COMPETENCIAS Y OBJETIVOS UNIDAD V :DISTRIBUCIONES DE VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES Competencia: -El estudiante debe extender correctamente las definiciones,características de una variable aleatoria unidimensional a variables aleatorias bidimensionales Objetivos. -Aplicar adecuadamente la definición de una variable aleatoria bidimensional,función de probabilidad conjunta, función de probabilidad marginal,las características o medidas descriptivas tanto conjuntas como marginales a problemas inherentes a experimentos aleatorios con dos características al mismo tiempo. Descripción general de la unidad: -Esta unidad comprende el desarrollo de los siguientes definiciones :Variable Aleatoria Bidimensional, Función de probabilidad Conjunta,Función de probabilidad marginal ; la determinación de las medidas descriptivas: de tendencia central, de dispersión tanto conjuntas como marginales,los coeficientes de correlación y la aplicación en la resolución de problemas dentro al Ingeniería con variables aleatorias bidimensionales Bibliografía Básica: : Moya y Saravia (1988) Probabilidad e Inferencia Estadística((2ª ed) Perú.Pags 373 al 400 Referencia electrónica: http://es.wikipedia.org/wiki/c%c3%/a1/cálculo de probabilidades 59
Unidad V DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES Todos los conceptos analizados en base a una v.a. X unidimensional,se pueden extender a 2 ó más variables,en nuestro caso particular a una bidimensional. VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL (XY) Se dice (XY) es una v.a.b.cuando en un,se está interesado en estudiar 2 características numéricas simultanemanente. DISTRIBUCIONES CONJUNTAS Las distribuciones de probabilidad conjunta surgen al cuantificar cada par (xy) simultaneamente.pudiendo obtenerse algunas medidas descriptivas DISTRIBUCUIONES MARGINALES Estas distribuciones surgen cuando la v.a.b. (XY) se analiza por separado X e Y;pudiéndose obtener todas las medidas descriptivas marginales 60
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD CONJUNTA DE UNA V.A.B. DISCRETA p(x,y) Sea una v.ab.d. (XY) con Rango Rxxy A cada posible resultado (x,y) le asociamos un nº p(x,y) = P[ X=x ; Y=y] llamado función de probabilidad conjunta siempre que cumpla los siguientes requisistos: a) p(x,y) 0 (x,y) b) Rxxy; b) p(x,y) = 1 ; donde Si se define un evento A en el P(A) = P[(xy) A];cuya representación: Tabular: x y y1 y2... ym Marginales x1 p(x1,y1) p(x1 y2) p(x1, ym ) p1(x1) x2 p(x2,y2) p(x2 y2 ) p(x2 ym ) p2(x2 ) xn p(xn,y1) p(xn y2 ) p(xn ym ) p1(xn ) p1(y1) p2(y2 ) p1(ym ) 1 61
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN O ACUMULADA F(X,Y) F(X,Y) = P [ X x ; Y y ] = p(x,y) DISTRIBUCIONES MARGINALES DISCRETAS a)función DE PROBABILIDAD MARGINAL DE X px(x) = P( X = x) = p(x,y) en el Ry / x=cte b)función DE PROBABILIDAD MARGINAL DE Y py( y) = P(Y=y) = p(x,y) en el Rx / y=cte MEDIA CONJUNTA E(XY)= xy p(x,y) MEDIA MARGINAL DE X = E(X)= X= x px(x) MEDIA MARGINAL DE Y = E(Y)= Y= Y py( y) 62
Variables aleatorias independientes y dependientes Definicion.- Sea una v.a.b.d.(xy) con p(xy) ; px(x), py(y) Entonces se dice que Xe Y son independientes sii V(xy) p(xy) = px(x) * py(y) ; V(xy) caso contrario se dice que no son independientes Probabilidad condicional.- Sean dos eventos A y B definidos en el Ω Sabemos que P(A/B) =P(A B) / P(B) P(X=x /Y=y) = p(x,y)/py(y) P(B/A)=P(A B) / P(A) P(Y=y /X=x) = p(x,y) /px(x) Ej.-Sea una v.a.b.d (XY) cuya funcion de probabilidad p(xy) = (x+y)/ 32 ; x= 1,2; y=1,2,3,4 Hallar a) La funcion de porbabilidad condicional de X dado Y=y b) La funcion de porbabilidad condicional de Y dado X=x Sol.-px(X)= (2x+5)/16 x=1,2 py(y)=( 2y +3)/32, y=1,2,3,4 P(X=x /Y=y) = p(x,y)/py(y) = (x+y)/ (2y+3). x=1,2 P(Y=y /X=x) = p(x,y) /px(x)= (x+y)/ (4x+10), y= 1,2,3,4 63
DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES CONTINUAS Se llaman bidimensionales continuas cuando el rango de la v.a.b.c. solo se puede medir,entre sus caracteristicas tenemos: Funcion de probabilidad conjunta f(xy),es aquella funcion que cumple dos requisitos: a)f(xy) > 0 b) f(xy) dxdy =1 Funcion de probabilidad marginal de x.- f x(x)= f(xy) dy Funcion de probabilida marginal de y.- fy (y) = f(xy) dx Esperanza conjunta de XY, E(xy)= xy f(xy) dxdy Esperanza marginal de x, E(x) = x f x(x) dx Esperanza marginal de y,e(y) = y fy (y) dy Varianza marginal de x V(x)= (x-μx )² f x(x) dx = E(x²) μx ² Varianza marginal de y V(y)= (y-μy )² f y(y) dy = E(y²) μy ² Probabilidad de un un evento A.- P[(xy) A] = f(xy) dxdy A 64
Ej. Sea una v.a.c. XY cuya: f(xy) = 1/500 ; 0< x<2.5 ; 0<y<200 0 ; e.o.c. Calcular: a) P(1.0 < x< 2.0) ; b) f x(x) ; fy (y) ; c) E(x) ;d) V(x) Sol.- A) P(1.0 < x< 2.0) = 1/500 dxdy = 1/5 Rx Ry B) f x(x)= 1/500 dy = 2/5, 0<x< 2.5 fy (y) = 1/500 dy= 1/200, 0<y<200 C)E(x) = x 2/5 dx= 1.25 d) V(x)= (x-μx )² f x(x) dx = E(x²) μ V(X) = x² 2/5 dx (1.25)² =1.5625 65