Geometría de Señales Espacios Euclides / Hilbert

Transcripción

1 Geometría de Señales Espacios Euclides / Hilbert

2 Objetivo Exponer los fundamentos matemáticos que sustentan el tratamiento de señales digitales y su relación con sus contrapartes continuas. El alumno aprenderá los conceptos básicos de la representación geométrica de señales y su aplicación para el diseño de los sistemas digitales. Al finalizar esta unidad el alumno deberá tener una idea clara sobre los fundamentos matemáticos que dan sustento al análisis y procesamiento de señales. 2

3 Introducción Previamente se presentaron algunas nociones geométricas básicas relacionadas con las señales Los conceptos de la Geometría Euclidiana (2D) son ampliamente conocidos: Vectores, Normas, Producto Interno (producto punto) y sistemas coordenados. Esas nociones geométricas se pueden generalizar para sistemas de N-Dimensiones (Hilbert) Los conceptos geométricos se aplican a señales ya que las señales pueden representarse como una abstracción de vectores

4 Temario Procesamiento de señales vista desde la perspectiva de la Geometría Euclidiana Espacios vectoriales Vectores Norma Producto interno Fundamentos de los espacios de Hilbert Aproximaciones

5 Geometría Euclidiana Vectores en ℝ²

6 Geometría Euclidiana Vectores en ℝ² [] x0 x= x1

7 Geometría Euclidiana Vectores en ℝ² [] x0 x= x1 x

8 Geometría Euclidiana Vectores en ℝ² [ ] y0 y= y1 [] x0 x= x1 x

9 Geometría Euclidiana Vectores en ℝ² [ ] y0 y= y1 [] x0 x= x1 y x

10 Geometría Euclidiana Vectores en ℝ² [ ] y0 y= y1 [] x0 x= x1 y α x

11 Geometría Euclidiana Vectores en ℝ² [ ] y0 y= y1 [] x0 x= x1

12 Geometría Euclidiana Vectores en ℝ² [ ] y0 y= y1 π α= 2 [] x0 x= x1

13 Geometría Euclidiana Vectores en ℝ² [ ] Vectores Ortogonales y0 y= y1 π α= 2 [] x0 x= x1

14 Geometría Euclidiana Sistema Coordenado en 2D x ℝ² e1 e0

15 Geometría Euclidiana Sistema Coordenado en 2D x ℝ² e1 e0 Sist. Ortogonal

16 Geometría Euclidiana Sistema Coordenado en 2D x ℝ² e1 x v1 e0 Sist. Ortogonal v0 Sist. Biortogonal ℝ²

17 Geometría Euclidiana Sistema Coordenado en 2D Los sistemas coordenados se definen a través de un conjunto de vectores que expanden el espacio mediante combinaciones lineales entre ellos. Dicho conjunto se compone de vectores linealmente independientes forma un conjunto mínimo de vectores

18 Geometría Euclidiana Demasiados vectores para un espacio: x 1 ℝ² x 0 Dependencia lineal : x 2 {a0, a1, a2 } tal que a 0 x 0 + a1 x 1 +a 2 x 2 =0

19 Geometría Euclidiana Demasiados vectores para un espacio: x 1 x 2 Dependencia lineal : ℝ² x 0 x 2 {a0, a1, a2 } tal que a 0 x 0 + a1 x 1 +a 2 x 2 =0

20 Geometría Euclidiana Demasiados vectores para un espacio: x 1 x 2 ℝ² x 0 x 1 + x 2 Dependencia lineal : x 2 {a0, a1, a2 } tal que a 0 x 0 + a1 x 1 +a 2 x 2 =0

21 Geometría Euclidiana Demasiados vectores para un espacio: x 1 x 2 ℝ² x 0 x 1 + x 2 = x0 Dependencia lineal : x 2 {a0, a1, a2 } tal que a 0 x 0 + a1 x 1 +a 2 x 2 =0

22 Geometría Euclidiana Pocos vectores para definir un espacio: x ℝ³ e1 e2 x e0

23 Geometría Euclidiana Pocos vectores para definir un espacio: x ℝ³ Proyección en un sub-espacio: e1 x es la aproximación mas cercana a x en el sub-espacio definido entre e 0 y e 2 e2 x e0

24 Geometría Euclidiana Pocos vectores para definir un espacio: x ℝ³ Proyección en un sub-espacio: e1 x es la aproximación mas cercana a x en el sub-espacio definido entre e 0 y e 2 e2 x e0

25 Señales Espacios definidos con vectores : N x(2k+1), k=0 Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1]. N=0 x (n)=sin( π nt)/n, t [-1 1]

26 Señales Espacios definidos con vectores : N x(2k+1), k=0 Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1]. N=1 x (n)=sin( π nt)/n, t [-1 1]

27 Señales Espacios definidos con vectores : N x(2k+1), k=0 Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1]. N=2 x (n)=sin( π nt)/n, t [-1 1]

28 Señales Espacios definidos con vectores : N x(2k+1), k=0 Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1]. N=3 x (n)=sin( π nt)/n, t [-1 1]

29 Señales Espacios definidos con vectores : N x(2k+1), k=0 Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1]. N=4 x (n)=sin( π nt)/n, t [-1 1]

30 Señales Espacios definidos con vectores : N x(2k+1), k=0 Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1]. N = 10 x (n)=sin( π nt)/n, t [-1 1]

31 Señales Espacios definidos con vectores : N x(2k+1), k=0 Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1]. N = 25 x (n)=sin( π nt)/n, t [-1 1]

32 Señales Espacios definidos con vectores : N x(2k+1), k=0 Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1]. N = 50 x (n)=sin( π nt)/n, t [-1 1]

33 Señales Espacios definidos con vectores : N x(2k+1), k=0 Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1]. N = 100 x (n)=sin( π nt)/n, t [-1 1]

34 Señales Espacios definidos con vectores : N x(2k+1), x (n)=sin( π nt)/n, k=0 Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1]. N = 100 Producto de las conversiones no uniformes, Fenómeno de Gibbs t [-1 1]

35 Señales Espacios definidos con vectores : N x(k+1), k=0 Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1]. N=0 x (n)=sin( π nt)/n, t [-1 1]

36 Señales Espacios definidos con vectores : N x(k+1), k=0 Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1]. N=1 x (n)=sin( π nt)/n, t [-1 1]

37 Señales Espacios definidos con vectores : N x(k+1), k=0 Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1]. N=2 x (n)=sin( π nt)/n, t [-1 1]

38 Señales Espacios definidos con vectores : N x(k+1), k=0 Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1]. N=3 x (n)=sin( π nt)/n, t [-1 1]

39 Señales Espacios definidos con vectores : N x(k+1), k=0 Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1]. N=4 x (n)=sin( π nt)/n, t [-1 1]

40 Señales Espacios definidos con vectores : N x(k+1), k=0 Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1]. N = 10 x (n)=sin( π nt)/n, t [-1 1]

41 Señales Espacios definidos con vectores : N x(k+1), k=0 Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1]. N = 25 x (n)=sin( π nt)/n, t [-1 1]

42 Señales Espacios definidos con vectores : N x(k+1), k=0 Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1]. N = 50 x (n)=sin( π nt)/n, t [-1 1]

43 Señales Espacios definidos con vectores : N x(k+1), k=0 Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1]. N = 100 x (n)=sin( π nt)/n, t [-1 1]

44 Señales Espacios definidos con vectores : N x(k+1), x (n)=sin( π nt)/n, k=0 Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1]. N = 100 Producto de las conversiones no uniformes, Fenómeno de Gibbs t [-1 1]

45 Introducción El concepto de espacio de Hilbert es una generalización del concepto de espacio Euclidiano. Esta generalización permite que técnicas algebraicas y geométricas aplicables a espacios de dimensión ℝ² o ℝ³ se extiendan a espacios de dimensión arbitraria, incluyendo a espacios de dimensión infinita.

46 Introducción (resumen) ℝ² / ℝ³ Espacios de dimensión = Vectores Vectores de longitud finita, Medición v y α 2D / 3D Espacio de Hilbert

47 Definición: H (V,ℂ) V : conjunto de vectores {v (k)}, k ℤ 1) Espacio vectorial definido por: donde 2) Operación de producto interno (punto), : V x V ℂ (mapea 2 vectores en un valor complejo) 3) Completo: toda sucesión de Cauchy converge

48 1) Espacio vectorial: Multiplicación escalar Re-dimensionamiento de vectores Adición vectorial Combinación lineal de vectores

49 1) Espacio vectorial: Multiplicación escalar ℝ² e1 ℝ² [] x x= 0 x1 e0 e1 [ ] a x= a x 0 a x1 x a ℂ e0 E.g. a = 1.5

50 Multiplicación escalar en L2 [-1, 1]

51 Multiplicación escalar en L2 [-1, 1] E.g. a = 1.5

52 1) Espacio vectorial: Adición vectorial [ ] y= y 0 y1 ℝ² e1 [] x= x 0 x1 e0

53 1) Espacio vectorial: Adición vectorial [ ] x+y y= y 0 y1 ℝ² e1 [] x= x 0 x1 e0

54 1) Espacio vectorial: Adición vectorial [ ] x+y y= y 0 y1 ℝ² e1 [] x= x 0 x1 e0 [ x 0+ y 0 x+y= x 1+ y 1 ]

55 Adición de señales en L2 [-1, 1] x = sin (π t )

56 Adición de señales en L2 [-1, 1] y = sin (4 π t )

57 Adición de señales en L2 [-1, 1] x + y = sin (π t ) + sin ( 4π t )

58 Propiedades de un espacio vectorial: Para : x, y, z V & α,β ℂ x+y=y+x (x + y) + z = x + (y + z) α(x + y) = α x + α y (α + β) x = α x + β x α (β x) = (α β)x 0 V x+0=0+x=x x V (-x) x + (-x) = 0

59 Sub-espacio vectorial: Intuición ℝ² ℝ³ El resultado de la Suma vectorial y la Multiplicación escalar en el sub-espacio permanece en el subespacio. 2x ℝ³ e1 e2 e0 2x + y y ℝ²

60 Subespacios en L2 [-1, 1]

61 Subespacio: señales simétricas en L2 [-1, 1] x = cos (π t )

62 Subespacio: señales simétricas en L2 [-1, 1] y = cos (6 π t )

63 Subespacio: señales simétricas en L2 [-1, 1] x + y = cos (π t ) + cos (6 π t )

64 Subespacio: señales simétricas en L2 [-1, 1] x + y = simétrica

65 2) Producto interno (Producto punto) Medida de la similitud entre vectores x, y = x 0 y 0 + x 1 y 1 [ ] y= y 0 y1 Similitudes Longitud Ángulo ℝ² e1 [] x= x 0 x1 e0

66 2) Producto interno (Producto punto) Medida de la similitud entre vectores x, y = x 0 y 0 + x 1 y 1 [ ] y= y 0 y1 Similitudes Longitud Ángulo ℝ² e1 α e0 [] x= x 0 x1

67 2) Producto interno (Producto punto) x, y = x 0 y 0 + x 1 y 1 x, y = ( x + x )( y + y ) cos α x, y = x y cos α

68 2) Producto interno (Producto punto) Cuando el resultado es igual a 0, los vectores son lo más distintos posible x, y = 0 Vectores Ortogonales [ ] y= y 0 y1 α= π 2 x= [] x0 x1

69 2) Producto interno (Producto punto) Cuando el resultado es igual a 0, los vectores son lo más distintos posible x, y = 0 Vectores Ortogonales x, y = x y cosα [ ] y= y 0 y1 α= π 2 x= [] x0 x1

70 Producto interno: señales en L2 [-1, 1] Definición: 1 x, y = x (t ) y (t ) dt 1 Señal ortogonal (sin similitudes) x, y = 0 Misma señal x,x = 1

71 Producto interno: señales en L2 [-1, 1] x = sin (π t )

72 Producto interno: señales en L2 [-1, 1] y =t

73 Producto interno: señales en L2 [-1, 1] x, y

74 Producto interno: señales en L2 [-1, 1] 1 x, y = x (t ) y(t ) dt 1 x, y = 2 / π

75 Producto interno: señales en L2 [-1, 1] Magnitud = x, x x = sin (π t )

76 Producto interno: señales en L2 [-1, 1] 1 x, x = x(t ) x (t ) dt 1 x,x =1

77 Producto interno: señales en L2 [-1, 1] 1 x = x, x = x (t ) dt 2 1 x,x =1

78 Subespacios Ortogonales en L2 [-1, 1] x = sin (π t ) antisimetrica

79 Subespacios Ortogonales en L2 [-1, 1] y = 1 t simetrica

80 Subespacios Ortogonales en L2 [-1, 1] 1 x, y = x (t ) y(t ) dt 1 x, y

81 Subespacios Ortogonales en L2 [-1, 1] 1 x, y = x (t ) y(t ) dt 1 x, y = 0

82 Subespacios Ortogonales en L2 [-1, 1] x = sin (2π t ) antisimetrica

83 Subespacios Ortogonales en L2 [-1, 1] y = sin (5 π t ) antisimetrica

84 Subespacios Ortogonales en L2 [-1, 1] x = sin (2π t ) y = sin (5 π t )

85 Subespacios Ortogonales en L2 [-1, 1] x, y

86 Subespacios Ortogonales en L2 [-1, 1] 1 x, y = x (t ) y(t ) dt 1 x, y = 0

87 Subespacios Ortogonales en L2 [-1, 1] Propiedad: Sinusoidales con frecuencia igual a un múltiplo entero de una frec. Fundamental E.g. : [ 2 π, 5 π,... ] ω = π Por lo tanto ambas señales son ortogonales entre si : x, y = 0

88 x=sin(2πt), y=cos(5πt) : x,y???

89 x=sin(2πt), y=cos(5πt) : x,y??? x = sin (2π t ) antisimetrica

90 x=sin(2πt), y=cos(5πt) : x,y??? y = cos (5 π t ) simetrica

91 x=sin(2πt), y=cos(5πt) : x,y??? x = sin (2π t ) y = cos (5 π t )

92 x=sin(2πt), y=cos(5πt) : x,y??? x = sin (2π t ) y = cos (5 π t )

93 x=sin(2πt), y=cos(5πt) : x,y??? 1 x, y = x (t ) y(t ) dt 1 x, y = 0

94 Propiedades del producto interno: Para : x, y, z V & α ℂ x+ y, z = x, z + y, z x, y = y, x : complejo conjugado α x, y = α x, y x, α y = α x, y x, x 0 x, x = 0 x = 0 Si x, y = 0, x, y 0 x,y: ortogonales

95 Producto interno para señales tipo n[ ] N-1 Definición: x, y = x [n] y[n] * n=0 [] [ ] x0 x= x1 y0 y= y1 [ ] y0 x, y = [ x x ] y1 * 0 * 1 Valida para todos los vectores de longitud finita. i.e. vectores en ℂ N

96 Producto interno para señales continuas Definición: x, y = * x [n] y[n] n=- Precaución: El resultado de la sumatoria puede no convergir. Si no converge, el producto punto NO está definido.

97 Producto interno para señales continuas x, y = Definición: * x [n] y[n] n=- Secuencias que cumplan : 2 x[n] < Norma vectorial cuadrada

98 Producto interno para señales continuas x, y = Definición: * x [n] y[n] n=- Secuencias que cumplan : 2 x[n] < Norma vectorial cuadrada Espacio de secuencias de norma vectorial cuadrada (secuencias del curso) l 2 (ℤ)

99 Producto interno para señales continuas x, y = Definición: * x [n] y[n] n=- Secuencias que cumplan : 2 x[n] < Norma vectorial cuadrada Espacio de secuencias de norma vectorial cuadrada (secuencias del curso) l 2 (ℤ) ℤ : indices

100 Norma x = x,x Definición: La norma define la distancia entre vectores d( x, y) = x y

101 Norma y distancia en ℝ² ℝ² x

102 Norma y distancia en ℝ² x = x,x = x + x 2 0 ℝ² x 2 1

103 Norma y distancia en ℝ² ℝ² y x

104 Norma y distancia en ℝ² y = y, y = y + y 2 0 ℝ² y x 2 1

105 Norma y distancia en ℝ² ℝ² x y y x

106 Norma y distancia en ℝ² x y = (x 0 y 0 ) + (x 1 y 1 ) 2 ℝ² x y y x 2

107 Norma y distancia en señales en L2 [-1, 1] 1 x y = 1 x (t ) y (t ) dt 2 x = sin (π t ) 2

108 Norma y distancia en señales en L2 [-1, 1] 1 x y = 1 x (t ) y (t ) dt 2 2 y =t

109 Norma y distancia en señales en L2 [-1, 1] 1 x y = 1 x (t ) y (t ) 2 dt 2 x y

110 Norma y distancia en señales en L2 [-1, 1] 1 x y = 1 x (t ) y (t ) 2 dt 2 x y 2 =

111 Sistemas Coordenados ℝ² e (1 ) x e (0 ) Sist. Ortogonal x =α0 e (0 ) + α 1 e ( 1)

112 Sistemas Coordenados ℝ² e (1 ) ℝ² x x v (1 ) e (0 ) v (0 ) Sist. Ortogonal x =α0 e (0 ) + α 1 e ( 1) Sist. Biortogonal x =α 0 v ( 0 ) + α1 v ( 1 )

113 Sistemas Coordenados ℝ² e (1 ) ℝ² x ℝ² g(0 ) + g(1 ) = 0 x x v (1 ) g(1 ) e (0 ) g(0 ) v (0 ) Sist. Ortogonal x =α0 e (0 ) + α 1 e ( 1) Sist. Biortogonal No existe sistema x =α 0 v ( 0 ) + α1 v ( 1 ) x α 0 g (0 ) + α 1 g( 1) para cualquier α 0, α1

114 Sistemas Coordenados Si dentro de un espacio vectorial H, existe un conjunto de K vectores H, tal que: W ={w (k ) } k=0,1,... K 1

115 Dim(H)=K Sistemas Coordenados Si dentro de un espacio vectorial H, existe un conjunto de K vectores H, tal que: W ={w (k ) } k=0,1,... K 1 W se definirá como un sistema coordenado si: Se puede encontrar para cualquier x H : K 1 x = k=0 αk w(k ), Y si los coeficientes αk son únicos αk ℂ

116 Sistemas Coordenados En consideración con la definición anterior, si se encuentra que la representación del conjunto de vectores W es única, esto implicaría forzosamente la independencia lineal del conjunto entre sí: K 1 αk w(k) = 0 k=0 α k = 0, k = 0, 1,..., K 1

117 Sistemas Coordenados especiales Sistemas ortogonales : w(k), w(n) = 0 para k n Sistemas ortonormales : w(k),w(n) = δ[ n k ] Algoritmo Gram-Schmidt 1 n=0 δ [ n ]= 0 n 0 { }

118 Expansión de los Sistemas Coordenados Como se determinan los valores de α(k)? K 1 x = αk w(k ) k =0 Sistemas ortonormales : αk = w(k), x Proyección del vector x sobre el Eigenvector w(k) deseado

119 E.g.: Sistemas Coordenados en ℂN El sistema contiene N eigenvectores Para el sistema ortonormal canónico : [] 0 0 e(k ) = corresponde al k-esimo vector, 0 k < N

120 E.g.: Sist. Coor. de secuencias en L2 [ ℤ ] El sistema contiene infinito número de vectores Para el sistema ortonormal canónico : [] 0 0 e(k ) = corresponde al k-esimo vector, k ℤ

121 3) Espacio completo «completeness» Cuando un espacio esta acotado por límites debemos asegurarnos que los límites de las secuencias de vectores aún caen dentro del espacio vectorial en cuestión. Para que el espacio se considere completo se debe cumplir que toda sucesión de Cauchy converja.

122 3) Espacio completo «completeness» Para demostrar la importancia de un espacio completo se pueden ilustrar los efectos al mostrar un espacio incompleto. E.g.: Conjunto de los número racionales. n 1 xn = ℚ k! k=0 pero lim x n = e ℚ n {} a ℚ: b a,b ℤ

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