PRACTICAS DE LABORATORIO MÉTODOS NUMÉRICOS

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1 PRACTICAS DE LABORATORIO MÉTODOS NUMÉRICOS PRÁCTICA 9 : Resumen estadística. Nociones de errores. En la práctica 9 tocaremos algunos conceptos de estadística que no hemos visto en la prácticas anteriores. En la práctica haremos una introducción a lo métodos numéricos y trabajaremos con los diferente errores que se generan con el uso de aproimaciones para representar cantidades y/u operaciones conocido con el nombre de Teoría de errores. NOTA: estás prácticas no se realizarán en el académico. presente curso ISIDORO PONTE E.S.M.C.7

2 PRACTICAS DE LABORATORIO MÉTODOS NUMÉRICOS PRÁCTICA : Resolución numérica de ecuaciones. En estas prácticas aprenderemos a buscar raíces(soluciones) de ecuaciones no lineales para ello usaremos diferentes métodos de aproimación a dichas raíces: bisección regla falsa Newton Raphson método de la secante y punto fijo. Trataremos también en algunas de las prácticas siguientes de crear pequeños programas (eplicándose convenientemente) que efectúen automáticamente los cálculos aproimativos con el simple cambio de los datos y por otra parte cuando el problema no tenga solución nos lo advierta. PROGRAMA DE BISECCIÓN. Este programa utiliza el método de la bisección para aproimar la raíz de () a b ( recordemos que f en un intervalo [ ] este método se basa en el teorema de valor medio Sea f () a y supongamos que f ( a ) < f ( b ). Entonces para cada z tal que f ( a ) < z < f ( b ) eiste un ( a b ) tal que f ( ) z. La misma conclusión se obtiene para el caso que ( a ) f ( b ) continua en un intervalo [ ] b f >. Básicamente el Teorema del Valor medio nos dice que toda función continua en un intervalo cerrado una vez que alcanzó ciertos valores en los etremos del intervalo entonces debe alcanzar todos los valores intermedios. En particular si f (a) y f (b) tienen signos opuestos entonces un valor intermedio es precisamente z y por lo tanto el Teorema del Valor Intermedio nos asegura que debe eistir ( a b ) tal que f ( ) es decir debe haber por lo menos una raíz de f () en el intervalo ( a b ). ISIDORO PONTE E.S.M.C.8

3 El método de bisección sigue los siguientes pasos: Sea f () continua i) Encontrar valores iniciales a tienen signos opuestos es decir tales que f ) y f ) b ( a ( b ii) La primera aproimación a la raíz se toma igual al punto medio entre a y b : iii) Evaluar f ( r ). Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos: En este caso tenemos que f ( a ) y f ( r ) tienen signos opuestos y por lo tanto la raíz se encuentra en el intervalo [ r ] a. Y asi sucesivamente hasta donde queramos aproimar) Veamos un ejemplo con MATHEMATICA; introducimos la función In[]: f@_d Ep@-D - Log@D; introducimos los etremos del intervalo In[]: ; y ; introducimos el numero de iteraciones In[4]: k 8; introducimos el error inicial en porcentaje In[5]: e ; ISIDORO PONTE E.S.M.C.9

4 calculamos la primera aproimación a la raíz In[6]: z H + y L; le decimos a matemática que use la fórmula de la bisección en el caso que proceda y en este caso que nos despliegue una tabla con las aproimaciones calculadas. En caso negativo que nos mande un mensaje de error. En la tabla aparece la numeración de las raíces el valor y el error In[7]: IfASign@f@ DD! Sign@f@y DD ForAi i< k i++ IfASign@f@ i DD! Sign@f@z i DD i+ i ; y i+ z i ; z i+ H i+ + y i+ L i+ z i ; y i+ y i ; z i+ H i+ + y i+ LEE; Do@e i+ Abs@Hz i+ - z i L z i+ D * 8i k<d; Table@8 r i+ N@z i D N@e i D< 8i k<d TableForm Print@"El método de la bisección no se puede aplicar ya que fhl y fhyl tienen el mismo signo"de Out[7]//TableForm r.5. r.5. r r r r r r r ISIDORO PONTE E.S.M.C.3

5 podemos comprobar que si la función no tiene raíces MATHEMATICA nos lo advierte veamos un ejemplo como el anterior In[9]: - Log@D; In[]: ; y 3; In[]: k 8; In[3]: e ; In[4]: z H + y L; In[5]: IfASign@f@ DD! Sign@f@y DD ForAi i< k i++ IfASign@f@ i DD! Sign@f@z i DD i+ i ; y i+ z i ; z i+ H i+ + y i+ L i+ z i ; y i+ y i ; z i+ H i+ + y i+ LEE; Do@e i+ Abs@Hz i+ - z i Lz i+ D * 8i k<d; Table@8 r i+ N@z i D N@e i D< 8i k<d TableForm Print@"El método de la bisección no se puede aplicar ya que fhl y fhyl tienen el mismo signo"de El método de la bisección no se puede aplicar ya que fhl y fhyl tienen el mismo signo estos datos los podríamos comprobar gráficamente usando el comando que dibuja las funciones y ver que hay una raíz en el 3 intervalo [ ] y ninguna en el intervalo [ ] ISIDORO PONTE E.S.M.C.3

6 In[6]: - 8 3<D Out[6] Graphics METODO DE LA REGLA FALSA También este programa se usa para aproimar raíces de f () en un intervalo [ a b ] ( es un método bueno para considerar si la raíz se encuentra cerca de los etremos. Consideremos una gráfica del tipo: Donde hemos agregado la línea recta que une los puntos etremos de la gráfica en el intervalo [ a b ]. Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el punto donde cruza al eje esta recta nos aproimaremos mucho más rápido a la raíz; ésta es en sí la idea central del método de la regla falsa y ésta es realmente la única diferencia con el método de bisección puesto que en todo lo demás los dos métodos son prácticamente idénticos. ISIDORO PONTE E.S.M.C.3

7 Supongamos que tenemos una función f () intervalo [ b ] a que es contínua en el y además f ( a ) y f ( b ) tienen signos opuestos. Calculemos la ecuación de la línea recta que une los puntos ( a f ( a )) ( b f ( b )). Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por: Por lo tanto la ecuación de la recta es: Para obtener el cruce con el eje hacemos y : Multiplicando por b a nos da: Finalmente de aquí despejamos : Este punto es el que toma el papel de del método de bisección. r en lugar del punto medio Así pues el método de la regla falsa sigue los siguientes pasos: Sea f () contínua Encontrar valores iniciales signos opuestos es decir a tales que f ) y f ) b ( a ( b tienen ISIDORO PONTE E.S.M.C.33

8 ii) La primera aproimación a la raíz se toma igual a: iii) Evaluar f ( r ). Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos: En este caso tenemos que f ( a ) y f ( r ) y por lo tanto la raíz se encuentra en el intervalo [ ] tienen signos opuestos a r. En este caso tenemos que f ( a ) y f ( r ) tienen el mismo signo y de aquí que f ( r ) y f ( b ) tienen signos opuestos. Por lo tanto la raíz se encuentra en el intervalo [ ] r b. En este caso se tiene que f ( ) r raíz. y por lo tanto ya localizamos la El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que: Resolvamos con MATHEMATICA un ejercicio Introducimos la función In[]: f@_d Sin@D-.5 ; introducimos los etremos del intervalo ISIDORO PONTE E.S.M.C.34

9 In[]: ; y ; introducimos el numero de iteraciones In[4]: k 3; introducimos el error inicial en porcentaje In[5]: e ; calculamos la primera aproimación a la raíz In[6]: z y - f@y D*H - y LHf@ D - f@y DL; le decimos a matemática que verifique el método. En caso afirmativo le pedimos que aplique reiteradamente hasta el número de iteraciones introducidas y que nos despliegue una tabla con los datos obtenidos. En caso negativo que nos mande un mensaje de error. En la tabla aparece la numeración de las raíces el valor y el error In[7]: If@Sign@f@ DD Sign@f@y DD For@i i< k i++ If@Sign@f@ i DD Sign@f@z i DD i+ i ; y i+ z i ; z i+ y i+ - f@y i+ D*H i+ - y i+ LHf@ i+ D - f@y i+ DL i+ z i ; y i+ y i ; z i+ y i+ - f@y i+ D*H i+ - y i+ LHf@ i+ D - f@y i+ DLDD; Do@e i+ Abs@Hz i+ - z i Lz i+ D * 8i k<d; Table@8 r i+ N@z i 7D N@e i 7D< 8i k<d TableForm Print@"El metodo de la regla falsa no se puede aplicar ya que fh L y fhy L tienen el mismo signo"dd Out[7]//TableForm r.79. r r r ISIDORO PONTE E.S.M.C.35

10 METODO DE NEWTON RAPHSON Este método el cual es un método iterativo es uno de los más usados y efectivos. A diferencia de los métodos anteriores el método de Newton Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo. Supongamos que tenemos la aproimación f () i a la raíz r de Trazamos la recta tangente a la curva en el punto ( i f ( i )); ésta cruza al eje en un punto i + que será nuestra siguiente aproimación a la raíz r. Para calcular el punto i + calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos que tiene pendiente Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es: Hacemos y : Y despejamos : ISIDORO PONTE E.S.M.C.36

11 Que es la fómula iterativa de Newton Raphson siguiente aproimación: para calcular la si Note que el método de Newton Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure que encontraremos la raíz y de hecho no tenemos ninguna garantía de que nos aproimaremos a dicha raíz. Desde luego eisten ejemplos donde este método no converge a la raíz en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo en los casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez impresionante por lo cual es uno de los métodos preferidos por ecelencia. También observe que en el caso de que f ( ) el método no se puede aplicar. De hecho vemos geométricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ningún punto a menos que coincida con éste en cuyo caso i mismo es una raíz de f (). Veamos un ejemplo con MATHEMATICA; introducimos la función In[]: f@_d Ep@-D - Log@D; calculamos la derivada de nuestra función f () y la llamamos g () In[]: g@_d D@f@D D; introducimos el valor inicial para el proceso iterativo In[3]: ; introducimos el número de iteraciones In[4]: k 4; introducimos un error inicial digamos del % i ISIDORO PONTE E.S.M.C.37

12 In[5]: e ; le pedimos a MATHEMATICA que aplique la fórmula de Newton Raphson In[6]: DoA i+ i - f@ i D ga i E 8i k<e; también le pedimos que calcule los errores aproimados y que nos despliegue una tabla en la cual aparezcan el número de aproimación el valor de la aproimación y el error aproimado correspondiente In[7]: Do@e i+ Abs@H i+ - i L i+ D * 8i k<d; Table@8 r i N@ i D N@e i D< 8i k+<d TableForm Out[8]//TableForm r.. r r r r r METODO DE LA SECANTE Este método se basa en la fórmula de Newton Raphson pero evita el cálculo de la derivada usando la siguiente aproimación: Sustituyendo en la fórmula de Newton Raphson obtenemos: ISIDORO PONTE E.S.M.C.38

13 Que es la fórmula del método de la secante. Nótese que para poder calcular el valor de necesitamos conocer los dos valores anteriores y. Obsérvese también el gran parecido con la fórmula del método de la regla falsa. La diferencia entre una y otra es que mientras el método de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el método de la secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproimación casi con la misma rapidez que el método de Newton Raphson. Claro corre el mismo riesgo de éste último de no converger a la raíz mientras que el método de la regla falsa va a la segura. Introducimos la función In[]: f@_d ArcSin@D- Ep@-D; Introducimos los dos valores iniciales In[]: ; In[3]:.5; el número de iteraciones In[4]: k 4; el error inicial In[5]: e ; usamos un iterador para que MATHEMATICA aplique la fórmula de la secante In[6]: Do@ n+ n - f@ n D*H n - n- LHf@ n D - f@ n- DL 8n k<d; ahora finalmente nos presentará la tabla en la que aparecerán las aproimaciones y los errores aproimados ISIDORO PONTE E.S.M.C.39

14 In[7]: i+ i+ - i L i+ D * 8i k<d; Table@8 r i N@ i D N@f@ i D D N@e i D< 8i k<d TableForm Out[8]//TableForm r. -.. r r r r METODO DEL PUNTO FIJO Este programa usa el método de iteración del punto fijo para aproimar la raíz de una ecuación. Debemos de introducir una función g () tal que se desee resolver la ecuación g ( ). Introducimos la función In[]: g@_d H4- Log@DL; Introducimos el valor inicial In[]:.5; el número de iteraciones In[3]: k 4; el error inicial In[4]: e ; usamos un iterador para que MATHEMATICA aplique la fórmula del punto fijo In[5]: Do@ i+ g@ i D 8i k<d; ahora finalmente nos presentará la tabla en la que aparecerán las aproimaciones y los errores aproimados ISIDORO PONTE E.S.M.C.4

15 In[6]: i+ i+ - i L i+ D * 8i k<d; Table@8 r i N@ i 8D N@e i 8D< 8i k<d TableForm Out[7]//TableForm r.5. r r r r ISIDORO PONTE E.S.M.C.4

16 Ejercicios complementarios personalizados A Usa el método de la bisección para aproimar la raíz de f ( ) + tg comenzando en el intervalo [. 75 ] y hasta d 5 + que el error sea menor que el %. B Usa el método de la regla falsa para aproimar la raíz de 3 f ( ) 4 comenzando en el intervalo [ +. d 4 +. d 7 ] y hasta que el error sea menor que el %. A Usa el método de la Newton Raphson para aproimar la raíz de f ( ). d arc tg comenzando con. 5 y hasta que el error sea menor que el %. B Usa el método de la secante para aproimar la raíz de f ( ) e comenzando con. d y. d 3 hasta que el error sea menor que el %. C Usa el método de iteración del punto fijo para aproimar la raíz de f ( ) sen + comenzando con. 5 d 8 y hasta que el error sea menor que el %. ISIDORO PONTE E.S.M.C.4

17 PRACTICAS DE LABORATORIO MÉTODOS NUMÉRICOS PRÁCTICA 3 4: Interpolación. En estas prácticas estudiaremos el importantísimo tema de la interpolación de datos. Veremos dos tipos de interpolación: la interpolación polinomial (a la que dedicaremos casi todas las prácticas) y la interpolación segmentaria (splines). Comencemos dando la definición general. Definición. Dados n + puntos que corresponden a los datos: y los cuales se representan gráficamente como puntos en el plano cartesiano Si eiste una función () f definida en el intervalo [ ] n (donde suponemos que < < L < n ) tal que f ( i ) y i para i L n entonces a f () se le llama una función de interpolación de los datos cuando es usada para aproimar valores dentro del intervalo [ n ] y se le llama función de etrapolación de los datos cuando está definida y es usada para aproimar valores fuera del intervalo. ISIDORO PONTE E.S.M.C.43

18 ISIDORO PONTE E.S.M.C.44 Evidentemente pueden eistir varios tipos de funciones que interpolen los mismos datos; por ejemplo funciones trigonométricas funciones eponenciales funciones polinomiales combinaciones de éstas etc. El tipo de interpolación que uno elige depende generalmente de la naturaleza de los datos que se están manejando así como de los valores intermedios que se están esperando. Un tipo muy importante es la interpolación por funciones polinomiales. Puesto que evidentemente pueden eistir una infinidad de funciones polinomiales de interpolación para una misma tabla de datos se hace una petición etra para que el polinomio de interpolación sea único. Definición. Un polinomio de interpolación es una función polinomial que además de interpolar los datos es el de menor grado posible. DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS DE NEWTON Las diferencias divididas finitas de Newton se define de la siguiente manera: j i j i j i f f f ) ( ) ( ] [ k i k j j i k j i f f f ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ f f f n n n n n L L L

19 ISIDORO PONTE E.S.M.C.45 A manera de ejemplo citemos el siguiente caso específico : ] [ ] [ ] [ f f f donde a su vez: ] [ ] [ ] [ f f f y ] [ ] [ ] [ f f f Y donde a su vez: ) ( ) ( ] [ f f f etc. Podemos ahora definir nuestro primer tipo de polinomio de interpolación. POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON CON DIFERENCIAS DIVIDIDAS Dados + n datos: El polinomio de interpolación de Newton se define de la siguiente manera: ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) n n b b b b f L L donde : ( ) f b ] [ f b [ ] f b [ ] f b n n L M

20 Para calcular los coeficientes b b L b n es conveniente construir una tabla de diferencias divididas como la siguiente : Obsérvese que los coeficientes del polinomio de interpolación de Newton se encuentran en la parte superior de la tabla de diferencias divididas. Veamos un ejemplo con MATHEMATICA para una tabla de datos con cinco puntos. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Introducimos primero los valores de las abscisas y luego los de las ordenadas In[]: ; -; -6; 3 4; 4 3; In[6]: y 8; y 6; y ; y 3 -; y 4.455; Ahora introducimos el grado del polinomio de interpolación que buscamos In[]: n 4; calculamos la tabla de diferencias divididas finitas de Newton ISIDORO PONTE E.S.M.C.46

21 In[]: i Hy i -y i- LH i - i- L 8i n<d; Do@C i HB i+ - B i LH i+ - i- L 8i n-<d; Do@D i HC i+ - C i LH i+ - i- L 8i n- <D; Do@E i HD i+ - D i LH i+3 - i- L 8i n-3<d; calculamos el polinomio de interpolación de newton correspondiente a la tabla de datos In[6]: f@_d y + B *H- L+C *H- L*H- L + D *H- L *H- L*H- L + E *H- L *H- L*H- L*H- 3 L; por fin pedimos a MATHEMATICA que nos escriba en pantalla el polinomio y que nos haga una gráfica con los puntos dados y el polinomio de interpolación de Newton obtenido ISIDORO PONTE E.S.M.C.47

22 In[7]: polinomio de Newton para los datos dados es:"d "la grafica de los puntos y el polinomio de newton se ven como sigue:"d datos: 88 y < 8 y < 8 y < 8 3 y 3 < 8 4 y 4 <<; puntos: ListPlot@datos PlotStyle-> PointSize@.D DisplayFunction-> IdentityD; curva: Plot@f@D 8 Min@ 3 4 D Ma@ 3 4 D< DisplayFunction-> IdentityD; Show@puntos curva DisplayFunctionfi $DisplayFunctionD; El polinomio de Newton para los datos dados es: Out[8] 8- H-+L H- + L H+ L - H- +L H+ L H6+ L H-4+ L H-+ L H + L H6 +L la grafica de los puntos y el polinomio de newton se ven como sigue: POLINOMIO DE INTERPOLACION DE LAGRANGE. Nuevamente tenemos los datos : El polinomio de interpolación de Lagrange se plantea como sigue: ISIDORO PONTE E.S.M.C.48

23 P ( ) y l ( ) + y l ( ) + L + y n l n ( ) Donde los polinomios l i () se llaman los polinomios de Lagrange correspondientes a la tabla de datos. Como se debe satisfacer que P ( ) y esto se cumple si l ( ) y l ( ) i para toda i. Como se debe satisfacer que P ( ) y esto se cumple si l ( ) y l i ( ) para toda i. P y Y así sucesivamente veremos finalmente que la condición n ( n ) n se cumple si l ( n ) n y l i ( n ) para toda i n. Esto nos sugiere como plantear los polinomios de Lagrange. Para ser más claros analicemos detenidamente el polinomio l ( ). De acuerdo al análisis anterior vemos que deben cumplirse las siguientes condiciones para l ( ) : l ( ) y l ( ) para toda j j Por lo tanto planteamos l ( ) como sigue: l o ( ) c ( )( ) L ( n ) Con esto se cumple la segunda condición sobre l ( ). La constante c se determinará para hacer que se cumpla la primera condición: l ( ) c ( )( ) L ( ) c ( )( ) L ( ) n n Por lo tanto el polinomio l ( ) queda definido como: l ( ) ( )( ) L ( n ) ( )( ) L ( ) n Análogamente se puede deducir que: l j ( ) i j i j ( ) ( ) j i i para j K n ISIDORO PONTE E.S.M.C.49

24 Veamos un ejemplo con MATHEMATICA para una tabla de datos con cuatro puntos. ( ) ( ) ( ) ( ) Introducimos primero los valores de las abscisas y luego los de las ordenadas In[]: -3; -; 4; 3 5; In[5]: y ; y -; y -7; y 3 ; introducimos el grado del polinomio In[9]: n 3; calculamos los polinomios de Lagrange H- In[]: L L*H- L *H- 3 H - L* H - L*H - 3 L ; H- L L*H- L *H- 3 H - L* H - L*H - 3 L ; H- L*H- L *H- 3 L H - L* H - L*H - 3 L ; H- L L*H- L *H- L H 3 - L* H 3 - L*H 3 - L ; calculamos el polinomio de interpolación de Lagrange correspondiente a la tabla de datos In[4]: p@_d n i y i * L finalmente pedimos a MATHEMATICA que nos escriba en pantalla el polinomio de interpolación de Lagrange así como una gráfica ISIDORO PONTE E.S.M.C.5

25 donde veamos los puntos de la tabla de datos junto con el polinomio de Lagrange In[5]: polinomio de Lagrange para los datos dados es:"d "La grafica de los puntos y el polinomio de interpolacion de lagrange se ven como sigue:"d datos: 88 y < 8 y < 8 y < 8 3 y 3 <<; puntos: ListPlot@datos PlotStyle-> PointSize@.D DisplayFunction-> IdentityD; curva: Plot@p@D 8 Min@ 3 D Ma@ 3 D< DisplayFunction -> IdentityD; Show@puntos curva DisplayFunctionfi $DisplayFunctionD; El polinomio de Lagrange para los datos dados es: Out[6] -H-5 + L H-4 + L H +L - H-5+ L H-4+ L H3+ L + H-5 + L H +L H3 + L La grafica de los puntos y el polinomio de interpolacion de lagrange se ven como sigue: INTERPOLACION POR SPLINES CUBICAS. Terminamos este capítulo estudiando un tipo de interpolación que ha demostrado poseer una gran finura y que inclusive es usado para el diseño por computadora por ejemplo de tipos de letra. ISIDORO PONTE E.S.M.C.5

26 Esta interpolación se llama interpolación segmentaria o interpolación por splines. La idea central es que en vez de usar un solo polinomio para interpolar los datos podemos usar segmentos de polinomios y unirlos adecuadamente para formar nuestra interpolación. Cabe mencionar que entre todas las splines cúbicas han resultado ser las más adecuadas para aplicaciones como la mencionada anteriormente. Así pues podemos decir de manera informal que una funcion spline está formada por varios polinomios cada uno definido en un intervalo y que se unen entre si bajo ciertas condiciones de continuidad. Definición. (Splines de grado k) Dada nuestra tabla de datos donde suponemos que < < L < n y dado k un número entero positivo una función de interpolación spline de grado k para la tabla de datos es una función s () tal que : i) s ( i ) y i para toda i K n. ii) s ( ) es un polinomio de grado k en cada subintervalo [ ] i i. iii ) s ( ) tiene derivada continua hasta de orden k en [ n ]. FUNCIONES SPLINES CUBICAS Para hacer más firme el entendimiento escribimos la definición correspondiente a este caso (k3). Dados los n + datos: Una spline cúbica que interpola estos datos es una función ) ( s definida como sigue : ISIDORO PONTE E.S.M.C.5

27 s ( ) s s s n ( ) si [ ] ( ) si [ ] M ( ) si [ ] n n donde cada s i ( ) es un polinomio cúbico; s i ( i ) y i para toda i K n y tal que s ( ) tiene primera y segunda derivadas contínuas en [ n ]. Ejemplo. Interpolar los siguientes datos mediante una spline cúbica : Solución. Definimos un polinomio cúbico en cada uno de los intervalos que se forman: s ( ) 3 a + b + c + d 3 a + b + c + d si si [ 3 ] [ 3 5 ] A continuación hacemos que se cumpla la condición de que la spline debe pasar por los puntos dados en la tabla. Así tenemos que: s s ( ) 8 a + 4 b + c + d ( 3 ) 7 a + 9 b + 3 c + d s ( ) 7 5 a + 5 b + 5 c + d 7 5 Ahora calculamos la primera derivada de ( ) s : s ( ) 3 a + b + c 3 a + b + c si si [ 3 ] [ 3 5 ] Al igual que en el caso de las splines cuadráticas se presentan ecuaciones que pueden presentar discontinuidad en los cambios de intervalo; las posibles discontinuidades son los puntos donde se ISIDORO PONTE E.S.M.C.53

28 cambia de intervalo en este caso 3. Para evitar esta discontinuidad evaluamos 3 en los dos polinomios e igualamos: ( 3 ) + b ( 3 ) + c 3 a ( 3 ) + b ( ) 3 a + c 3 o lo que es lo mismo: 7 a b + c + 6 b + c 7 a + 6 Análogamente procedemos con la segunda derivada : s ( ) 6 a + b 6 a + b si si [ 3 ] [ 3 5 ] Para lograr que s ( ) sea continua : ( 3 ) + b 6 a ( 3 ) 6 a + b 8 a + b + b 8 a En este punto contamos con 6 ecuaciones y 8 incognitas por lo tanto tenemos grados de libertad; en general se agregan las siguientes condiciones: s s ( ) ( ) n De lo cual vamos a obtener : ( ) 6 a ( ) + s b ( ) 6 a ( 5 ) + s b 5 a + b 3 a + b Con lo cual hemos completado un juego de 8 ecuaciones vs. 8 incógnitas el cual es el siguiente: ISIDORO PONTE E.S.M.C.54

29 ISIDORO PONTE E.S.M.C b a b a b a b a c b a c b a d c b a d c b a d c b a d c b a Cuya forma matricial es la siguiente : d c b a d c b a Usando MATHEMATICA obtenemos la siguiente solución: d c b a d c b a Sustituyendo estos valores en nuestra función inicial vemos que la spline cúbica para la tabla de datos dada queda definida como sigue: ( ) [ ] [ ] si si s

30 Mostramos la gráfica correspondiente a este ejercicio creada tambien en MATHEMATICA. Obsérvese la finura con la que se unen los polinomios cúbicos que conforman a la spline. Prácticamente ni se nota que se trata de dos polinomios diferentes. Esto es debido a las condiciones que se impusieron sobre las derivadas de la función. Esta finura casi artística es la que permite aplicar las splines cúbicas para cuestiones como el diseño de letras por computadoras o bien a problemas de aplicación donde la interpolación que se necesita es de un carácter bastante delicado como podría tratarse de datos médicos sobre algún tipo de enfermedad. Veamos un ejemplo con MATHEMATICA: Este programa nos calcula y grafica la spline cúbica correspondiente a una tabla de datos con cuatro puntos. Los datos son los siguientes: In[]: datos 88- -< 8 < 8 5< 84 -<< Out[] 88- -< 8 < 8 5< 84 -<< Estos se guardan como un objeto gráfico como sigue: In[]: mi Min@Table@datos@@i DD 8i 4<DD Out[] - ISIDORO PONTE E.S.M.C.56

31 In[3]: mf DD 8i 4<DD Out[3] 4 In[4]: Mi Min@Table@datos@@i DD 8i 4<DD Out[4] - In[5]: Mf Ma@Table@datos@@i DD 8i 4<DD Out[5] 5 In[6]: puntos ListPlot@datos PlotStylefi PointSize@.D PlotRangefi 88mi- 5 mf+ 5< 8Mi- 5 Mf + 5<< AesOriginfi 8 < DisplayFunctionfi IdentityD Out[6] Graphics Para calcular la función spline cúbica primero definimos los polinomios cúbicos: In[7]: DoAs a i * 3 + b i * + c i * + d i 8i 3<E Enseguida definimos las ecuaciones que se forman por las condiciones de la spline cúbica: In[8]: eq DDD datos@@ DD Out[8] -a + b - c + d - In[9]: eq DDD datos@@ DD Out[9] a + b + c + d In[]: eq 3 DDD datos@@ DD Out[] a + b + c + d In[]: eq 4 DDD datos@@3 DD Out[] 8 a + 4 b + c + d 5 In[]: eq 5 s DDD datos@@3 DD Out[] 8 a b 3 + c 3 + d 3 5 ISIDORO PONTE E.S.M.C.57

32 In[3]: eq 6 s DDD datos@@4 DD Out[3] 64 a b c 3 + d 3 - In[4]: eq 7 s '@datos@@ DDD s '@datos@@ DDD Out[4] 3 a + b + c 3 a + b + c In[5]: eq 8 s '@datos@@3 DDD s 3 '@datos@@3 DDD Out[5] a + 4 b + c a b 3 + c 3 In[6]: eq 9 s ''@datos@@ DDD s ''@datos@@ DDD Out[6] 6 a + b 6 a + b In[7]: eq s ''@datos@@3 DDD s 3 ''@datos@@3 DDD Out[7] a + b a 3 + b 3 In[8]: eq s ''@datos@@ DDD Out[8] -6 a + b In[9]: eq s 3 ''@datos@@4 DDD Out[9] 4 a 3 + b 3 Resolvemos el sistema de ecuaciones: In[]: Solve@Table@eq i 8i <DD Out[] ::a fi 5 4 b fi 53 4 a fi - b fi a 3 fi 4 35 b 3 fi c fi 89 4 c fi c 3 fi d fi d fi d 3 fi >> A continuación vaciamos la información obtenida en el paso anterior e introducimos la regla de correspondencia de la spline: ISIDORO PONTE E.S.M.C.58

33 In[]: splinecubica DD DD datos@@ DD datos@@3 DD datos@@3 DD datos@@4 DD E La cual se guarda como un objeto gráfico como sigue: In[]: graficaspline: Plot@splinecubica 8 mi mf< DisplayFunction fi IdentityD Finalmente le pedimos a MATHEMATICA que nos escriba la regla de correspondencia de la spline cúbica así como la grafica correspondiente: In[3]: PrintA"La función spline cúbica que se obtuvo es: " " 4 4 si " datos@@ DD datos@@ DDE; PrintA" " " si " datos@@ DD datos@@3 DDE; PrintA " si " datos@@3 DD datos@@4 DDE; Print@" La gráfica correspondiente es:"d Show@puntos graficaspline Ticks -> 88-4< 8-5 -<< DisplayFunction-> $DisplayFunctionD; La función spline cúbica que se obtuvo es: si ISIDORO PONTE E.S.M.C.59

34 si La gráfica correspondiente es: si Podríamos hacer el programa en dos pasos si quisiesemos: In[]: datos 88- -< 8 < 8 5< 84 -<<; mi Min@Table@datos@@i DD 8i 4<DD; mf Ma@Table@datos@@i DD 8i 4<DD; Mi Min@Table@datos@@i DD 8i 4<DD; Mf Ma@Table@datos@@i DD 8i 4<DD; puntos ListPlot@datos PlotStyle fi PointSize@.D PlotRange fi 88mi- 5 mf + 5< 8Mi- 5 Mf + 5<< AesOriginfi 8 < DisplayFunction fi IdentityD; DoAs a i * 3 + b i * + c i * + d i 8i 3<E; eq DDD datos@@ DD; eq DDD datos@@ DD; eq 3 DDD datos@@ DD; eq 4 DDD datos@@3 DD; eq 5 s DDD datos@@3 DD; eq 6 s DDD datos@@4 DD; eq 7 s '@datos@@ DDD s '@datos@@ DDD; eq 8 s '@datos@@3 DDD s 3 '@datos@@3 DDD; eq 9 s ''@datos@@ DDD s ''@datos@@ DDD; eq s ''@datos@@3 DDD s 3 ''@datos@@3 DDD; eq s ''@datos@@ DDD ; eq s 3 ''@datos@@4 DDD ; Solve@Table@eq i 8i <DD ISIDORO PONTE E.S.M.C.6

35 Out[] ::a fi 5 4 b fi 53 4 a fi - b fi a 3 fi 4 35 b 3 fi c fi 89 4 c fi c 3 fi d fi d fi d 3 fi >> incorporar los datos obtenidos para finalizar el programa In[]: splinecubica WhichAdatos@@ DD datos@@ DD datos@@ DD datos@@3 DD datos@@3 DD datos@@4 DD E; graficaspline: Plot@splinecubica 8 mi mf< DisplayFunction fi IdentityD; PrintA"La función spline cúbica que se obtuvo es: " " 4 4 si " datos@@ DD datos@@ DDE; PrintA" " " si " datos@@ DD datos@@3 DDE; PrintA " si " datos@@3 DD datos@@4 DDE; Print@" La gráfica correspondiente es:"d Show@puntos graficaspline Ticks-> 88-4< 8-5 -<< DisplayFunction-> $DisplayFunctionD; ISIDORO PONTE E.S.M.C.6

36 La función spline cúbica que se obtuvo es: si La gráfica correspondiente es: si si ISIDORO PONTE E.S.M.C.6

37 Ejercicios complementarios personalizados A Calcula el polinomio de interpolación de Newton para los. 5 d d siguientes datos ( ) ( ) ( ) ( ) B Calcula el polinomio de interpolación de Newton para los. 3 d d siguientes datos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A Calcula el polinomio de interpolación de Lagrange para los d siguientes datos ( ) ( ) ( ) ( ) B Calcula el polinomio de interpolación de Lagrange para los. 5 d 9. 5 d siguientes datos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C Calcula las splines cúbicas para los siguientes datos ( ) ( ) ( ) ISIDORO PONTE E.S.M.C.63

38 PRACTICAS DE LABORATORIO MÉTODOS NUMÉRICOS PRÁCTICA 5 6: Derivación e integración numerica. Integración aproimada. En los cursos de Cálculo Integral nos enseñan como calcular una integral definida de una función continua mediante una aplicación del Teorema Fundamental del Cálculo: Teorema Fundamental del Cálculo : Sea una función continua en el intervalo y sea una primitiva de. Entonces: El problema en la práctica se presenta cuando nos vemos imposibilitados de encontrar la primitiva requerida aún para integrales aparentemente sencillas como: la cual simplemente es imposible de resolver con el Teorema Fundamental del Cálculo. Incluso casos en los que no se conoce la primitiva o en que casos en los que solo se conoce una serie de valores En estas prácticas estudiaremos diversos métodos numéricos que nos permitirán obtener aproimaciones bastante eactas a integrales como la mencionada anteriormente. Esencialmente veremos dos tipos de integración numérica: las fórmulas de Newton Cotes y el algoritmo de Romberg. Las fórmulas de Newton Cotes están conformadas por las bien conocidas reglas del trapecio y de Simpson (regla de un tercio y de tres octavos). El algoritmo de Romberg forma parte de un método conocido como método de etrapolación de Richardson. ISIDORO PONTE E.S.M.C.64

39 Haciendo uso de MATHEMATICA es posible discernir sobre las cualidades y defectos de cada uno de los métodos mencionados arriba. REGLA DEL TRAPECIO Dada una función una función continua en el intervalo dividimos el intervalo en subintervalos todos de la misma longitud. Sea la partición que se forma al hacer dicha subdivisión. ya que todos los subintervalos tienen la misma longitud h tenemos la fórmula de los trapecios que es: Sustituyendo el valor de h y usando la notación sigma tenemos finalmente: Esta es la regla del trapecio para n subintervalos. Obviamente cuantos más subintervalos usemos mejor será la aproimación a la integral. Este programa calcula usando la Regla del Trapecio con n intervalos todos de la misma longitud con el programa MATHEMATICA Introducimos el intervalo de integración: In[]: a ; b 6; Introducimos la función a integrar: ISIDORO PONTE E.S.M.C.65

40 In[3]: + ; Introducimos el número de intervalos a usar: In[4]: n ; Calculamos la longitud de cada intervalo: In[5]: h Hb- aln; Calculamos los puntos de la partición que se genera: In[6]: Do@ i a+ h*i 8i n<d; Aplicamos la regla del trapecio para n intervalos: In[7]: Trapecio Hb-aLH*nL* i f@ D +* i n- f@i D y + f@ n D y ; k k i { { Calculamos el valor eacto de la integral para comparar: In[8]: Verdadero a b f@d ; Le pedimos a Mathematica que nos despliegue la información en pantalla: In[9]: Print@"El valor aproimado de la integral usando la regla del trapecio es:"d Print@N@Trapecio 4DD Print@"El valor verdadero de la integral es:"d Print@N@Verdadero 4DD El valor aproimado de la integral usando la regla del trapecio es: El valor verdadero de la integral es: ISIDORO PONTE E.S.M.C.66

41 REGLA DE SIMPSON DE UN TERCIO Dada una función una función continua en el intervalo dividimos el intervalo en subintervalos todos de la misma longitud [ ] i i. sea mi el punto medio del subintervalo Sea la partición que se forma al hacer dicha subdivisión. ya que todos los subintervalos tienen la misma longitud h tenemos la fórmula de los trapecios que es: Sustituyendo el valor de h y usando la notación sigma tenemos finalmente: Esta es la regla de Simpson de un tercio para n subintervalos. Obviamente cuantos más subintervalos usemos mejor será la aproimación a la integral. Calcula la integral usando la Regla de Simpson de /3 para n intervalos todos de la misma longitud con el programa MATHEMATICA Introducimos el intervalo de integración: In[]: a -; b ; Introducimos la función a integrar: In[3]: f@_d ArcTan@^3+ D; Introducimos el número de intervalos a usar: ISIDORO PONTE E.S.M.C.67

42 In[4]: n ; Calculamos la longitud de los intervalos: In[5]: h Hb- aln; Calculamos los elementos de la partición que se genera: In[6]: Do@ i a+ h*i 8i n<d; Calculamos los puntos medios de cada intervalo: In[7]: Do@y i H i + i- L 8i n<d; Aplicamos la Regla de Simpson de /3: In[8]: Simpson3 Hb- alh6*nl* i f@ D + 4* i n f@y i D y + * i n- f@i D y + f@ n D y ; k k i { k i { { Calculamos el valor eacto de la integral: In[9]: Verdadero a b f@d ; Le pedimos a MATHEMATICA que nos despliegue en pantalla la información obtenida: In[]: Print@ "El valor aproimado de la integral usando la regla del simpson es:"d Print@N@Simpson3 DD Print@"El valor verdadero de la integral es:"d Print@N@Verdadero DD El valor aproimado de la integral usando la regla del simpson es:.5693 El valor verdadero de la integral es: ISIDORO PONTE E.S.M.C.68

43 REGLA DE SIMPSON DE TRES OCTAVOS Dada una función una función continua en el intervalo dividimos el intervalo en subintervalos todos de la misma longitud sea el subintervalo [ ] i i lo dividimos en tres partes iguales y lo puntos intermedios los llamamos y i y z i.l Sea la partición que se forma al hacer dicha subdivisión. ya que todos los subintervalos tienen la misma longitud h tenemos la fórmula de los trapecios que es: Sustituyendo el valor de h tenemos usando el polinomio de interpolación de Lagrange y el método de integración por partes: Esta es la regla de Simpson de tres octavos para n subintervalos iguales. Obviamente cuantos más subintervalos usemos mejor será la aproimación a la integral. Introducimos el intervalo de integración: In[]: a ; b ; Introducimos la función a integrar: In[3]: f@_d * Ep@D; Introducimos el número de intervalos a usar: In[4]: n ; Calculamos la longitud de cada intervalo: In[5]: h Hb- aln; ISIDORO PONTE E.S.M.C.69

44 Calculamos los elementos de la partición que se genera: In[6]: i a+ h*i 8i n<d; Calculamos los puntos que dividen en tres partes iguales a cada intervalo: In[7]: Do@y i H* i- + i L3 8i n<d; In[8]: Do@z i H i- + * i L3 8i n<d; Aplicamos la Regla de Simpson de 3/8 para n intervalos: In[9]: Simpson38 Hb- alh8*nl* i f@ D + 3* i n Hf@y i D+ f@z i DL y + * i n- f@ i D y + f@ n D y ; k k i { k i { { Calculamos el valor eacto de la integral: In[]: Verdadero a b f@d ; Le pedimos a MATHEMATICA que nos despliegue en pantalla la información obtenida: In[]: Print@"El valor aproimado de la integral usando la regla del simpson es:"d Print@N@Simpson38 4DD Print@"El valor verdadero de la integral es:"d Print@N@Verdadero 4DD El valor aproimado de la integral usando la regla del simpson es: El valor verdadero de la integral es: De lo visto resulta evidente que la regla de Simpson de tres octavos es más eacta que la de un tercio que a su vez aproima ISIDORO PONTE E.S.M.C.7

45 mejor que la del trapecio. Se pueden establecer cotas para los errores que se comenten en cada uno de los métodos. los siguientes resultados se mencionan para completar la información pero omitimos las demostraciones correspondientes. REGLA F O R M U L A E R R O R CON... Trapecio Simpson Simpson ISIDORO PONTE E.S.M.C.7

46 Ejercicios complementarios personalizados A Usar la regla del trapecio para aproimar i) Dividiendo en un solo intervalo. ii) Dividiendo en 6+d4 intervalos. B Usar la regla de Simpson /3 para aproimar i) Dividiendo en un solo intervalo. ii) Dividiendo en 4+d intervalos. A. Usar la regla de Simpson 3/8 para aproimar i) Dividiendo en un solo intervalo. ii) Dividiendo en 4+d5 intervalos. B. Integrar la siguiente tabla de datos: i) C. Integrar la siguiente tabla de datos: ii) ISIDORO PONTE E.S.M.C.7

47 PRACTICAS DE LABORATORIO MÉTODOS NUMÉRICOS PRÁCTICA 7 8: Métodos numéricos de resolución de ecuaciones diferenciales. ECUACI ONES DI FERENCI ALES En esta práctica haremos un breve estudio de los métodos numéricos básicos que se usan para aproimar soluciones de algunas ecuaciones diferenciales. Recordamos rápidamente que una ecuación diferencial (ordinaria) es aquella que involucra una variable independiente una variable dependiente y la derivada (ó derivadas ) de esta última. En una ecuación diferencial la incógnita es la variable dependiente y se espera encontrarla como función de la variable independiente de tal forma que si se sustituye dicha variable dependiente así como las derivadas que aparecen en la ecuación diferencial la igualdad que resulta es verdadera. De cursos anteriores de ecuaciones diferenciales sabemos que en general eisten una infinidad de funciones (curvas) que resuelven una misma ecuación diferencial. Por ejemplo la ecuación: tiene como solución general: donde c es una constante arbitraria que puede ser cualquier número real (y de aquí la infinidad de curvas solución que mencionamos arriba). En este curso estudiaremos solamente ecuaciones diferenciales de primer orden del tipo: ISIDORO PONTE E.S.M.C.73

48 donde es una función de dos variables. Cuando se desea que la curva solución pase por algún punto específico digamos entonces se dice que se trata de una ecuación diferencial con una condición inicial dada. Así estudiaremos ecuaciones diferenciales de la forma con la condición inicial. Obviamente la importancia de los métodos numéricos radica en la aparición de ecuaciones diferenciales que no pueden resolverse por métodos tradicionales y de ahí la necesidad de implementar algún método de aproimación. Veremos tres métodos numéricos: El método de Euler. El método de Euler mejorado. El método de Runge Kutta de orden 4. En todos estos métodos se busca aproimar el valor es un valor cercano a (el de la condición inicial dada). donde Comencemos con el primer método que como siempre no es el más eacto pero si el más sencillo y simple de eplicar así como el que marca la pauta para desarrollar los otros métodos. MÉTODO DE EULER La idea del método de Euler es muy sencilla y está basada en el significado geométrico de la derivada de una función en un punto dado. Supongamos que tuviéramos la curva solución de la ecuación diferencial y trazamos la recta tangente a la curva en el punto dado por la condición inicial. ISIDORO PONTE E.S.M.C.74

49 Debido a que la recta tangente aproima a la curva en valores cercanos al punto de tangencia podemos tomar el valor de la recta tangente en el punto como una aproimación al valor deseado. Así calculemos la ecuación de la recta tangente a la curva solución de la ecuación diferencial dada en el punto. De los cursos de Geometría Analítica sabemos que la ecuación de la recta es: donde m es la pendiente. En este caso sabemos que la pendiente de la recta tangente se calcula con la derivada: tangente es : Por lo tanto la ecuación de la recta Ahora bien suponemos que es un punto cercano a y por lo tanto estará dado como. De esta forma tenemos la siguiente aproimación: ISIDORO PONTE E.S.M.C.75

50 De aquí tenemos nuestra fórmula de aproimación: Esta aproimación puede ser suficientemente buena si el valor de h es realmente pequeño digamos de una décima ó menos. Pero si el valor de h es más grande entonces podemos cometer mucho error al aplicar dicha fórmula. Una forma de reducir el error y obtener de hecho un método iterativo es dividir la distancia en n partes iguales (procurando que estas partes sean de longitud suficientemente pequeña) y obtener entonces la aproimación en n pasos aplicando la fórmula anterior n veces de un paso a otro con la nueva h igual a. En una gráfica tenemos lo siguiente: Ahora bien sabemos que: Para obtener únicamente hay que pensar que ahora el papel de lo toma el punto y por lo tanto si sustituimos los datos adecuadamente obtendremos que: De aquí se ve claramente que la fórmula recursiva general está dada por: Esta es la conocida fórmula de Euler que se usa para aproimar el valor de aplicándola sucesivamente desde hasta en pasos de longitud h. ISIDORO PONTE E.S.M.C.76

51 Este programa usa el método de Euler para aproimar ecuación diferencial de la forma: y'f(y) con y donde se supone que es cercano a. dada la Introducimos la función f(y): In[]: f@_ y_d Log@+yD; Introducimos los valores dados por la condición inicial: In[]: ; y.5; Introducimos el valor de h: In[4]: h.; Introducimos el número de iteraciones: In[5]: k 5; Aplicamos la fórmula de Euler: In[6]: Do@ n+ n + h 8n k<d; Do@y n+ y n + h*f@ n y n D 8n k<d; Le pedimos a MATHEMATICA que nos despliegue una tabla con los datos obtenidos: In[8]: Print@ "La tabla de valores obtenidos mendiante el método de Euler es:"d Table@8 i y i < 8i k<d TableForm La tabla de valores obtenidos mendiante el método de Euler es: Out[9]//TableForm ISIDORO PONTE E.S.M.C.77

52 MÉTODO DE EULER MEJORADO Este método se basa en la misma idea del método anterior pero hace un refinamiento en la aproimación tomando un promedio entre ciertas pendientes. La fórmula es la siguiente: donde Para entender esta fórmula analicemos el primer paso de la aproimación con base en la siguiente gráfica: En la gráfica vemos que la pendiente promedio corresponde a la pendiente de la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la recta tangente a la curva en el punto donde es la aproimación obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el punto de la condición inicial y se considera el valor de esta recta en el punto como la aproimación de Euler mejorada. ISIDORO PONTE E.S.M.C.78

53 Este programa usa el método de Euler mejorado igual que en el caso anterior Introducimos la función f(y): In[]: y_d +yd; Introducimos los valores dados por la condición inicial: In[]: ; y.5; Introducimos el valor de h: In[4]: h.; Introducimos el número de iteraciones: In[5]: k 5; Aplicamos la fórmula de Euler: In[6]: Do@ n+ n + h 8n k<d; DoA9z n+ y n + h*f@ n y n D y n+ y n + h*j f@ n y n D + f@ n+ z n+ D N 8n k<e; pedimos a MATHEMATICA una tabla con los datos obtenidos: In[8]: Print@ "La tabla de valores obtenidos mendiante el método de Euler Mejorado es:"d Table@8 i y i < 8i k<d TableForm La tabla de valores obtenidos mendiante el método de Euler Mejorado es: Out[9]//TableForm ISIDORO PONTE E.S.M.C.79

54 MÉTODO DE RUNGE KUTTA Sin entrar en mucho detalle mencionamos solamente que el método de Runge Kutta cambia la dirección en el sentido de que no sigue la misma línea de los métodos de Euler. De hecho está basado en una aplicación de los polinomios de Taylor. Comentamos sin embargo que el método de Runge Kutta si contiene como casos especiales los de Euler. Las fórmulas donde Se conocen como las reglas o fórmulas de Runge Kutta de orden cuatro para la ecuación diferencial: Este programa usa el método de Runge Kutta para aproimar y( ) dada la ecuación diferencial de la forma: y'f(y) con la condición inicial: y( )y y donde se supone que es cercano a. ISIDORO PONTE E.S.M.C.8

55 Introducimos la función f(y): In[]: y_d + y ; Introducimos los valores dados por la condición inicial: In[]: 4; y 5; Introducimos el valor de h: In[4]: h.; Introducimos el número de iteraciones: In[5]: k 5; Aplicamos la fórmula de Euler: In[6]: Do@ n+ n + h 8n k<d; Do@8k h*f@ n y n D k h*f@ n +.5*h y n +.5*k D k 3 h*f@ n +.5 *h y n +.5*k D k 4 h*f@ n +h y n + k 3 D y n+ y n + H6L *Hk + *k + *k 3 + k 4 L< 8n k- <D; Le pedimos a MATHEMATICA que nos despliegue una tabla con los datos obtenidos: In[8]: Print@ "La tabla de valores obtenidos mendiante el método de Runge-Kutta es:"d Table@8 i y i < 8i k<d TableForm La tabla de valores obtenidos mendiante el método de Runge-Kutta es: Out[9]//TableForm ISIDORO PONTE E.S.M.C.8

56 Ejercicios complementarios personalizados: A. Dada la ecuación diferencial: Usa el método de Euler para aproimar y (. 3 d 6 ) en cada paso del proceso iterativo. tomando B. Dada la ecuación diferencial: Usa el método de Euler para aproimar y (. 3 d ) tomando en cada paso del proceso iterativo. A. Dada la ecuación diferencial: Usa el método de Euler mejorado para aproimar y (. 3 d 7 ) tomando en cada paso del proceso iterativo. B. Dada la ecuación diferencial: Usa el método de Euler mejorado para aproimar y ( 3. 3 d 6 ) tomando en cada paso del proceso iterativo. C. Dada la ecuación diferencial: Usa el método de Runge Kutta para aproimar y ( 4. 3 d ) tomando en cada paso del proceso iterativo. ISIDORO PONTE E.S.M.C.8