Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

Transcripción

1 CAPÍTULO 8 Sistemas de ecuacines diferenciales lineales Estructura del capítul 8. Tería preliminar 8. Sistemas lineales hmgénes 8.. Valres prpis reales distints 8.. Valres prpis repetids 8..3 Valres prpis cmplejs 8.3 Slución mediante diagnalización 8.4 Sistemas lineales n hmgénes 8.4. Ceficientes indeterminads 8.4. Variación de parámetrs Diagnalización 8.5 Matriz expnencial Ejercicis de repas del capítul 8 46 En la sección.9 estudiams pr primera vez en este libr ls sistemas de ecuacines diferenciales, y en las seccines 3. y 4.6 pudims reslver alguns de ests sistemas. En el presente capítul vams a cncentrarns únicamente en sistemas de ecuacines diferenciales lineales de primer rden. Mientras la mayr parte de ls sistemas cnsiderads pudiern reslverse pr medi de eliminación (sección 3.) de la transfrmada de Laplace (sección 4.6), aquí vams a desarrllar una tería general para este tip de sistemas y, para el cas de sistemas cn ceficientes cnstantes, un métd de slución que utiliza alguns cncepts básics del álgebra de matrices. Advertirems que esta tería general y el prcedimient de slución sn similares a ls de ecuacines diferenciales lineales de rden superir que se estudiarn en las seccines 3.3 a la 3.5. El material también resulta fundamental para efectuar el análisis de sistemas de ecuacines n lineales de primer rden (capítul 9).

2 8. Tería preliminar La ntación y las prpiedades matriciales se utilizarán ampliamente en este capítul. El estudiante deberá revisar el capítul 7 en cas de que n esté familiarizad cn ests cncepts. Nta para el estudiante. Intrducción Recuerde que en la sección 3. ilustrams cóm reslver sistemas de n ecuacines diferenciales en n incógnitas de la frma P (D)x P (D)x... P n (D)x n b (t) P (D)x P (D)x... P n (D)x n b (t) P n (D)x P n (D)x... P nn (D)x n b n (t), () dnde P ij eran plinmis de diferentes grads del peradr diferencial D. En este capítul cncentrarems nuestr estudi en las ecuacines diferenciales de primer rden que representan cass especiales de sistemas que tienen la frmulación nrmal g t, x, x, p, x n g t, x, x, p, x n () n g n t, x, x, p, x n. Un sistema de n ecuacines de primer rden tal cm () se denmina sistema de primer rden. Sistemas lineales Cuand cada una de las funcines g, g,..., g n incluidas en () es lineal en las variables independientes x, x,..., x n, btenems la frma nrmal de un sistema de primer rden de las ecuacines lineales: a tx a tx p a n tx n f t a tx a tx p a n tx n f t (3) n a n tx a n tx p a nn tx n f n t. A un sistema de la frma presentada en (3) le llamams simplemente sistema lineal. Asumims que tant ls ceficientes a ij (t) cm las funcines f i (t) sn cntinus en un interval cmún I. Cuand f i (t), i,,..., n, se dice que el sistema lineal es hmgéne; de l cntrari será n hmgéne. Frma matricial de un sistema lineal Si X, A(t) y F(t) dentan las matrices respectivas x t a t a t p an t f t x t a t a t p an t f t X ±, At ±, Ft ±, x n t a n t a n t p ann t f n t 8. Tería preliminar 47

3 entnces el sistema de ecuacines diferenciales de primer rden (3) se puede escribir cm x d ± x x n a t a t p an t a ± t a t p an t ± a n t a n t p ann t x x x n f t f ± t f n t simplemente X AX F. (4) Si el sistema es hmgéne, su frma matricial es entnces X AX. (5) Ejempl Sistemas escrits en ntación matricial a) Si X a x b, entnces la frma matricial del sistema hmgéne y 3x 4y es X a b X. 5x 7y x b) Si X y, entnces la frma matricial del sistema n hmgéne z 6x y z t 6 8x 7y z t es X 8 7 X 9 dz x 9y z 6t t 6t t. DEFINICIÓN 8. Vectr slución En un interval I, un vectr slución es cualquier matriz clumna x t x t X ± x n t cuys elements sn funcines diferenciables que satisfacen el sistema (4) en el interval. Desde lueg, un vectr slución de (4) es equivalente a n ecuacines escalares x (t), x (t),..., x n n (t), y se puede interpretar de manera gemétrica cm un sistema de ecuacines paramétricas de una curva espacial. En ls cass n y n 3, las ecuacines x (t), x (t), y x (t), x (t), x 3 3 (t) representan curvas en ls espacis bidimensinal y tridimensinal, respectivamente. Slems denminar a tal curva slución cm trayectria. El plan también se denmina plan de fase. Ilustrarems ests cncepts en la sección siguiente, así cm en el capítul CAPÍTULO 8 Sistemas de ecuacines diferenciales lineales

4 Ejempl Verificación de slucines Cmpruebe que en el interval (, ) X a b e t a e t e tb y X a 3 5 b e6t a 3e6t 5e 6tb sn slucines de X a 3 b X. (6) 5 3 Slución A partir de X a e t e tb y X a 8e6t 3e6tb vems que AX a b a e t a5e t e tb 3e t 5e t 3e tb a e t e tb X y AX a b a3e6t 5e 6tb 5e 6t a3e6t 5e 6t 5e 6tb a8e6t 3e 6tb X. Gran parte de la tería de sistemas de n ecuacines diferenciales lineales de primer rden es similar a la de las ecuacines diferenciales lineales de n-ésim rden. Prblema de valr inicial Si t denta un punt en un interval I y x t g x Xt ± t g y X ± x n t dnde i, i,,..., n sn las cnstantes dadas. Entnces el prblema g n, Reslver: X A(t)X F(t) Sujet a: X(t ) X (7) es un prblema de valr inicial en el interval. TEOREMA 8. Existencia de una slución única Sean las entradas de las matrices A(t) y F(t) funcines cntinuas en un interval cmún I que cntienen el punt t. Pr l tant, existe una slución única para el prblema de valr inicial (7) en el interval. Sistemas hmgénes En las siguientes definicines y teremas ns enfcarems sól en ls sistemas hmgénes. Aunque n se indique, siempre asumirems que a ij y f i sn funcines cntinuas de t en algún interval cmún I. Principi de superpsición El siguiente resultad es un principi de superpsición para slucines de sistemas lineales. TEOREMA 8. Principi de superpsición Sea X, X,..., X k un cnjunt de vectres slución del sistema hmgéne (5) en un interval I. Entnces, la cmbinación lineal X c X c X... c k X k, dnde c i, i,,..., k sn cnstantes arbitrarias, es también una slución en el interval. 8. Tería preliminar 49

5 Del terema 8. se desprende que una cnstante múltiple de cualquier vectr slución de un sistema hmgéne de ecuacines diferenciales lineales de primer rden es también una slución. Ejempl 3 Us del principi de superpsición Cmpruebe que ls ds vectres X cs t cs t sen t cs t sen t y X sn slucines del sistema X X. (8) Mediante el principi de superpsición, la cmbinación lineal X c X c X c es tra slución del sistema. cs t cs t sen t cs t sen t e t c Dependencia lineal e independencia lineal Estams interesads principalmente en las slucines del sistema hmgéne (5) que sean linealmente independientes. e t DEFINICIÓN 8. Dependencia lineal e independencia lineal Sea X, X,..., X k un sistema de vectres slución del sistema hmgéne (5) en un interval I. Decims que este cnjunt es linealmente dependiente en el interval si existen cnstantes c, c,..., c k, que n sn tdas cer, de tal frma que c X c X... c k X k para tda t en el interval. Si el cnjunt de vectres n es linealmente dependiente en el interval, se dice que es linealmente independiente. El cas k tiene que aclararse; ds vectres slución X y X sn linealmente dependientes si un es un múltipl cnstante del tr, y viceversa. Para k >, un cnjunt de vectres slución es linealmente dependiente si pdems expresar al mens un vectr slución cm una cmbinación lineal de ls vectres restantes. Wrnskian En una cnsideración previa relacinada cn la tería de una sla ecuación diferencial rdinaria, pudims intrducir el cncept del determinante wrnskian cm una prueba de la independencia lineal. Establecems el terema siguiente sin prbarl. TEOREMA 8.3 Criteri para slucines linealmente independientes x x x n Sean X ± x, X ± x, p, X n ± x n x n x n x nn n vectres slución del sistema hmgéne (5) en un interval I. Entnces el sistema de vectres slución es linealmente independiente en I si, y sól si, el wrnskian (cntinúa) 4 CAPÍTULO 8 Sistemas de ecuacines diferenciales lineales

6 (cntinuación) 4x x p xn 4 x x p xn W(X, X,..., X n ) (9) x n x n p xnn para tda t incluida en el interval. Es psible demstrar que si X, X,..., X n sn vectres slución de (5), entnces para tda t en I, bien W(X, X,..., X n ) W(X, X,..., X n ). Pr l tant, si pdems demstrar que W para alguna t en I, entnces W para tda t, de manera que el cnjunt de slucines es linealmente independiente en el interval. Observe que, a diferencia de la definición del wrnskian dada en la sección 3., aquí la definición del determinante (9) n requiere diferenciación. Ejempl 4 Slucines linealmente independientes En el ejempl vims que X a be t y X a 3 5 be6t sn slucines del sistema (6). Resulta evidente que X y X sn linealmente independientes en el interval (, ) ya que ningún vectr es un múltipl cnstante del tr. Además, tenems e t 3e 6t W(X, X ) e t 5e 6t 8e 4t para tds ls valres reales de t. DEFINICIÓN 8.3 Cnjunt fundamental de slucines Td cnjunt X, X,..., X n de n vectres slución linealmente independientes del sistema hmgéne (5) en un interval I se denmina cnjunt fundamental de slucines en el interval. TEOREMA 8.4 Existencia de un cnjunt fundamental Existe un cnjunt fundamental de slucines para el sistema hmgéne (5) en un interval I. Ls ds teremas siguientes sn ls equivalentes del sistema lineal examinad en ls teremas 3.5 y 3.6. TEOREMA 8.5 Slución general: sistemas hmgénes Sea X, X,..., X n un cnjunt fundamental de slucines del sistema hmgéne (5) en un interval I. Pr l tant, la slución general del sistema en el interval es X c X c X... c n X n, dnde c i, i,,..., n sn cnstantes arbitrarias. Ejempl 5 Slución general del sistema (6) A partir del ejempl sabems que X a be t y X a 3 5 be6t sn slucines de (6) linealmente independientes en (, ). Pr l tant, X y X frman un cnjunt 8. Tería preliminar 4

7 fundamental de slucines en el interval. La slución general del sistema en el interval es entnces X c X c X c a b e t c a 3 5 b e 6t. () Ejempl 6 Slución general del sistema (8) Ls vectres X cs t cs t sen t cs t sen t, X sen t e t, X 3 sen t cs t sen t cs t sn slucines del sistema (8) en el ejempl 3 (vea el prblema 6 en ls ejercicis 8.). Ahra cs t sen t W(X, X, X 3 ) 3 cs t sen t et sen t cs t 3 e t cs t sen t sen t cs t para tds ls valres reales de t. Cncluims que X, X y X 3 frman un cnjunt fundamental de slucines en (, ). Pr l tant, en el interval, la slución general del sistema es la cmbinación lineal X cx c X c 3 X 3, es decir, X c cs t cs t sen t cs t sen t c sen t e t c 3 sen t cs t. sen t cs t Sistemas n hmgénes Para ls sistemas n hmgénes, una slución particular X p en un interval I es cualquier vectr, libre de parámetrs arbitraris, cuys elements sn funcines que satisfacen el sistema (4). TEOREMA 8.6 Slución general: sistemas n hmgénes Sean X p una slución dada del sistema n hmgéne (4) en un interval I, y X c c X c X... c n X n dente la slución general en el mism interval del sistema hmgéne asciad (5). Lueg, la slución general del sistema n hmgéne en el interval es X X c X p. La slución general X c del sistema hmgéne (5) se denmina función cmplementaria del sistema n hmgéne (4). Ejempl 7 Slución general: sistema n hmgéne 3t 4 El vectr X p a b es una slución particular del sistema n hmgéne 5t 6 X a 3 b X at b () CAPÍTULO 8 Sistemas de ecuacines diferenciales lineales

8 en el interval (, ). (Verifique est.) La función cmplementaria de () en el mism interval, la slución general de X a 3 bx, se estudió en la expresión () del 5 3 ejempl 5 cm X c c a b e t c a 3 5 b e 6t. Pr l tant, en virtud del terema 8.6 X X c X p c a b e t c a 3 5 b 3t 4 e6t a 5t 6 b es la slución general de () en (, ). EJERCICIOS 8. Las respuestas a ls prblemas impares seleccinads cmienzan en la página RESP-8. En ls prblemas del al 6, exprese el sistema lineal en frma matricial.. 3x 5y. 4x 7y 4x 8y 5x 3. 3x 4y 9z 4. x y 6x y x z dz dz x 4y 3z 5. x y z t x y z 3t x z dz x y z t t 6. 3x 4y e t sen t 5x 9z 4e t cs t dz y 6z e t En ls prblemas del 7 al, escriba el sistema dad sin el us de matrices. 7. X a 4 3 b X a b et X 4 3 X 8 e 5t 3 e t x x 3 d 9. y 3 4 y e t t z 5 6 z d. ax b a3 7 y b ax y b a4 t 4 b sen t a 8 t b e4t En ls prblemas del al 6, cmpruebe que el vectr X es una slución del sistema dad.. 3x 4y 4x 7y; X a be 5t. x 5y 5 cs t x 4y; X a 3 cs t sen t bet 3. X a 4 bx; X a be 3t/ 4. X a b X; X a 3 b et a 4 4 b tet 5. X 6 X; X 6 3 sen t 6. X X; X sen t cs t sen t cs t En ls prblemas del 7 al, ls vectres dads sn slucines de un sistema X AX. Determine si ls vectres frman un cnjunt fundamental en (, ). 7. X a be t, X a be 6t 8. X a bet, X a 6 bet a 8 8 btet 9. X t, X 4 3 X 3 6 t 4 4, 4 8. Tería preliminar 43

9 . X 6, X e 4t, X 3 3 e 3t 3 En ls prblemas del al 4, verifique si el vectr X p es una slución particular del sistema dad.. x 4y t 7 3x y 4t 8; X p a b t a5 b. X a b X a 5 b; X p a 3 b 3. X a 3 4 b X a 7 b et ; X p a b et a b tet 4. X X p sen 3t cs 3t X 4 sen 3t; 3 5. Demuestre que la slución general de en el interval (, ) es X c X X 3 e t c 6. Demuestre que la slución general de e t c 3 e 3t. X a b X a b t a 4 6 b t a 5 b en el interval (, ) es X c a b et c a b e t a b t a 4 b t a b. 8. Sistemas lineales hmgénes Intrducción En el ejempl 5 de la sección 8., vims que la slución general del sistema hmgéne X a b X es X c X c X c a b e t c a 3 5 b e6t. Puest que ambs vectres slución tienen la frma X i a k k be i t, i,, dnde k, k,, y sn cnstantes, ns vems impulsads a preguntar si siempre es psible encntrar una slución de la frma X ± para el sistema general hmgéne de primer rden k k k n e t Ke t () Analizarems sól sistemas lineales cn ceficientes cnstantes. X AX, () dnde la matriz de ceficientes A es una matriz de cnstantes de rden n n. Valres prpis y vectres prpis Si () ha de ser un vectr slución del sistema, entnces X K e t de manera que () se cnvierta en K e t AKe t. Después de dividir e t y rerdenar, btenems AK K AK K. Cm K IK, la última ecuación es l mism que (A I)K. (3) 44 CAPÍTULO 8 Sistemas de ecuacines diferenciales lineales

10 La ecuación matricial (3) es equivalente a las ecuacines algebraicas simultáneas (a )k a k... a n k n a k (a )k... a n k n a n k a n k... (a nn )k n. Pr l tant, para encntrar una slución n trivial X de () debems encntrar primer una slución n trivial del sistema citad; en tras palabras, primer tenems que determinar un vectr n trivial K que satisfaga (3). Per cn el fin de que (3) tenga slucines distintas de la slución evidente k k... k n, necesitams tener det (A I). Esta ecuación plinmial se denmina ecuación característica de la matriz A; sus slucines sn ls valres prpis de A. Una slución K de (3) crrespndiente a un valr prpi se denmina vectr prpi de A. Una slución del sistema hmgéne () es entnces X Ke t. En el siguiente análisis examinarems tres cass: tds ls valres prpis sn reales y distints (es decir, n hay ds valres prpis iguales), valres prpis repetids, y pr últim, valres prpis cmplejs. 8.. Valres prpis reales distints Cuand la matriz A de rden n n psee n valres prpis reales distints,,..., n, entnces siempre se pdrá encntrar un sistema de n vectres prpis linealmente independientes K, K,..., K n y X K e l t, X K e l t, p, X n K n e l nt es un cnjunt fundamental de slucines de () en (, ). TEOREMA 8.7 Slución general: sistemas hmgénes Sean,,..., n n valres prpis reales distints de la matriz de ceficientes A del sistema hmgéne (), y sean K, K,..., K n ls vectres prpis crrespndientes. Entnces, la slución general de () en el interval (, ) está dada pr X c K e l t c K e l t p c n K n e l nt. Ejempl Valres prpis distints Resuelva x 3y (4) x y. Slución Primer encntrams ls valres prpis y ls vectres prpis de la matriz de ceficientes. A partir de la ecuación característica det (A I) l 3 l 3 4 ( )( 4) deducims que ls valres prpis sn y 4. Ahra para, (3) es equivalente a 3k 3k k k. 8. Sistemas lineales hmgénes 45

11 t a) Gráfica de x = e t + 3e 4t y 6 4 t y c) Trayectria definida pr x = e t + 3e 4t, y = e t + e 4t en el plan fase x 3 3 c) Gráfica de y = e t + e 4t Figura 8. Una slución particular de (5) prduce tres curvas diferentes en tres distints plans crdenads Figura 8. Retrat de fase del sistema (4) y x x Pr l tant, k k. Cuand k, el vectr prpi relacinad es K a b. Para 4, tenems k 3k k 3k de manera que k 3k /, y pr l tant, cn k, el vectr prpi crrespndiente es K a 3 b. Puest que la matriz de ceficientes A es una matriz de, y cm hems encntrad ds slucines linealmente independientes de (4), X a b e t y X a 3 b e4t, cncluims que la slución general del sistema es X c X c X c a b e t c a 3 be4t. (5) Cn fines de repas, se debe tener muy presente que una slución de un sistema de ecuacines diferenciales lineales de primer rden, cuand la expresams en términs matriciales, simplemente es una alternativa al métd emplead en la sección 3., es decir, listar las funcines individuales y las relacines entre las cnstantes. Si sumams ls vectres incluids en el lad derech de (5) y después igualams ls elements cn ls crrespndientes del vectr de la izquierda, btenems la expresión más cncida x c e t 3c e 4t, y c e t c e 4t. Tal cm fue señalad en la sección 8., pdems interpretar estas ecuacines cm ecuacines paramétricas de una curva trayectria en el plan xy plan de fase. Las tres gráficas se muestran en la figura 8.: x(t) en el plan tx, y(t) en el plan ty, y la trayectria en el plan de fase crrespndiente a la elección de cnstantes c c en la slución. Un cnjunt de trayectrias presentes en el plan de fase, cm l muestra la figura 8., es un retrat de fase del sistema lineal dad. L que en la figura 8. parecen ser ds líneas negras, en realidad sn cuatr medias líneas definidas de manera paramétrica en el primer, segund, tercer y cuart cuadrantes mediante las slucines X, X, X y X, respectivamente. Pr ejempl, las ecuacines cartesianas y 3x, x >, y y x, x >, de las medias líneas incluidas en el primer y cuart cuadrantes se btuviern al eliminar el parámetr t en las slucines x 3e 4t, y e 4t, y x e t, y e t, respectivamente. Además, cada vectr prpi se puede visualizar cm un vectr bidimensinal tendid a l larg de estas medias líneas. El vectr prpi K a 3 b descansa a l larg de y 3x en el primer cuadrante y K a b a l larg de y x en el cuart cuadrante; cada vectr cmienza en el rigen cn K que termina en el punt (, 3) y K que termina en (, ). El rigen n sól es una slución cnstante, x, y, para td sistema lineal hmgéne X AX sin que también es un punt imprtante en el estudi cualitativ de tales sistemas. Si pensams en términs físics, las puntas de flecha marcadas en las trayectrias de la figura 8. indican la dirección en que se mvería una partícula cn crdenadas (x(t), y(t)) en una trayectria en el tiemp t a medida que se presente un increment en el tiemp. Observe que las puntas de flecha, salv las de las medias líneas trazadas en el segund y cuart cuadrantes, indican que una partícula se alejaría de su rigen cnfrme aumentara el tiemp. Si imaginams que el tiemp varía desde hasta, entnces el análisis de la slución x c e t 3c e 4t, y c e t c e 4t, c, c, muestra que una trayectria, partícula móvil, cmienza pr ser asintótica en relación cn una de las medias líneas definidas mediante X X (ya que e 4t 46 CAPÍTULO 8 Sistemas de ecuacines diferenciales lineales

12 es insignificante para t ) y termina siend asintótica respect a una de las medias líneas definidas pr X y X (puest que e t es insignificante para t ). Dich sea de pas, la figura 8. representa un retrat de fase que es característic de tds ls sistemas lineales hmgénes X AX de cn valres prpis reales de signs puests. Vea el prblema 7 en ls ejercicis 8.. Además, si ls valres prpis reales distints tienen el mism sign algebraic, ls retrats de fase serán aquells característics de tds ls sistemas lineales de de este tip; la única diferencia sería que las puntas de flecha indicarían que una partícula se aleja del rigen en cualquier trayectria cnfrme t cuand y sn psitivs, y que se acerca al rigen en cualquier trayectria cuand tant cm sn negativs. En cnsecuencia, resulta muy cmún denminar al rigen cm repulsr en el cas >, >, y cm atractr en el cas <, <. Vea el prblema 8 en ls ejercicis 8.. En la figura 8., el rigen n es ni un repulsr ni un atractr. La investigación sbre el cas restante, cuand sea un valr prpi de un sistema lineal hmgéne de, se deja cm ejercici para el lectr. Vea el prblema 48 en ls ejercicis 8.. Ejempl Valres prpis distints Resuelva 4x 5y z x 5y z (6) dz y 3z. Slución Mediante ls cfactres del tercer renglón, encntrams l3 3 4 l det (A I) 5 l ( 3)( 4)( 5), 3 y, pr l tant, ls valres prpis sn 3, 4, 3 5. Para 3, la eliminación de Gauss-Jrdan prduce A 3I Pr l tant, k k 3 y k. La alternativa k 3 prduce un vectr prpi y el crrespndiente vectr slución K, X e 3t. (7) De manera similar, para 4, A 4I 9 3 peracines entre renglnes peracines entre renglnes implica que k k 3 y k k 3. Al elegir k 3, btenems un segund vectr prpi y su vectr slución K, X e 4t. (8) Sistemas lineales hmgénes 47

13 Pr últim, cuand 3 5, las matrices aumentadas 9 A 5I prducen K 3 8, X 3 8 e 5t. (9) La slución general de (6) es una cmbinación lineal de ls vectres slución dads en (7), (8) y (9): X c e 3t c peracines entre renglnes e 4t c 3 8 e 5t. Us de cmputadras Ls paquetes de cómput cm MATLAB, Mathematica, Maple y DERIVE pueden ahrrarns much tiemp cuand se trata de encntrar valres prpis y vectres prpis de una matriz. Pr ejempl, para encntrar ls valres prpis y ls vectres prpis de la matriz de ceficientes dada en (6) mediante Mathematica, primer ingresams la definición de matriz pr renglnes: m { { 4,, }, {, 5, }, {,, 3} }. Ls cmands Eigenvalues[m] y Eigenvectrs[m] dads en secuencia generan { 4, 3, 5} y { {,, }, {,, }, {, 8, } }, respectivamente. En Mathematica, ls valres prpis y ls vectres prpis también se pueden btener al mism tiemp mediante Eigensystem[m]. 8.. Valres prpis repetids Desde lueg, n tds ls n valres prpis,,..., n de una matriz A de rden n n deben ser diferentes, es decir, alguns de ls valres prpis pueden estar repetids. Pr ejempl, puede advertirse fácilmente que la ecuación característica de la matriz de ceficientes en el sistema X a b X () es ( 3), y pr l tant 3 es una raíz de multiplicidad ds. Para este valr encntrams el vectr prpi únic K a 3 b, de manera que X a 3 b e 3t () es una slución de (). Per cm estams interesads en frmar la slución general del sistema, debems cncentrarns en encntrar una segunda slución. En general, si m es un enter psitiv y ( ) m es un factr de la ecuación característica per ( ) m n es un factr, entnces se dice que es un valr prpi de multiplicidad m. Ls tres ejempls presentads a cntinuación ilustran ls siguientes cass: i) Para ciertas matrices A de rden n n puede ser psible encntrar m vectres prpis linealmente independientes K, K,..., K m crrespndientes a un valr prpi de multiplicidad m n. En este cas, la slución general del sistema cntiene la cmbinación lineal c K e l t c K e l t p c m K m e l t. 48 CAPÍTULO 8 Sistemas de ecuacines diferenciales lineales

14 ii) Si hay sól un vectr prpi crrespndiente al valr prpi de multiplicidad m, entnces siempre se pueden encntrar m slucines linealmente independientes de la frma X K e l t X K te l t K e l t X m K m dnde K ij sn vectres clumna. t m t m m! el t K m m! el t p K mm e lt, Valr prpi de multiplicidad ds Iniciems cnsiderand ls valres prpis de multiplicidad ds. En el primer ejempl ilustrams una matriz para la cual pdems encntrar ds vectres prpis que crrespnden a un valr prpi dble. Ejempl 3 Valres prpis repetids Resuelva X X. Slución Si se amplía la determinante en la ecuación característica det (A I) l3 3 l l se prduce ( ) ( 5). Vems que y 3 5. Para, la eliminación de Gauss-Jrdan inmediatamente da cm resultad A I 3 3. El primer renglón de la última matriz cmprende k k k 3 k k k 3. Las eleccines k, k 3 y k, k 3 prducen, a su vez, k y k. Pr l tant, ds vectres prpis que crrespnden a sn K y K. Puest que ningún vectr prpi es múltipl cnstante del tr, hems encntrad ds slucines linealmente independientes, crrespndientes al mism valr prpi Pr últim, para 3 5, la reducción X e t y X e t. 4 A 5I peracines entre renglnes peracines entre renglnes Sistemas lineales hmgénes 49

15 implica k k 3 y k k 3. Al elegir k 3 se tiene k, k, y pr l tant un tercer vectr prpi es K 3. Cncluims que la slución general del sistema es X c e t c e t c 3 e 5t. La matriz de ceficientes A dada en el ejempl 3 es una clase especial de matriz cncida cm matriz simétrica. Se dice que una matriz A de rden n n es simétrica cuand su matriz transpuesta A T (dnde las clumnas y ls renglnes están intercambiads) es la misma que A, es decir, si A T A. Es psible demstrar que si en el sistema X AX la matriz A es simétrica y tiene elements reales, entnces siempre pdrems encntrar n vectres prpis linealmente independientes K, K,..., K n, y la slución general de tal sistema es cm la presentada en el terema 8.7. Tal cm se ilustró en el ejempl 3, este resultad también es válid cuand alguns de ls valres prpis están repetids. Segunda slución Ahra supnga que es un valr prpi de multiplicidad ds y que sól hay un vectr prpi asciad cn este valr. Se puede encntrar una segunda slución expresada en la siguiente frma X Kte l t Pe l t, () k p dnde K ± k y P ± p. k n p n Para ver est sustituims () en el sistema X AX y simplificams: AK l Kte l t AP l P Ke l t. puest que esta última ecuación es aplicable a tds ls valres de t, debems tener (A I)K (3) y (A I)P K. (4) La ecuación (3) indica simplemente que K debe ser un vectr prpi de A asciad cn. Cuand reslvems (3), encntrams una slución X Ke t. Para encntrar la segunda slución X sól necesitams reslver el sistema adicinal (4) para el vectr P. Ejempl 4 Valres prpis repetids Encntrar la slución general del sistema dad en (). Slución A partir de () sabems que 3 y que una slución es X a 3 b e 3t. Cuand identificams K a 3 b y P ap p b, cn base en la expresión (4) encntrams que ahra debems reslver A 3IP K 6p 8p 3 p 6p. 4 CAPÍTULO 8 Sistemas de ecuacines diferenciales lineales

16 Puest que este sistema evidentemente equivale a una ecuación, tenems un númer infinit de eleccines para p y p. Pr ejempl, si elegims p btenems p 6. N bstante, en aras de la simplicidad, elegirems p de manera que p. Pr l tant, P a b. Así que a partir de () encntrams Entnces la slución general de () es X a 3 b te 3t a b e 3t. X c a 3 b e 3t c ca 3 b te 3t a b e 3t d. Si en la slución del ejempl 4 asignams diferentes valres a c y c, pdrems trazar trayectrias del sistema dad en (). En la figura 8.3 se muestra un retrat de fase de (). Las slucines X y X determinan ds semirrectas y 3x, x > y y 3x, x <, respectivamente, las cuales se muestran en negr en la figura 8.3. Cm el valr prpi únic es negativ y e 3t cuand t en cada trayectria, tenems que (x(t), y(t)) (, ) cuand t. Est es prque las puntas de flecha de la figura 8.3 indican que una partícula situada en cualquier trayectria se mueve hacia el rigen a medida que el tiemp aumenta y prque, en este cas, el rigen es un atractr. Además, una partícula móvil ubicada en una trayectria x 3c e 3t c (te 3t e 3t ), y c e 3t c te 3t, c, se acerca tangencialmente (, ) a una de las medias líneas cnfrme t. En cntraste, cuand el valr prpi repetid es psitiv, la situación se invierte y el rigen es un repulsr. Vea el prblema en ls ejercicis 8.. Parecida a la figura 8., la figura 8.3 es característica de tds ls sistemas lineales hmgénes de X AX que tienen ds valres prpis negativs repetids. Vea el prblema 3 en ls ejercicis 8.. Valr prpi de multiplicidad tres Cuand la matriz de ceficientes A tiene un sl vectr prpi asciad a un valr prpi de multiplicidad tres, pdems encntrar una slución de la frma () y una tercera slución de la frma y Figura 8.3 Retrat de fase del sistema () x X 3 K t el t Pte l t Qe l t, k p q dnde K ± k, P ± p y Q ± q. k n p n q n Al sustituir (5) en el sistema X AX, encntrams que ls vectres clumna K, P y Q deben satisfacer (A I)K (6) (A I)P K (7) y (A I)Q P. (8) Pr supuest, las slucines de (6) y (7) se pueden usar en la frmación de las slucines X y X. Ejempl 5 Valres prpis repetids 6 Reslver X 5 X. 8. Sistemas lineales hmgénes 4

17 Slución La ecuación característica ( ) 3 muestra que es un valr prpi de multiplicidad tres. Al reslver (A I)K encntrams el vectr prpi únic K. Después reslvems en sucesión ls sistemas (A I)P K y (A I)Q P y encntrams que P y Q A partir de () y (5), vems que la slución general del sistema es X c e t c te t e t c 3 t et te t e t Cmentaris Cuand un valr prpi tiene multiplicidad m, entnces pdems encntrar m vectres prpis linealmente independientes el númer de vectres prpis crrespndientes es menr que m. Pr l tant, ls ds cass prevists en la página 48 n representan tdas las psibilidades de que curra un valr prpi repetid. Pdría suceder, digams, que una matriz de 5 5 tenga un valr prpi de multiplicidad 5, y que existan tres vectres prpis linealmente independientes crrespndientes. Vea ls prblemas 3 y 49 en ls ejercicis Valres prpis cmplejs Si i y i, >, i, sn valres prpis cmplejs de la matriz de ceficientes A, sin lugar a dudas pdems esperar que sus crrespndientes vectres prpis también tengan elements cmplejs.* Pr ejempl, la ecuación característica del sistema 6x y (9) 5x 4y 6 l es det A li 5 4 l l l 9. A partir de la fórmula cuadrática encntrams que 5 i, 5 i. Ahra para 5 i debems reslver ( i)k k 5k ( i)k. *Cuand la ecuación característica tiene ceficientes reales, ls valres prpis cmplejs siempre se presentan en pares cnjugads. 4 CAPÍTULO 8 Sistemas de ecuacines diferenciales lineales

18 Cm k ( i)k,* la elección k prduce el siguiente vectr prpi y un vectr slución: K a i b, X a i be5 i t. De manera similar, para 5 i tenems K a i b, X a i b e5 i t. Mediante el wrnskian pdems cmprbar que ests vectres slución sn linealmente independientes, y pr l tant la slución general de (9) es X c a i b e5 i t c a i b e5 i t. () Observe que ls elements de K crrespndientes a sn ls cnjugads de ls elements de K crrespndientes a. El cnjugad de es, pr supuest,. Expresams est cm l y K K. Hems ilustrad el siguiente resultad general. TEOREMA 8.8 Slucines crrespndientes a un valr prpi cmplej Sea A la matriz de ceficientes que tiene elements reales del sistema hmgéne (), y sea K un vectr prpi crrespndiente al valr prpi cmplej i, y sn reales. Entnces K e l t y K e l t sn slucines de (). Es cnveniente y relativamente fácil escribir de nuev una slución cm () en términs de funcines reales. Cn este fin utilizams primer la fórmula de Euler para escribir e (5 i)t e 5t e ti e 5t (cs t i sen t) e (5 i)t e 5t e ti e 5t (cs t i sen t). Lueg, después de multiplicar ls númers cmplejs, recabar términs y reemplazar c c pr C, y (c c )i pr C, () se cnvierte en X C X C X, () dnde X ca b cs t a b sen t d e5t y X ca b cs t a b sen t d e5t. Ahra es imprtante darns cuenta de que ls ds vectres X y X presentads en () sn en sí misms slucines reales linealmente independientes. En cnsecuencia, ignrar la relación entre C, C y c, c está justificad, y pdems cnsiderar C y C cm cmpletamente arbitraris y reales. En tras palabras, la cmbinación lineal () es una slución general alternativa de (9). *Observe que la segunda ecuación es simplemente la primera multiplicada pr ( i ). 8. Sistemas lineales hmgénes 43

19 El prces descrit se puede generalizar. Sea K un vectr prpi de la matriz de ceficientes A (cn elements reales) crrespndiente al valr prpi cmplej i. Entnces ls ds vectres slución presentads en el terema 8.8 se pueden expresar cm K e lt K e at e ibt K e at cs bt i sen bt K e lt K e at e ibt K e at cs bt i sen bt. Cn base en el principi de superpsición, terema 8., ls siguientes vectres también sn slucines: X K e l t K e l t K K e at cs bt i K K e at sen bt X i K e l t K e l t i K K e at cs bt K K e at sen bt. Para td númer cmplej z a ib, tant z z a cm i z z b sn númers reales. Pr l tant, ls elements incluids en ls vectres clumna K K y i K K sn númers reales. Al definir se llega al terema siguiente. B K K y B i K K, () TEOREMA 8.9 Slucines reales crrespndientes a un valr prpi cmplej Sea i un valr prpi cmplej de la matriz de ceficientes A en el sistema hmgéne (), y B y B dentan ls vectres clumna definids en (). Entnces X [B cs t B sen t]e t (3) X [B cs t B sen t]e t sn slucines linealmente independientes de () en (, ). Las matrices B y B dadas en () a menud se representan mediante B Re(K ) y B Im(K ) (4) puest que ests vectres sn, respectivamente, las partes reales e imaginarias del vectr prpi K. Pr ejempl, () se deduce de (3) cn K a i b a b i a b B ReK a b y B ImK a b. Ejempl 6 Valres prpis cmplejs Reslver el prblema de valr inicial X a 8 b X, X a b. (5) Slución Primer btenems ls valres prpis de det A li l 8 l l CAPÍTULO 8 Sistemas de ecuacines diferenciales lineales

20 Ls valres prpis sn i y l i. Para el sistema ( i) k 8k k ( i )k da k ( i)k. Si establecems k btenems i K a b a b i a b. Ahra, cn base en la expresión (4), frmams B ReK a b y B ImK a b. Puest que, de (3) se deduce que la slución general del sistema es X c c a b cs t a b sen t d c c a b cs t a b sen t d cs t sen t cs t sen t c a b c cs t a b. (6) sen t Algunas gráficas de las curvas trayectrias definidas pr la slución (6) del sistema se ilustran en el retrat de fase de la figura 8.4. Ahra la cndición inicial X() a b,, de manera similar, x() y y() prducen el sistema algebraic c c, c cuya slución es c, c. Pr l tant, la slución al prblema es cs t sen t X a b. La trayectria específica definida en frma paramétrica cs t mediante la slución particular x cs t sen t, y cs t es la curva negra de la figura 8.4. Observe que esta curva pasa pr (, ). y Figura 8.4 Retrat de fase del sistema presentad en (6) x EJERCICIOS 8. Las respuestas a ls prblemas impares seleccinads cmienzan en la página RESP Valres prpis reales distints En ls prblemas del al, encuentre la slución general del sistema dad.. x y. x y 4x 3y x 3y 3. 4x y 4. 5 x y 5 x y 3 4x y 5 5. X a bx 6. X a bx 7. x y z y dz dz y z 9. X 3 3. X X 8 8. x 7y 5x y 4z 5y z X. X 4 X 8. Sistemas lineales hmgénes 45

21 5. X 4 X 6 En ls ejercicis 3 y 4, resuelva el PVI dad. 3. X a bx, X() a 3 5 b 4 4. X X, X() 3 Tareas para el labratri de cómput En ls prblemas 5 y 6, utilice un CAS un prgrama de cómput de álgebra lineal cm apy para encntrar la slución general del sistema dad X X X 3 µx a) Use un prgrama de cómput para btener el retrat de fase del sistema dad en el prblema 5. Si fuera psible, incluya las puntas de flecha cm en la figura 8.. También incluya cuatr medias líneas en su retrat de fase. b) Obtenga las ecuacines cartesianas de cada una de las cuatr medias líneas incluidas en el incis a). c) Trace ls vectres prpis en su retrat de fase del sistema. 8. Encuentre ls retrats de fase para ls sistemas dads en ls prblemas y 4. Para cada sistema, encuentre tdas las trayectrias de media línea e incluya estas líneas en su retrat de fase. 8.. Valres prpis repetids En ls prblemas del 9 al 8, encuentre la slución general del sistema dad. 9. 3x y. 6x 5y 9x 3y 5x 4y. X a 3 9 b X. X a b X 3. 3x y z 4. 3x y 4z x y z x z dz dz x y z 4x y 3z X X 6. X 3 X X X 8. X 4 X 4 En ls ejercicis 9 y 3, resuelva el prblema de valr inicial dad. 9. X a 4 6 b X, X() a 6 b 3. X X, X() 5 3. Demuestre que la matriz de 5 5 µ A tiene un valr prpi de multiplicidad 5. Demuestre que se pueden encntrar tres vectres prpis linealmente independientes crrespndientes a. Tareas para el labratri de cómput 3. Encuentre ls retrats de fase para ls prblemas y. Para cada sistema, encuentre cualquier trayectria de media línea e incluya estas líneas en su retrat de fase Valres prpis cmplejs En ls prblemas del 33 al 44, encuentre la slución general para el sistema dad x y 34. x y 5x y x y 35. 5x y 36. 4x 5y x 3y x 6y 37. X a b X 38. X a b X 39. z z dz y 4. x y z 3x 6z dz 4x 3z 46 CAPÍTULO 8 Sistemas de ecuacines diferenciales lineales

22 4 4. X X 4. X 6 X X X 44. X X En ls ejercicis 45 y 46, resuelva el prblema de valr inicial dad X 3 X, X() X a b X, X() a 8 b Tareas para el labratri de cómput 47. Encuentre ls retrats de fase para ls sistemas dads en ls prblemas 36, 37 y Resuelva cada un de ls siguientes sistemas lineales. a) X a bx b) X a bx. Encuentre un retrat de fase de cada sistema. Cuál es el significad gemétric de la línea y x en cada retrat? Prblemas de análisis 49. Cnsidere la matriz de 5 5 dada en el prblema 3. Resuelva el sistema X AX sin ayuda de métds matriciales, per exprese la slución general mediante ntación matricial. Utilice la slución general cm base para su análisis sbre cóm se puede reslver el sistema cn ls métds matriciales explicads en esta sección. Desarrlle sus ideas. 5. Obtenga una ecuación cartesiana de la curva definida paramétricamente mediante la slución del sistema lineal del ejempl 6. Identifique la curva que atraviesa (, ) en la figura 8.4. [Sugerencia: Calcule x, y y xy.] 5. Examine sus retrats de fase del prblema 47. En qué cndicines el retrat de fase de un sistema lineal hmgéne de cn valres prpis cmplejs estará cmpuest pr una familia de curvas cerradas?, pr una familia de espirales? En qué cndicines el rigen (, ) es un repulsr?, un atractr? 5. El sistema de ecuacines diferenciales lineales de segund rden m x k x k x x m x k x x (7) describe el mvimient de ds sistemas acplads resrte-masa (vea la figura 3.59). Ya hems resuelt un cas especial de este sistema en las seccines 3. y 4.6. En este prblema describims aun tr métd para reslver el sistema. a) Demuestre que (7) se puede expresar cm la ecuación matricial X AX, dnde X a x x b y A ± k k m k m k m k m b) Si se asume que una slución es de la frma X Ke t, demuestre que X AX prduce (A I)K dnde. c) Demuestre que si m, m, k 3 y k, una slución del sistema es X c a b eit c a b e it c 3 a b e6it c 4 a b e 6it. d ) Demuestre que la slución del incis c) puede escribirse cm X b a b cs t b a b sen t. b 3 a b cs 6t b 4 a b sen 6t. 8.3 Slución mediante diagnalización Intrducción En esta sección cnsiderarems un métd alternativ para reslver un sistema hmgéne de ecuacines diferenciales lineales de primer rden. Este métd es aplicable a un sistema cm X AX siempre que la matriz de ceficientes A sea diagnalizable. Sistemas acplads Un sistema lineal hmgéne X AX, x a a p an x x ± a ± a p an x ± x n a n a n p ann x n, () 8.3 Slución mediante diagnalización 47

23 en el cual cada x i se expresa cm una cmbinación lineal de x, x,..., x n se dice que está acplad. Si la matriz de ceficientes A es diagnalizable, entnces el sistema se puede desacplar en cada x i únicamente en términs de x i. Si la matriz A tiene n vectres prpis linealmente independientes entnces, cn base en el terema 7.7, sabems que pdems encntrar una matriz P tal que P AP D, dnde D es una matriz diagnal. Si sustituims X PY en el sistema X AX, entnces PY APY Y P APY Y DY. () La última ecuación dada en () es l mism que y l p y l p ± ± ± y n p ln y y y n. (3) Cm D es diagnal, una inspección de (3) revela que este nuev sistema n está acplad: cada ecuación diferencial presente en el sistema es de la frma y i i y i, i,,..., n. La slución de cada una de esas ecuacines lineales es y i c i e i t, i,,..., n. Pr l tant, la slución general de (3) se puede escribir cm el vectr clumna c e l t c e l t Y ±. (4) c n e l nt Puest que ahra cncems Y, y cm la matriz P se puede cnstruir a partir de ls vectres prpis de A, la slución general del sistema riginal X AX se btiene a partir de X PY. Ejempl Desacplamient de un sistema lineal 8 Reslver X 3 8 X mediante diagnalización. 4 9 Slución Cmenzarems pr encntrar ls valres prpis y ls crrespndientes vectres prpis de la matriz de ceficientes. A partir de (A I) ( )( )( 5), btenems, y 3 5. Ya que ls valres prpis sn distints, ls vectres prpis sn linealmente independientes. Cuand se resuelve (A i I)K para i, y 3 se btiene, respectivamente, K, K, K 3 Pr l tant, una matriz que diagnaliza la matriz de ceficientes es. (5) P. Ls elements en la diagnal principal de D sn ls valres prpis de A crrespndientes al rden en que aparecen ls vectres prpis en P: D CAPÍTULO 8 Sistemas de ecuacines diferenciales lineales

24 Tal cm ilustrams antes, la sustitución de X PY en X AX prduce el sistema desacplad Y DY. La slución general de este últim sistema es inmediata: Pr l tant, la slución del sistema dad es c e t Y c e t. c 3 e 5t c e t c e t c e t c 3 e 5t X PY c e t c e t c 3 e 5t. (6) c 3 e 5t c e t c 3 e 5t Observe que (6) puede escribirse en la frma acstumbrada mediante la expresión de la última matriz cm una suma de matrices clumna: X c e t c e t c 3 e 5t. La slución mediante diagnalización funcinará siempre a cndición de que pdams encntrar n vectres prpis linealmente independientes de la matriz A de rden n n; ls valres prpis de A pueden ser reales y distints, cmplejs repetids. El métd fracasa cuand A tiene valres repetids y ls n vectres prpis linealmente independientes n se pueden encntrar. Desde lueg, en esta última situación A n es diagnalizable. Puest que hems encntrad valres prpis y vectres prpis de A, este métd equivale básicamente al prcedimient presentad en la sección previa. En la sección siguiente verems que la diagnalización también se puede usar para reslver sistemas lineales n hmgénes del tip X AX F(t). EJERCICIOS 8.3 Las respuestas a ls prblemas impares seleccinads cmienzan en la página RESP-9. En ls prblemas del al, utilice la diagnalización para reslver el sistema dad.. X a b X. X a b X 3. X a 4 b X 4. X a b X 3 5. X 3 X 6. X X 6 7. X X 8. X ± X 3 9. X 6 5 X. X X En la figura 3.59 ilustrams cóm reslver un sistema de ecuacines diferenciales lineales de segund rden que describe el mvimient de un sistema acplad resrte-masa, m x k x k x x (7) m x k x x en tres frmas diferentes (vea el ejempl 4 en la sección 3., el prblema 5 en ls ejercicis 8., y el ejempl en la sección 4.6). En este prblema se cnduce al lectr a través de tds ls pass relacinads cn la manera de reslver (7) mediante diagnalización. a) Exprese (7) en la frma MX KX, dnde X a x x b. Identifique las matrices M y K de. Explique pr qué la matriz M tiene un invers. b) Exprese el sistema del incis a) cm X BX. (8) Identifique la matriz B. c) Resuelva el sistema (7) en el cas especial en que m, m, k 3 y k mediante la reslu- 8.3 Slución mediante diagnalización 49

25 ción de (8) usand el métd de diagnalización. En tras palabras, establezca X PY, dnde P es una matriz cuyas clumnas sn vectres prpis de B. d) Demuestre que su slución X del incis c) es la misma que la dada en el incis d) del prblema 5 en ls ejercicis Sistemas lineales n hmgénes Intrducción Ls métds de ceficientes indeterminads y de variación de parámetrs que se utilizarn en el capítul 3 para encntrar slucines particulares de ecuacines diferenciales rdinarias lineales n hmgéneas pueden adaptarse a la reslución de sistemas lineales n hmgénes. De ests ds métds, la variación de parámetrs es la técnica más eficaz. N bstante, hay cass dnde el métd de ceficientes indeterminads frece un medi rápid para encntrar una slución particular. En la sección 8., vims que la slución general de un sistema lineal n hmgéne X AX F(t) en un interval I es X X c X p dnde X c c X c X... c n X n es la función cmplementaria slución general del sistema lineal hmgéne asciad X AX y X p es cualquier slución particular del sistema n hmgéne. Acabams de ver en la sección 8. cóm btener X c cuand A era una matriz de cnstantes de rden n n; ahra cnsiderarems tres métds para btener X p Ceficientes indeterminads Ls supuests Tal cm vims en la sección 3.4, el métd de ceficientes indeterminads cnsiste en establecer cnjeturas infrmadas acerca de la frma de un vectr de slución particular X p ; la cnjetura está basada en ls tips de funcines que cmprenden las entradas de la matriz clumna F(t). N srprende que la versión matricial de ceficientes indeterminads sea sól aplicable a X AX F(t) cuand ls elements de A sn cnstantes y ls de F(t) sn cnstantes, plinmis, funcines expnenciales, sens y csens, sumas finitas y prducts de estas funcines. Ejempl Ceficientes indeterminads Reslver el sistema X a bx a 8 3 b en (, ). Slución Primer reslvems el sistema hmgéne asciad X a b X. La ecuación característica de la matriz de ceficientes A, l det A li l l, prduce ls valres prpis cmplejs i y l i. Mediante ls prcedimients de la sección pasada, encntrams X c c a cs t sen t cs t sen t b c a b. cs t sen t 43 CAPÍTULO 8 Sistemas de ecuacines diferenciales lineales

26 Cm ahra F(t) es un vectr cnstante, asumims un vectr slución particular cnstante X p a a b b. Si sustituims este últim supuest en el sistema riginal e igualams ls elements btenems a b 8 a b 3. Cuand reslvems este sistema algebraic btenems a 4 y b, y pr l tant la slución particular es X p a 4 b. La slución general del sistema riginal de ecuacines diferenciales en el interval (, ) es entnces X X c X p X c a cs t sen t cs t sen t b c cs t a b a 4 sen t b Ejempl Ceficientes indeterminads Reslver el sistema X a b X a 6t t 4 b en (, ). Slución Ls valres prpis y ls crrespndientes vectres prpis del sistema hmgéne asciad X a b X se encuentran cm, 7, K a 4 b y K a b. Pr l tant, la función cmplementaria es X c c a 4 b et c a b e7t. 6 Ahra, cm F(t) se puede escribir cm F(t) a b t a b intentarems encntrar 4 una slución particular del sistema que psea la misma frma: X p a a b b t a a b b. Al sustituir este últim supuest en el sistema dad se tiene a a b a 6 b 4 3 bcaa b t a a 6 bd a b b b t a 4 b bien a b a 6a b 6 t 6a b a 4a 3b t 4a 3b b 4 b. A partir de la última identidad, btenems cuatr ecuacines algebraicas en cuatr incógnitas 6a b 6 4a 3b y 6a b a 4 4a 3b b 4. Cuand reslvems las ds primeras ecuacines de manera simultánea se prduce a y b 6. Entnces sustituims ests valres en las últimas ds ecuacines y reslvems para a y b. Ls resultads sn a 4 7, b 7. Pr l tant, de aquí se deduce que un vectr slución particular es X p a 6 b t a 4 7 b Sistemas lineales n hmgénes 43

27 La slución general del sistema en (, ) es X X c X p X c a 4 b et c a b e7t a 4 6 b t ± 7. 7 Ejempl 3 Frma de X p Determinar la frma de un vectr slución particular X p para el sistema 5x 3y e t x y e t 5t 7. Slución Ya que F(t) se puede escribir en términs matriciales cm Ft a b e t a 5 b t a 7 b un supuest natural para una slución particular sería X p a a 3 b 3 b e t a a b b t a a b b. Cmentaris El métd de ceficientes indeterminads para sistemas lineales n es tan sencill cm parecen indicar ls últims tres ejercicis. En la sección 3.4, la frma de una slución particular y p se basó en el cncimient previ de la función cmplementaria y c. Est mism resulta ser el cas para la frmación de X p. Sin embarg, hay tdavía más dificultades; las reglas especiales que rigen la frma de y p en la sección 4.4 n llevan cmpletamente a la frmación de X p. Pr ejempl, si F(t) es un vectr cnstante cm en el ejempl y es un valr prpi de multiplicidad un, entnces X c cntiene un vectr cnstante. Según la regla de la multiplicación dada en la página 3, pr l general intentaríams encntrar una slución particular de la frma X p a a b bt. Éste n es el supuest adecuad para sistemas lineales; debe ser X p a a b t a a b. Asimism, en el ejempl 3, si reemplazams e t en F(t) pr e t ( es un valr prpi), entnces la frma b b crrecta del vectr slución particular es X p a a 4 b 4 b te t a a 3 b 3 b e t a a b b t a a b b. Detendrems aquí el análisis de estas dificultades, y ns cncentrarems en el métd de variación de parámetrs. 43 CAPÍTULO 8 Sistemas de ecuacines diferenciales lineales

28 8.4. Variación de parámetrs Matriz fundamental Si X, X,..., X n es un cnjunt fundamental de slucines del sistema hmgéne X AX en un interval I, entnces su slución general en el interval es la cmbinación lineal X c X c X... c n X n, x x x n c x c x p c n x n X c ± x x n c ± x x n p c n ± x n x nn ± c x c x p c n x n c x n c x n p c n x nn. () La última matriz incluida en () se recnce cm el prduct de una matriz de rden n n y una matriz de n. En tras palabras, la slución general () se puede escribir cm el prduct X (t)c, () dnde C es el vectr clumna n de cnstantes arbitrarias c, c,..., c n, y la matriz de rden n n, cuyas clumnas cnsisten en ls elements de ls vectres slución del sistema X AX, x x p xn x x p xn t ±, x n x n p xnn se denmina matriz fundamental del sistema en el interval. En el siguiente análisis, debems usar ds prpiedades de una matriz fundamental: Una matriz fundamental (t) es n singular. Si (t) es una matriz fundamental del sistema X AX, entnces (t) A (t). (3) Un nuev análisis de la expresión (9) del terema 8.3 muestra que (t) es el mism que el wrnskian W(X, X,..., X n ). Pr l tant, la independencia lineal de las clumnas de (t) en el interval I garantiza que (t) para tda t en el interval. Cm (t) es n singular, el invers multiplicativ (t) existe para tda t incluida en el interval. El resultad dad en (3) se deduce directamente del hech de que tda clumna de (t) es un vectr slución de X AX. Variación de parámetrs De manera similar al prcedimient de la sección 3.5, ns preguntams si es psible reemplazar la matriz de cnstantes C en () pr una matriz clumna de funcines u t u Ut ± t de manera que X p tut (4) u n t es una slución particular del sistema n hmgéne X AX F(t). (5) En virtud de la regla del prduct, la derivada de la última expresión incluida en (4) es X p (t)u (t) (t)u(t). (6) Observe que en (6) el rden de ls prducts es muy imprtante. Cm U(t) es una matriz clumna, ls prducts U (t) (t) y U(t) (t) n están definids. Al sustituir (4) y (6) en (5) se tiene (t)u (t) (t)u(t) A (t)u(t) F(t). (7) 8.4 Sistemas lineales n hmgénes 433

29 Ahra, si utilizams (3) para reemplazar (t), (7) se cnvierte en (t)u (t) A (t)u(t) A (t)u(t) F(t) (t)u (t) F(t). (8) Cuand ambs lads de la ecuación (8) se multiplican pr (t) se tiene U (t) (t)f(t) y, pr l tant, U(t) (t)f(t). Cm X p (t)u(t), cncluims que una slución particular de (5) es X p (t) (t)f(t). (9) Para calcular la integral indefinida de la matriz clumna (t)f(t) en (9), integrams cada element. Pr l tant, la slución general del sistema (5) es X X c X p X (t)c (t) (t)f(t). () Ejempl 4 Variación de parámetrs Encntrar la slución general del sistema n hmgéne en el interval (, ). X a 3 3t b X a 4 e tb () Slución Primer reslvems el sistema hmgéne X a 3 b X. () 4 La ecuación característica de la matriz de ceficientes es 3 l det (A I) ( )( 5), 4 l de manera que ls valres prpis sn y 5. Aplicand el métd acstumbrad, encntrams que ls vectres prpis crrespndientes a y sn, respectivamente, a b y a b. Ls vectres slución del sistema () sn entnces X a b e t a e t e tb y X a b e 5t e 5t a e 5tb. Ls elements presentes en X frman la primera clumna de (t), y ls elements incluids en X frman la segunda clumna de (t). Pr l tant, e 5t t a e t e t e 5tb y t a 3e t 3e 5t 3e t 3e 5tb. 434 CAPÍTULO 8 Sistemas de ecuacines diferenciales lineales