Relación de la primera derivada y el crecimiento de una función en un punto x Dada una función y = f (x) derivable en un punto x

Transcripción

1 Tema 11 Aplicaciones de las derivadas TEMA 11 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Crecimiento y decrecimiento de funciones (monotonía) i) Una función y = f ( es creciente (estrictamente creciente) en un punto x de su dominio valores de x próximos a x se cumple que: Si x < x, entonces f ( < f ( Si x > x, entonces f ( > f ( ii) Una función y = f ( es decreciente (estrictamente decreciente) en un punto x de su dominio valores de x próximos a x se cumple que: Si x < x, entonces f ( > f ( Si x > x, entonces f ( < f ( Ejemplo 1 Esta función es decreciente en x = 1 y creciente en x = 1 Relación de la primera derivada y el crecimiento de una función en un punto x Dada una función y = f ( derivable en un punto x de su dominio Entonces: Si f '( x ) >, entonces f ( es creciente en x Si f '( x ) <, entonces f ( es decreciente en x Si f '( x ) = CASO DUDOSO Los puntos en los que la derivada se anula se llaman puntos críticos, se obtienen resolviendo la ecuación f '( = Ejemplo 2 x 2 Estudia el crecimiento de la función f ( = 2x + x + 1/6

2 Tema 11 Aplicaciones de las derivadas Ejemplo Estudia el crecimiento de la función f ( = x Máximos y mínimos relativos o locales i) Una función y = f ( tiene un máximo relativo en un punto x valores de x próximos a x se cumple que f ( f ( ii) Una función y = f ( tiene un mínimo relativo en un punto x valores de x próximos a x se cumple que f ( f ( A los máximos y mínimos relativos o locales se les llama, en general, extremos relativos o locales Ejemplo 4 Esta función tiene una máximo local en x = 1 y un mínimo local en x = 1 Importante: cuando una función y = f ( es continua, si sucede que es creciente a la izquierda de un punto x y decreciente a la derecha de x (para puntos x próximos a x ) entonces la función tiene un máximo local en x Análogamente, cuando una función y = f ( es continua, si sucede que es decreciente a la izquierda de un punto x y creciente a la derecha de x (para puntos x próximos a x ) entonces la función tiene un máximo local en x 2/6

3 Tema 11 Aplicaciones de las derivadas Condición necesaria para extremos locales Si f ( es derivable en x y tiene un extremo local en x, entonces f '( = Es decir, x extremo local f '( = Método para identificar extremos relativos Sea x un punto crítico de una función derivable y = f ( Entonces: i) Si para puntos x próximos a x sucede que f '( > cuando x está a la izquierda de x y f '( < cuando x está a la derecha de x, entonces la función y = f ( tiene un máximo relativo en x ii) Si para puntos x próximos a x sucede que f '( < cuando x está a la izquierda de x y f '( > cuando x está a la derecha de x, entonces la función y = f ( tiene un mínimo relativo en x iii) Si f '( > a ambos lados de x, entonces f ( es creciente en x No hay extremo local iv) Si f '( < a ambos lados de x, entonces f ( es decreciente en x No hay extremo local Condición suficiente para extremos locales Dada una función y = f ( derivable hasta orden 2, y un punto crítico x ( f '( = ) Entonces: Si f ''( <, en el punto crítico x hay un máximo relativo Si f ''( >, en el punto crítico x hay un mínimo relativo Ejemplo 5 Estudia el crecimiento y los extremos de la función x 2 y = + x 6x /6

4 Tema 11 Aplicaciones de las derivadas Ejemplo 6 Estudia el crecimiento y los extremos de la función y = x Optimización de funciones Extremos absolutos o globales i) Una función y = f ( tiene un máximo global en un punto x cualquier valor de x Dom( f ) se cumple que f f ( x ) ( ii) Una función y = f ( tiene un máximo global en un punto x cualquier valor de x Dom( f ) se cumple que f f ( x ) ( A los máximos y mínimos globales o absolutos se les llama, en general, extremos globales o absolutos Optimizar una función consiste en buscar sus extremos absolutos Ejemplo 7 2 La función y = x tiene un mínimo global en x = (que también es local) No tiene máximos absolutos La función del ejemplo 4 no tiene extremos globales Nota: A menudo, los extremos globales son también extremos locales Por eso, cuando se buscan extremos globales es frecuente que primero se busquen extremos locales Optimización de una función continua y = f ( en un intervalo cerrado [ a, b] Si una función f ( a, b sus extremos globales se encuentran entre los puntos críticos, los extremos y los puntos de no derivabilidad Por tanto, es suficiente valorar la función en estos puntos para optimizarla y = es continua en un intervalo [ ] 4/6

5 Tema 11 Aplicaciones de las derivadas Problemas de optimización Son problemas que se resuelven optimizando (maximizando o minimizando, según corresponda) una función Por ejemplo, buscar un volumen máximo, un coste mínimo, un área máxima, Ejemplo 8 De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 1 cm, hallar las dimensiones de aquel cuya área es máxima Sol: triángulo rectángulos cuyos catetos miden 5 cm cada uno y la hipotenusa 1 2 cm Ejemplo 9 Descomponer el número 6 en dos sumandos positivos de modo que el producto del primer sumando por el cuadrado del segundo sea máximo Sol: el primer sumando es 12 y el segundo 24 Ejemplo 1 Queremos construir recipientes cilíndricos de hojalata para almacenar cerveza de volumen igual a 6,28 litros Determina las dimensiones de los cilindros para que se construyan con la menor cantidad posible de hojalata Sol: r 1 dm 5/6

6 Tema 11 Aplicaciones de las derivadas Aplicación del cálculo de derivadas al cálculo de límites: Regla de L Hôpital Sirve para resolver límites indeterminados de la forma e, y otros límites indeterminados que se puedan transformar en los anteriores Regla de L Hôpital f ( Sean f ( y g( funciones derivables en un punto x Si lim es x x g( f '( indeterminado de la forma ó y lim = L(finito), + ó, entonces x x g'( f ( f '( lim = lim = L(finito), + ó Igual sucede cuando x x g( x x g'( x x +, x, + ó La Regla de L Hôpital se puede iterar Ejemplo 11 Resuelve los siguientes límites: 2 x 9 I lim = x x 2 2x e x II lim = x + x 2 x x III lim x e = x IV lim x ln = + x x 6/6