UN EJEMPLO DE GEOMETRIAS METRICAS EUCLIDIANAS EN CUALQU.IER DIMENSION EN LAS QUE JO RIGE EL AXIOMA DE PARALELISMO DE EUCLIDES. Heinz-Reiner Friedlein

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Mercedes Contreras Barbero
hace 5 años
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1 Revista de la Unian Matemática Argentina Vlumen 27, UN EJEMPLO DE GEOMETRAS METRCAS EUCLDANAS EN CUALQU.ER DMENSON EN LAS QUE JO RGE EL AXOMA DE PARALELSMO DE EUCLDES Heinz-Reiner Friedlein Pr ls aximas en (2) 6 (4) es psible cnstruir gemetrías en cualquier dimensi6n. Adjuntams a ls aximas de (2) el siguient"e: EUC. Para g 1 h existe un punt S 1 g, h Y ds rectas que pasan pr S, cn s 1 t tales que g 1 s 1 t 1 h. Se dice que las rectas s, h 6 g, t est~n en una escalera. Decims que la gemetría así descrita es una gemetría métrica euclidiana. Es cncid que ciertas gemetrías afines sn gemetrías m~tricas.euclidianas. Ahra querems cnstruir un ejempl de una gemetría m~trica eucli diana que n es gemetría afín. El ejempl que vams a cnstruir es una genera1izaci6n de un ejempl para el plan métric euclidian que figura en[ 1). Designarems ls punts y las rectas de las gemetrías pr letras mayúsculas y minúsculas, respectivamente. Un haz prpi cn sp~ te P es el cnjunt de tdas las rectas que pasan pr P. El terema principal en (2) ns muestra que es psible extender cada gemetría m~trica euclidiana a una gemetría pryectiva bien que la gemetría métrica euclidiana es sumergible en una geq metría pryectiva, que se dice gemetría pryectiva euclidiana. TEOREMA 1. a) En un espai m4t~i euzidian tds Zs haes p~pis tienen 1.a misma a~dinaudad. b) Además, ada has de Za gemet~la p~yetiva euzidiana tiene Za misma a~dinazidad que un has p~pi en Za gemetrla m4t~ia euzidiana. Un haz de la gemetría pryectiva euclidiana es definid en frma anuga a un haz prpi de una gemetría euclidiana. DemBt~ai~n. a) Sean ds haces diferentes que tienen cm sprtes ls punts diferentes O y P respectivamente. Sea g O; según

2 163 [2] existe exactamente un h P Y perpendicular a g. Est implica un mape biyectiv del cnjunt de las rectas del haz determinad pr O sbre el cnjunt de las rectas que pasan pr P. b) Sea G un haz que cntiene rectas pryectivas, que n sn rectas métricas. Elegims un punt métric O cm centr de un "snail map" (cmparar [3]). Existen en G ds reqtas métricas euclidianas diferentes a, b, tal que a, b n tienen ni un punt métric ni una recta métrica euclidiana en cmún que sea rtgnal a las ds; entnces existe un "snai1 map" cn centr O tal que la imagen G' de G baj este mape es un haz prpi. Las preimágenes de las rectas de, G' sn - pr cnstrucción (cmparar [3]) - rectas pryectivas y están en crrespndencia 1-1 cn el snai1 map. Queda pr demstrar que ls haces G cn la prpiedad que tdas las rectas de G sn perpendiculares a un hiperp1an de la gemetría métrica euclidiana que 'pasa pr O tienen la misma cardinalidad. Per cm estams en una gemetría pryectiva, se sabe que ls haces de esta gemetría tienen la misma cardinalidad. DEFNCON. Una gemetr!a af!n que ea una gemetr!a métrica eucti diana ae ttama gemetr!a euctidiana. Desde 1ueg,n tda gemetría afín es una gemetría euclidiana. Pr ejempl, las gemetrías afines cn crdenadas en un cuerp n cnmutativ n' sn gemetrías euclidianas (cmpa.rar [1]). TEOREMA 2. Cada gemetr!a métrica euctidiana ea aumergibte en una gemetr!a euczidiana. Dematración. Según [2] ó [3] cada gemetría métrica euclidiana es sumergible en una gemetría métrica pryectiva Ep' Elegims en Ep subcnjunts T ' r de punts y rectas respectivamente. T = {P E Ep ~ g.. h, g, h P tal que g, h 1 H, H hiperp1an y g, h rectas en la gemetría métrica euclidiana} r = {r E Ep Q, R E T ' Q.. R Y Q, R r} Entnces T yr determinan una gemetría afín y tds ls punts métrics euclidians se encuentran en T y tdas las rectas métri cas euclidianas pertenec~n a r. Según [3] cada recta de r es eje de una reflexión. Est implica que T ' r determinan una gemetría euclidiana [3]. Cn este resultad pdems cnstruir nuestr ejempl. Cnsiderems el anill e = ({l/p p = 2, 4l + 1, l E N} )

3 164 Sea H.: = {(al'...,an,... ) al'",an,... E Ca} un cnjunt de pu!!. ts cuyas crdenadas pertenecen a e. Es clar queh es un sub.. cnjunt de ls punts de una cierta gemetría euclidiana A (R) cn crdenadas enr. Adem&s A (R) es una gemetría afín y el espaci vectrial cn prduct intern crrespndiente es un espaci de Hilbert. NOTA. Es psible demstrar que la gemetría métrica euclidiana de termina este prduct interir (cmparar [2]). Cm cnjunt r de rectas definims: Si P es un punt de H entnces las rectas de r sn las rectas g de A (R) cn la siguiente prpiedad: g es la unión de P cn un punt Q E rr y Q ~ P. Ahra querems demstrar que (rr, r, ) es una gemetría métrica euclidiana per n una gemetría euclidiana. TEOREMA 3. (rr, r, ) determina una gemetria métria eulidiana en la que n vale el a~ima de paralelism de Euclides. Demstración. Usams ls aximas de [21. Ests aximas exigen tam bién para la gemetría métrica euclidiana una relaci6n 1 y reflexi~ nes en punts y rectas. Per A (R) tiene estas prpiedades. Axima 1 de [21 se cumple pues rr,r sn subcnjunts de ls punts y rectas en A (R). Axima 2. Sean g' ha, J' a ' gl' J reflexines en A (R) cn ejes g' ha, j' a ' gl' j respectivamente y g' ha, j A; ha, gl' j B; A, B. Entnces tenems g. n a A Y J. ha. Y = al cn al B. Axima 3. Dads ls punts y rectas cm en el dibuj J = a cn p P ""'=::: ;2::...- p 2 a.. e = a cn a, b P implica según [21 que a, b, c se encuentran en un plan métric euclidian. Sea t P3 la recta per-

4 165 pendicular a b pr P~ tal que crta la recta a en Pi' Falta demstrar que Pi, Pz E n. Per est sale de [11,pág. 288/299,f6rm~ la (1) y (3). Axima 4. Sean g = (P, P'), h = (P,Q') diferentes y (P,P') t (P,Q'). Entnces (P,P'), (P,Q') determinan un plan euclidian Az (R) de A (R). Se sabe que en A2 (R) la reflexi6n P en el punt P es el prduct g.r cn r 1 g, r E A2 (R). Análgamente cm en la demstraci6n para axima 3, existe un punt A 1 r y A E n tal que (A, Q') t r. El terema de tres reflexines [11 implica que (P,P'). (P,Q').r es una reflexi6n en una cierta recta d 1 P. El axima 5 sigue inmediatamente de la demstraci6n de ls aximas 3 y 4. Aximas 6 y 7 se satisfacen, pues estams en A (R). Axima 8 es trivial pues en A (R) n existen punts P,Q distints cn P.Q = Q. P. Axima 9. La existencia de tres punts que n se encuentran en una sla recta es trivial (ver la demstraci6n del axima 4) y des de lueg ds punts diferentes se encuentran sbre cada. recta. Además la gemetría cnstruída cumple trivialmente Euc. Pr tant n,r sn ls cnjunts de punts y rectas respectivamente de una gemetría métrica euclidiana. Ahra vams a demstrar que esta gemetría n satisface el terema de las paralelas de Euclides. Cm cada gemetría afín satisface este terema, estams lists cn la demstraci6n si hems encntrad ds rectas distintas g,h cn g, h 1 E, x n g = 0, x n h = 0; g, h E r, P E n. Cm 1/3 é e entnces (1/3,0,... ) é n per 0, E' = (1,1,0,... ) En.. Además sabems que ls ejes crdenads x e y pertenecen a r. Per en el ~lan euclidian que determinan x e y se tienen ds rectas diferentes g, h que pasan pr E' y que n crtan la recta x. Elegims g cm la recta rtgnal a y cn g 1 E' Y cm h la recta y le' g (3/2,0, ) en el plan euclidian de ecuaci6n y x 3/2 x - 1/2, h pertenece a

5 166 r pues (0,-1/2,0,... ) y E' se encuentran sbre h y E'. (0,-1/2,0,...,0,... ) E n per la intersección cn x es (3/2,0,0,... ) ~ n. REFERENC las [1] F. BACRMANN, Au6bau de~ Geame~4ie au~ dem Spiegelu~g~begAi66, Berlin [2] G. EWALD, Spiegelung~geame~Ai~che Kennzeichnung eu~lidi~che und nich~eu~lidi~chea Raume beliebige~ Vimen~ian, Math. Abh Sem. Ramburg 41 (1974). [3] R.R. FREDLEN, Enbe~~ung beliebig dimen~ianalea me~ai~che~ Raume mi~ Hil6e van Halbd~ehungen. [4] SMTR, O~~haganal Geame~Aie~ 1,11, Gemetriae Dedicata 1 (1973). Bchum Ruhr - Universitat Mathematisches nstitut Alemania Federal y Universidad Santa María Valparais, Chile Recibid en abril de 1975 Versión final en juni de 1975

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