6Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 126

Transcripción

1 6Soluciones a las actividades de cada epígrafe ÁGIN 6 on la ayuda de Hamadi, Fatima intenta hacer coincidir el disco de la moneda con la Luna. Lo consigue cuando coloca su ojo a 5 cm de la moneda. ág. Sabemos que la distancia de la Tierra a la Luna es km y que el diámetro de la moneda es de mm. alcula el diámetro de la Luna. 5 cm km mm 0 6 km or semejanza de triángulos: km El diámetro obtenido es muy próimo al real, 475 km aproimadamente. Si Fatima no contara con ayuda, tendría que sostener un disco con su mano. Su brazo etendido alcanza 66 cm. uál es el diámetro del disco que tendría que utilizar para tapar la Luna? d km 6 mm d ÁGIN 7 NTES E OMENZR, REUER Este es el plano de una parte de una ciudad, a escala :0 000.

2 6Soluciones a las actividades de cada epígrafe a) Justifica que cm en el plano corresponde a 00 m en la realidad. b)malia vive en y enito vive en. Escoge un itinerario para ir de una casa a la otra y calcula la distancia que tienen que recorrer. uánto se tarda, aproimadamente, si se recorre paseando a km/h? c) alcula la superficie real del parque. a) Escala :0 000 significa que cm en el plano equivale a cm en la realidad, y cm 00 m. b) Respuesta abierta. ongamos, por ejemplo, un itinerario que mida 0 cm en el plano. En este caso, la distancia es de 000 m km y se tardará, aproimadamente, / horas 0 minutos. c) El parque mide, en el plano,,6 cm Ò,5 cm. En la realidad mide 60 m Ò 50 m y su superficie es de m. ág. Este mapa está a escala : a) Justifica que cm en el mapa corresponde a 00 km en la realidad. b)halla la distancia de Lanzarote a San Sebastián. c) Sitúa tu localidad en el mapa y halla su distancia a rgel y a Marrakech. É N O T L Á N T I O urdeos Santiago de ompostela oruña Gijón ontevedra Santander Lugo Oviedo Vigo Toulouse Ourense León ilbao San Sebastián urgos Vitoria alencia Oporto amplona Logroño NORR Zamora Valladolid Huesca ndorra la Vella Soria ORTUGL Salamanca Segovia Zaragoza Girona Lleida Ávila Guadalajara arcelona Madrid Tarragona Lisboa áceres Toledo Teruel uenca astellón de la lana adajoz iudad Real Valencia Me E S Ñ lbacete Huelva órdoba Mallorca Murcia Ibiza Sevilla Jaén licante Málaga Granada Rabat asablanca ádiz Tánger euta Tetuán Fez Melilla Nador lmería Orán rgel alma anarias M R R U E O S Marrakech Tenerife La Gomera Gran anaria Lanzarote Fuerteventura gadir Sidi Ifni a) cm en el mapa equivale a cm en la realidad cm 00 km b) La distancia, en el mapa, en línea recta, es de 0,5 cm. 0,5 cm equivale a 0, km en la realidad. c) Respuesta abierta.

3 6Soluciones a las actividades de cada epígrafe ÁGIN 9 ág. a) Un edificio de la maqueta anterior tiene forma de ortoedro. Sus dimensiones son 9 cm Ò 6,4 cm de planta y 4 cm de altura. Halla las dimensiones, el área de la fachada y el volumen en la realidad. b)la superficie del campo de fútbol sala en la maqueta es de cm. uál es la superficie en la realidad? c) Una caseta de la maqueta está hecha con 0, cm de poliepán. uál es su verdadero volumen? d)la altura de un edificio en la realidad es 65 m. uál es su altura en la maqueta? a) Las dimensiones reales del edificio con forma de ortoedro son: 9 cm cm cm 45 m 6,4 cm 8 6,4 500 cm 00 cm m 4 cm cm 000 cm 0 m Área de la fachada: m Volumen m b) Superficie real cm 800 m c) Volumen real 0, cm 7,5 m d) ltura en la maqueta cm 500 En la página inicial decíamos que la Luna está a km de nosotros y averiguábamos que su diámetro es 500 km. a) alcula su superficie y su volumen. b)el Sol está a km de nosotros. Y su tamaño aparente es igual que el de la Luna. Según esto, halla el diámetro del Sol. Halla también su superficie y su volumen a partir de las correspondientes magnitudes de la Luna. LUN SOL a) Suponemos que la Luna es una esfera perfecta. S 4πr 4π km, km V 4 πr 4 π km,4 0 0 km b) La razón de semejanza entre la Luna y el Sol será: d L k 8 k , d S

4 6Soluciones a las actividades de cada epígrafe or tanto: L SOL ,5,7 0 6 km k 0,0056 S L,85 0 S SOL 7 5,87 0 km (0,0056) k V L,4 0 V SOL 0,4 0 8 km (0,0056) k ág. 4 ÁGIN Si a una hoja -4 le añadimos un cuadrado, el rectángulo resultante, al que llamaremos -4 LUS, tiene la siguiente curiosa propiedad: si le quitamos dos cuadrados, el rectángulo remanente es semejante al inicial. -4 LUS El rectángulo sombreado es semejante al rectángulo total. a) ompruébalo prácticamente. b) emuéstralo teniendo en cuenta que las dimensiones del -4 LUS son +, y la del rectángulo sobrante son,. + b) Hemos de verificar que ï ( + )( ) ( + )( ) + + ÁGIN Estamos en. Queremos calcular la distancia a un lugar lejano e inaccesible,. ara eso señalamos otro punto próimo,, y medimos: 5 m. Medimos también los ángulos ^ 46, ^ 8. hora dibujamos en nuestro cuaderno un triángulo ''' con las siguientes medidas: '' 5 mm, ^' 46, ^' 8.

5 6Soluciones a las actividades de cada epígrafe a) onstruye el triángulo ''' en tu cuaderno. ág. 5 b)eplica por qué ''' es semejante a. c) Mide '' con la regla. d)educe cuánto mide la distancia buscada,. a) Se construye el triángulo con las indicaciones dadas. b) Los triángulos son semejantes porque tienen dos ángulos iguales. c) '' mide unos 7 cm. d) 5 mm 70 mm 8 70 m 5 m ÁGIN 5 En este triángulo rectángulo, calcula las longitudes h, m y n. 7 h 0 m n partir del triángulo rectángulo grande, tenemos que: (m + n) m + n 49 plicamos en teorema del cateto: 7 49 (m + n) m 8 49 m 49 8 m 4, (m + n) n 8 00 n 49 8 n 8,9 49 plicando ahora el teorema de la altura, obtenemos h: h m n 8 h 4,0 8,9 5,7 En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 8 cm y 4,5 cm, respectivamente. alcula las medidas de los catetos y de la altura sobre la hipotenusa. b h c plicamos el teorema del cateto: b (4,5 + 8) 4,5 56,5 8 b 7,5 cm 4,5 cm 8 cm c (4,5 + 8) c 0 cm ara calcular la altura, aplicamos el teorema de la altura: h 4, h 6 cm

6 6Soluciones a las actividades de cada epígrafe ÁGIN 6 ág. 6 alcula el volumen de un tronco de cono cuya altura es 9 cm y cuyas bases tienen radios de 0 cm y 5 cm. a) Hazlo paso a paso, razonadamente. b)ompruébalo aplicando la fórmula anterior. a) 9 cm 0 cm 5 cm V TRONO π 5 ( + 9) π 0 π( ) 9,6 cm cm b) V TRONO π ( ) 9 π ( 5) 9 9,6 cm 4 alcula el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular regular cuyas bases son cuadrados. Lados de los cuadrados: 40 cm y 6 cm ltura: 9 cm 9 cm 6 cm cm cm 8 V TRONO [40 (9 + 6)] (6 6) ( ) cm

7 6Soluciones a las actividades de cada epígrafe ÁGIN 7 ág. 7 5 Un globo sube 64 m sobre la superficie de la Tierra. verigua qué superficie terrestre se verá desde arriba. Hazlo de dos formas: a) Razonadamente, utilizando la semejanza de triángulos. b)plicando la fórmula anterior, para comprobar que la solución es correcta. c) qué altura hemos de ascender para ver eactamente el 5% de la superficie de la Tierra? (plica la fórmula). R R + d , h 8 h ,64 0,64 km ,64 a) SQUETE πrh π , , km b) SQUETE πr d π , km R + d 6 66,64 c) S TIERR 4πR ,6 km 5% de S TIERR , km πr d 8 R + d πr d 8 R d(πr ) 8 d R + d d R h R R radio de la Tierra 6 66 km d 64 m 0,64 km , 6 66 π , 707, km R πr 6 En la página inicial de esta unidad calculábamos el diámetro de la Luna: 500 km. Un cohete se aproima a la Luna: a) verigua qué superficie de Luna se ve desde el cohete cuando se encuentra a 000 km de distancia. Hazlo razonadamente y comprueba el resultado aplicando la fórmula. b) qué distancia debe estar el cohete para poder asegurar que sus ocupantes pueden ver el 0% de la superficie de la Luna? (plica la fórmula). a) R R h ; h 8 h ,6 km R + d R SQUETE πrh π , ,654 km SQUETE πr d π ,68 km R + d 750 b) S LUN 4πR km 0% S LUN km S d LUN R ,5 km πr S LUN

8 6Soluciones a las actividades de cada epígrafe ÁGIN 8 ág. 8 En el procedimiento descrito arriba para obtener una hoja de papel con dimensiones áureas a partir de una - 4 y con la ayuda del.n.i., se aplica una homotecia. uál es su centro, y cuál, su razón? NOMRE ELLIO SELLIO NOMRE ELLIO SELLIO El centro de la homotecia es (esquina inferior izquierda de los rectángulos). La razón de la homotecia es ' ( es la esquina inferior derecha del.n.i. y ' es la esquina inferior derecha de la hoja IN -4).

9 ÁGIN 9 ág. RTI Figuras semejantes uáles de estas figuras son semejantes? uál es la razón de semejanza? F F F F es semejante a F. La razón de semejanza es. a) Son semejantes los triángulos interior y eterior? b) uántas unidades medirán los catetos de un triángulo semejante al menor cuya razón de semejanza sea,5? a) No. La razón entre los catetos es en el interior y 5 en el eterior. 7 b),5 5,5 7,5 Los catetos medirán 5 y 7,5 unidades. Una fotografía de 9 cm de ancha y 6 cm de alta tiene alrededor un marco de,5 cm de ancho. Son semejantes los rectángulos interior y eterior del marco? Responde razonadamente ? 8 No son semejantes

10 4 Un joyero quiere reproducir un broche como el de la figura a escala,5. a) Haz un dibujo de la figura ampliada. b)alcula su superficie. ág. a) b) S ORIGINL π π , u S MLI,,5 4,9 u ( ) ( ) ( ) 5 En un mapa cuya escala es : , la distancia entre dos ciudades es,5 cm. a) uál es la distancia real entre ellas? b) uál será la distancia en ese mapa entre dos ciudades y cuya distancia real es 60 km? a) , cm 7,5 km,5 8 b) cm En el plano de un piso cuya escala es :00, el salón ocupa una superficie de 7 cm. uál es la superficie real del salón? cm 8 m 7 Un rombo cuyas diagonales miden 75 cm y 50 cm, qué área ocupará en un plano de escala :5? Área cm En el plano ocupará 0 65 cm. 5

11 8 Una maqueta está hecha a escala :50. alcula: a) Las dimensiones de una torre cilíndrica que en la maqueta mide 6 cm de altura y 4 cm de diámetro. b)la superficie de un jardín que en la maqueta ocupa 40 cm. c) El volumen de una piscina que en la maqueta contiene 0 cm de agua. a) cm 8 50 cm 6 cm 8 h 4 cm 8 d h 500 cm 5 m d 000 cm 0 m La torre cilíndrica mide 5 m de altura y 0 m de diámetro. b) cm 50 m c) cm,5 m ág. Semejanza de triángulos 9 El perímetro de un triángulo isósceles es 49 m y su base mide m. Halla el perímetro de otro triángulo semejante, cuya base mide 4 m. uál es la razón de semejanza entre el triángulo mayor y el menor? 49 m m 4 m 5,5 4 erímetro del triángulo semejante: ' 49 9, m 5,5 La razón de semejanza es 5,5. 0 En la figura, el segmento E es paralelo a. Jusitifica que los triángulos y E son semejantes y calcula E y E. Los triángulos y E son semejantes porque tienen un ángulo común, ^, y los lados opuestos a ese ángulo son paralelos, E //. Están en posición de Tales. E 8 E 8 E 8,4 5,6 cm 8,4 8 8 E 8,4 cm E 8 5,6 8 8,4 6,88 + 5,6 8 4,8 + 8,4 8,8 6,88 8 9,6 8 E 9,6 cm 4,8 cm E 6 cm cm

12 or qué son semejantes los triángulos y E? Halla el perímetro del trapecio E. E 0 cm 7 cm 6 cm ág. 4 orque son rectángulos con un ángulo agudo común, ^. Tienen los tres ángulos iguales. Hallamos E aplicando el teorema de itágoras: E cm; cm E 0 8,5 8,5 cm ,75 cm E E erímetro de E 7 + 8,75 +, cm En un triángulo rectángulo, la relación entre los catetos es /4. Halla el perímetro de otro triángulo semejante en el que el cateto menor mide 54 cm cm cm mide el cateto mayor. 4 h cm mide la hipotenusa. erímetro cm La razón de semejanza entre dos triángulos es /5. Si el área del mayor es 50 cm, cuál es el área del menor? El área del menor es 5 ) 4 cm. ( 5

13 4 Observa esta figura, en la que el segmento es paralelo a. ág. 5 7, cm 0,6 cm 8,5 cm O 6 cm y a) i por qué son semejantes los triángulos O y O. b) alcula e y. ì ì a) Son semejantes porque tienen un ángulo igual, O O por ser opuestos por el vértice, y los lados opuestos a ese ángulo son paralelos. b) 6 8 7, 6 5,08 cm 7, 8,5 8,5 6 y 8 y 0,6 6 7,48 cm 8,5 0,6 8,5 ÁGIN 40 5 Si es paralelo a E, y 5 cm, E cm y 6,4 cm: a) alcula. b) odemos saber cuánto vale E sin medirlo directamente? c) Si ^ 7 y ^ 80, calcula E^, ^ y ^. E a) Los triángulos E y son semejantes. or tanto: E ,4 4,69 cm 6,4 5 b) No podemos saber lo que mide E porque no conocemos la medida del lado correspondiente,. c) E^ 80 ( ) 6 ; ^ ^ 7 ; ^ E^ 6 6 Los lados mayores de dos triángulos semejantes miden 8 cm y,6 cm, respectivamente. Si el área del primero es 6 cm, cuál es el área del segundo? Razón de semejanza,6,7 8 Área del segundo 6,7 75,4 cm

14 6Soluciones a los ejercicios y problemas 7 Los catetos del triángulo ( 90 ) miden cm, 8 cm. esde el punto, tal que 9 cm, se traza una paralela a. Halla el área y el perímetro del trapecio E. E ág. 6 Los triángulos y E son semejantes. cm 9 cm E 8 cm or ello: E 8 6 cm E E alculamos la hipotenusa de cada uno de los triángulos: +8 5 cm E cm E cm Área del trapecio cm erímetro del trapecio E cm 8 alcula el perímetro del triángulo cuya base coincide con la base mayor de este trapecio y que se obtiene al prolongar los lados no paralelos hasta que se corten. 5 cm 0 cm cm cm y alculamos la medida del cateto en el triángulo : 5 cm cm y cm erímetro del triángulo cm 0 cm

15 Teorema del cateto y de la altura ág. 7 En cada uno de los siguientes triángulos rectángulos se ha trazado la altura H sobre la hipotenusa. Halla, en cada caso, los segmentos e y. 9, m H y 7,8 m H, 7,8 8 H 4,05 m En el triángulo H,, + 4,05 8 4,56 m En el triángulo H, y 7,8 + 4,05 8 y 8,79 m 0, m y H 4,8 m or el teorema del cateto:, 4,8 8, m En el triángulo H, y,, 8 y,9 m y m H 9 m or el teorema de la altura: m En el triángulo H, y +6 8 y 0 m ibuja, en cada caso, un triángulo rectángulo y traza su altura sobre la hipotenusa. a) alcula la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa si esta mide 50 cm y el cateto mayor 40 cm. b)la hipotenusa mide 5 cm, y la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa 9 cm. Halla el cateto mayor. c) La altura relativa a la hipotenusa mide 6 cm, y la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa, 4,5 cm. Halla la hipotenusa.

16 a) 40 cm cm royección de sobre : ág. 8 y 50 cm 50 8 cm O bien: cm 0 50 y 8 y 8 cm b) La proyección de y sobre la hipotenusa es: y cm or el teorema del cateto: 9 cm 5 cm y y 0 cm c) or el teorema de la altura: 6 4,5 8 8 cm 6 cm Hipotenusa 4,5 + 8,5 cm 4,5 cm Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide m y su proyección sobre la hipotenusa mide 7, m. alcula el área y el perímetro del triángulo. y cm 7, cm or el teorema del cateto: 7, 8 0 m y 0 8 y 6 m Área 6 96 m erímetro m

17 6Soluciones a los ejercicios y problemas 4 Halla el perímetro del triángulo del que conocemos H 9 cm, H cm. ág. 9 cm 9 cm H y cm z or el teorema de la altura: cm H y +9 8 y 5 cm z +6 8 z 0 cm erímetro cm IENS Y RESUELVE 5 uál es la profundidad de un pozo, si su anchura es, m y alejándote 0,8 m del borde, desde una altura de,7 m, ves que la visual une el borde del pozo con la línea del fondo? 0,8 m,7 m, 8,,7 8,55 m,7 0,8 0,8 La profundidad es de,55 m., m

18 ÁGIN 4 6 ara medir la altura de la casa, Álvaro, de 65 cm de altura, se situó a,5 m de la verja y tomó las medidas indicadas. uánto mide la casa? ág. 0,5 m 5 m,5 m h a,5 m,65 m 5 m,5 m a,5,65,85 m 5 +,5 h 8 h 6,5,85,68 m,5,85,5 ltura de la casa:,68 +,65 4, m 7 Entre dos pueblos y hay una colina. ara medir la distancia fijamos un punto desde el que se ven los dos pueblos y tomamos las medidas 5 km, M 7, km y MN km. (MN es paralela a ). Halla la distancia. M N 5 km M 7, km km N Los triángulos y MN son semejantes. or tanto: km 7, 7,

19 8 El perímetro de un triángulo isósceles es 64 m, y el lado desigual mide 4 m. alcula el área de un triángulo semejante cuyo perímetro es de 96 m. ág. ltura del triángulo: h h 4 m 5 m 5 m h Área m Razón de semejanza 96 4 m 64 Área del triángulo semejante cm ( ) 9 os triángulos y QR son semejantes. Los lados del primero miden 4 m, 8 m y 4 m. alcula la medida de los lados del segundo triángulo sabiendo que su perímetro es 9 m. erímetro del triángulo : m Razón de semejanza: 9 86 Lados del triángulo QR: 4 6 cm; 8 4 cm; 4 5 cm 0 Las áreas de dos triángulos isósceles semejantes son 48 m y 08 m. Si el lado desigual del primer triángulo es m, cuál es el perímetro del segundo? 08 Razón de semejanza:,5 48 Lado desigual del segundo:,5 8 cm ltura del segundo: 08 8 h 8 h cm Lados iguales del segundo: cm erímetro del segundo: cm m 8 m e un cono de radio 5 cm hemos cortado otro cono de radio cm y altura cm. alcula el volumen del cono grande. alculamos la altura del cono grande, : ,5 cm Volumen πr h π 5 7,5 6,5π cm cm 5 cm cm

20 alcula el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular regular en el que los lados de las bases miden 8 cm y 4 cm y su altura es 5 cm. ág. 8 cm 5 cm 4 cm alculamos la altura de la pirámide menor, : cm 4 Volumen de la pirámide grande 4 (0 + 5) 86,67 cm Volumen de la pirámide pequeña ,67 cm Volumen del tronco de pirámide 86,67 46, cm En un cono de 0 cm de radio hemos inscrito un cilindro de radio 4 cm y altura 4,4 cm. Halla la altura del cono. + 4, , ,6 8 9,6 cm ltura del cono: 9,6 + 4,4 4 cm 4,4 cm 4 cm 0 cm 4 Tenemos un cono inscrito en una esfera de radio cm. uál será el radio de la base del cono si su altura es 4 cm? 4 cm 4 cm R 4 8 cm or el teorema de la altura, en el triángulo rectángulo se verifica: R R 0,58 cm

21 5 En una esfera de 5 cm de radio hemos inscrito un cono de altura cm. alcula su área lateral. Radio de la esfera: 5 cm 0 8 cm alculamos el radio del cono utilizando el teorema de la altura en el triángulo : cm ág. r r 8 8 r 4,7 cm Generatriz del cono: g + 4,7 8 g 8,98 cm Área lateral del cono: πrg π 4,7 8,98 79π cm 6 En una esfera de 4 cm de diámetro se inscribe un cono cuya generatriz mide 0 cm. alcula el volumen del cono. ara calcular la altura del cono, aplicamos el teorema del cateto en el triángulo rectángulo : h 4 0 r 0 cm 0 h 4 8 h 4,7 cm Radio del cono: r 0 4,7 8 r 9,09 cm V ONO π 9,09 4,7 4,85π cm 7 Sobre una esfera de 0 cm de radio se encaja un cono de0 cm de altura. Halla el área del casquete esférico que determina el cono. ara hallar, aplicamos el teorema del cateto en el triángulo rectángulo : 0 cm (0 + ) ± 50 ltura del casquete cm 40 No vale. 0 cm Área del casquete πrh π π cm

22 ÁGIN 4 ág. 4 8 Resuelto en el libro de teto. 9 En el triángulo, rectángulo en, conocemos H 8 cm y H cm. 8 cm H cm a) alcula H en el triángulo. Obtén. b)on el teorema de itágoras, obtén en el triángulo H y en el triángulo H. c) plica el teorema del cateto en el triángulo rectángulo H para obtener. alcula H. d)halla el área y el perímetro del trapecio H. a) or el teorema de la altura: H H H 8 8 H 8 H 0,5 cm H + H + 0,5 8 4,5 cm b) H + H , ,65 cm 8 cm ,7 cm H cm c) H 8 H 8 8,8 cm 6,7 H H 8 8,8 8 H 5,69 cm d) erímetro (H) H + H ,95 cm H Área (H) H + 5,69 + 0,65 8,8 60,44 cm

23 40 Si F 5 cm, cuál es el área y el perímetro del pentágono FEG? ág. 5 E 5 cm F cm 0 cm E 5 cm F G cm 0 + 8, cm 0 cm Los triángulos FE y son semejantes. or ello: FE 8 5 FE 8 FE,46 cm, En el triángulo FE, E FE F, E,5 cm E E 0,5 7,5 cm G 6 cm F G G 0,59 cm F 7 cm Área del triángulo FE,5 5,5 cm Área del triángulo G cm Área del pentágono 0,5 90 8,75 cm erímetro del pentágono: FE + E + G + G + F,46 + 7, , ,55 cm 4 Queremos construir un ortoedro de volumen 6 05 cm que sea semejante a otro de dimensiones 5 Ò 5 Ò 5 cm. uánto medirán sus aristas? V cm k 6 05,744 8 k,4 5 5,4 5 5,4 5,4 49 Las aristas del ortoedro deben medir: 5 cm, cm y 49 cm.

24 4 En estas dos circunferencias concéntricas, el radio de la mayor es el triple de la menor. ág. 6 Hemos trazado el diámetro y la cuerda, que es tangente a la circunferencia interior. Si 0 cm, cuánto miden los radios de cada circunferencia? O Los triángulos y O son semejantes, por ser rectángulos con un ángulo agudo común. Si O r 8 O r 8 6r r 8 0 6r 8 0 r 8 r 5 r r O O O Los radios miden 5 cm y 5 cm. 4 Las diagonales de un rombo miden cm y 4 cm. or un punto de la diagonal menor, tal que 9 cm, se traza una paralela a la diagonal, que corta en M y N a los lados y. alcula el área y el perímetro del pentágono MN. M 6 9 O cm N 4 cm Los triángulos O y M son semejantes. or ello: 6 M 8 M 6 9 cm 9 M cm +9 5 cm 8 M cm erímetro MN ( M + + M ) ( ) 74 cm Área pentágono Área rombo Área triángulo MN cm

25 44 En un trapecio rectángulo, la diagonal menor es perpendicular al lado oblicuo, la altura mide cm y la diferencia entre las bases es de 9 cm. ág. 7 alcula el perímetro y el área del trapecio. cm cm H l 9 cm En el triángulo : cm cm En el triángulo H: l +9 8 l 5 cm erímetro del trapecio: cm Área del trapecio: cm 45 Los lados de un triángulo miden: 6 cm, 4 cm esde un punto M de se traza una paralela a, que corta al lado en un punto N. uánto deben medir los lados del triángulo MN para que su área sea /9 de la del triángulo? 6 cm 6 cm M N 4 cm Área MN 8 k 8 k Área cm; 4 4 cm M MN cm; N 4 cm

26 46 Queremos calcular la distancia que hay desde un punto de la playa a una piedra que se ve a lo lejos. ara ello, trazamos una recta r que pase por y una paralela a ella, s. ág. 8 s r esde observamos en una línea que corta en a s. esde otro punto de r, hacemos lo mismo y obtenemos. Medimos: 7,5 m, 59 m, 57,5 m. uál es la distancia de a? s r 57,5 m 59 m 7,5 7,5 m , ,5 8,5 44, m 7,5 57,5 istancia de a 95 m ÁGIN 4 R EFLEXION SORE L TEORÍ 47 Un triángulo rectángulo, puede ser semejante a un triángulo isósceles? Y a un triángulo equilátero? Un triángulo rectángulo puede ser semejante a uno isósceles, siempre que el triángulo rectángulo sea también isósceles. Un triángulo rectángulo no puede ser semejante a un triángulo equilátero porque este tiene los tres ángulo iguales. 48 os triángulos equiláteros cualesquiera, son semejantes entre sí? Y dos polígonos regulares con el mismo número de lados? os triángulos equiláteros cualesquiera son semejantes porque tienen los ángulos iguales. También lo son dos polígonos regulares con el mismo número de lados, porque sus ángulos son iguales.

27 49 ibuja un triángulo y, desde cada vértice, traza una recta paralela al lado opuesto. sí obtendrás un nuevo triángulo más grande. a) Justifica por qué es semejante al inicial. b) uál es la razón entre las áreas? ág. 9 ^ ^' a) porque tienen sus lados paralelos. ^ ^' ^ ^' Los triángulos y ''' son semejantes porque sus ángulos son iguales. b) Área ''' 4 Área 50 Justifica en cuáles de los siguientes casos podemos asegurar que los triángulos y ''' son semejantes: a), ^ ^' b), ^ ^' '' '' '' '' c)?, ^ ^' d)^ ^', ^ ^' '' '' En b), porque tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo que forman. En d), porque tienen los tres ángulos iguales. 5 Hemos aplicado una homotecia al cuadrilátero para obtener el cuadrilátero ''''. ' O ' ' '

28 a) uál es el centro y cuál es la razón? b)justifica que y '''' son semejantes. a) El centro es O. La razón es O' O ág. 0 b) orque: O' O' O' O' 8 '' '' '' '' O O O O 5 Halla el centro y la razón de homotecia que transforma el rectángulo en ''''. ' ' ' ' ' ' ' O ' El centro de la homotecia es O, punto de corte de las rectas ', ', ' y '. Razón: O' O ROFUNIZ 5 esde un punto trazamos tangentes a dos circunferencias tangentes eteriores. Si O cm y O'' 5 cm, cuánto mide el radio de la circunferencia menor? O' ' O O' 5 + r O r Los triángulos O y O''' son semejantes 5 por ser rectángulos con un ángulo agudo común. ' r r + r 8 r + 7r 60 0 r 0 (no vale) r 7 ± El radio de la circunferencia menor mide cm.

29 54 En el triángulo rectángulo hemos trazado la altura sobre la hipotenusa H. Halla el área del triángulo en el que conocemos 5 cm y H 6 cm. ág. H h + 5 h 6 6 ± (no vale) 9 5 H h 6 h h cm Área 5 50 cm 55 Una esfera apoyada en el suelo proyecta una sombra que llega hasta 0 m del punto donde la esfera toca el suelo. En ese momento, un poste vertical de m de alto produce una sombra de m. alcula el radio de la esfera. O m 0 m m Los triángulos T y T' son semejantes. r O r T m T 0 m m 0 m cm or la semejanza de O y, tenemos: O O 8 r 0 r 8 r 0 r r ( 0 +) 0 8 r 0( ) 4,4 cm +

30 56 Una de las diagonales de un rombo mide 4 cm y el radio del círculo inscrito en dicho rombo es 8 cm. alcula el perímetro y el área del rombo. O 8 d/ En el triángulo rectángulo O: ,94 cm En el triángulo rectángulo O: ,6 cm 8,94 Lado del rombo: 8,94 + 7,6 6, cm ág. erímetro del rombo: 4 6, 64,4 cm iagonal: 6, 8 d ( d 0,7 8 d,46 cm ) Área: 4,46 57,5 cm 57 En el cuadrado de la figura, E es el punto medio del lado, y F, el punto medio de. Si el lado del cuadrado mide cm, cuál es el área del cuadrilátero EF? E alcularemos el área de EF como el área del triángulo F menos el área del triángulo E. E F + 5 Los triángulos F y E son semejantes porque: ^ es común. ì ì E F por la igualdad de los triángulos E y F. E F cm F E 8 E 8 E F E F EF F E 4 cm E F

31 6Soluciones a desarrolla tus competencias ÁGIN 44 ág. LI LO QUE SES La capa de Gulliver En cierta ocasión, el rey de los liliputienses regaló una capa a Gulliver, y cuando el sastre real le presentó la factura, se llevó un susto terrible. Él se había hecho la siguiente cuenta: Si mi capa costó un doblón de oro, la de Gulliver, que tiene doce veces mi estatura, costará doblones. No, majestad repuso el sastre, la capa sale por 44 doblones. Y por qué? preguntó el rey. uedes eplicar por qué la capa de Gulliver costó 44 doblones de oro? Si la razón de las longitudes es, la razón de las áreas es 44. El precio de la capa es proporcional a su superficie. Y la capa de Gulliver era 44 veces la del rey. En otra ocasión, el rey invitó a cenar a Gulliver y se le presentó un nuevo problema: uántas raciones de liliputiense había que servir a Gulliver para que quedara saciado? (Recuerda que la estatura de Gulliver era doce veces la del rey). Si la razón de las longitudes es, la razón de los volúmenes es 78. Suponemos que la cantidad de alimento es proporcional al volumen corporal. or tanto, Gulliver necesita 78 raziones de liliputiense. IENS Y RELION La diagonal del pentágono regular Los dos triángulos son semejantes (justifícalo). d d Los ángulos ^, ^, ^, y ^ son iguales, por tanto, también E^ F^.

32 6Soluciones a desarrolla tus competencias ág. os triángulos que tienen los ángulos iguales son semejantes. alcula el valor de la diagonal (d) del pentágono: d d Encuentras alguna relación entre el valor, d, y algún número singular? d 8 d + 5 d 0 8 d d espreciamos la solución negativa, pues buscamos la medida de la diagonal: ÁGIN 45 INFÓRMTE Tarjetas con oro ^ E^ d d ^ + 5 F (es el número de oro) omprueba que colocando dos rectángulos como indica la figura, la diagonal de una se prolonga pasando por uno de los vértices de la otra. Y aprovecha esa propiedad para demostrar que, efectivamente, F. ^ d F^ ^ El hecho de que la diagonal de una de las tarjetas se prolongue pasando por el vértice de la otra, hace que los dos rectángulos y ''' sean semejantes. a b d g Los triángulos son semejantes. or tanto, lo son también los rectángulos F (como se ha visto más arriba) a d b g

33 6Soluciones a la autoevaluación ÁGIN 45 ág. Verifícalo resolviendo ejercicios Queremos hacer una maqueta de un jardín rectangular a escala :400. Su perímetro es de 850 m, y su área, de m. uáles serán estas medidas en la maqueta? erímetro 850,5 m,5 cm 400 Área ,475 m 4,75 cm 400 Un centro comercial está situado entre dos vías paralelas r y s. Se quiere unir, mediante carreteras, con las poblaciones,, y. on los datos de la figura, calcula e y. 6,75 km r 6 km 0 km 9 km y s Los triángulos y son semejantes. 6 6, km y 6, y 7,5 km Un barco que navega hacia puerto se sitúa en un punto tal que su posición forma un ángulo recto con los faros F y F. esde ese punto, la línea que lo une al puerto es perpendicular a la costa. Sabemos que F km y que F 6 km. alcula la distancia del barco al puerto y a cada uno de los faros. ara calcular km, aplicamos el teorema de la altura: 6 8 8,8 km 6 km F F F,5 km F F,84 km F

34 6Soluciones a la autoevaluación 4 Tenemos un vaso con forma de tronco de cono en el que los diámetros de las bases miden 0 cm y 6 cm y su altura es de cm. Si lo llenamos, cabe más de medio litro de agua, o menos? ág. cm 5 cm cm V ONO GRNE π 5 ( + 8) 50π cm V ONO EQUEÑO π 8 54π cm V VSO 50π 54π 96π 65,75 cm En el vaso cabe más de medio litro de agua.