Práctica 12 (10/05/2016)

Transcripción

1 Ecuacines Diferenciales Curs Prácticas Matlab Cálcul II Objetivs Práctica 1 (10/05/016) Representar las isclinas de una ed de primer rden cm ap para trazar un camp de direccines. Representar el camp de direccines de una ed de primer rden enter su significad. Representar las slucines de una ed de primer rden. Utilizar representacines gráficas para prfundizar en el estudi de las slucines de una ecuación diferencial de primer rden. Cmands de Matlab 1. Para reslver ecuacines diferenciales de frma simbólica dslve('eq', 'cnd', 'var') Ejempls: >> dslve('dx = -a*x') >> dslve('d = a*', '(0) = b') Ejercicis Dadas ds curvas C1 C que se crtan en un punt (x,) direms que se crtan rtgnalmente si sus rectas tangentes en dich punt sn rtgnales. Dada una familia de curvas que depe de un parámetr direms que una curva C es una traectria rtgnal a dicha familia si en cada punt en que C crta a una curva de la familia l hace rtgnalmente, es decir, las ds rectas tangentes en el punt de crte sn perpiculares. Asimism, dadas ds familias de curvas Y1 e Y direms que la familia de curvas Y sn las traectrias rtgnales a la familia Y1 si cada curva de la familia Y crta rtgnalmente a la familia Y1 tda curva rtgnal a esta última familia pertenece a Y.

2 PÁGINA MATLAB: ECUACIONES DIFERENCIALES Dada la familia de curvas F x,, C 0, cnsiderams la ecuación diferencial ' f x, cua slución es dicha familia de curvas. La ecuación diferencial de la familia de curvas 1 rtgnales se btiene cm slución de la ecuación diferencial ' f x,. Traectrias rtgnales 1 (a) Halla la ecuación diferencial de las siguientes familias de curva 1. Tdas las circunferencias cn centr el rigen (b) Halla la ecuación diferencial de la familia de curvas rtgnales a la familia del apartad anterir representa en una misma figura una muestra de curvas de ambas familias. Repite el apartad para cnsiderand las siguientes familias. La familia de paráblas Cx 3. La familia de hipérblas x C 4. La familia de elipses Cx 1 Slución: Familia Ecuación diferencial Ecuación diferencial Familia rtgnal familia rtgnal x C ' x/ ' / x Cx Cx ' ' x x C x x C ' ' x x C x Cx 1 1 x ' ' x lg C x 1 Para representar las curvas de la familia 1 su familia rtgnal %Representación de la familia hld n fr C=1:4 fun=strcat('x^+^-(',numstr(c^),')'); ezplt(fun) %Busqueda de la familia rtgnal slu=dslve('d=/x','x') %Representación de la familia rtgnal fr C=-pi:pi/8:pi fun=strcat(numstr(tan(c)),'*x'); ezplt(fun,[-4,4,-5,5]) axis equal hld ff

3 MATLAB: PRÁCTICA 1 PÁGINA 3 Dada la ecuación diferencial ' f x,, si x es slución, gráfica de x, entnces la piente a x en el punt P es igual a, P x un punt de la f x. Si en cada punt x, del plan, trazárams segments rectilínes que pasaran pr x, tuvieran cm piente f x, btríams el camp de direccinal de la ecuación diferencial. En la práctica el camp direccinal se bserva trazand pequeñs segments rectilínes en algún cnjunt representativ de punts del plan XY. Camp de direccines Dibujar el camp de direccines de la ecuación diferencial ' senx, representar también la slución particular que cumple la cndición inicial 0 1 Códig Matlab clear all f=inline('sin(x)+','x',''); [u,v]=meshgrid(-3:1:3,-10:1:1); [n,m]=size(u); du=nes(n,m); dv=f(u,v); q=quiver(u,v,du,dv) set(q,'shwarrwhead','ff') hld n %Representand las isclinas %Isclinas f(x,)=cte cntur(u,v,dv) %Reslvi la ecuación diferencial sms x slu=dslve('d=sin(x)+','(0)=-1','x') plt(0,-1,'r*') ezplt(slu,[-3,3]) hld ff Dada la ecuación diferencial ' f x,, es fácil bservar que la piente de la slución tiene valr cnstante en tds ls punts de la curva f x, c. Estas curvas se llaman isclinas. Para ciertas ecuacines diferenciales es sencill representar unas cuantas isclinas lueg insertar ls segments rectilínes tangentes a la slución en varis punts de cada curva.

4 PÁGINA 4 MATLAB: ECUACIONES DIFERENCIALES Isclinas 3 Cnsiderar la ecuación diferencial =x (a) Representa las isclinas de pientes 1, 0.5, 0, 0.5, 1 sbre ellas el camp de direccines. (b) Representa las slucines que pasan pr ls punts 0, 0.5, 0,0 0,0.5. Nta: Este es el ejercici prpuest númer 5. Apartad a) Resulta inmediat cmprbar que la slución general de esta ecuación diferencial es: x C Puedes encntrar esta slución, cn el siguiente cmand: dslve('d=*x','x') En la siguiente tabla se muestran las ecuacines de las isclinas las slucines particulares pedidas. Piente Isclina x 1 1/ 0.5 1/ x 1/4 1 x 1/ Punt x, 0 0 x 0, 0.5 x x Cnstante ( C x ) 0 0 C 0.5 0,0 C 0 0, 0.5 C 0.5 Slución particular ( x C) x x x Apartad b) Representa cn Matlab las isclinas una muestra del camp de direccines en el cuadrad 1,1 1,1. Representa también las slucines particulares indicadas, destacand sbre ellas ls punts del enunciad. [u,v]=meshgrid(-1:0.:1,-1:0.:1); [n,m]=size(u); du=nes(n,m); z=f(u,v); dv=z; q=quiver(u,v,du,dv); set(q,'shwarrwhead','ff') hld n %Representand las isclinas %Isclinas f(x,)=cte

5 MATLAB: PRÁCTICA 1 PÁGINA 5 cntur(u,v,z) %Representand las slucines x=-1:0.1:1; fr C=-0.5:.5:0.5 plt(x,x.^/+c,'r') %Dibujand ls punts plt([0 0 0],[ ],'') axis equal hld ff 4 Representa el camp de direccines traza diversas curvas slución para la ecuación diferencial dada (a) = x (b) = x (c) =1 x Resumen de cmands Se recgen aquí ls cmands utilizads en esta práctica que se darán pr cncids en las prácticas siguientes que cnviene retener prque se pdrán preguntar en las distintas pruebas de evaluación. También se supndrán cncids ls cmands que fuern utilizads en prácticas anterires en las prácticas de Cálcul I. Para reslver ecuacines diferenciales: dslve