Poliomios Defiició de poliomio y sus propiedades U poliomio puede expresarse como ua suma de productos de fucioes de x por ua costate o como ua suma de térmios algebraicos; es decir U poliomio e x es ua expresió de la forma dode a 0, a 1, a 2, a 3,, a C. a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + + a x p(x) = a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + + a x Las expresioes a 0 x 0, a 1 x 1, a 2 x 2, a 3 x 3,, a x so los térmios del poliomio, y los coeficietes está represetados por los térmios a 0, a 1, a 2, a 3,, a. Grado de u poliomio e igualdad de poliomios Grado de u poliomio Se le cooce como grado de u poliomio a la mayor potecia de x detro del poliomio, co coeficiete o ulo; es decir, sea el poliomio p(x) = a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + + a x La mayor potecia de x del poliomio p(x) es, si a 0. Por lo tato, el grado de p(x) es ; o bie, gr(p) = EJEMPLO 4.1. Sea los poliomios p(x) = 2 + x + 3x 2 x 3 y q(x) = 8x 4x 2 2x 3 + 0x 4 Ambos poliomios tiee grado 3, ya que la mayor potecia de x es el cubo; e el caso de q(x), se tiee que el coeficiete de la potecia cuarta es cero, por lo que el producto e ese térmio es cero y o se toma e cueta. Igualdad de poliomios U poliomio puede escribirse e forma compacta de la siguiete maera: Sea los poliomios p(x) = a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + + a x a k x k 1 Ig. Aldo Jiméez Arteaga m p(x) = a k x k, q(x) = b k x k
Se tiee que p(x) = q(x) si, y sólo si 1. gr(p) = gr(q) 2. a k x k = b k x k, k = 0, 1, 2, 3,, gr(p) EJEMPLO 4.2. Sea los poliomios p(x) = 1 3x 2 y q(x) = 1 0x 3x 2 + 0x 3 0x 4. Se tiee que los poliomios so iguales, ya que el grado de ambos es dos (q(x) tiee dos potecias mayores multiplicadas por cero, y por lo tato so descartadas para evaluar el grado), y los térmios de grado cero y grado 2 so iguales (el térmio e x de p(x) es 0x, por lo tato se puede comparar co el segudo térmio de q(x)). Fialmete, elimiado los térmios ulos de cada poliomio, se tiee que 2 Ig. Aldo Jiméez Arteaga 1 3x 2 = 1 3x 2 p(x) = q(x) Propiedades: adició, multiplicació de poliomios y multiplicació por u escalar Adició Dado que u poliomio es ua expresió algebraica, se puede realizar la suma correspodiete etre diferetes poliomios; esto se realiza obedeciedo las leyes de la reducció de térmios semejates e expresioes algebraicas. Sea los poliomios Se tiee que p(x) = a k x k, q(x) = b k x k m p(x) + q(x) = a k x k + b k x k De la defiició de poliomio, los coeficietes a k, b k C, e cosecuecia se puede aplicar la distribució e los úmeros complejos; esto implica, que la adició e los poliomios queda defiida como m p(x) + q(x) = (a k + b k )x k Sea los poliomios p(x), q(x) y r(x), la adició e los poliomios cumple co las siguietes propiedades: 1. Cerradura, p(x) + q(x) es u poliomio de grado igual a gr(p) si gr(p) > gr(q) gr(q) si gr(p) < gr(q) gr(p + q) gr(p) si gr(p) = gr(q) 2. Asociació, gr(p) + [gr(q) + gr(r)] = [gr(p) + gr(q)] + gr(r). 3. Comutació, gr(p) + gr(q) = gr(q) + gr(p). 4. Elemeto eutro, p(x) + O(x) = p(x) dode O(x) es el poliomio cero, co grado idefiido.
5. Elemeto iverso, p(x) + [ p(x)] = O(x) EJEMPLO 4.3. Sea los poliomios g(x) = (1 + i)x 2 + ix 2 y h(x) = ix 3 + x + (3 2i). La suma de los poliomios será: g(x) + h(x) = [(1 + i)x 2 + ix 2] + [ ix 3 + x + (3 2i)] = ix 3 + (1 + i)x 2 + (1 + i)x + (1 2i) Multiplicació Para la multiplicació de poliomios se realiza el siguiete procedimieto. Sea los poliomios Se tiee que m p(x) = a k x k, q(x) = b k x k m p(x) q(x) = a k x k b k x k Como los coeficietes a k, b k C, se puede aplicar la distribució e los úmeros complejos para cada térmio de q(x): p(x) q(x) = a k x k b 0 + a k x k b 1 x + a k x k b 2 x 2 + + a k x k b m x m Haciedo la multiplicació p(x) q(x) = a k b 0 x k + a k b 1 x k+1 + a k b 2 x k+2 + + a k b m x k+m Al desarrollar la expresió y reduciedo los térmios semejates se tiee que p(x) q(x) = a 0 b 0 + (a 0 b 1 +a 1 b 0 )x + (a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0 )x 2 + + a b m x m+ Fialmete, se obtiee que la multiplicació de poliomios se defie como: m+ p(x) q(x) = c k x k k c k = a j b k j j=0 Para los poliomios p(x), q(x) y r(x), la multiplicació cumple co las siguietes propiedades: 1. Cerradura, p(x) q(x) es u poliomio de grado gr(p q) = gr(p) + gr(q) 2. Asociació, gr(p) [gr(q) gr(r)] = [gr(p) gr(q)] gr(r). 3. Comutació, gr(p) gr(q) = gr(q) gr(p). 3 Ig. Aldo Jiméez Arteaga
4. Elemeto eutro, p(x) u(x) = p(x) dode u(x) es u poliomio costate, de grado cero. 5. Elemeto iverso, p(x) 1 p(x) = u(x) p(x) O(x) y u(x) = 1. Tambié puede realizarse ua distribució co respecto de la suma: Distribució, p(x)[q(x) + r(x)] = p(x)q(x) + p(x)r(x) EJEMPLO 4.4. Sea los poliomios a(x) = ix 2 + x + 1 y b(x) = ix + i. Su multiplicació está dada por Multiplicació por u escalar a(x)b(x) = ( ix 2 + x + 1)(ix + i) = ( i)(ix + i)x 2 + (1)(ix + i)x + (1)(ix + i) = (x + 1)x 2 + (ix + i)x + (ix + i) = x 3 + x 2 + ix 2 + ix + ix + i = x 3 + (1 + i)x 2 + 2ix + i Los poliomios tambié puede multiplicarse por costates uméricas, que so cosideradas como poliomios de grado cero. E este caso, la multiplicació de u poliomio por u escalar se defie como: α p(x) = α a k x k αa k x k Esto implica que cada térmio del poliomio se multiplica por el escalar. EJEMPLO 4.5. Dado el poliomio r(x) = 3x 4 + 2x 3 x 2 + x + 1 y el escalar β = 2, el producto β r(x) es z r(x) = 2( 3x 4 + 2x 3 x 2 + x + 1) = ( 2)( 3x 4 ) + ( 2)(2x 3 ) + ( 2)( x 2 ) + ( 2)(x) + ( 2)(1) = 6x 4 4x 3 + 2x 2 2x 2 Divisió de Poliomios Derivado de la propiedad del elemeto iverso e la multiplicació, se puede defiir a la divisió de poliomios como: a(x) b(x) = a(x) 1 b(x) la cual, es aáloga a la divisió euciada e el cojuto de los úmeros racioales. Divisibilidad y algoritmo de la divisió Tomado como base el algoritmo de la divisió de los úmeros eteros, se puede defiir el algoritmo de la divisió de los poliomios. Para ello, hay que defiir el cocepto de factor de u poliomio. Sea f(x) y g(x) dos poliomios e x co coeficietes complejos, y g(x) 0. Se cosidera que g(x) es u factor de f(x) si existe u poliomio q(x) co coeficietes complejos tal que 4 Ig. Aldo Jiméez Arteaga
Por lo tato, se dice que f(x) es divisible etre g(x). f(x) = g(x)q(x) EJEMPLO 4.6. Si f(x) = x 2 + 3x + 2 y g(x) = x + 1 se tiee que dode q(x) = x + 2. x 2 + 3x + 2 = q(x)(x + 1) Co base e la defiició de factor, se puede obteer el algoritmo de la divisió de poliomios. Sea f(x) y g(x) dos poliomios e x co coeficietes complejos, y g(x) 0. Existe dos poliomios úicos q(x) y r(x) co coeficietes complejos tales que dode gr(r) < gr(g), o bie r(x) = O(x). f(x) = g(x)q(x) + r(x) EJEMPLO 4.7. Sea los poliomios f(x) = x 4 + 4x 3 3x 2 10x + 8 y g(x) = x 2 2x + 1, ecuétrese los poliomios cociete y residuo de dividir f etre g. Para realizar esta operació se puede dibujar el arreglo clásico de la divisió, dode el dividedo f se ecuetra detro del símbolo de divisió, y el divisor g se coloca afuera. Por otra parte, el cociete se escribirá e la parte superior del arreglo, y el residuo e la parte iferior. x 2 +6x +8 x 2 2x + 1 x 4 +4x 3 3x 2 10x +8 x 4 +2x 3 x 2 +6x 3 4x 2 10x 6x 3 +12x 2 6x +8x 2 16x +8 8x 2 +16x 8 0 E este ejemplo los poliomios so q(x) = x 2 + 6x + 8 y r(x) = 0. Por lo tato, el poliomio f(x) es divisible etre el poliomio g(x). Cabe destacar que como g(x) tambié es divisible etre poliomios de grado uo (los dos factores que al multiplicarse etre sí da como resultado al poliomio de grado dos), etoces cada uo de sus factores será e cosecuecia u factor del poliomio origial f(x). EJEMPLO 4.8. Divídase el poliomio f(x) = x 6 x 5 + x 4 x 3 + x 2 x + 1 etre el poliomio g(x) = x 2 + x + 1. Para este ejemplo se recurrirá uevamete al arreglo para realizar la divisió etre poliomios, cosiderado que habrá más potecias para trabajar. 5 Ig. Aldo Jiméez Arteaga
x 4 2x 3 +2x 2 x x 2 + x + 1 x 6 x 5 +x 4 x 3 +x 2 x +1 x 6 x 5 x 4 2x 5 x 3 +2x 5 +2x 4 +2x 3 +2x 4 +x 3 +x 2 2x 4 2x 3 2x 2 x 3 x 2 x +x 3 +x 2 +x Para este ejemplo, se tiee que la divisió arroja u residuo diferete de cero. Teoremas del residuo y del factor Al ser cosiderado ua fució, u poliomio puede evaluarse e cualquier valor costate c que perteezca a los úmeros complejos; es decir, se puede sustituir la variable x por la costate c: p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + + a x +1 c C, p(c) = a 0 + a 1 (c) + a 2 (c) 2 + a 3 (c) 3 + + a (c) Fialmete se obtiee la costate p(c), que se llama valor del poliomio p(x) e c. Existe u caso particular detro de la divisió de poliomios, que se preseta cuado el divisor es u poliomio de grado uo, co su térmio lieal de coeficiete uitario, y el térmio costate egativo; es decir, g(x) = x c Co base e estos dos coceptos se puede platear los teoremas del residuo y del factor. Teorema del residuo Sea p(x) u poliomio co coeficietes complejos, y c C. El residuo de dividir el poliomio p(x) etre x c es igual a obteer el valor p(c). EJEMPLO 4.9. Dado el poliomio p(x) = 2x 3 3x 2 5x + 1, obtégase el residuo de dividir p(x) etre g(x) = x 1. Primer método: divisió covecioal. Primero se realizará la divisió como se hace ormalmete e los poliomios. 2x 2 x 6 x 1 2x 3 3x 2 5x +1 2x 3 +2x 2 x 2 5x +x 2 x 6x +1 +6x 6 5 6 Ig. Aldo Jiméez Arteaga
y el residuo es 5. Segudo método: teorema del residuo. Para este método, sólo se sustituirá la variable x por 1, y se reducirá las operacioes. y se observa que el resultado tambié es 5. p(1) = 2(1) 3 3(1) 2 5(1) + 1 = 5 EJEMPLO 4.10. Dado el poliomio w(x) = x 3 2x 2 + x 2, cuál es el residuo de dividirlo etre v(x) = x + i? Utilizado el teorema del residuo Por lo que el residuo es cero. w( i) = ( i) 3 2( i) 2 + ( i) 2 = i + 2 i 2 = 0 Teorema del factor U caso iteresate del teorema del residuo es cuado el úmero p(c) es igual a cero. E este caso se tiee el siguiete teorema. Sea p(x) u poliomio co coeficietes complejos, y c C. El poliomio p(x) es divisible etre x c si, y sólo si, se tiee que p(c) = 0. El ejemplo 4.10 preseta al poliomio v como factor de w. EJEMPLO 4.11. Determíese si el poliomio f(x) = x 4 + 4x 3 3x 2 10x + 8 es divisible etre g(x) = x 1. Para realizar este ejemplo, se tiee que Por lo tato, se cocluye que f(x) es divisible etre g(x). f(1) = (1) 4 + 4(1) 3 3(1) 2 10(1) + 8 = 1 + 4 3 10 + 8 = 13 13 = 0 EJEMPLO 4.12. El poliomio (x) = x 2 será factor de m(x) = ix 3 2x 2 + ix 2i? Para comprobarlo, se hará uso del teorema del factor. m(2) = i(2) 3 2(2) 2 + i(2) 2i = 8i 8 + 2i 2i = 8 + 8i 7 Ig. Aldo Jiméez Arteaga
Como el residuo o es ulo (el resultado de evaluar el poliomio es diferete de cero), etoces (x) o es factor de m(x). Divisió sitética El proceso de divisió de poliomios tiee particularidades cuado el poliomio divisor tiee la forma x c. El arreglo típico que se utiliza para resolver esta operació es bastate largo, repetitivo, y e ocasioes puede resultar tedioso calcular tatas operacioes. Si embargo, existe ua forma más simple de realizar la divisió, si exteder el proceso a más de tres regloes; este arreglo se le cooce como divisió sitética o la regla de Ruffii, ya que se realiza ua divisió como tal, pero de forma sitetizada, dode se puede colocar el divisor, el dividedo, el cociete y el residuo e dos líeas. Debe recordarse que los coeficietes ulos o debe ser igorados, pues está presetes al mometo de operar el poliomio co cualquier posible divisor. El arreglo de la divisió sitética se obtiee de la siguiete forma: Tomado los poliomios p(x) = 2x 3 3x 2 5x + 1 y g(x) = x 1, se iicia co el arreglo covecioal de la divisió etre expresioes poliomiales: 2x 2 x 6 x 1 2x 3 3x 2 5x +1 2x 3 +2x 2 x 2 5x +x 2 x 6x +1 +6x 6 5 Debido a que las potecias de x está e orde decreciete, se puede dejar úicamete los coeficietes de los poliomios, coservado el orde citado; además, se puede dejar el térmio idepediete del divisor, ya que se sabe que siempre tedrá la forma x c. 2 1 6 1 2 3 5 +1 2 +2 1 5 +1 1 6 +1 +6 6 5 Se puede omitir los coeficietes resultates de multiplicar el cociete por el primer térmio del divisor; además, tambié se omite los coeficietes que baja después de realizar cada resta del proceso de divisió. Esto permite escribir ua sola vez el mismo coeficiete. 8 Ig. Aldo Jiméez Arteaga
2 1 6 1 2 3 5 +1 +2 1 1 6 6 5 Se puede comprimir el arreglo, subiedo las líeas de resta para colocarlas debajo del dividedo. 2 1 6 1 2 3 5 +1 +2 1 6 1 6 5 E la cuarta líea del uevo arreglo se puede escribir el primer coeficiete del cociete y se tedrá todos los coeficietes del cociete e el último regló. 1 2 3 5 +1 +2 1 6 2 1 6 5 Fialmete, se reacomoda las líeas de divisió y se cambia el sigo del coeficiete del divisor para obteer 1 2 3 5 +1 +2 1 6 2 1 6 5 El producto del divisor por cada uo de los coeficietes de la tercera líea da como resultado los úmeros de la seguda líea, recorridos u lugar a la derecha. Además, los primeros tres coeficietes de la tercera líea so los coeficietes del cociete; el último correspode al residuo de la divisió. EJEMPLO 4.13. Utilícese la divisió sitética para dividir f(x) = x 4 + 4x 3 3x 2 10x + 8 etre g(x) = x + 2. Se arregla los coeficietes de mayor a meor potecia detro del arreglo, y se toma 2 como el divisor. 2 1 +4 3 10 +8 2 4 +14 8 1 +2 7 +4 0 Por lo tato, se cocluye que f(x) es divisible etre g(x); además, el poliomio cociete es u grado meor que el dividedo. E geeral, al dividir u poliomio p(x), cuyo grado es gr(p) =, etre el factor g(x) = x c (de grado gr(g) = 1), se obtiee que el poliomio cociete q(x) tiee grado gr(q) = gr(p) gr(g); es decir, gr(q) = 1. Este poliomio cociete se cooce como el poliomio degradado de p(x). 9 Ig. Aldo Jiméez Arteaga
EJEMPLO 4.14. Divídase el poliomio f(ω) = ω 4 + 2ω 2 + 1 etre el poliomio g(ω) = ω i. El poliomio dividedo tiee omitidos los térmios de tercer y primer grado; eso implica que dichos térmios tiee coeficietes ulos. Es ecesario que se escriba explícitamete dichos coeficietes e la divisió sitética, ya que su exclusió implicaría el uso de otro poliomio diferete al solicitado. i 1 +0 +2 +0 +1 +i 1 +i 1 1 +i +1 +i 0 El residuo es cero, y el cociete es el poliomio degradado q(x) = x 3 + ix 2 + x + i. Raíces de u poliomio Además de ua expresió algebraica, o ua fució, los poliomios puede expresarse como otra etidad matemática. Se cooce como ecuació de grado a ua ecuació de la siguiete forma: a x + + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 Esto quiere decir que los poliomios tambié se puede establecer como ecuacioes; es decir, se puede igualar a cero. E este caso, se debe obteer los valores de x que satisface dicha ecuació; es decir, coocer los valores para los cuales el poliomio dado obtiee u valor igual a cero. Dichos valores se llama raíces del poliomio. Defiició de raíz Sea p(x) u poliomio co coeficietes complejos, y u valor α C. Se tiee que α es ua raíz de p(x) si, y sólo si, se cumple que p(α) = 0. EJEMPLO 4.15. Sea el poliomio f(x) = x 4 + 4x 3 3x 2 10x + 8, y α = 2. Si se valúa el poliomio e 2, se tedrá lo siguiete: Por lo tato, 2 es ua raíz del poliomio f(x). f( 2) = ( 2) 4 + 4( 2) 3 3( 2) 2 10( 2) + 8 = 16 + 4( 8) 3(4) + 20 + 8 = 16 32 12 + 20 + 8 = 44 44 = 0 EJEMPLO 4.16. Dado el poliomio p(x) = x 4 Ax 3 + 6x 2 4Ax + 2A, calcúlese el valor que A que permite a α = 2i ser ua raíz de p(x). Para que el valor dado sea ua raíz debe cumplirse que p(2i) = 0; por lo tato, 0 = (2i) 4 A(2i) 3 + 6(2i) 2 4A(2i) + 2A = 16 + 8Ai 24 8Ai + 2A = 8 + 2A 10 Ig. Aldo Jiméez Arteaga
Por lo que al despejar A e la ecuació se llega a A = 4, que es el valor buscado. El poliomio co todos sus coeficietes es p(x) = x 4 4x 3 + 6x 2 16x + 8. Teorema fudametal del Álgebra Como se ha visto e alguos de los ejemplos ateriores, los poliomios co coeficietes reales o ecesariamete tiee raíces reales, sio complejas. Esto puede iducir a pesar que u poliomio de coeficietes complejos puede teer raíces fuera del cojuto de los úmeros complejos. Si embargo, se puede llegar a la coclusió de que el complejo umérico máximo es C; esta coclusió se obtiee al aplicar el teorema fudametal del Álgebra, el cual expoe lo siguiete: Si p(x) es u poliomio co coeficietes complejos y de grado mayor o igual a uo, etoces p(x) tiee, al meos, ua raíz α C. Número de raíces de u poliomio Sea el poliomio p(x) = a x + + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 Cuyos coeficietes so complejos y su grado es gr(p) =. Esto quiere decir, que el poliomio p(x) tiee al meos ua raíz que perteece a los complejos. Gracias al teorema del factor, se puede reescribir el poliomio p(x) e térmios de u cociete y u divisor: p(x) = (x α 1 )q 1 (x) (1) Se itroduce u uevo poliomio q 1 (x) co coeficietes complejos y gr(q 1 ) = gr(p) 1. Nuevamete, por el teorema fudametal del Álgebra y el teorema del factor, se pude reescribir el poliomio q 1 (x) como: q 1 (x) = (x α 2 )q 2 (x) (2) Co q 2 (x) siedo u poliomio co coeficietes complejos y gr(q 2 ) = gr(p) 2. Al repetir esta simplificació de poliomios hasta obteer u poliomio de grado cero, se tedría el siguiete resultado: q 1 (x) = (x α )q () dode q es u úmero complejo. Ahora, se puede sustituir la ecuació () e ( 1), ésta a su vez e ( 2), y así sucesivamete hasta sustituir (2) e (1); y el poliomio p(x) quedará represetado como u producto de poliomios de grado uo: p(x) = (x α 1 )(x α 2 )(x α 3 ) (x α )q Fialmete, q es el coeficiete del térmio x del poliomio origial p(x). Esta descomposició e factores lieales es úica, y muestra cada ua de las raíces del poliomio p(x). Esto idica que el úmero de factores lieales e los cuales se puede descompoer u poliomio, es igual al úmero de raíces de dicho poliomio. Si p(x) es u poliomio de grado 1 co coeficietes complejos; etoces, p(x) tiee raíces. 11 Ig. Aldo Jiméez Arteaga
El que u poliomio p(x) tega raíces o implica que dichas raíces sea diferetes etre sí; cuado u poliomio tiee ua raíz α repetida, se dice que α es ua raíz múltiple de p(x). Esta propiedad es coocida como multiplicidad de α. EJEMPLO 4.17. Sea p(x) = x 4 6x 3 9x 2 + 4x + 12. Para descompoer el poliomio e sus factores lieales se realizará la divisió sitética cosecutivamete co las raíces 3, 2, 1. Para α 1 = 3: 1 6 9 4 12 3 +3 +9 0 12 1 3 0 4 0 Por lo que se tiee que p(x) = (x + 3)( x 3 3x 2 + 4). Para α 2 = 2: 1 3 0 4 2 +2 +2 4 1 1 +2 0 Y ahora se obtiee p(x) = (x + 3)(x + 2)( x 2 x + 2). Para α 3 = 1: 1 1 +2 1 1 2 1 2 0 Etoces se tiee que p(x) = (x + 3)(x + 2)(x 1)( x 2). Fialmete, el último factor puede reducirse como x 2 = ( 1)(x + 2). Y el poliomio origial puede expresarse como p(x) = (x + 3)(x + 2)(x 1)(x + 2)( 1), dode se observa que la raíz α 2 = 2 se repite ua vez; por lo tato, α 2 = 2 es ua raíz múltiple, de multiplicidad dos. Cabe destacar que u poliomio se puede expresar como ua serie de productos, que es idética a la represetació de suma: a i x i = a (x α i ) i=0 Técicas elemetales para buscar raíces El mayor iterés de los poliomios es coocer cada uo de los factores lieales e los cuales se puede descompoer; es decir, coocer cada ua de las raíces del poliomio. Esta es ua tarea bastate iteresate, y que muestra diferetes facetas, depediedo del poliomio que se esté estudiado, de la aturaleza de sus coeficietes, y tambié de sus raíces. Estas características impide la geeració de u método geeral que se pueda aplicar a cualquier poliomio, idepedietemete de su aturaleza o comportamieto. i=1 12 Ig. Aldo Jiméez Arteaga
Si embargo, si existe diversas técicas específicas que ayuda a obteer raíces de maera simple; dichos procedimietos se basa e la iformació proporcioada por el poliomio. Es ecesario recalcar que cada técica puede o o ecotrar, por sí sola, todas las raíces de u poliomio. Por ello es mejor utilizar combiacioes de técicas para maximizar las probabilidades de obteer las raíces de u poliomio. E geeral, las técicas se basa e el tipo de raíces que se puede obteer; las raíces de u poliomio puede ser: Reales Racioales Irracioales Complejas Cada método puede ecotrar u tipo de raíces, e iclusive más de uo, pero o todos a la vez. Posibles raíces racioales Estas so las raíces más secillas de localizar, ya que se localiza por medio de factorizació directa o por medio de los valores que tiee los coeficietes del poliomio. Para ello se tiee el siguiete teorema: Sea f(x) = a x + a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 U poliomio co coeficietes eteros, de grado 1, y a 0 0. Si u úmero racioal e su míima expresió p q es raíz de f(x), etoces p es factor de a 0 y q es factor de a. Si α = p, se tiee que q f p q = 0 Etoces, al sustituir la raíz e el poliomio se tiee Al multiplicar la ecuació por q se tiee 13 Ig. Aldo Jiméez Arteaga a p q + a 1 p 1 q + a 2 p 2 q + + a 2 p 2 q + a 1 p q + a 0 = 0 p a q + a p 1 1 q 1 + a p 2 2 q 2 + + a p 2 2 q 2 + a p 1 q + a 0 = a p + a 1 p 1 q + a 2 p 2 q 2 + + a 2 p 2 q 2 + a 1 pq 1 + a 0 q = 0 Debido a que a 0, p 0, etoces se puede dividir etre p la ecuació a p 1 + a 1 p 2 q + a 2 p 3 q 2 + + a 2 pq 2 + a 1 q 1 + a 0q p = 0 a p 1 + a 1 p 2 q + a 2 p 3 q 2 + + a 2 pq 2 + a 1 q 1 = a 0q p
La parte izquierda es ua suma de productos de úmeros eteros, etoces el cociete que se obtiee del lado derecho tambié es u úmero etero; esto es posible si, y sólo si, p es factor de a 0. EJEMPLO 4.18. Sea el poliomio p(μ) = μ 4 9 2 μ3 + 6 2 μ2 + 11 μ 3, obtégase todas sus raíces reales racioales. 2 Debido a que el poliomio o tiee coeficietes eteros, o se puede aplicar el método de las posibles raíces racioales; por lo tato, se lo multiplicará por dos para trabajarlo. q(μ) = 2μ 4 9μ 3 + 6μ 2 + 11μ 6 Ahora, se tiee que los factores de los coeficietes a 0 y a so: a 0 = 6, tiee como factores a ±1, ±2, ±3, ±6. a = 2, tiee como factores a ±1, ±2. Por lo que las posibles raíces racioales del poliomio q(μ) so: a 0 = ±1 a ±1, ±1 ±2, ±2 ±1, ±2 ±2, ±3 ±1, ±3 ±2, ±6 ±1, ±6 ±2 ±1, ±2, ±3, ±6, ± 1 2, ± 3 2 Se dice que so posibles porque puede o o ser raíces del poliomio. Ahora, por medio del teorema del factor, se procede a buscar las raíces: Para α = 1: q(1) = 2(1) 4 9(1) 3 + 6(1) 2 + 11(1) 6 = 2 9 + 6 + 11 6 = 19 15 4 1 o es raíz del poliomio. Para α = 1: q( 1) = 2( 1) 4 9( 1) 3 + 6( 1) 2 + 11( 1) 6 = 2 + 9 + 6 11 6 = 17 17 0 La primera raíz del poliomio es α 1 = 1. Para α = 2: q(2) = 2(2) 4 9(2) 3 + 6(2) 2 + 11(2) 6 = 2(16) 9(8) + 6(4) + 22 6 = 32 72 + 24 + 22 6 = 78 78 0 Para degradar al poliomio es ecesario que se aplique la divisió sitética para las primeras raíces ecotradas, pues el poliomio resultate será de grado dos. Ua vez degradado, será fácil ecotrar el resto de las raíces mediate factorizació o ecuació geeral de segudo grado. 14 Ig. Aldo Jiméez Arteaga
2 9 +6 +11 6 1 2 +11 17 +6 2 11 +17 6 0 dode q(x) = (x + 1)(2x 3 11x 2 + 17x 6). 2 11 +17 6 2 +4 14 +6 2 7 +3 0 Ahora q(x) = (x + 1)(x 2)(2x 2 7x + 3). Etoces, el último poliomio degradado se resuelve mediate la ecuació geeral de segudo grado: x = ( 7) ± ( 7)2 4(2)(3) 2(2) 7 ± 49 24 = 4 = 7 ± 25 4 = 7 ± 5 4 = 3, 1 2 Por lo tato, las raíces del poliomio so α 1 = 1, α 2 = 2, α 3 = 3, α 4 = 1. 2 EJEMPLO 4.19. Obtégase todas las raíces del poliomio g(x) = x 4 2x 2 3x 2. Los factores de los coeficietes a 0 y a so: a 0 = 2, tiee como factores a ±1, ±2. a = 1, tiee como factores a ±1. Las posibles raíces racioales del poliomio so: a 0 = ±1 a ±1, ±2 ±1 ±1, ±2 Al realizar la divisió sitética co 1: Ya se tiee u poliomio degradado. Ahora, al realizar la divisió co 2: 1 +0 2 3 2 1 1 +1 +1 +2 1 1 1 2 0 15 Ig. Aldo Jiméez Arteaga
1 1 1 2 2 +2 +2 +2 1 +1 +1 0 El poliomio degradado resultate es g 2 (x) = x 2 + x + 1, cuyas raíces so complejas. Las raíces del poliomio so α 1 = 1, α 2 = 2 y α 3,4 = 1 2 ± 3 2 i. Para este caso, las posibles raíces racioales o da iformació sobre las raíces complejas, i el úmero exacto de raíces positivas o egativas. Regla de los sigos de Descartes Existe la posibilidad de que u poliomio tega raíces ulas; es decir, que las raíces so iguales a cero. Este tipo de raíces se preseta cuado el térmio a 0 = 0. E este caso, la multiplicidad de dichas raíces es igual a la meor potecia del poliomio. EJEMPLO 4.20. Dado el poliomio f(x) = x 6 2x 5 + x 3, se debe ecotrar las raíces ulas. El proceso es secillo, ya que todos los térmios tiee a x 3 como factor: y el poliomio puede expresarse como: f(x) = x 6 2x 5 + x 3 = x 3 (x 3 2x 2 + 1) f(x) = (x 0)(x 0)(x 0)(x 3 2x 2 + 1) Por lo que 0, es ua raíz de multiplicidad tres e el poliomio. Es posible saber cuátas raíces reales positivas y reales egativas tiee u poliomio si raíces ulas; esto puede saberse aalizado los sigos de los coeficietes del poliomio. El procedimieto se cooce como regla de los sigos de Descartes. Sea p(x) = a x + a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 U poliomio de coeficietes reales y a 0 0. Se puede obteer el úmero de raíces reales de la siguiete maera: 1. El úmero de raíces reales positivas de p(x) es igual, o meor de dos e dos, al úmero de cambios de sigo e los coeficietes de p(x). 2. El úmero de raíces reales egativas de p(x) es igual, o meor de dos e dos, al úmero de cambios de sigo e los coeficietes de p( x). EJEMPLO 4.21. Sea el poliomio g(w) = w 5 w 4 + 3w 3 + 2w 2 w + 1. Obtégase el úmero de posibles raíces reales positivas y egativas. Raíces reales positivas: g(w) = +w 5 w 4 + 3w 3 + 2w 2 w + 1 16 Ig. Aldo Jiméez Arteaga
Raíces reales egativas: g( w) = w 5 w 4 3w 3 + 2w 2 + w + 1 Por lo tato, se tiee que el úmero de posibles raíces reales positivas es 4, 2 ó 0; el úmero de posibles raíces reales egativas es 1. Fialmete, es posible costruir ua tabla co las posibles combiacioes de las raíces del poliomio; e dicha tabla debe cosiderarse el grado del poliomio (úmero total de raíces), así como las raíces ulas descubiertas ates de aplicar el teorema de Descartes. El codesado de esta iformació se muestra e la tabla 4.1. 1ª opció 2ª opció 3ª opció R + 4 2 0 R 1 1 1 C 0 2 4 Nulas 0 0 0 Total 5 5 5 Tabla 4.1. Naturaleza de las raíces del poliomio del ejemplo 4.21. Es adecuado costruir este tipo de tablas para establecer el úmero de raíces de algú tipo específico que puede obteerse e u poliomio dado, y así, o buscar más raíces de las que se puede ecotrar. EJEMPLO 4.22. Obtégase iformació sobre la aturaleza de las raíces del poliomio p(λ) = 2λ 3 + λ 2 7λ 6 Al tomar p(λ) = 2λ 3 + λ 2 7λ 6, el úmero de cambios de sigo es 1; por lo tato, sólo existe ua raíz real positiva. Co p( λ) = 2λ 3 + λ 2 + 7λ 6, existe 2 cambios de sigo; etoces, existe 2 ó 0 raíces reales egativas. La tabla 4.2 codesa la iformació hallada. 1ª opció 2ª opció R + 1 1 R 2 0 C 0 2 Nulas 0 0 Total 3 3 Tabla 4.2. Naturaleza de las raíces del poliomio del ejemplo 4.22. Teoremas sobre raíces irracioales cojugadas y complejas cojugadas Raíces irracioales Estas raíces siempre viee e pares, siempre y cuado el poliomio tega coeficietes racioales. Si embargo, es ecesario saber que existe estas raíces y que puede obteerse e forma exacta, auque e la práctica de la Igeiería es más coveiete obteer aproximacioes de estas raíces. Dichas aproximacioes puede obteerse por medio de métodos y algoritmos uméricos. Alguos de los teoremas de para obteer raíces irracioales so: Gráfica de u poliomio. Cambios de sigo e u itervalo. 17 Ig. Aldo Jiméez Arteaga
Cotas de las raíces reales. La gráfica de u poliomio es ua curva suave y cotiua que puede ser costruida por medio de evaluacioes del poliomio e putos dados; de esta curva se puede obteer iformació de las raíces de u poliomio. Debido a que las raíces reales so úmeros tales que hace cero a su poliomio, se observa que dichas raíces so los putos e los cuales la gráfica del poliomio corta al eje de las abscisas. EJEMPLO 4.23. Sea el poliomio p(x) = x 3 2x 2 4x + 5. Al valuar al poliomio e putos específicos del plao XY se tiee la tabla 4.3. x p(x) x p(x) 5 150 1 0 4 75 2 3 3 28 3 2 2 3 4 21 1 6 5 60 0 5 Tabla 4.3. Valores de la gráfica del poliomio del ejemplo 4.23. Al localizar cada ua de las parejas ordeadas e el plao cartesiao se tiee que la gráfica del poliomio preseta la forma característica plasmada e la figura 4.1. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0-5 -4-3 -2-1 -1 0 1 2 3 4 5-2 -3-4 -5-6 -7-8 -9-10 Figura 4.1. Gráfica del poliomio del ejemplo 4.23. 18 Ig. Aldo Jiméez Arteaga
Al localizar los putos se observa que uo de los cruces es e x = 1, e tato que los otros cruces se preseta e los itervalos 1 < x < 3 y 3 < x < 1; por lo que e esos dos putos se ecuetra las otras dos raíces reales. Al establecer itervalos por medio de la observació de la gráfica de u poliomio se obtiee los siguietes teoremas: Sea p(x) u poliomio co coeficietes reales. Si a y b so dos úmeros reales tales que a < b, y p(a), p(b) tiee sigos cotrarios, etoces p(x) tiee al meos ua raíz real e el itervalo a < x < b. E el ejemplo aterior, se tiee cambios de sigo etre p( 2) = 3 y p( 1) = 6 y etre p(2) = 3 y p(3) = 2; por lo tato, se deduce que las raíces está e los itervalos α 2 ( 2, 1) y α 3 (2,3). Para localizar las posibles raíces irracioales de u poliomio de maera más precisa se puede recurrir al cocepto de cota, el cual se estudio e el tema de úmeros reales. E este caso, si se observa a las raíces de u poliomio como u cojuto que perteece a los reales, y que está acotado superior e iferiormete, se puede establecer lo siguiete. Sea p(x) = a x + a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 u poliomio co coeficietes reales, raíces reales y a > 0. 1. Si al dividir p(x) etre el poliomio x s o existe úmeros egativos e el tercer regló de la divisió sitética, etoces todas las raíces reales de p(x) so meores que s; es decir, s es ua cota superior de las raíces de p(x). 2. Si al dividir p(x) etre el poliomio x t existe úmeros positivos y egativos alterados e el tercer regló de la divisió sitética, etoces todas las raíces reales de p(x) so mayores que t; es decir, t es ua cota iferior de las raíces de p(x). EJEMPLO 4.24. Ecuétrese las cotas de las raíces reales del poliomio p(x) = x 3 2x 2 4x + 5. Si se toma los valores 2 y 4, y se realiza la divisió sitética se tiee lo siguiete: 1 2 4 +5 2 2 +8 8 1 4 +4 3 Los sigos alterados e el tercer regló de la divisió idica, que 2 es ua cota iferior. 1 2 4 +5 4 +4 +8 +16 1 +2 +4 +21 Al teer sólo úmeros positivos e el tercer regló de la divisió se ha ecotrado, que 4 es ua cota superior. Por lo tato, todas las raíces reales del poliomio está etre 2 y 4. 19 Ig. Aldo Jiméez Arteaga
Raíces complejas Las raíces de u poliomio puede ser cojugadas, tal es el caso del poliomio f(x) = x 2 + 1, dode las raíces so α 1 = i, α 2 = i. E este ejemplo se observa que el poliomio de coeficietes reales tiee raíces complejas, que además so cojugadas. Sea p(x) u poliomio co coeficietes reales. Si α = a + bi es ua raíz de p(x), etoces α = a bi tambié es ua raíz de p(x). Sea Si α = a + bi es ua raíz de p(x), etoces 0 = a x + a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 0 = a (α) + a 1 (α) 1 + a 2 (α) 2 + + a 2 (α) 2 + a 1 (α) + a 0 Si se obtiee el cojugado de la expresió se tedría que 0 = a (α) + a 1 (α) 1 + a 2 (α) 2 + + a 2 (α) 2 + a 1 (α) + a 0 Por la propiedades del cojugado e los úmeros complejos se tiee que 0 = (α ) a + a (α ) 1 1 + a (α ) 2 2 + + (α ) a 2 2 + a (α ) 1 + a 0 Como los coeficietes del poliomio y el cero so úmeros reales etoces se llega a 0 = a (α ) + a 1 (α ) 1 + a 2 (α ) 2 + + a 2 (α ) 2 + a 1 (α ) + a 0 y por lo tato, se tiee que los úmeros α 1 = a + bi, α 2 = a bi so raíces del poliomio. EJEMPLO 4.25. Sea el poliomio r(x) = x 4 4x 3 + 3x 2 + 2x 6, ecuétrese todas las raíces del poliomio. Primero se obtedrá el úmero de posibles raíces reales, y establecer la catidad de raíces complejas que puede arrojar el poliomio. PRR + : PRR : r(x) = x 4 4x 3 + 3x 2 + 2x 6 y se tiee 3 cambios de sigo, co 3 o 1 raíces reales positivas. r( x) = x 4 + 4x 3 + 3x 2 2x 6 y se tiee 1 cambio de sigo, co 1 raíz real egativa. Las posibles combiacioes de raíces se muestra e la tabla 4.4. 1ª opció 2ª opció R + 3 1 R 1 1 C 0 2 Total 4 4 Tabla 4.4. Número de posibles raíces del poliomio del ejemplo 4.25. Primero se debe obteer las posibles raíces racioales, las cuales, al aalizar los coeficietes so ±1, ±2, ±3, ±6. 20 Ig. Aldo Jiméez Arteaga
Al realizar la divisió sitética para las posibles raíces: Para la siguiete posible raíz: 1 4 +3 +2 6 1 +1 3 0 +2 1 3 0 +2 4 1 4 +3 +2 6 1 1 +5 8 +6 1 5 +8 6 0 La primera raíz racioal es 1, lo cual idica que si existe ua raíz egativa, y que esta es la úica co el sigo meos; y se tiee que r(x) = (x + 1)(x 3 5x 2 + 8x 6). 1 5 +8 6 2 +2 6 +4 1 3 +2 2 Para el poliomio degradado del paso aterior se observa, que al dividir etre x 2, el tercer regló de la divisió sitética tiee sigos alterados; por lo tato, 2 es ua cota iferior de las raíces del poliomio degradado. La siguiete posible raíz racioal debe ser mayor a 2: 1 5 +8 6 3 3 6 +6 1 2 +2 0 La seguda raíz racioal es 3, y se tiee que r(x) = (x + 1)(x 3)(x 2 2x + 2). El poliomio de segudo grado se puede descompoer por medio de la ecuació de segudo grado: x = ( 2) ± ( 2)2 4(1)(2) 2(1) = 2 ± 4 2 Lo cual arroja como resultado los úmeros α 3,4 = 1 ± i. Etoces, se observa que existe dos raíces complejas, las cuales so cojugadas. Fialmete, todas las raíces del poliomio so α 1 = 1, α 2 = 3, α 3 = 1 + i, α 4 = 1 i. EJEMPLO 4.26. Obtégase todas las raíces del poliomio si se sabe que α 1 = i. p(λ) = λ 8 + λ 7 3λ 6 λ 5 2λ 3 + 4λ 2 Del poliomio se sabe que existe dos raíces ulas, por lo que el poliomio degradado es p 1 (λ) = λ 6 + λ 5 3λ 4 λ 3 2λ + 4 21 Ig. Aldo Jiméez Arteaga
Por la regla de los sigos de Descartes se observa que: PRR + : PRR : El úmero de cambios de sigo es 2; por lo tato, p 1 (λ) tiee 2 ó 0 raíces reales positivas. El úmero de cambios de sigo de p 1 ( λ) es 2; por lo tato, p 1 (λ) tiee 2 ó 0 raíces reales egativas. Co esta iformació se costruye la tabla 4.5, que idica la aturaleza de las raíces de p(λ). 1ª opció 2ª opció 3ª opció 4ª opció R + 2 0 2 0 R 2 2 0 0 C 2 4 4 6 Nulas 2 2 2 2 Total 8 8 8 8 Tabla 4.5. Naturaleza de las raíces del poliomio del ejemplo 4.26. Como se idica que α 1 = i es ua raíz, y los coeficietes del poliomio so reales, etoces el cojugado es raíz. Al aplicar la divisió sitética co α 3 = i, el poliomio degradado obteido es Co la seguda raíz α 4 = i, se llega a p 2 (λ) = λ 5 + (1 + i)λ 4 + ( 4 + i)λ 3 + ( 2 4i)λ 2 + (4 2i)λ + 4i p 3 (λ) = λ 4 + λ 3 4λ 2 2λ + 4 Co este uevo poliomio, se aaliza sus posibles raíces racioales; los resultados so ±1, ±2, ±4. Primero se ecotrará ua cota superior y ua cota iferior. Tomado como primer valor a 4, la divisió sitética, e u primer iteto para buscar cotas, queda como 1 +1 4 2 +4 4 4 +12 32 +136 1 3 +8 34 140 Los sigos alterados e el tercer regló de la divisió sitética idica, que 4 es ua cota iferior. Para la cota superior se verificará el valor de 2. 1 +1 4 2 +4 2 +2 +6 +4 +4 1 +3 +2 +2 +8 Los elemetos positivos del cociete y residuo de la divisió demuestra, que 2 es ua cota superior. Utilizado el valor de 2: 1 +1 4 2 +4 2 2 +2 +4 4 1 1 2 +2 0 22 Ig. Aldo Jiméez Arteaga
La tercera raíz es α 5 = 2. Ahora se evalúa el valor de 1: 1 1 2 +2 1 +1 +0 2 1 +0 2 0 La siguiete raíz es α 6 = 1. El poliomio degradado resultate puede trabajarse directamete co u despeje Cocluyedo el ejemplo, las raíces del poliomio λ 2 2 = 0 λ 2 = 2 λ = ± 2 p(λ) = λ 8 + λ 7 3λ 6 λ 5 2λ 3 + 4λ 2 so α 1,2 = 0, α 3,4 = ±i, α 5 = 2, α 6 = 1, α 7,8 = ± 2, co lo cual, del aálisis por la regla de los sigos de Descartes, la opció 1 es la correcta. 23 Ig. Aldo Jiméez Arteaga