ANÁLISIS DE LA DESIGUALDAD DE LA RENTA EN GRANADA, A PARTIR DE LOS DATOS DE LA E.P.F. Y DIFERENTES ESTIMACIONES DE LA CURVA DE LORENZ Rafael Herrerías Pleguezuelo - rherreri@plato.ugr.es Rosa Mª García Ferádez - rmgf@ugr.es Uiversidad de Graada Reservados todos los derechos. Este documeto ha sido extraído del CD Rom Aales de Ecoomía Aplicada. XIV Reuió ASEPELT-España. Oviedo, y 3 de Juio de 000. ISBN: 84-699-357-9
TÍTULO: ANÁLISIS DE LA DESIGUALDAD DE LA RENTA EN GRANADA, A PARTIR DE LOS DATOS DE LA E.P.F. Y DIFERENTES ESTIMACIONES DE LA CURVA DE LORENZ. AUTORES: Herrerias Pleguezuelo, Rafael y García Ferádez Rosa, María. Departameto de Ecoomía Aplicada- Uiversidad de Graada Facultad de Ciecias Ecoómicas y Empresariales. Campus de Cartuja s/ 807-Graada Tfo: 958-437-958-48344 Fax: 958-44046-958-4977 e-mailrherreri@plato.ugr.es e-mailrmgf@ugr.es RESUMEN: E este trabajo, ha estimado por el método de los míimos cuadrados ordiarios aquellas formas fucioales de la curva de Lorez que puede obteerse a través de Fucioes Geeradoras de curvas de Lorez. Se ha estimado tambié la curva de Lorez de forma o paramétrica utilizado el estimador de Nadaraya-Watso. Co el objetivo de seleccioar la curva de Lorez que más se aproxima a la realidad se ha utilizado los siguietes criterios de discrimiació: el cumplimieto de las codicioes de cotoro propuestas por Kakwai y Podder, el ídice de Gii y el Idice de Gii Poderado. Para estudiar la desigualdad se cosidera la variable Igresos medios por uidad de cosumo para cada hogar, que se ecuetra icluida e la EPF. Palabras clave : desigualdad de reta, fucioes geeradoras, estimació de curvas de Lorez, curva de Lorez o paramétrica, estimador Nadaraya-Watso, úcleo Gaussiao, ídice de Gii, Idice de Gii Poderado y codicioes de cotoro, Código UNESCO: 53004
I.- INTRODUCCIÓN Desde que Max Otto Lorez itrodujera e 905 u método gráfico para represetar y aalizar el tamaño de distribució de la reta se ha propuesto diversos métodos de estimació de la curva de Lorez. E este trabajo se estima diversas formas fucioales de curva de Lorez que se caracteriza por cumplir determiadas codicioes de cotoro (que se especificará e el siguiete epígrafe ) co el objetivo de discrimiar etre las distitas especificacioes, para fialmete elegir aquella que mejor se ajuste a u determiado cojuto de datos, que e este caso se refiere a la provicia de Graada Para poder decataros por ua determiada especificació fucioal se ha calculado los ídices de Gii e ídices de Gii Poderados asociados a cada ua de las diferetes formas fucioales. Tambié se ha realizado ua estimació de la curva de Lorez de forma o paramétrica estableciédose comparacioes etre ésta y las ateriores. II.-DIVERSAS FORMAS FUNCIONALES DE LA CURVA DE LORENZ Kakwai y Podder (973) caracterizaro la curva de Lorez a partir de ua serie de propiedades. Estas propiedades hace posible obteer ua gama coherete de formas fucioales de curvas de Lorez a partir de ua distribució de frecuecias observadas. Se dice que yl( represeta ua curva de Lorez si cumple las siguietes propiedades: a) L(0) 0 b) L() c) L ( 0, para 0 p d) L ( 0, para 0 p e) L( p, para 0 < p < Gupta (984) geeraliza este resultado añadiedo otra propiedad: f) 0 L( dp / 0 A cotiuació se expoe distitas especificacioes de la curva de Lorez que cumple estas codicioes: Kakwai y Podder (973) propoe como forma fucioal de la curva de Lorez la forma expoecial γ ( L ( pe, γ > 0 () que satisface todas las propiedades citadas ateriormete. Estos autores cosideraro tambié la forma más geeral γ ( L ( p b e, γ > 0 () que satisface todas las propiedades.
Rasche, Gaffey, Koo y Obst (980) sugiriero la siguiete forma fucioal: α [ ( ) ]β L( p 0 α, 0 β (3) Esta forma o es lieal e sus parámetros, por lo que o podrá utilizarse el método de los míimos cuadrados ordiarios para estimar los parámetros. Gupta (984) propuso la forma potecial como forma fucioal de la curva de Lorez: p L ( pa co A>0 (4) Casas, Herrerias y Núñez (990) probaro que cualquier combiació lieal covexa de las formas expoecial y potecial satisface tambié las propiedades establecidas. Esto da cabida a ua doble ifiidad de formas fucioales para estimar la curva de Lorez. Basma, Hayes, Slottje y Johso (990) defie la curva de Lorez como sigue: Sea L( ua fució real valuada, o egativa y que posee derivadas hasta de segudo orde para cualquier puto del domiio 0 p. Cosidera ua hipótesis geeral de la curva de Lorez para caracterizar desigualdades : Ho : L( p e ap+ b g( p ) h( (5) a, b, g y h so parámetros a estimar. Si se aaliza esta forma geeral paramétrica se observa que sólo cumple las propiedades mecioadas para determiados valores de los parámetros, cocretamete se cumplira las propiedades de cotoro si: p ( a log p + ( a + gh) p + b) + ( ap g b 0 (6) Partiedo de la especificació geeral se puede hacer distitas hipótesis ulas: H 0 : g0 L( p e ap+ b h( H 0 : g-h L( p e ap+ b gp( H 3 0 : g0, h0 L p p ap + ( ) b H 4 0 : g0,a0 L( p e b h ( p ) H 5 0 : a0,b,g0 L( pe h p ( ) Como puede observarse las dos últimas especificacioes coicide co las propuestas por Kakwai y Podder (973). 3
Casas y Nuñez (99) propoe ua ueva familia geeradora de fucioes que puede utilizarse para estimar curvas de Lorez : L b ( p b (7) Ortega, Martí, Ferádez, Ladoux y García (99) estableciero la siguiete forma fucioal b [ ( p ] a L ( p ) a 0 0 < b (8) Chotikapaich, D. (993) propuso ua forma fucioal alterativa para estimar la curva de Lorez. La estimació del parámetro (k) ha de hacerse por míimos cuadrados o lieales. kp e L ( k>0 (9) k e Lafuete L. M. (995) estableció como forma fucioal de la curva de Lorez la expresió L( p b e 0 p, b (0) p U estudio posterior de (Callejó C.J. (995)) muestra que todas estas formas fucioales mecioadas ateriormete puede obteerse a partir de fucioes geeradoras de curvas de Lorez. III.- FUNCIONES GENERADORAS DE CURVAS DE LORENZ Si f(x) es la fució de desidad de ua variable aleatoria y [ a,b ] es su domiio de defiició, etoces la fució geeradora, vedrá dada por: para aquellos putos e los que f f ( x) d l f ( x) g( x) () f ( x) dx ( x) existe y f ( x) o es cero. Se demuestra (Lafuete L. M. (994)) que todas las formas fucioales propuestas ateriormete para estimar la curva de Lorez puede obteerse como solució de la ecuació diferecial: g( x) f ( x) () f ( x) que coicide co la defiició de fució geeradora. 4
Callejó C. J. (995) demuestra que si la modelizació L(, de ua curva de Lorez verifica la ecuació diferecial aterior ha de ser de la forma: p g( dp L( Ce (3) Se estudia las codicioes ecesarias y suficietes que ha de cumplir la fució (g) para que la solució obteida verifique las codicioes de cotoro especificadas por Kakwai, Podder y Gupta. De esta forma, si se llama p G ( x) g( dp (4) para que f ( G( G () e sea ua curva de Lorez es codició ecesaria y suficiete que se verifique las relacioes: ) lim G( p ) g(>0 p [ 0, ] 3) ( g ( ) + g ( 0 p [ 0, ] IV.-ESTIMACIONES DE LA CURVA DE LORENZ. Partiedo de los datos sumiistrados por la E.P.F.(990-99) se ha estimado aquellas formas fucioales de la Curva de Lorez, para Graada, que os permite utilizar el método de los Miimos Cuadrados Ordiarios. El primer paso que se ha seguido, ha sido ordear los registros del fichero de trabajo de forma creciete de acuerdo a la variable igreso (valor del igreso por uidad de cosumo del hogar al que perteece la persoa). Posteriormete se calcula para cada ua de las diez decilas, la proporció acumulada de igresos (Tabla A.). A cotiuació se ha estimado distitas formas fucioales de la curva de Lorez para la provicia de Graada, para lo cual se ha trabajado co ua mu estra de 47 hogares. Los resultados obteidos so los siguietes: C.L. Kakwai y Podder: q t â( p t ) p t e, â > 0; qˆ t.378 ( p t ) p t e Si se ajusta a los datos la seguda forma fucioal propuesta por Kakwai se obtiee: q t á â( p e, á > 0, â > 0; q t.9.49 ( p e 5
C.L. Gupta: q p t p t A, A > C.L.Casas y Nuñez: q b t p, b ; qˆ t C.L. Lafuete: b p q t p e,0 C.L. Basma: ; qˆ t.685 p p, b p (3.966) p t ; qˆ t.07 p p e q t ap+ b g( p ) h( p e Para que se cumpla las codicioes de cotoro debe cumplirse la siguiete desigualdad: z (algz+ (a + gh) z+ b) + (az gz ) b Esta desigualdad o se cumple para los datos co los que se ha trabajado. 0 Tambié ha sido estimada la curva de Lorez de forma o paramétrica (TABLA A. y Gráfico B5) para lo cual se ha utilizado el estimador de Nadaraya-Watso que tiee la siguiete expresió: pˆi qˆi i i x xi K h x xi K h i i x xi pik h x xi qik h (5) Siedo: -K: el ucleo gaussiao cuya forma es : K h ð e x xi h -h: u parámetro de suavizamieto cuyo valor se ha elegido co aterioridad (h 0.). -x: ua malla de valores fijos que se calcula previamete. E este caso se ha dividido la distribució e seis tramos y se ha calculado los cuartiles para cada uo de los tramos obteiédose asi 8 putos fijos y cosecuetemete 8 valores de ( y (q). E u primer mometo se tomaro como valores fijos las decilas (Tabla A.) obteiédose por tato diez estimacioes de ( y (q) que resultaro isuficietes para represetar los tramos de mayor cocetració de reta. 6
V.- DISCRIMINACIÓN ENTRE LAS DISTINTAS CURVAS DE LORENZ E este apartado se pretede seleccioar aquellas curvas de Lorez, propuestas por los diversos autores, que más se aproxima a la curva de Lorez real. Esta selecció supoe discrimiar aquellas curvas de Lorez que os muestre uos resultados más alejados de la realidad. Como criterio de discrimiació se ha utilizado el cumplimieto de las mecioadas codicioes de cotoro. Segú los resultados obteidos se cocluye que so las curvas propuestas por Kakwai y Podder ( primera y seguda especificació), Gupta, Casas-Nuñez y Lafuete las úicas que cumple las codicioes de cotoro. Co respecto a la especificació propuesta por Gupta, al liealizar la expresió para poder obteer las estimacioes por Míimos Cuadrados Ordiarios puede observarse que coicide co la primera forma fucioal propuesta por Kakwai, por lo que la curva de Lorez estimada coicidirá, por lo que e adelate se omitirá. Si os cetramos e los valores observados y estimados de la curva de Lorez (Tabla A.) podemos calcular la suma de los errores al cuadrado, asi como la suma de los errores absolutos. E fució de los ateriores resultados, se tiee que la primera especificació fucioal propuesta por Kakwai y Podder es la que mejor ajuste proporcioa, seguida de la seguda especificació propuesta por los mismos autores. Co respecto a las curvas de Lorez propuestas por Lafuete (Gráfico B.3) ycasas y Nuñez (Gráfico B.4 ) ha de señalarse que ofrece peores resultados, sobre todo si se compara co la formas propuestas por Kakwai, (Gráfico B. y B.). Si se compara la represetació gráfica de cada ua de las curvas co la curva real, observamos como ya explicitaro Basma y otros (990) que alguas curvas ajusta mejor las colas mietras que otras ajusta mejor el cetro de la distribució (Gráficos B.-B4). Para decidir que fució es la que más se aproxima a la curva de Lorez real se ha calculado los ídices de Gii obteiédose los siguietes resultados: IG real 0.3793894 IG Kakwai () 0.36976745 IG Kakwai () 0.3574894 IG Casas 0.80588 IG Lafuete 0.40808 IG estimació o paramétrica 0.3406478 Como se observa a excepció de la estimació del ídice de Gii propuesto por Lafuete cuyo valor os idica ua mayor desigualdad que la que realmete exis te el resto de estimacioes so meores que el ídice de Gii real. Se ha calculado el ídice de Gii utilizádose la siguiete expresió: IG i (pi qi) i pi 7
La mejor estimació la proporcioa el ídice de Gii de Kakwai () seguida de la estimació correspodiete a la seguda especificació del citado autor y de la estimació correspodiete a la forma o paramétrica. Ates de decidiros por ua determiada forma fucioal se ha procedido a calcular el ídice de Gii Poderado. VI.-INDICE DE GINI PONDERADO Como es sabido cuado se calcula el ídice de Gii para u cojuto de datos si agrupar se le asiga a cada idividuo ua poderació que es ua fució decreciete de la posició que ocupe e la distribució ordeada de la reta. Si se trabaja co datos agrupados ha de poder calcularse u ídice que asige poderacioes e orde decreciete co respecto a la cocetració de la reta que presete u grupo de idividuos. De esta forma se le dará mayor poderació a aquellos grupos co meores igresos mateiedose la filosofía implícita e el cálculo del ídice de Gii para datos si agrupar. La expresió del mecioado ídice será: i wi(pi qi) IGP dode wi 0, 9, 8... (6) i wipi Nótese que si wi es u valor costate se verifica que IGIGP Como es sabido, u ídice de desigualdad ha de cumplir ua serie de propiedades que recoge ituicioes básicas acerca de lo que es la desigualdad (Lafuete L.M.,994). Se ha comprobado que el ídice propuesto cumple las mismas propiedades que el Idice de Gii, siempre que se fije las poderacioes por grupos, de forma que la mayor poderació acompañe siempre a las retas más bajas y la meor a las retas más altas. Se ha calculado los ídices de Gii Poderados (IGP) para la provicia de Graada obteíedose los siguietes resultados: IGP real 0.45746 IGP Kakwai 0.45605 IGP Kakwai 0.443075 IGP Lafuete 0.4956788 IGP Casas 0.3684434 Co respecto a estos resultados, se observa e primer lugar que el ídice de Gii Poderado calculado segú la primera forma fucioal propuesta por Kakwai Podder es el que más se aproxima al real. Ua de las posibles expresioes puede ser la siguiete: I G(x) dode + + [ x+ ( ) x +... + x + x ] : x x ì... x ì i ( i+ ) x i 8
Se ha calculado las diferecias etre el IG real y los IG calculados segú las distitas especificacioes fucioales de la curva de Lorez, tato para los IG si poderar como para los IG poderados (Tabla A.3) pudiédose comprobar que exceptuado el IG de Lafuete se obtiee mejores aproximacioes al IG real cuado se utiliza los IGP. La explicació de este resultado puede deberse a que la especificació fucioal de curva de Lorez propuesta por Lafuete ajusta mejor los tramos superiores de la distribució, que so los que meor poderació recibe e el cálculo del IGP. E segudo lugar se observa que la medida de desigualdad que se obtiee utilizado los IGP es mayor que la desigualdad obteida utilizado los ídices si poderar, ya que como es sabido, el IG toma valores etre 0 y de forma que cuato más se aproxima a la uidad mayor es la cocetració de los igresos y por lo tato mayor será la desigualdad. Pero e térmios relativos si comparamos la desigualdad existete e Graada co la desigualdad existete e Adalucía se obtiee que el IG real de Graada supera al IG real de Adalucía e.054 putos, mietras que si se utiliza el IGP la desigualdad e la provicia de Graada supera e.05 putos a la desigualdad existete e Adalucía. Esto poe de maifiesto que auque el IGP se aproxime más a la uidad, e térmios relativos os lleva a la misma coclusió que si utilizásemos los IG si poderar. Obteiédose resultados aálogos si utilizamos los IG que se deriva de las distitas formas fucioales de curvas de Lorez (Tabla A.4). Atediedo a los resultados puede cocluirse que para este cojuto de datos es la primera especificació propuesta por Kakwai y Podder la que mejor ajuste proporcioa. VII.- CONCLUSIONES E primer lugar ha de destacarse, co referecia al estudio teórico de las distitas formas fucioales de curvas de Lorez propuestas por diversos autores, la coicidecia de la curva propuesta por Gupta (984) co la propuesta por Kakwai y Podder (973), para demostrarlo basta co tomar ã A e e (4) y comprobar que se obtiee (). E segudo lugar, se ha comprobado que la primera forma fucioal propuesta por Kakwai y Podder es la que mejor resultados proporcioa, ya que es la que más se aproxima a la realidad siedo, por lo tato, el ídice de Gii asociado a esta especificació el más próximo al ídice de Gii real. E tercer lugar y atediedo a los resultados, se puede cocluir que las especicificacioes de Kakwai y Podder proporcioa mejores resultados que la estimació o paramétrica de la curva de Lorez, que utilizado el estimador de Nadaraya-Watso. Si se utiliza los IGP se reduce las diferecias etre el IGP real y los IGP para las dos especificacioes de Kakwai- Podder y la especificació de Casas, o ocurriedo igual para la especificació de Lafuete por los motivos expuestos. Si se compara la desigualdad de la provicia de Graada co la desigualdad existete e Adalucía, se tiee que la primera supera a la seguda e.05 putos, obteiédose estos resultados tato si comparamos los IG si poderar como si utilizamos los IG Poderados. 9
Estimacioes de la curva de Lorez para Graada p q K K Lf Casas 0, 0,0633735 0,089377 0,070433 0,035689 0,0067708 0, 0,06700996 0,0664498 0,0658337 0,068336 0,0664663 0,3 0,987977 0,43568 0,6604 0,08976 0,35846 0,4 0,85448 0,74999 0,799596 0,68389 0,36374 0,5 0,6434 0,50634 0,594776 0,48747 0,3084 0,6 0,3530076 0,3457868 0,356539 0,3053945 0,49545 0,7 0,4586304 0,46300543 0,4753869 0,40986659 0,5483607 0,8 0,5843 0,6073688 0,6904777 0,54939389 0,68667944 0,9 0,738738 0,784609 0,798483 0,7387389 0,83737698 SAE 0,07898 0,333355 0,05579 0,4583083 SSE 0,008977 0,0044944 0,00779 0,03683407 Tabla A.. Estimació o paramétrica de la curva de Lorez X8 X0 P q pestimados Qestimados 0 0 0 0 0,09743 0,065875 0,08088864 0,0377834 0,73785 0,03835976 0,0943378 0,0460833 0,435 0,0469734 0,404848 0,0588075 0,69863 0,0869356 0,43995 0,07744354 0,673404 0,088898 0,780038 0,039938 0,339976 0,359698 0,9034 0,4338858 0,3863709 0,8303886 0,3067765 0,03834 0,45350 0,035359 0,40530056 0,98463 0,4637849 0,398678 0,5659839 0,466595 0,5436844 0,3058536 0,5959695 0,3545657 0,6533789 0,4099034 0,76694 0,477763 0,7540648 0,580698 0,80867466 0,59963769 0,88563 0,750 0,964908 0,7898464 0,960337 0,866676 Tabla A. Estimacioes de los IG, IGP y sus diferecias co respecto al real IGGraada IGPGraada IGreal-IGE IGPreal-IGPE IG real 0,3793894 0,45746 IG Kakwai () 0,36976745 0,45605 0,0095649 0,0004438 IG Kakwai () 0,3574894 0,443075 0,08397 0,00438867 IG Lafuete 0,40808 0,4956788 0,04754 0,0439369 IG Casas 0,80588 0,3684434 0,0990704 0,0833077 0
Tabla A.3 Idices de Gii poderados y si poderar para Graada y Adalucia IGGraada IG IGPGraada IGP IGG/IGA IGPG/IGPA Adalucía Adalucía IG real 0,3793894 0,35978099 0,45746 0,49739743,054339,05086 IGKakwai () 0,36976745 0,3574558 0,45605 0,435804,0485539,045654 IGKakwai () 0,3574894 0,33734046 0,443075 0,489367,0597834,0534564 IG Lafuete 0,40808 0,4698 0,4956788 0,48364495,0538937,07608 IG Casas 0,80588 0,6745687 0,3684434 0,357395,0478654,0445974 Tabla A.4
Gráfico B. Curva de Lorez de Kakwai-Podder() 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 q K 0,4 0,3 0, 0, 0 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Gráfico B. Curva de Lorez de Kakwai-Podder() 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 q K 0,4 0,3 0, 0, 0 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Gráfico B.3 Curva de Lorez de Lafuete 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 q real q Lf 0,4 0,3 0, 0, 0 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Gráfico B.4 Curva de Lorez de Casas- Nuñez 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 q real q Casas 0,4 0,3 0, 0, 0 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 3
Gráfico B.5 Curva de Lorez o paramétrica 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 q o par. 0,4 0,3 0, 0, 0 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 4
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