MODELACIÓN, SIMULACIÓN Y ANÁLISIS DE FLUJO DE CARGA DE LA RED ELÉCTRICA DE TRANSPORTE DE GUATEMALA, UTILIZANDO SOFTWARE DE LIBRE ACCESO

Unversdad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ingenería Escuela de Ingenería Mecánca Eléctrca MODELACIÓN, SIMULACIÓN Y ANÁLISIS DE FLUJO DE CARGA DE LA RED ELÉCTRICA DE TRANSPORTE DE GUATEMALA, UTILIZANDO SOFTWARE DE LIBRE ACCESO Juan Danel Carrllo Galvez Asesorado por el Ing. Fernando Alfredo Moscoso Lra Guatemala, octubre de 2009

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA MODELACIÓN, SIMULACIÓN Y ANÁLISIS DE FLUJO DE CARGA DE LA RED ELÉCTRICA DE TRANSPORTE DE GUATEMALA, UTILIZANDO SOFTWARE DE LIBRE ACCESO TRABAJO DE GRADUACIÓN PRESENTADO A JUNTA DIRECTIVA DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA POR: JUAN DANIEL CARRILLO GALVEZ ASESORADO POR EL ING. FERNANDO ALFREDO MOSCOSO LIRA AL CONFERÍRSELE EL TÍTULO DE INGENIERO ELECTRICISTA GUATEMALA, OCTUBRE DE 2009

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA NÓMINA DE JUNTA DIRECTIVA DECANO VOCAL I VOCAL II VOCAL III VOCAL IV VOCAL V SECRETARIA Ing. Murphy Olympo Paz Recnos Inga. Glenda Patrca García Sora Inga. Alba Martza Guerrero de López Ing. Mguel Angel Dávla Calderón Br. José Mlton De León Bran Br. Isaac Sultan Mejía Inga. Marca Ivónne Vélz Vargas TRIBUNAL QUE PRACTICÓ EL EXAMEN GENERAL PRIVADO DECANO EXAMINADOR EXAMINADOR EXAMINADOR SECRETARIA Ing. Murphy Olympo Paz Recnos Ing. Fernando Alfredo Moscoso Lra Ing. Armando Gálvez Castllo Ing. Julo Rolando Barros Inga. Marca Ivónne Vélz Vargas

Dedcado a ms padres: Elzabeth y Danel

ÍNDICE GENERAL ÍNDICE DE ILUSTRACIONES LISTA DE SÍMBOLOS GLOSARIO RESUMEN OBJETIVOS INTRODUCCIÓN V IX XI XV XVII XIX 1. FLUJO DE CARGA 1 1.1 Esquema de flujo de carga 1 1.2 Ecuacones de flujo de carga 3 1.3 Algortmos de flujo de carga 5 1.3.1 Método teratvo de Gauss-Sedel 6 1.3.1.1 Algortmo 8 1.3.1.1.1 Restrccones 10 1.3.1.1.2 Algortmo para nclusón de buses PV 11 1.3.1.2 Ejemplo 1 12 1.3.2 Método de Newton-Raphson 17 1.3.2.1 Algortmo 20 1.3.2.2 Ejemplo 2 24 1.3.3 Condcones de aplcacón del algortmo de flujo de carga 31 2. MODELACIÓN DE REDES ELÉCTRICAS DE GRAN ESCALA 33 2.1 Modelos de carga 33 2.1.1 Modelo de mpedanca constante 34 2.1.2 Modelo de corrente constante 34 I

2.1.3 Modelo de potenca constante 34 2.2 Reduccón de redes 35 2.2.1 Métodos de reduccón 35 2.2.1.1 Áreas coherentes 36 2.2.1.1.1 Identfcacón de áreas coherentes 36 2.2.1.1.1.1 Coefcente de correlacón 37 2.2.1.1.1.2 Escala de tempo 39 2.2.1.1.1.3 Coherenca lenta 40 2.2.1.1.1.4 Modelo basado en datos 41 2.2.1.1.1.5 Pequeña señal 41 2.2.1.1.1.6 Modelo de estmacón nter-área 43 2.2.1.1.2 Dnámca de reduccón 43 2.2.1.1.2.1 Reduccón basada en coherenca 44 2.2.1.1.2.2 Adcón de undades de generacón 46 2.2.1.1.2.3 Reduccón de buses de carga 49 2.2.1.2 Técncas para reduccón de redes 50 2.2.1.2.1 Adcón al bus termnal 51 2.2.1.2.2 Adcón de nodo nterno 53 2.2.1.2.3 Adcón por mpedanca compensada 56 2.2.1.2.4 Adcón de generacón a la matrz de 60 admtancas 3. SOFTWARE PARA ANÁLISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA 61 3.1 Defncón de software 61 3.1.1 Software comercal 62 3.1.1.1 Matlab 62 3.1.1.1.1 Smulnk 63 3.1.1.2 PSS/E 64 3.1.1.3 CYME 65 3.1.1.4 EMTP 65 3.1.1.5 PSCAD/EMTDC 66 II

3.1.1.6 NEPLAN 66 3.1.1.7 PowerGraf 66 3.1.1.8 PowerWorld 67 3.1.1.9 PFLOW 67 3.1.1.10 Ptolemy 68 3.1.2 Software ddáctco 69 3.1.3 Software lmtado 69 3.1.4 Software de lbre acceso 70 3.1.4.1 GNU 70 3.1.4.1.1 GNU Octave 71 3.1.4.2 Software de lbre acceso para el estudo de redes 73 3.1.4.2.1 AMES 73 3.1.4.2.2 DCOPFJ 74 3.1.4.2.3 MATPOWER 74 3.1.4.2.4 PSAT 75 3.1.4.2.4.1 Modelos matemátcos de PSAT 80 3.1.4.2.4.1.1 Algortmo de flujo de carga 80 3.1.4.2.4.1.2 Contnuacón de flujo de carga 81 3.1.4.2.4.1.3 Flujo de carga óptmo 82 3.1.4.2.4.1.4 Domno de tempo 82 4. RED ELÉCTRICA DE TRANSPORTE DE GUATEMALA 83 4.1 El subsector eléctrco guatemalteco 83 4.2 Sstema eléctrco naconal 84 4.2.1 Generacón 85 4.2.2 Red eléctrca de transporte 88 4.2.2.1 Interconexones nternaconales 91 4.2.2.1.1 SIEPAC 92 4.2.2.1.2 Interconexón con Méxco 94 4.2.3 Sstema de dstrbucón fnal 94 III

4.3 Expansón de la red de transporte 95 4.3.1 Plan de expansón 2008-2018 96 4.3.1.1 Anllo metropacífco 99 4.3.1.2 Anllo hdráulco 100 4.3.1.3 Anllo atlántco 101 4.3.1.4 Anllo orental 103 4.3.1.5 Anllo occdental 104 5. MODELACIÓN Y SIMULACIÓN DE LA RED ELÉCTRICA DE TRANSPORTE DE GUATEMALA EN ESTADO ESTABLE 107 5.1 Año estaconal 2008-2009 107 5.2 Septembre de 2008 109 5.3 Modelacón de la red de transporte de Guatemala 110 5.3.1 Modelacón de sstemas reducdos 117 5.3.1.1 R PSAT 118 5.3.1.2 Varables de reduccón 120 5.4 Smulacón de la red de transporte de Guatemala 126 5.4.1 Modelo reducdo 134 6. ANÁLISIS DE FLUJO DE CARGA DE LA RED ELÉCTRICA DE TRANSPORTE DE GUATEMALA EN ESTADO ESTABLE 141 6.1 Demanda 141 6.1.1 Demanda meda 142 6.1.2 Demanda máxma 144 6.2 Condcones de operacón del SNI 147 6.2.1 Máxma transferenca de potenca 150 6.3 Correspondenca de sstemas equvalentes 153 6.3.1 Flujo de buses nertes 155 CONCLUSIONES 157 RECOMENDACIONES 159 BIBLIOGRAFÍA 161 IV

ÍNDICE DE ILUSTRACIONES FIGURAS 1 Varables de bus V k, δ k, P k, Q k 2 2 Modelo de línea de transmsón y transformador 3 3 Sstema de dos buses 4 4 Flujo de carga en las líneas de transmsón entre buses, k 9 5 Dagrama unflar del sstema ybus_e5x5 13 6 Red de mpedancas de ybus_e5x5 15 7 Sstema de dos áreas 42 8 IME aplcado a un sstema de dos áreas 43 9 Procedmento de reduccón para una red de gran escala 44 10 Esquema Podmore para dos máqunas coherentes 51 11 Esquema del método INA 55 12 Esquema del método ICA 59 13 Esquema snóptco de PSAT 76 14 Ventana prncpal de PSAT 78 15 Lbrería Smulnk de PSAT 78 16 Esquema del subsector eléctrco guatemalteco 84 17 Sstema naconal nterconectado 91 18 SIEPAC 93 19 Anllo metropacífco 100 20 Anllo hdráulco 101 21 Anllo atlántco 102 22 Anllo orental 103 V

23 Anllo occdental 104 24 Composcón de la energía 2008-2009 109 25 Curva de demanda del 21/09/2008 al 27/09/2008 111 26 Flujo de carga de la red orgnal ybus_e5x5 121 27 Flujo de carga para el segundo ambente 121 28 Flujo de carga para el tercer ambente 121 29 Flujo de carga para el cuarto ambente 122 30 Flujo de carga para el qunto ambente 122 31 Flujo de carga del nuevo modelo del segundo ambente 125 32 Flujo de carga del nuevo modelo para el tercer ambente 126 33 Perfl gráfco de voltajes de nodo en demanda meda 131 34 Voltajes de nodo del modelo reducdo de 283 buses 140 35 Voltajes de nodo para el escenaro de demanda máxma 146 36 Voltaje por transferenca de potenca actva en GSU-230KV 151 37 Voltaje por transferenca de potenca reactva en GSU-230KV 151 38 Voltaje por transferenca de potenca actva en GNO-230KV 152 39 Voltaje por transferenca de potenca reactva en GNO-230KV 152 40 Comparacón de flujo de potenca de líneas entre modelos 154 41 Flujo de potenca en las líneas del modelo de ses buses 155 42 Flujo de potenca en las líneas del modelo reducdo 155 VI

TABLAS I Datos de entrada de los buses 13 II Datos de las líneas 13 III Datos de transformadores 13 IV Condcones ncales de ybus_e5x5 14 V Solucón de flujo de carga para ybus_e5x5 17 VI Comparacón del soporte de Matlab y Octave con PSAT 76 VII Modelos típcos de smulacón de PSAT 77 VIII Capacdad nstalada de SNI 86 IX Subestacones del SNI 89 X Líneas de transmsón del SIEPAC 93 XI Empresas de dstrbucón fnal 95 XII Crecmento del subsector eléctrco 96 XIII Generacón proyectada al año 2022 96 XIV Refuerzos al SNI en el corto plazo 98 XV Líneas de transmsón en construccón 98 XVI Subestacones en construccón 98 XVII Varacón de voltajes del segundo ambente 123 XVIII Varacón de voltajes del cuarto ambente 124 XIX Varacón de voltajes del qunto ambente 124 XX Voltajes de nodo de la red de transporte en demanda meda 127 XXI Nomenclatura de buses 132 XXII Varacones del modelo reducdo 135 XXIII Buses con mayor desvacón del voltaje nomnal 142 XXIV Líneas con mayor transferenca de potenca 143 VII

XXV Líneas que provocan mayores pérddas por transmsón 143 XXVI Buses con mayor depresón de voltaje 145 XXVII Líneas con mayor transferenca de potenca 145 XXVIII Líneas con mayores pérddas por transmsón 146 VIII

LISTA DE SÍMBOLOS V δ P Q S L G I Z B Y d j n k m r Є D Voltaje Ángulo de fase Potenca actva Potenca reactva Potenca aparente Ángulo Carga Generacón Corrente Impedanca Susceptanca Admtanca Dervacón Número magnaro Subíndce n-ésmo relatvo a un bus Subíndce k-ésmo Subíndce m-ésmo Subíndce -ésmo Subíndce r-ésmo relatvo a una teracón Sumatora No gual Aproxmadamente Pertenece Demanda Para todo IX

Magntud * Conjugado G B J Δ Θ c m y x q b ω E H X d Φ K g f γ λ KW KV KA KVA MVA Conductanca de transformador Susceptanca de transformador Jacobano Varacón Ángulo ncal Dervada de y respecto de x Subíndce q-ésmo Subíndce b-ésmo Velocdad angular Voltaje de máquna Inerca de un generador Reactanca transtora Ángulo de fase Matrz de coefcentes lnealzados Funcón Funcón Factor de partcpacón Parámetro para varar bases de generacón y carga Klo Watt Klo Volto Klo Ampero Klo Voltampero Mega voltampero X

GLOSARIO Algortmo Procedmento que permte dar solucón a un problema. AMM Admnstrador del Mercado Mayorsta Amortguamento Condcón de osclacón entre los estados de perturbacón y establdad. Ampacdad Capacdad de conduccón de corrente Armónco Frecuenca dstnta y superor a la frecuenca de operacón. Bfurcacón Separacón Bus Punto de nterseccón de líneas de transmsón tambén llamado barra o nodo. Carga Consumdor CNEE Comsón Naconal de Energía Eléctrca Compensacón Adcón de potenca reactva a un bus Complador Traductor de lenguaje de alto nvel Consola Interfaz de usuaro Correlacón Índce que ndca relacón entre varables CPF Contnuacón de Flujo de Carga Demo Abrevatura de la palabra demostracón Dervacón Conexón en paralelo DFC Formato de Conversón de Datos Dsperso Relatvo a matrces de grandes dmensones DME Modelo de Estmacón Dnámca Ésmo Estmacón de cualquer índce natural XI

ETCEE Empresa de Transporte y Control de Energía Eléctrca FACTS Controladores electróncos de potenca reactva Fase Línea con potencal energétco Fasor Representacón de magntudes vectorales GIS Sstema de Informacón Geográfca GNU Acrónmo recursvo que sgnfca GNU No es Unx GUI Interfaz Gráfca de Usuaro Heterogéneo Compuesto de partes de dversa naturaleza HVDC Alto Voltaje de Corrente Drecta ICA Adcón por Impedanca Compensada IEC Comsón Internaconal Electromecánca IME Modelo de Estmacón Inter área INA Adcón de Nodo Interno Inerca Energía almacenada a velocdad síncrona por voltampero nomnal de una máquna. Interfaz Medo de comuncacón entre usuaro y equpo Iteracón Paso de un procedmento Kernel Núcleo Lbrería Herramenta (subprograma) de un programa Lnealzar Convertr una expresón de grado mayor a grado uno. MEM Mnstero de Energía y Mnas MER Mercado Eléctrco Regonal NEAST Normas de Estudos de Acceso al Sstema de Transporte. NTAUCT Normas Técncas de Acceso y Uso de la Capacdad de Transporte. OPF Flujo de Carga Óptmo OSS Open Source Software PF Flujo de carga XII

Planta Central de generacón Puntero Varable drgda a un espaco de memora Rama Línea de transmsón de una red eléctrca Regresón Proceso para ajustar datos a una funcón SCADA Sstema de Control y Adquscón de Datos Scrpt Programa defndo por el usuaro SEN Sstema Eléctrco Naconal SIEPAC Sstema de Interconexón Eléctrca para Amérca Central. SNI Sstema Naconal Interconectado Síncrono Velocdad de campo déntca a velocdad del gro Slack Nodo de compensacón Spot Preco de oportundad de la energía SQL Sstema de bases de datos SSA Establdad de pequeña señal SSSC Compensador sere estátco síncrono SVC Compensador Estátco de VAR's Tap Toma de un transformador TCSC Capactor Sere Controlado por Trstores TD Domno de Tempo Topología Dseño o forma de una red eléctrca Transtoro Señal de corta duracón TRELEC Empresa de Transporte que opera en los departamentos de Guatemala, Escuntla y Sacatepéquez. UDM Modelo defndo por el usuaro Unflar Un solo hlo UPFC Controlador Unfcado de Flujo de Potenca XIII

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RESUMEN El presente documento es un estudo de la aplcacón de smuladores lbres de costo para el análss de flujo de carga de sstemas de potenca de gran escala. Tomado como objeto prncpal el análss de la red de transporte de Guatemala, el trabajo contempla ses capítulos numerados de acuerdo con la mportanca de los temas, donde el capítulo uno corresponde a la nterpretacón de los métodos teratvos de Gauss Sedel y Newton Raphson para resolver el problema de flujo de carga, aplcando su algortmo a un sstema de cnco buses llamado ybus_e5x5. El capítulo dos presenta los aspectos necesaros para crear modelos reducdos de sstemas de gran escala, a través de métodos de dentfcacón de áreas coherentes y adcón de undades de generacón a nodos comunes. El capítulo tres descrbe técncamente el software destnado a la smulacón de redes eléctrcas, separándolo en software comercal, ddáctco, lmtado y de lbre acceso, exponendo en un apartado especal el smulador PSAT. El capítulo cuatro detalla la topología de la red de transporte de Guatemala, sus nterconexones nternaconales y planes de expansón, además del medo nsttuconal que regula su dnámca. El capítulo cnco expone la modelacón de la red de transporte a través de la metodología utlzada para resolver el problema de flujo de carga con PSAT, además del flujo de carga para la red de transporte completa y el modelo reducdo sustentado en el scrpt R PSAT, que tambén es descrto en este capítulo. Fnalmente, el capítulo ses exhbe el análss de flujo de carga para la red de transporte, sus límtes de operacón más sgnfcatvos y las lmtacones del algortmo de reduccón. XV

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OBJETIVOS General Modelar y smular la red eléctrca de transporte de Guatemala en estado estable, someténdola a los algortmos de flujo de carga para estmar sus condcones de operacón con software de lbre acceso. Específcos: 1. Consttur el análss de flujo de carga para el punto de demanda máxma de la época lluvosa del año estaconal 2008-2009, sustentándolo en los datos ofrecdos por el smulador PSAT. 2. Crear un modelo reducdo de la red de transporte a partr de su modelo orgnal, dentro de los parámetros de aplcacón del software de lbre acceso. 3. Estmar la varabldad de resultados entre el modelo orgnal, modelo reducdo y el nforme post operatvo de la red. XVII

XVIII

INTRODUCCIÓN La smulacón de redes eléctrcas se ve relaconada con el dseño y optmzacón de los recursos energétcos. Los sstemas de gran escala como la red de transporte de Guatemala, presenta condcones de operacón en las que es necesara la mplementacón de meddas de segurdad para evtar colapsos de voltaje, tomando como referenca que el mantenmento preventvo responde al análss de las varables de estado en tempo real, a través de un software que dota la nformacón sufcente para ntervenr ncontnencas. En consecuenca los modelos exgen el cumplmento de todas las condcones de operacón de la red, contrayendo grandes cantdades de datos que forman matrces complejas dspersas. La mplementacón del análss smulatoro conlleva el aspecto técnco y económco del software, dversfcando el carácter objetvo de la smulacón por las múltples aplcacones para las que ha sdo creado. Dando cabda al software de lbre acceso PSAT, la red de transporte de Guatemala se sustenta en un modelo de datos cuyo análss de flujo de carga, permte estmar sus condcones de operacón en estado estable, que además con la posbldad de adherr funcones defndas por el usuaro a un smulador de esta naturaleza, es posble ncrustar funcones que se ajusten a los requermentos de aplcacón, exmendo la necesdad de comprar paquetes especalzados. Este trabajo expone la red eléctrca de transporte de Guatemala para el escenaro de demanda máxma en la época lluvosa del año estaconal 2008-2009, creando un modelo a partr de sus datos orgnales y modfcándolo con un algortmo de reduccón que permte hacer análss de nodos específcos. XIX

Con un total de 623 nodos y 696 líneas de transmsón, la red de transporte es consderada un sstema de gran escala crcunstancalmente complejo de smular, especalmente cuando se trata de crear modelos equvalentes de menor escala. PSAT no provee ncalmente el soporte para reducr redes, pero para tal efecto se ha sumado a sus propedades un scrpt denomnado R PSAT para consttur esta aplcacón. El modelo reducdo de la red consttuye una alternatva de 283 nodos con mínmas dferencas en las varables de estado de los nodos no elmnados, permtendo reducr la matrz de admtancas orgnal e nterpretar efectos en los voltajes de barra sn necesdad de someter a dscusón la totaldad de los nodos del sstema orgnal. En comparacón con los nformes post operatvos ofrecdos por los entes que coordnan la operacón del Sstema Naconal Interconectado, los resultados del flujo de carga ofrecdos por PSAT muestran completa compatbldad con los datos obtendos por el sstema de control y adquscón de datos de la red de transporte. Fnalmente cabe resaltar que los análss de redes mplcan marcos específcos que en este caso se orentan a la utldad del software de lbre acceso, como alternatva a los estudos de establdad del sstema de transporte de Guatemala, y la adhesón de componentes defndos por el usuaro para aplcacones especales que en este caso se toman como la reduccón de redes de gran escala. XX

1. FLUJO DE CARGA 1.1 Esquema de flujo de carga El problema del flujo de carga es calcular las magntudes de voltaje y ángulo de fase en cada bus de una red eléctrca de potenca en condcones de estado estable. Los estudos de flujo de carga normalmente llamados estudos de flujo de potenca, son sumamente mportantes para el dseño, planfcacón y control de los sstemas eléctrcos de potenca, partendo del dagrama unflar y los datos de entrada de buses, líneas de transmsón y transformadores. Los buses están relaconados con cuatro varables de estado: magntud de voltaje V k, ángulo de fase δ k, potenca actva P k, y potenca reactva Q k, que para un bus k se especfcan como datos de entrada o ncógntas en pareja y en valores por undad, para la aplcacón del algortmo de flujo de carga, donde por convenenca la potenca es separada en generacón (G) y carga (L). Un bus k puede clasfcarse como: a) Bus de compensacón: Solo hay un bus de compensacón para todo el sstema, al que regularmente se asgna el número uno. El bus de compensacón es una referenca para la cual V 1 δ 1 0 o como dato de entrada. es generalmente 1.0 1

b) Bus de Carga: Este tpo de bus se denomna PQ, para el cual P k y Q k son datos de entrada y el algortmo de flujo de carga calcula V k y δ k. Cuando un bus PQ no tene generacón la potenca del bus k es negatva P k = - P Lk, de la msma forma que pudera ser la potenca reactva Q k = -Q Lk. c) Bus de voltaje controlado: Este bus recbe el nombre PV, donde P k y V k son datos de entrada y el algortmo de flujo de carga calcula Q k y δ k. Como ejemplos de este tpo de bus se pueden menconar los que están conectados a generadores, capactores en dervacón desmontables, sstemas de compensacón estátca VAR y transformadores con cambadores de tap. Fgura 1: Varables de bus V k, δ k, P k, Q k La varables de bus se muestran en la Fgura 1 mentras las líneas de transmsón y transformadores se representan por los crcutos equvalentes mostrados en la Fgura 2, cuyos valores de mpedancas y admtancas se exponen tambén en valores por undad. 2

Fgura 2: Modelo de línea de transmsón y transformador 1.2 Ecuacones de flujo de carga La potenca nyectada a un bus k, S k, esta dada por la ecuacón S k =V k *I k, donde I k es la corrente neta nyectada al bus. Esta corrente se compone de una corrente que crcula por la rama en dervacón Y d y otra por la rama sere Z se. En el caso del sstema de la Fgura 3, la corrente por la rama en dervacón será V 1 Y d, mentras que para la rama sere (V 1 -V 2 )Y se ; donde Y se es el nverso de Z se y B d el nverso de Y d. S se suma la corrente de la rama en dervacón y la corrente de la rama sere para el bus 1 obtenemos la expresón de la corrente total: I S 1 1 = = V1Y d + V1 V2 ) V 1 ( Y = Y V + Y V se 11 1 12 2 ( 1.1 ) donde se asume que Y 11 =Y d +Y se ; Y 12 =Y 21 =-Y se y Y 22 =Y d +Y se. 3

Fgura 3: Sstema de dos buses Relaconando la ecuacón 1.1 con la matrz de admtancas nodales Y bus para el sstema de la Fgura 3, podemos defnr las varables de nodo: I1 V1 Y11 Y12 I bus = V = I bus Y 2 V bus = 2 Y21 Y22 donde I bus representa el vector de correntes, V bus el vector de voltajes y Y bus la matrz de admtancas, que de forma compacta se escrben: V bus = Z bus I bus ( 1.2 ) y la matrz de mpedancas de bus, Z bus = Y 1 bus Z = Z 11 21 Z Z 12 22 ( 1.3 ) La ecuacón matrcal 1.2 es lneal lo que mplca que la red eléctrca modelada es lneal. Sn embargo en realdad son las potencas y no las correntes lo que se conoce, por lo se reescrbe 1.2 en la ecuacón 1.4. 4

S S 1 = P1 jq1 = Y11V1V 1 + Y12V2V1 2 = P2 jq2 = Y21V1V 2 + Y22V2V2 ( 1.4 ) Fundamentalmente, 1.4 representa las ecuacones de flujo de carga del sstema de la Fgura 3, sn embargo para un sstema con n buses se tene: P jq = V n k=1 Y k V k ( 1.5 ) 1.3 Algortmos de flujo de carga Los métodos de solucón para el problema de flujo de carga se orentan por aspectos como el análss y evaluacón de segurdad, estudos de reconfguracón de las redes de transmson, localzacón de capactores, evaluacon condcones ncales en estudos de fallas, entre otros. Cada estudo requere una buena combnacón de tpos de solucón, exacta, ajustable, en línea y de propedades de los métodos, smplcdad, versatldad, confabldad; a fn de encontrar resultados adecuados a las necesdades propas del problema y en tempos de solucón que permtan analzarlos. Los métodos teratvos de Gauss y Gauss-Sedel que utlzan la matrz de admtancas nodal, han resultado adecuados para resolver el problema de flujo de carga pues ocupan poca memora para calculos, pero presentan problemas de convergenca lenta y en varos casos dvergenca 5

Las propedades de convergenca del método de Newton-Raphson son superores que las de los métodos teratvos de Gauss, pero presenta la desventaja de requerr más espaco de memora. Sn embargo, estos métodos numércos no son nequívocos para resolver el problema de flujo de carga, por lo que la búsqueda de algortmos alternatvos más efcentes y confables contnúa. Pueden menconarse como métodos especales los dervados del Newton-Raphson y los tpos de solucones que se obtenen en estudos de flujo de carga convenconales, entre los que pueden menconarse los métodos de segundo orden, los que calculan factores de aceleracón óptmos de convergenca, y en este msmo sentdo, los métodos de contnuacón con aplcacones en la solucón del problema de establdad de voltaje. 1.3.1 Método teratvo de Gauss-Sedel Suponendo un vector ncal cercano a las posbles solucones del sstema, el método teratvo de Gauss-Sedel se utlza para obtener un valor mejorado del vector solucón actualzando sus valores en cuanto se procede con su algortmo. Para explcar éste método se tomará un sstema que contene úncamente buses del tpo PQ y el bus compensador para posterormente extenderlo a buses PV. Las ecuacones de voltaje de bus V bus, se expresan en funcón de los voltajes de buses vecnos a cada bus y su potenca nyectada. A partr de la ecuacón 1.5 para el -ésmo bus se tene, S = P jq = V I 6

De lo anterormente expuesto puede decucrse que: V P jq V n = 1 [ Y V ] = 2,..., n k Y k= 1 k k k ( 1.6 ) En esta últma ecuacón es mportante notar que exste un térmno en la sumatora para cada valor de, menos para =k, que corresponde al índce del voltaje despejado. Además se supone que el índce correspondente al bus de compensacón es 1, por lo que se ha sdo excludo del rango de dcho índce. Tambén hay que observar que los valores que toma k, corresponden a buses que están conectados al bus, así aun cuando el rango se especfca como =2,,n, no necesaramente dcho índce nclurá los valores que se muestran. Secuencalmente para el cálculo de la solucón de las varables se usa el valor más recente de las otras varables (voltajes) en funcón de las cuales esta expresada cada una, además para el bus compensador la magntud y el ángulo de voltaje son especfcados. Entonces, el método teratvo de Gauss-Sedel para la r-ésma teracón puede resumrse de la sguente forma: V P jq r ( V ) 1 k= 1 n ( r+ ) ( Y ) kvk ] k= + 1 ( r+ 1) 1 1 r = [ YkVk Y ; = 2,..., n ; k ; k ( 1.7 ) 7

1.3.1.1 Algortmo Tomando en cuenta que de momento úncamente exsten buses PQ y compensador, los pasos que caracterzan el algortmo de Gauss-Sedel para flujo de carga son: Paso 1: Con la demanda P D, Q D conocda, s exsten buses con generadores conectados se deben especfcar las potencas generadas P G, Q G, para conocer la nyeccón de potenca en todos los buses PQ. Paso 2: Ensamblar la matrz Y bus. En el análss de flujo de carga se usa solamente la red de secuenca postva, por lo que no exsten elementos acoplados magnétcamente en dcha red. Paso 3: Cálculo teratvo de los voltajes de bus. Para ncar el proceso teratvo, suponemos un conjunto ncal de valores de voltajes. Es práctca común suponer lo que se denomna nco plano, que consste en suponer un valor ncal de los voltajes de 1.0 por undad en magntud y un ángulo de 0 o (cero grados). Lo anteror se debe a que la dspersón de voltajes no es sgnfcatva puesto que los valores son cercanos al nomnal y sus ángulos pequeños. Paso 4: Cálculo de la potenca del bus de compensacón. Con los voltajes obtendos en el paso 3 y V 1 conocdo obtenemos: P 1 jq 1 = V n 1 k=1 Y1 k V k ( 1.8 ) 8

Paso 5: Cálculo del flujo en las líneas. Este es el últmo y muy mportante paso de la solucón del flujo de carga, pues además de proporconar los flujos en todos los elementos de transmsón, permte calcular las pérddas totales provocadas por dchos elementos. Fgura 4: Flujo de carga en las líneas de transmsón entre buses, k dada por: La corrente almentada por el bus para la línea -k de la Fgura 4 esta k kse kd ( V Vk ) Yse VYd I = I + I = + la potenca almentada por el bus a la línea es, S k P jq V I V ( V V ) Y + V V Y = k + k = k = k se d ( 1.9 ) de forma smlar, la potenca almentada a la línea del bus k, será: S k ( V V ) Y + V V Y = Vk I k = Vk k se d 9

Las pérddas de potenca en el elemento de transmsón -k equvalen a la suma de las potencas S k y S k, de tal manera que las pérddas totales de transmsón serán gual a la suma de todos los flujos en las líneas, k pérddas de línea = ( S + ) k S k ( 1.10 ) 1.3.1.1.1 Restrccones Es convenente notar que la potenca del bus compensador se puede calcular sumando los flujos de potenca de las líneas que termnan en dcho bus. El algortmo anteror es útl parcalmente pues permte exponer la forma más fácl del método de Gauss-Sedel, sn embargo, pocos sstemas son tan smples como éste. En realdad exsten múltples plantas de generacón, no úncamente la del bus compensador. Además para que la solucón de flujos de potenca sea practca se requere tomar en cuenta el hecho de que las varables de control y de estado del sstema estén contendas dentro de certos límtes, los cuales están dctados por las especfcacones del equpo y por las restrccones operatvas, dchos límtes son: a) Límte de magntud de voltaje V mn V V max. El equpo del sstema eléctrco está dseñado para operar con voltajes fjos con varacones permsbles de entre 5% y 10% de los valores nomnales, según CNEE. b) Los varables de estado δ deben satsfacer la desgualdad δ -δ k δ -δ k max. Esta restrccón lmta el ángulo máxmo de potenca permsble de la línea de transmsón que conecta los buses -k y se estpula a consderacones de establdad del sstema. 10

c) Restrccones de generacón de potenca P Q P P G, mn G G, max Q Q G, mn G G, max ( 1.11 ) Con respecto a estos últmos límtes es mportante recordar que el voltaje en un bus PV puede mantenerse constante solamente s está dsponble una fuente controlable Q en dcho bus, y la generacón reactva requerda esta dentro de los límtes establecdos. 1.3.1.1.2 Algortmo para nclusón de buses PV Recordamos que en los buses PV, P y V se especfcan mentras que Q y δ son ncógntas. Esto mplca que los valores Q y serán actualzados en cada teracón del proceso de solucón del método de Gauss-Sedel. Paso 1: La ecuacón Q puede defnrse como Q ( r+ 1) = Im{ V 1 n ( r )* ( r+ 1) ( r [ Y ) kvk + YkVk ]} k = 1 k = ( 1.12 ) Paso 2: El valor del ángulo δ se obtene, δ ( r+ 1) 1 ( r 1) ( r 1) 1 P jq n + + ( r 1) ( r { [ ) V + = = Y ]} ( r ) kvk YkV Y k ( V ) k = 1 k = + 1 ( 1.13 ) 11

El algortmo para buses PQ permanece sn cambo, sn embargo exsten lmtantes en la generacón de la potenca reactva como se menconó prevamente. Dchas lmtantes requeren que la demanda Q permanezca dentro del rango Q (mn) Q (max), s en alguna etapa del proceso de solucón Q sale de estos límtes, se fjara a Q (mn) o Q (max) dependendo del límte volado y el bus se convertrá en bus PQ, desechando las especfcacones de voltaje, es decr, s Q (m+1) <Q (mn), entonces asgnamos Q (m+1) Q (mn) y tratamos el bus -ésmo como PQ. Por otro lado s Q (m+1) >Q (max), entonces asgnamos Q (m+1) =Q (max), procedendo de la msma forma. 1.3.1.2 Ejemplo 1 En la Fgura 5 se lustra el sstema de potenca de cnco barras denomnado ybus_e5x5. Los datos de entrada de la red se presentan en la Tabla I, Tabla II y Tabla III. El bus 1 al cual esta conectado un generador es el bus de compensacón, el bus 3 al que están conectados un generador y una carga es un bus de voltaje controlado, los buses 2, 4 y 5 son buses de carga. Utlce el método de Gauss-Sedel para calcular el voltaje fasoral en los cnco nodos después de la prmera teracón, a partr de ángulos de fase ncales de cero grados y magntudes de voltaje de 1.0 p.u., excepto en el bus 3 donde V 3 =1.05, luego utlce un paquete de cómputo para encontrar la solucón del flujo de carga s S base =100 MVA, V base =15 kv en los buses 1,3 y 345 kv en los buses 2,4,5. 12

Fgura 5: Dagrama unflar del sstema ybus_e5x5 Tabla I: Datos de entrada de los buses Bus Tpo V p.u. δ( o ) P Q o 1 Compensacón 1 0 X G G P L Q L Q G(max) Q X 0 0 X X 2 PQ X X 0 0 8 2.8 X X 3 PV 1.05 X 5.2 X 0.8 0.4 4-2.8 4 PQ X X 0 0 0 0 X X 5 PQ X X 0 0 0 0 X X G(mn) Tabla II: Datos de las líneas Bus a bus R p.u. X p.u. B p.u. MVA (max) p.u. 2-4 0.009 0.1 1.72 12 2-5 0.0045 0.05 0.88 12 4-5 0.00225 0.025 0.44 12 Tabla III: Datos de transformadores Bus a bus R p.u. X p.u. Gc Bm MVA 1-5 0.0015 0.02 0 0 6 3-4 0.00075 0.01 0 0 10 13

Solucón: Los datos de entrada y las ncógntas se lstan en la Tabla IV. Para el bus 1, el bus compensador, P 1 y Q 1 son las ncógntas. Para el bus 3, un bus de voltaje controlado, Q 3 y δ 3 son las ncógntas. Para los buses 2, 4 y 5, buses de carga, V 2, V 4, V 5 y δ 2, δ 4 y δ 5 son las ncógntas. Tabla IV: Condcones ncales de ybus_e5x5 Bus Datos de Entrada Incogntas 1 V 1 = 1, δ 1 = 0 P1,Q 1 2 3 P 2 = P G2 - P L2 = -8 V Q2 = Q G2 Q L2 = -2.8 2,δ 2 V 3 = 1.05 Q P3 = P G3 P L3 = 4.4 3,δ 3 4 P 4 =0,Q 4 =0 V4, δ 4 5 P 5 =0,Q 5 =0 V5, δ 5 Puesto que los buses 1 y 3 no están conectados al bus 2, Z Z Z Z Z 24 25 45 15 34 = 0.009 + = 0.0045 + = 0.00225 + j0.1 = 0.00150 + = 0.00075 + j0.050 j0.025 j0.02 j0.01 ; ; ; ; ; Y Y Y Y Y 25 45 24 15 35 = = = = = 1 Z24 1 Z25 1 Z45 1 Z15 1 Z35 = = = = = 1 0.009+ j0.1 1 0.0045+ j0.050 1 0.00225+ j0.025 1 0.00150+ j0.02 1 0.00075+ j0.01 = = = = = 0.892 76 1.78553 3.57107 3.729 02 7.45804 j9.919 65 j19.83930 j39.67860 j49.72032 j99.440 64 Los elementos Y bus, se calculan a partr de las sguentes condcones: 1) Los elementos de la dagonal : Y kk = Suma de las admtancas conectadas al bus k. 14

2) Elementos fuera de la dagonal: Y kn = - (suma de admtancas conectadas a los buses k y n), k n. Fgura 6: Red de admtancas de ybus_e5x5 Donde la mtad de la admtanca en dervacón de cada línea conectada al bus 2 se ncluye en Y 22 (la otra mtad se localza en los otros extremos de estas líneas). Así la matrz de admtancas Y bus a partr de la Fgura 6, se escrbe como sgue: Y bus 3.73 j49.72 0 = 0 0 3.73 + j49.72 0 2.68 j28.46 0 0.89 + 1.79 + j9.92 j19.84 0 0 7.46 j99.44 7.46 + j99.44 0 0 0.89 + 7.46 + 11.92 j147.96 3.57 + j9.92 j99.44 j39.68 3.73 + j49.72 1.79 + j19.84 0 3.57 + j39.68 9.09 j108.58 15

Tomando los valores de admtanca de la matrz Y bus V (1) 2 = = ( 1 P ( ) ( ) ( { 2 jq2 0 0 0 ) ( ) [ Y21V1 + Y23V3 + Y V 24V4 + Y25 5 ]} Y22 0 ( V 2 ) 1 ( 8 j( 2.8) ) ){ [ 0.89 + j9.92 1.0 + 1.79 + j 2.68 j28.46 1+ j0 = 0.92 j 0.27 = 0.96 16.54 ( )( ) ( 19.84)( 1.0)]} A contnuacón se emplean los valores anterores en la ecuacón para (1)* volver a calcular V 2 V 8+ j2.8 0.92+ j0.27 ( 1) * = 1 { [ ( 0.89 + j9.92)( 1.0) + ( 1.79 + 19.84)( 1.0)]} 2.68 j28.46 2 j = 0.87460 15.675 Para el bus 3 PV, se aplca el algortmo para barras de Voltaje controlado como sgue: (1) ( 1) ( 0) ( 0 + Y V Y ) ]]} Q 3 = Im{( V3 )[ Y33V3 + [ Y31V 1 + Y32V2 34 4 + 35V5 (1) Q 3 = Im{1.05[ 7.46 j99.44 1.05 + 7.46 + j99.44 (1) Q 3 = 5.22 ( )( ) ( )( 1.0)]} Este valor para Q 3 (1) se susttuye en la ecuacón 1.13 para obtener: δ δ δ δ ( 1) = { ( ) 1 1 P3 jq ( ) ( 0) ( 0 [ 3 1 [ Y ) 31V1 + Y32V2 + Y34V4 + Y35 5 ]]} Y33 ( V V 3 1 4.4 j5.22 [ 7.46 + 99.44 1.0 7.46 j99.44 (1.05) 3 ) ( 1) = { ( )( )]} 3 j 4.4 j5.22 (1.05) ( 1) = { 1 [ ( 7.46 + 99.44)( 1.0)]} 7.46 j99.44 3 j ( 1) 3 = 2.074 16

Para los restantes buses 4 y 5, tenemos: V ( 1 11.92 j147.96 ){0 [ ( 0.89 + j9.92)( 0.96) + ( 7.46 + 99.44)( 1.05) (1) 4 = j ( 3.57 + j 39.68)( 1.0) ]} = 1.04 0.0008 = 1.04 0.04 + j 1 9.09 j108.56 ( 3.73 + j49.72)( 1.0) + ( 1.79 + 19.84)( 0.96) (1) V5 = ( ){0 [ j ( 3.57 + j 39.68)( 1.04) ]} = 1.013 0.0005 = 1.013 0.03 + j Luego de aplcar un programa de computadora la Tabla V muestra la solucón del flujo de carga por aplcacón del método de Gauss-Sedel para el sstema ybus_e5x5. Tabla V: Solucón de flujo de carga para ybus_e5x5 Bus KV base V p.u. KV δ( o ) PL QL PG QG 1 15 1 15 0 X X 395 114.28 2 345 0.834 287.65-22 800 280 X X 3 15 1.05 15.75-0.6 80 40 520 337.48 4 345 1.019 351.659-2.8 X X X X 5 345 0.974 336.13-4.6 X X X X 1.3.2 Método de Newton-Raphson Un sstema de ecuacones lnealzado se escrbe en forma compacta: ~ ~ [ J ] C = D ( 1.14 ) 17

Donde D ~ es el vector de desajustes, tambén llamado vector de resduos y representa la dferenca entre los térmnos ndependentes de cada ecuacón y los calculados en funcón de las varables, y J la matrz Jacobana de prmeras dervadas parcales cuyos elementos son valores numércos obtendos al evaluarlas en los vectores de cada teracón. ~ Además, el vector C denomnado vector de correccones contene los valores que se agregan a las ncógntas de la r-esma teracón para mejorar el valor anteror en funcón del cual se calcularon dchos valores. La formulacón del Método de Newton-Raphson es drecta porque en esenca el problema de flujo de carga consste en calcular los voltajes nodales de la red, tomando en cuenta una sere de restrccones, que en su expresón más smple, conssten en nyeccones de potenca conocdas. Dchas nyeccones consttuyen las varables y de la ecuacón 1.11, mentras que las funcones evaluadas en los valores de las ncógntas obtendas en la r-ésma teracón son las expresones de las potencas. En otras palabras, los elementos de dcho vector de desajustes serán: ( especfcada) P ( calculada) = P 0 ( especfcada) Q ( calculada) = Q 0 f ( P ) P = = ) = Q f ( Q = ( 1.15 ) donde las expresones que defnen a P y Q están defndas por: P Q = V = V n k= 1 n V k= 1 k V k Y k Y k Cos Sen ( θ + δ δ ) = 1, 2,..., n k k ( θ + δ δ ) = 1,2,..., n k k ( 1.16 ) 18

Por otro lado, el vector de correccones esta compuesto por Δ V y Δδ. Con lo anteror podemos formular el problema de flujo de carga con el método de Newton-Raphson: P δm Q δm P Vm Q Vm δ P = Vm Q ( 1.17 ) En la ecuacón 1.17 se muestran explíctamente los renglones que corresponden al bus -ésmo en el vector de desajustes y su nteraccón con el bus m-ésmo en el vector de correccones. Los elementos de la matrz Jacobana muestran los elementos correspondentes a dcha nteraccón. S se supone que el número total de buses de un sstema es n, el número de buses PV es n pv, y el número de buses PQ es n pq, es posble observar que en el caso de los buses PQ se asgnaran ambos elementos P y Q en el vector de desajustes ya que se conocen las nyeccones de potenca real y reactva, al msmo tempo la magntud de voltaje y el ángulo aparecerán el vector de correccones para este tpo de bus. Dado lo anteror nos damos cuenta que habrán dos ecuacones para cada bus de este tpo; por otro lado en el caso de los buses PV úncamente se conoce la potenca actva nyectada al bus, aparecendo úncamente el desajuste de potenca actva en el vector de desajustes correspondente. Además en este tpo de bus se conocen los ángulos de voltaje por lo que aparecerá el termno correspondente en el vector de correccones. Tomando en cuenta lo anteror vemos que exstrá úncamente una ecuacón para este tpo de bus. 19

En base a la dscusón anteror, el número de ecuacones que consttuyen el modelo matemátco de flujo de carga con el método de Newton-Raphson será 2n pq +n pv. Es obvo que para el bus compensador no es necesaro escrbr ecuacones pues no se conocen las nyeccones de potenca y el voltaje de dcho bus no consttuye ncógnta. El esquema anteror se conoce como formulacón polar ya que las varables se expresan en forma polar. Exste otra enuncacón denomnada formulacón rectangular, que esta basada en la expresón de las varables del problema en forma rectangular, de ahí su nombre. Sn embargo, esta últma formulacón no es tan popular como la formulacón polar debdo fundamentalmente a que esta es más efcente, sn embargo es comúnmente utlzada para la aplcacon del algortmo de Gauss- Sedel. 1.3.2.1 Algortmo Los valores que forman el vector de desajustes se obtenen como sgue, P = P Q = Q especfcada especfcada V [ V n k=1 n V k= 1 k V k Y k Y k Cos ( θ + δ δ ) k Sen( θ + δ δ )] k k k ( 1.18 ) Para defnr la matrz Jacobana se utlza la ecuacón 1.19. 20

21 [ ] [ ] [ ] [ ] = 4 3 2 1 V J J J J Q P δ El sgnfcado correspondente de 1.19 es, ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 4 3 2 1 V Q Q V P P J J J J = = = = δ δ La potenca actva se defne, ) ( 1 k k k k Cos Y V V P k n δ δ θ + = = ) ( ) ( 1, 2 k k k k Cos Y V V Cos Y V k k n δ δ θ θ + + = = ) ( 1, 2 k k k k Cos Y V V G V k k n δ δ θ + + = = mentras la potenca reactva: ) ( 1 k k k k Sen Y V V Q k n δ δ θ + = = ) ( ) ( 1, 2 k k k k Sen Y V V Sen Y V k k n δ δ θ + = = ) ( 1, 2 k k k k Sen Y V V B V k k n δ δ θ + = = ( 1.19 ) ( 1.20 ) ( 1.21 ) ( 1.22 )

Como se podrá observar, se ha separado por convenenca el termno =k, así se tene: P [ J ] : = V V Y Sen ( θ + δ δ ) 1 δk P δ = n k= 1, k V k V k k Y k Sen k ( θ + δ δ ) k k k k ( 1.23 ) donde los elementos k son los elementos fuera de la dagonal de la submatrz jacobana y el elemento =k es el elemento dagonal. Los restantes elementos de la matrz jacobana se calculan medante las ecuacones 1.24, 1.25 y 1.26. P [ J ] : = V Y Cos ( θ + δ δ ) 2 V k P V = 2 V k Y Cos k ( θ ) + V Y Cos ( θ + δ δ ) k n k= 1, k k k k k k ( 1.24 ) Q [ J ] : = V V Y Cos ( θ + δ δ ) 3 δk Q δ = n k k= 1, k k V V k Y k k Cos k ( θ + δ δ ) k k k ( 1.25 ) Q [ J ] : = V Y Sen ( θ + δ δ ) 4 V k Q V = 2 V k Y k Sen ( θ ) V Y Sen ( θ + δ δ ) k n k= 1, k k k k k k ( 1.26 ) El proceso asocado a la r-ésma teracón se puede representar por la ecuacón matrcal 1.27. 22

( r ) P Q ( r ) = [ ] ( r ) [ ] ( r J J ) [ ] ( r ) [ ] ( r J J ) 3 4 ( r ) ( ) r V 1 2 δ ( 1.27 ) Es mportante recordar que s se tenen n pv buses PV, entonces el msmo número de ecuacones que nvolucran a Q y a V y sus correspondentes [J 3 ] columnas de la matrz Jacobana serán elmnadas. Entonces exstrán n-1 restrccones de potenca reactva y el orden de la matrz será (2n-2-n pv )X(2n-2- n pv ). Además, el orden de [J 1 ] será (n-1)(n-1), mentras que el orden de [J 2 ] de (n-1)(n-1-n pv ). Por otro lado, el orden de [J 3 ] es de (n-1-n pv )(n-1) y fnalmente el orden de [J 4 ] será (n-1-n pv )(n-1-n pv ). Los térmnos del vector de ajustes para la r-esma teracón serán. P ( r ) especfcada ( r ) Q = P P ( r ) especfcada ( r ) = Q Q ( 1.28 ) y los nuevos estmados para los voltajes de bus: V ( r+1) ( r ) ( r ) = V + V ( r+1 ) ( r ) ( r ) δ = δ + δ ( 1.29 ) El Algortmo de Newton-Raphson puede resumrse como sgue: Paso 1: Para buses PQ se deben ncalzar las magntudes y algunos de voltaje gual a las del bus de compensacón, es decr V (0) (0) δ =1.0 0.0 o. Para los buses PV, los ángulos de fase se ncalzan en δ (0) =0.0 o. Paso 2: Calcular P (r), Q (r) por medo de las ecuacones 1.21 y 1.22 y P (r), 23

Q (r) por de las ecuacones 1.28. Paso 3: Los elementos de la matrz jacobana se calculan en este punto usando las ecuacones de [J 1 ], [J 2 ], [J 3 ] y [J 4 ] para encontrar J. Paso 4: resolver el sstema de ecuacones lnealzado 1.27. Paso 5: Los nuevos valores de magntud y de voltaje y ángulo son calculador por medo de las ecuacones 1.29. (r) Paso 6: El proceso contnua hasta que los desajustes de potenca P y (r) Q cumplan con el crtero de convergenca deseado, el cual se especfca como parte de los datos de entrada del algortmo, ( r ) P ε & Q ( r ) ε ( 1.30 ) 1.3.2.2 Ejemplo 2 Determne la matrz Jacobana para el sstema ybus_e5x5 y utlce el método de Newton-raphson para calcular la prmera teracón para los cnco buses. Suponga ángulos de fase ncales de cero grados y magntudes de voltaje ncales de 1.0 por undad, excepto V 3 =1.05. Solucón: La matrz de admtancas polar tene la forma presentada a contnuacón. 24

Y bus 49.86 85.71 0 = 0 0 49.86 94.29 0 28.59 84.62 0 9.96 95.13 19.92 95.16 0 0 99.72 85.71 99.72 94.29 0 0 9.96 95.13 99.72 94.29 148.44 85.39 39.84 95.14 49.86 94.29 19.92 95.16 0 39.84 95.14 108.96 85.21 Para el cálculo del vector de desajustes con la ecuacón 1.21 tenemos, ( 0) 2 = ( 1.0) ( 2.68) ( 1.0)( 1.0) ( 9.96) ( 95.13 ) + ( 1.0)( 1.0) ( 19.92) Cos ( 95.16 ) = 0. 00213 P 2 + Cos P ( 0) 2 ( 1.05) ( 7.46) ( 1.05)( 1.0) ( 99.72) ( 94.29 ) 0.39215 3 = + Cos = ( 0) 2 = ( 1.0) ( 11.92) + ( 1.0)( 1.0) ( 9.96) Cos( 95.13 ) ( 1.05)( 1.0) ( 99.72) ( 94.29 ) + ( 1.0)( 1.0) ( 39.84) Cos ( 95.14 ) = 0.37233 P 4 + Cos ( 0) 2 = ( 1.0) ( 9.09) + ( 1.0)( 1.0) ( 49.86) Cos( 94.29 ) ( 1.0)( 1.0) ( 19.92) ( 95.16 ) + ( 1.0)( 1.0) ( 39.84) Cos ( 95.14 ) = 0. 0005639 P 5 + Cos para encontrar: P P P P ( 0) = 8 ( 0.00213) = 7. 99 2 ( 0) 3 = 4.4 0.39215 = 4.008 ( 0 ) = 0 ( 0.372 33 ) 0. 37 ( 0 ) = 0 ( 0.00056 ) 0.000 56 4 = 5 = De la ecuacón 1.22, Q ( 0) 2 2 = ( 1.0) ( 28.46) ( 1.0)( 1.0) ( 9.96) Sen( 95.13 ) ( 1.0)( 1.0) ( 19.92) Sen ( 95.16 ) = 1.29937 25

Q Q ( 0) 2 4 = ( 1.0) ( 147.96) ( 1.0)( 1.0) ( 9.96) Sen( 95.13 ) ( 1.05)( 1.0) ( 99.72) Sen( 94.29 ) ( 1.0)( 1.0) ( 39.84) Sen ( 95.14 ) = 6.05253 ( 0) 2 5 = ( 1.0) ( 108.58) ( 1.0)( 1.0) ( 49.86) Sen( 94.29 ) ( 1.0)( 1.0) ( 19.92) Sen( 95.16 ) ( 1.0)( 1.0) ( 39.84) Sen ( 95.14 ) = 0.65936 de donde pueden deducrse los errores: Q Q Q ( 0) 2 = 2.8 ( 1.299 37) = 1. 50 ( 0) 4 = 0 ( 6.052 53) = 6. 05 ( 0 ) 0 ( 0.65936 ) 0. 66 5 = = El cálculo de la matrz Jacobana mplca: ( θ + δ δ ) + V V Y Sen( θ + δ ) P 2 = V2V1Y 21 Sen δ δ 21 1 2 2 3 23 23 3 2 2 + V 2V4Y24 Sen θ 24 + δ 4 δ 2 + V2V5Y25 Sen θ 25 + δ 5 δ 2 ( ) ( ) ( ) P 2 0 = 1.0 1.0 9.96 Sen 95.13 + 1.0 1.0 19.92 Sen 95.16 δ = 2 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 29.75937 ( 0) P 2 0 = V2 V = 3Y23 Sen θ 23 + δ 3 δ δ 2 3 ( ) ( ) 0 ( 0) P 2 0 0 = V2 V4 Y24 Sen θ 24 + δ 4 δ 2 = 1.0 1.0 9.96 Sen 95.13 = δ 4 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 9.9201 ( 0) P 2 0 0 = V2 V5 Y25 Sen θ 25 + δ 5 δ 2 = 1.0 1.0 19.92 Sen 95.16 = δ 5 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 19.839 27 donde el vector P 2 / δ muestra el procedmento para encontrar P 3 / δ P 4 / δ y P 5 / δ respectvamente para la submatrz J 1. 26

J 1 29.76 0 = 9.92 19.84 0 104.41 104.41 0 9.92 104.41 154.01 39.68 19.84 0 39.68 109.24 Para [J 2 ] el cálculo se desarrolla: ( 0) P 2 0 = 2 V2 G22 + V1Y21 Cos θ 21 + δ1 δ 2 + V3Y23 Cos θ 23 + δ 3 δ V 2 2 ( ) ( ) ( ) ( 0) ( 0) ( ) ( ) 2. 68 + V δ 4 Y24 Cos θ 24 + δ 4 δ 2 + V5 Y25 Cos θ 25 + δ 5 2 = ( 0) P 2 0 = V2 Y23 Cos θ 23 + δ 3 δ 2 = V3 ( ) ( ) 0 ( 0) P 2 0 = V2 Y24 Cos θ 24 + δ 4 δ 2 = V3 ( ) ( ) 0. 89 ( 0) P 2 0 = V2 Y25 Cos θ 25 + δ 5 δ 2 = V3 ( ) ( ) 79 1. concluyendo en la matrz: J 2 2.68 0 = 0.89 1.79 0 8.20 7.46 0 0.89 7.83 11.55 3.57 1.79 0 3.57 9.09 [J 3 ] mplca: ( 0 ) Q 2 0 0 = V2 V1Y21 Cos θ 21 + δ δ 1 δ 2 + V2 V3Y23 Cos θ 23 + δ δ 3 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) V Y Cos( θ + δ δ ) + V V Y Cos( θ + δ ) = 2. 68 + V δ 2 4 24 24 4 2 2 5 25 25 5 2 27

( 0) Q 2 0 = V2 V = 3Y23 Cos θ 23 + δ 3 δ δ 2 3 ( ) ( ) 0 ( 0) Q 2 0 0 = V2 V 4 Y24 Cos θ 24 + δ 4 δ 2 = δ4 ( ) ( ) ( ) 0. 89 ( 0) Q 2 0 0 = V2 V = 5 Y25 Cos θ 25 + δ 5 δ δ 2 5 ( ) ( ) ( ) 1. 79 Los resultados muestran que: J 3 2.68 = 0.89 1.79 0 7.83 0 0.89 12.29 3.57 1.79 3.57 9.09 Fnalmente [J 4 ] se construye: ( 0) Q 2 0 = 2 V2 B22 V1Y 21 Sen θ 21 + δ1 δ 2 V3Y23 Sen θ 23 + δ 3 δ V 2 2 V ( ) ( ) ( ) ( 0) ( 0) ( ) ( ) 27. 16 4 Y24 Sen θ 24 + δ 4 δ 2 V5 Y25 Sen θ 25 + δ 5 δ 2 = ( 0) Q 2 0 = V2 Y23 Sen θ 23 + δ 3 δ 2 = V3 ( ) ( ) 0 ( 0) Q 2 0 = V2 Y24 Sen θ 24 + δ 4 δ 2 = V4 ( ) ( ) 9. 92 ( 0) Q 2 0 = V2 Y25 Sen θ 25 + δ 5 δ 2 = V5 ( ) ( ) 19. 84 y toma la forma J 4 27.16 = 9.92 19.84 0 99.44 0 9.92 141.91 39.68 19.84 39.68 107.92 28

Unfcar las submatrces J 1, J 2, J 3 y J 4, resulta en: J 29.76 0 9.92 19.84 = 2.68 0.89 1.79 0 104.41 104.41 0 0 7.83 0 9.92 104.41 154.01 39.68 0.89 12.29 3.57 19.84 0 39.68 109.24 1.79 3.57 9.09 2.68 0 0.89 1.79 27.16 9.92 19.84 0 8.20 7.46 0 0 99.44 0 0.89 7.83 11.55 3.57 9.92 141.91 39.68 1.79 0 3.57 9.09 19.84 39.68 107.92 teracón, Por lo que aplcando convenentemente la ecuacón 1.14, para la r-ésma ~ ( r) C = [ J ~ ( r) ( r) 1 ] D ( 1.31 ) Según puede observarse, J debe ser nvertda para encontrar el vector de correccones y esto solo puede ejecutarse s es una matrz cuadrada. Como en el presente caso J se ve modfcada por la excepcón de un bus PV, para que la matrz sea nvertble la fla de dcho bus PV debe nclurse en J y colocar un valor de 1.0 en el elemento de dagonal de dcha matrz en esa fla, hacendo cero todos los demás elementos. Entonces para encontrar el vector de correccones, J se utlza la expresón expuesta a contnuacón. 29

J 29.76 0 9.92 19.84 = 2.68 0 0.89 1.79 0 104.41 104.41 0 0 0 7.83 0 9.92 104.41 154.01 39.68 0.89 0 12.29 3.57 19.84 0 39.68 109.24 1.79 0 3.57 9.09 2.68 0 0.89 1.79 27.16 0 9.92 19.84 0 8.2 7.46 0 0 1.0 99.44 0 0.89 7.83 11.55 3.57 9.92 0 141.91 39.68 1.79 0 3.57 9.09 19.84 0 39.68 107.92 Al aplcar la ecuacón 1.31 para la prmera teracón, el vector de correccones tene los valores: ~ (0) C ~ (0) (0) 1 = [ J ] D en consecuenca los valores obtendos para las varables de estado mplcadas en el algortmo de Newton-Raphson, son los sguentes: δ 2 δ 3 δ 4 δ V2 V3 V4 V5 ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) 5 ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) 0.3233 3.689 10 0.0379 7.297 10 = 0.0488 0 4.203 10 1.306 10 3 2 2 2 & ( 1) δ 2 δ3 δ 4 δ V2 V3 V4 V5 ( 1) ( 1) ( 1) 5 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0.0 0.3233 0.0 3.689 10 0.0 0.037 9 0.0 7.297 10 = + 1.0 0.0488 1.0 0.0 1.0 4.203 10 1.0 1.306 10 3 2 2 2 0.3233 3.689 10 0.037 9 7.297 10 = 0.9512 1.0 1.042 1.013 3 2 30

1.3.3 Condcones de aplcacón del algortmo de flujo de carga Para tener una operacón extosa en los sstemas de potenca en condcones normales balanceadas de estado estable se requere: a) Que la generacón cubra la demanda más las pérddas. b) Las magntud de los voltajes en las barras permanezcan entre el 5 y 10% de varabldad de sus valores nomnales, como máxmo. c) Los generadores operen sn sobrepasar sus límtes de potenca real y reactva. d) Las líneas de transmsón y los transformadores no se sobrecargen. El problema del flujo de carga congrega un conjunto de ecuacones no lneales que dfcultan predecr s un sstema tene solucón y s esta es únca, aunque dchas ecuacones sean lnealzadas. Lo recomendable es que en la aplcacón de los algortmos de flujo de carga se haga un nco plano, lo cual resulta en solucones alrededor de las condcones normales de operacón de los sstemas de potenca. El análss nodal común o de mallas no es adecuado para estudos de flujos de carga, porque los datos de entrada para las cargas generalmente se dan en térmnos de la potenca, no de mpedanca. Asmsmo, se consdera a los generadores como fuentes de potenca, no fuentes de voltaje o corrente, que además son sujetos a las restrccones de las redes de secuenca postva, asumdas por las condcones balanceadas del sstema. 31

El método de Gauss-Sedel carece buenas condcones de convergenca, pues la estructura de la matrz de admtancas merece ser dagonalmente domnante para que converja el método. En comparacón, el método de Newton-Raphson no necesta condcones especfcas de la matrz de admtancas para converger, pero la cantdad de cálculos que utlza para cada teracón es hasta sete veces superor a los que se mplementan con Gauss- Sedel. Sn embargo para sstemas de gran escala, las característcas cuadrátcas de convergenca del método de Newton-Raphson hacen que este sea más rápdo, precso y confable, aun as sea requerdo recalcular J en cada teracón. Newton-Raphson converge generalmente en tres teracones, en contraparte con Gauss-Sedel cuyas característcas lneales de convergenca mplcan mayor número de teracones en cuanto mayor sea un sstema. Con el hallazgo de matrces dspersas característcas de los sstemas de gran escala, los métodos de dspersdad como el método de desacoplado rápdo, han ncrementan la velocdad del cálculo en aplcacones de flujo de carga, mejorando el cálculo de pérddas y abrendo paso a la solucón de flujo de potenca optma y problemas de estmacón de estado, contnuacón del flujo de potenca y la determnacón de precos spot de electrcdad en presenca de restrccones 32

2. MODELACIÓN DE REDES ELÉCTRICAS DE GRAN ESCALA 2.1 Modelos de carga Según sean las característcas ntrínsecas de las cargas, es posble adaptar un modelo partcular adecuado que las represente en las redes eléctrcas, con objetos dferentes de estudo. Entre los modelos usualmente utlzados para modelar cargas se menconan los modelos de mpedanca constante, corrente constante y potenca constante; donde el modelo de potenca constante es el más utlzado en análss de flujo de carga y el modelo de mpedanca constantes en análss de fallas. 2.1.1 Modelo de mpedanca constante Consderando que la potenca aparente demandada por una carga se expresa medante la ecuacón 2.1; la ecuacón 2.2 representa dos estados dferentes de demanda para esa msma carga. S = V I = VV V 2 = Z Z ( 2.1 ) 33

S 2 V = 0 0 & Z 0 S 1 = 2 V1 Z 1 ( 2.2 ) S se gualan las condcones de mpedanca para ambos casos, Z 0 = Z 01, 2 V 1 V 1 2 1 0 2 0 ( = S S ) V V 0 0 S = ( 2.3 ) se ncurre en que la carga varía cuadrátcamente respecto al voltaje cuando se consdera que la mpedanca de carga es constante. 2.1.2 Modelo de corrente constante Este modelo mplca que la corrente no varía para dos estados dferentes de una carga, y en consecuenca, S = S 1 0 V V 1 0 ( 2.4 ) entonces en condcones de corrente constante la carga vara lnealmente respecto al voltaje. 2.1.3 Modelo de potenca constante S la potenca permanece constante se consdera que el estado de carga no camba; esto se expresa matemátcamente con la ecuacón 2.5. 34