Estructuras de Materiales Compuestos

Transcripción

1 Erucura de Maeriale Compueo Elaicidad Anióropa Ing. Gaón Bone - Ing. Criian Boero - Ing. Marco Fonana

2 Anioropía Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Un maerial ióropo e aquel en el cual la propiedade on la mima en oda la direccione. Un maerial anióropo e aquel en el cual la propiedade varían en diferene orienacione maeriale. Dicha propiedade pueden er rigidez, reiencia, expanión érmica, conducividad érmica, ec. Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP

3 Vecor de enión Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa dv En auencia de fuerza elecromagnéica, el cubo ólo ineracúa con el reo del cuerpo a ravé de fuerza ranmiida en la inerfae, que on la uperficie del cubo. Si omamo una uperficie elemenal cualquiera, podemo definir el vecor de enión como la relación enre el diferencial de fuerza acuando en la uperficie y la uperficie cuando ea iende a cero. n lim ds df ds Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 3

4 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Vecor de enión En cada puno de la erucura, podemo definir una dirección normal y calcular el vecor enión. Si omamo una dirección normal diferene, el vecor que obendremo erá diferene. E decir, el vecor enión ea aociado a una dirección. d n d n n n En el plano (n, n ) En el cao má general, omando un vecor normal con re componene repeco a un iema de referencia, endremo un vecor de enión con re componene en el mimo iema de referencia. n n El vecor enión iempre e puede decomponer en do componene: Una enión normal a la uperficie denominada Una enión angencial a la uperficie denominada Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 4

5 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Vecor de enión Para una uperficie deerminada, e neceian re ecalare para definir el eado enional: 1. La enión normal. La enión angencial 3. La dirección de la enión angencial Una manera má prácica de definir la enión angencial y u dirección e decomponer la mima en do componene orogonale en el plano d n u v n En el plano d d u v Podemo repreenar oda la direccione normale poible a ravé de 3 verore orogonale. Como a cada uno de lo verore le correponden re ecalare de enión, e iene que para definir compleamene el eado enional en un puno del cuerpo e neceian nueve ecalare. Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 5

6 Tenor de enione Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa En un iema orogonal xyz, el enor de enione e puede inerprear como lo vecore de enión correpondiene a la uperficie definida por la normale i, j, k. k k zz zy zx z i j j En componene z xx xy yx yz yy x y i x y Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 6

7 Tenor de enione zz Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa z xx zy zx yz yy xy yx xx xy xx xy yx yy yz yx yy yz zx zy zz zx zy zz x y xx xy ij yx yy yz zx zy zz El primer ubíndice ( i ) indica la cara El egundo ubíndice ( j ) indica la dirección de la enión Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 7

8 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Simería del enor de enione Para que e verifique el equilibrio de momeno del cubo diferencial, e debe cumplir que: ij ji E decir, el enor de enione debe er imérico. El número de ecalare diferene del enor e ve reducido a ei. Ea ei componene e pueden exprear en forma de vecor. xx xy i xy yy yz yz zz xx yy zz yz xy Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 8

9 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Tranformación de coordenada Conociendo el eado enional en un iema de eje coordenado, e poible calcular el eado en cualquier oro iema de eje realizando una ranformación de eje coordenado. Dicha ranformación correponde a una ranformación enorial. En el análii de lámina orienada, no inerea en paricular la roación del enor de enione alrededor del eje z: z=3 m co n en q q y x 1 q ' 1 m n mn xx n m mn yy 1 3 zz 4 m n yz 5 n m 6 mn mn m n xy Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 9

10 Tenión plana Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa El eado de enión plana e produce cuando una de la enione principale del maerial e nula. En ee cao, oda la enione en una deerminada dirección on nula, quedando definido un plano en el cual eán conenida la enione. Lo eado de enión plana on ípico de lámina delgada Por ejemplo: eado de enión plana en el plano XY z yz xx xy yx yy por imeria del enor xx yy yx zx zy Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP xx yy yx 1

11 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Tranformación de coordenada Eado plano de enione en el plano XY, roación alrededor del eje Z z=3 y x 1 q 1 m n mn xx ' n m mn yy 6 mn mn m n xy m co( q ) n en( q ) ' T q Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 11

12 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Propiedade de la ranformación Roación q Roación -q ' T ( q) '' T ( q ) ' T ( q ) T( q) T q Tq I T q T q 1 m n mn T q n m mn mn mn m n m n mn T q n m mn T q mn mn m n 1 Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 1

13 Tranformación de coordenada Ejemplo 1 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Calcule la enione en lo eje principale de una lámina a 45 i ea omeido a core puro en el iema de eje coordenado del laminado. y 1 y 1 x? x Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 13

14 Tranformación de coordenada 14 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Ejemplo 1 Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP Uilizando la ranformacione definida: q T ' 1 m n,5,5 1,5,5 1,5,5 ',5,5 1,5,5 1,5,5 ' 6 1 n m mn mn mn m n mn n m

15 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Tranformación de coordenada Ejemplo 1 y 1 y 1 = 1 x x =- Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 15

16 Tranformación de coordenada Ejemplo Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Calcule la enione en lo eje principale de una lámina a un ángulo q i ea omeido a racción biaxial uniforme ( x = y = ) en el iema de eje coordenado del laminado. y q 1 x y? q 1 x Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 16

17 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Tranformación de coordenada Ejemplo Uilizando la ranformacione definida: ' T q 1 co q en q coq enq ' en q co q coq enq 6 coq enq coq enq co q en q co q * en q * co q enq * co q en q * en q * co q * co q enq * en q co q * co q enq * co q enq * co q en q* coq enq co q enq * m n co en q q Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 17

18 Tranformación de coordenada Ejemplo Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa y 1 θ y 1 q x q x Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 18

19 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Tenor de deformacione El enor de deformacione e define a parir del campo de deplazamieno del cuerpo El enor de deformacione infinieimal, ólo válido para pequeña deformacione xx xy xy yy yz yz zz u x, y, z v x, y, z w x, y, z ij 1 du dx i j du dx i j Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 19

20 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Tenor de deformacione Deformacione normale Deformacione por core x y z yz xy du dx dv dy dw dz 1 dv dz 1 du dz 1 dv dx dw dy dw dx du dy Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP

21 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Tenor de deformacione Exien do definicione diferene para la deformacione por core Deformacione por core enoriale Deformacione por core ingenierile yz xy 1 dv dz 1 du dz 1 dv dx dw dy dw dx du dy yz xy dv dz du dz dv dx dw dy dw dx du dy yz xy Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 1

22 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Tenor de deformacione Teniendo en cuena la diferene definicione de deformacione por core Tenor de deformacione enoriale Tenor de deformacione ingenierile * xx xy xy yy yz yz zz xx xy xy yy yz yz zz Noación con aerico Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP

23 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Tenor de deformacione u v dx y dx u x dy u dy xy xy Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 3

24 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Tenor de deformacione El enor de deformacione infinieimal e imérico por definición 1 du du i j 1 du j du i ij ji dx j dx i dxi dx j Podemo uilizar la noación vecorial para reumir el enor de deformacione Noación con aerico Vecor de deformacione enoriale * xx yy zz yz xy Vecor de deformacione ingenierile xx yy zz yz xy Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 4

25 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Tenor de deformacione Al igual que la enione, podemo obener la deformacione en oro iema de coordenada aplicando una ranformación de roación. Dicha ranformación omada alrededor del eje z e realiza con la mima mariz en noación vecorial z=3 y x 1 q 1 m n mn xx n m mn yy 1 3 zz 4 m n yz 5 n m 6 mn mn m n xy *' T q * Definida aí para ranformación enre deformacione de core enoriale Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 5

26 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Tenor de deformacione En el cao de que olo e requiera ranformar la deformacione en el plano XY m n mn z=3 y 1 x q m co n en q q 1 n m mn xx yy xy xx yy xy zz m n yz yz n m mn mn m n xx yy xy 1 m n mn xx ' n m mn yy 6 mn mn m n xy *' T q * Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 6

27 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Tenor de deformacione Ejemplo Calcule la deformacione de un cuerpo omeido al iguiene campo de deplazamieno. u v w 6 x, y, z x y 11,, ( ) 6 x y z y x 11 x, y, z Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 7

28 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Tenor de deformacione Ejemplo Recordando la definición del campo de deformacione infinieimale, la deformacione normale on: x y z du dx dv dy dw dz y (11 y (11 6 ) 6 ) Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 8

29 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Tenor de deformacione Ejemplo Recordando la definición del campo de deformacione infinieimale, exien do definicione diferene para la deformacione por core: Deformacione por core enoriale yz xy 1 dv dw dz dy 1 du dw dz dx 1 dv du dx dy Deformacione por core ingenierile yz xy dv dz du dz dv dx dw dy dw dx du dy yz xy Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 9

30 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Tenor de deformacione Ejemplo Recordando la definición del campo de deformacione infinieimale, la deformacione por core ingenierile on: Deformacione por core ingenierile yz xy dv dz du dz dv dx dw dy dw dx du dy yz xy x 1 (11 6 ) Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 3

31 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Relacione coniuiva Homogeinización Denro de un maerial compueo, la enione preene en la mariz y el refuerzo no on neceariamene iguale. Sin embargo, al aumir que ambo maeriale on lineale eláico, podemo eperar que el comporamieno del compueo erá lineal eláico: Al exprear la relacione coniuiva, eamo uponiendo la enione y deformacione media del maerial compueo. Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 31

32 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Relacione coniuiva Ley de Hooke generalizada Exie proporcionalidad enre la enione y la deformacione en un maerial eláico denro de ciero límie. Si enemo ei componene de deformación y ei de enión C C C C C C xx C C C C C C yy C C C C C C zz C C C C C C yz C C C C C C C C C C C C xx xxxx xxyy xz xxyz xx xxxy yy yyxx yyyy yyzz yyyz yy yyxy zz zzxx zzyy zzzz zzyz zz zzxy yz yzxx yzyy yzzz yzyz yz yzxy xx yy zz yz xy xy xyxx xyyy xyzz xyyz xy xyxy xy En principio, 36 conane independiene Aociado a deformacione ingenierile Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 3

33 Simería de la mariz 33 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP La energía de deformación por unidad de volumen ea dada por: i j j i ij T T C C U i j j ij i C U ij j i i j C U ji i j j i C U i j j i U U ij C ji C Derivando nuevamene, pero con repeco a j e iene: Derivando nuevamene pero inviriendo el orden de la derivada: Pero el orden de la derivada egunda e indiferene: Por lo ano: La mariz de rigidez e imérica Derivando con repeco a i :

34 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Maerial generalmene anióropo E un maerial que no poee ninguna imería, ambién denominado riclínico C C C C C C xx C C C C C C yy C C C C C C zz C C C C C C yz C C C C C C C C C C C C xx xxxx xxyy xz xxyz xx xxxy yy xxyy yyyy yyzz yyyz yy yyxy zz xz yyzz zzzz zzyz zz zzxy yz xxyz yyyz zzyz yzyz yz yzxy xx yy zz yz xy xy xxxy yyxy zzxy yzxy xy xyxy xy 1 conane eláica independiene Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 34

35 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Maeriale con plano de imería Cuando un maerial e imérico con repeco a un plano, e lo denomina monoclínico o generalmene oróropo. z y x La lámina de compueo unidireccional poee olo un plano de imería en el iema coordenado xyz i ninguno de lo eje coincide con la dirección de la fibra. El plano de imería en la figura e el plano medio de la lámina (plano xy) El maerial no e imérico con repeco a lo plano e yz Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 35

36 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Incompaibilidad de deformacione Maeriale con plano de imería Cuando aplicamo carga imérica con repeco al plano de imería, la deformacione deben er imérica con repeco a dicho plano. Por ejemplo, i aplicamo una enión x, y o xy, la deformacione por core y yz deben er nula. x x z x x z La deformación no e imérica con repeco al plano xy Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 36

37 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Maerial generalmene oróropo Plano de imería XY C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C xx xxxx xxyy xz xxxy xx yy xxyy yyyy yyzz yyxy yy zz xz yyzz zzzz zzxy zz yz yzyz yz yz yz xy xxxy yyxy zzxy xyxy xy 13 conane eláica independiene Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 37

38 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Maeriale con má de un plano de imería Cuando un maerial poee re plano de imería que coinciden con lo plano coordenado del iema de referencia, e dice que el maerial e epecialmene oróropo. z = 3 y = x = 1 El maerial e imérico con repeco a lo plano XY, XZ e YZ. Aención: Ee mimo maerial obervado en oro iema de referencia no e epecialmene oróropo Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 38

39 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Maerial epecialmene oróropo Sólo i el iema XYZ coincide con lo plano de imería xx Cxxxx Cxxyy Cxz xx yy Cxxyy Cyyyy Cyyzz yy zz Cxz Cyyzz Czzzz zz yz Cyzyz yz C xy Cxyxy xy 9 conane eláica independiene Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 39

40 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Maerial ranveralmene ióropo En lámina reforzada con fibra, e puede obervar que exie un plano en el cual la propiedade no deben variar con la orienación. El plano yz e un plano de ioropía, por lo cual e pueden inercambiar lo ubíndice yy por zz, y lo ubíndice por xy. z = 3 y = x = 1 z=3 Con ea igualdade, de reduce el problema a 6 conane eláica independiene y= C C C xxyy yyyy C C C xz zzzz xyxy Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 4

41 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Maerial ranveralmene ióropo Se puede demorar que la conane C yzyz no e independiene. Tomando un eado de carga de core puro z yz Z Y q=45º y ' 3 yz Conocemo el eado enional en el Siema XYZ Queremo conocer el eado enional en el Siema X Y Z que ea roado 45º con repeco al eje X Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 41

42 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Maerial ranveralmene ióropo En el iema XYZ Cxxxx Cxxyy Cxxyy 11 Cxxyy Cyyyy C yyzz Cxxyy Cyyzz Cyyyy 33 C yzyz 3 C 13 Cxyxy 1 De donde e obiene C yzyz Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 4

43 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Maerial ranveralmene ióropo Recordando la ranformación de coordenada, pero para una roación de 45º alrededor del eje X 1 x' x' y' y' m n mn z' z' n m mn y' z' mn mn m n x' z' m n n m x' y' m n 1 De donde e obiene xx ' ' yy ' ' zz ' ' yz ' ' ' ' xy ' ' Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 43

44 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Maerial ranveralmene ióropo Se puede demorar que la conane C yzyz no e independiene z Y yz Z y q=45 ' 3 yz C yz yzyz yz Siema XYZ y' y' Siema X Y Z z' z' Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 44

45 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Maerial ranveralmene ióropo Recordando la ranformación de coordenada, pero para una roación de 45 alrededor del eje X m n 1 De donde e obiene x' x' 1 y' y' m n mn z' z' n m mn ' ' yz y z mn mn m n x' z' m n x' y' n m xx ' ' yy ' ' zz ' ' yz ' ' ' ' xy ' ' La ranformación e realiza de enorial a enorial y' y' z' z' yz yz Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 45

46 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Maerial ranveralmene ióropo En el iema X Y Z Cx ' x ' x ' x ' Cx ' x ' y ' y ' Cx ' x ' y ' y ' yz C x ' x ' y ' y ' Cy ' y ' y ' y ' C ' ' ' ' y y z z C x ' x ' y ' y ' Cy ' y ' z ' z ' Cy ' y ' y ' y ' yz C y ' z ' y ' z ' Cx ' y ' x ' y ' C x ' y ' x ' y ' De donde e obiene C yzyz yz C C y ' y ' y ' y ' y ' y ' z ' z ' Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 46

47 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Maerial ranveralmene ióropo Como el plano 3 e un plano de ioropía C C C C y ' y ' y ' y ' yyyy z ' z ' z ' z ' zzzz De donde e obiene C yzyz C yyyy C yyzz Queda demorada la dependencia de C yzyz Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 47

48 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Maerial ranveralmene ióropo Maerial epecialmene oróropo ranveralmene ióropo Solo i el iema XYZ coincide con lo plano de imería Cxxxx Cxxyy Cxxyy xxyy yyyy yyzz xx C C C xx yy yy Cxxyy Cyyzz Cyyyy zz zz yz Cyyyy C yyzz yz xy xy Cxyxy Cxyxy 5 conane eláica independiene Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 48

49 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Lámina unidireccional iema 13 Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 49

50 Maerial ióropo Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa El maerial ióropo e aquel en el cual la propiedade eláica on independiene de la orienación. Coninuando el procedimieno anerior: xx yy zz yz xy C C C xxxx xxyy xxyy C C C xxyy xxxx xxyy C C C xxyy xxyy xxxx Cxxxx Cxxyy Cxxxx Cxxyy Cxxxx C conane eláica independiene xxyy xx yy zz yz xy Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 5

51 Conane de Lamé Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Exien divera forma de exprear la relacione coniuiva de maeriale ióropo. Sin embargo, iempre e ienen conane eláica independiene l, m. xx l m l l xx yy l l m l yy zz l l l m zz yz m yz m xy m xy Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 51

52 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Módulo y coeficiene de Poion 1u u u u 1 u u xx xx yy yy u u 1 u zz E zz yz 1 u1 u 1 u yz 1 u xy xy 1 u E G 1u Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 5

53 Mariz flexibilidad Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Haa ahora hemo expreado la relacione coniuiva a ravé de la mariz rigidez C [C]: mariz rigidez En alguno cao reula conveniene exprear la deformacione como función de la enione S [S]: mariz flexibilidad S C 1 La mariz flexibilidad e má fácil de caracerizar mediane enayo ya que lo mimo uelen realizare bajo enión uniaxial. Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 53

54 Lámina delgada Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa La lámina de un laminado compueo uelen er ener un epeor mucho menor a u dimenione en el plano 1, y por lo ano, e aume la hipóei de enión plana Tomando la relacione deducida para un maerial epecialmene oróropo: C11 C13 C C C C 13 3 C13 C3 C 3 C C3 4 5 C C 66 Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 54

55 Lámina delgada Explíciamene 1 C111 C13 C133 C131 C C33 C131 C3 C C666 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa C C Inroduciendo la ecuación de la derecha en la primera do: C33 C33 C13C 13 C13C 3 1 C11 1 C1 C33 C33 C13C 3 C3C 3 C13 1 C C33 C33 6 C666 3 ya no forma pare del iema de ecuacione, lo cual no ignifica que ea nulo. Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 55

56 Lámina delgada Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa El iema de ecuacione queda reducido a componene de enión y deformación en el plano 1. Podemo definir nueva conane Q ij Q Q 6 Q En forma maricial 11 Q Q 11 1 Q 1 66 Q Q Q 1 1 Q 66 donde 1 6 Q ij C ij C i3 C C 33 j3 Válido para el cao de enión plana y maerial epecialmene oróropo. E decir, con el iema de referencia coincidene con lo eje principale de la lámina. Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP 56

57 Lámina delgada 57 Erucura de Maeriale Compueo - Elaicidad Anióropa Curo 1 Faculad de Ingeniería - UNLP Al eliminar 3 del iema de ecuacione, ólo e neceian 4 conane eláica independiene a deerminar para caracerizar el comporamieno eláico de la lámina en u plano. Inviriendo ea mariz, e obiene la mariz flexibilidad correpondiene. La mejor manera de deerminar ea conane eláica e mediane enayo mecánico Válido para el cao de enión plana y maerial epecialmene oróropo. E decir, con el iema de referencia coincidene con lo eje principale de la lámina Q Q Q Q Q S S S S S