenta la distancia que hay ente las cagas puntuales q 1 y q. En ealidad, es el módulo del vecto de posición de la caga q 1 especto de la caga q. Finalmente, la constante k epesenta la popocionalidad, ya mencionada, ente el módulo de la fueza F, las cagas puntuales y la distancia ente ellas Sistemas de unidades a ey de Coulomb se puede expesa de una foma sencilla si se elige convenientemente la constante de popocionalidad. Paa ello, hay que defini peviamente una unidad de caga eléctica. El Sistema Intenacional de Unidades, denominado po las siglas S.I. utiliza siete unidades fundamentales: meto (m), kilogamo (kg), segundo (s), ampeio (A), gado kelvin (K), candela (cd) y mol (mol), y dos suplementaias: adián (ad) y esteeoadián (s). a unidad de caga no figua como unidad fundamental en este sistema. Se define el culombio, en hono a Coulomb, como: 1 culombio Ampeio. 1 segundo es deci, como la caga tanspotada po una coiente eléctica de 1 ampeio, duante 1 segundo. El ampeio queda definido como unidad fundamental, como: a coiente que, ciculando po dos lagos hilos conductoes paalelos, sepaados un meto en el espacio libe, poduciía una fueza ente los mismos (debida a sus campos magnéticos) de.10-7 newton po cada meto de longitud. De modo que, si la fueza de inteacción eléctica ente dos cagas se mide en newtons, la distancia en metos, y las cagas q 1 y q, en culombios, el valo de la constante k esulta se: k = nw.m.c -. = c.10-7 nw.m.c -. siendo c la velocidad de popagación de la luz en el vacío, medida en m.s -1. Paa aplicaciones pácticas es suficiente toma paa k el valo: k = nw.m.c -. En difeentes ecuaciones que se deivan de la ley de Coulomb inteviene fecuentemente el facto 4π. Con objeto de evita su apaición se define una nueva constante: ε 0 4πk cuyo significado se veá más adelante, y cuyo valo numéico es: ε o = C.nw -1.m. Antes de la adopción del S.I. como sistema único de unidades, se empleaba, y todavía se sigue utilizando en algunos textos, el sistema C.G.S. de unidades, en el cual se define la unidad electostática de caga, u.e.e., como: a caga que, colocada en el vacío a la distancia de un centímeto, en pesencia de ota igual, es epelida con la fueza de una dina. En este sistema de unidades: k dina.cm.uee y ε 0 Y, como consecuencia, la unidad de caga en el S.I., el coulombio, se definía como: 4π 1 culombio = u.e.e u.e.e. Con la intoducción de los factoes anteiomente mencionados, el módulo de la fueza de inteacción eléctica ente dos cagas elécticas puntuales, situadas en el vacío, queda expesada en la foma: [16] [17]

5 5 F = k q 1 q q 1 q [18] y el vecto fueza, siendo un vecto unitaio en la diección de la fueza F F = k q q 1 1 q 1 q 4πε 1 0 [19] as fuezas de inteacción eléctica ente cagas en eposo, que, en lo sucesivo llamaemos fuezas electostáticas, son newtonianas en el sentido de cumpli con el tece Pincipio de Newton, paa las cuales se cumple el Pincipio de Supeposición: Si una caga q 1 se encuenta en eposo, en el vacío, en las poximidades de otas dos cagas, q y q, igualmente en eposo, la fueza que actúa sobe q 1 es la suma vectoial de las fuezas que ejeceían po sepaado q y q, actuando sobe q 1 : F 1 = F 1 + F 1 q 1 q q 1 q 1 1 a fueza electostática total sobe una caga q i en el caso más geneal de un sistema de n cagas puntuales situadas en eposo en el vacío, es: [0] F i = F i j j i q i q j j i ij ij [1] Si una caga puntual q cuyo vecto de posición es, se encuenta en la poximidad de un sistema de cagas puntuales q 1, q,.., q n situadas en los puntos cuyos vectoes de posición son 1,,..., n, y de un sistema de distibuciones de caga lineal λ( ), supeficial σ( ), y volumínica ρ( ), situadas todas ellas en el vacío, la fueza electostática que actúa sobe ella es: F( ) = q n q i i i=1 i i + λ( ')dl '+ σ( ') da '+ ρ( ')dv ' []