IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2001 (Modelo 6) Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1 x -1 Se cosidera la matriz A = 1 1 1. x x 0 (1 5 putos) Calcule los valores de x para los que o existe la iversa de A. (1 5 putos) Para x = 3, calcule, si es posible, A -1. 1 x -1 Se cosidera la matriz A = 1 1 1. x x 0 Calcule los valores de x para los que o existe la iversa de A. 1 x -1F 1+F2 2 x+1 0 Adjutos Como A = 1 1 1 = 1 1 1 tercera = 0 (1)(2x - x(x+1)) + 0 = -2x+x 2 +x = x 2 - x = x(x-1) = 0, x x 0 x x 0 columa de dode x = 0 y x = 1, es decir o existe la matriz iversa A -1 para x = 0 y x = 1. Para x = 3, calcule, si es posible, A -1. 1 3-1 Para x = 3, A = 1 1 1. Teiedo e cueta el apartado ( teemos A = 3 (3-1) = 6 0, por tato 3 3 0 existe matriz iversa A -1 cuya fórmula es A -1 = 1/( A ) Adj(A t ). 1 1 3-3 -3 4-3 -3 4-1/2-1/2 2/3 A = 6; A t = 3 1 3, Adj(A t ) = 3 3-2, por tato A -1 = (1/6) 3 3-2 = 1/2 1/2-1/3. -1 1 0 0 6-2 0 6-2 0 1-1/3 EJERCICIO 2_A U agricultor comprueba que si el precio al que vede cada caja de fresas es x euros, su beeficio diario, e euros, será: B(x) = -10x 2 + 100x 210. (1 puto) Represete la fució precio-beeficio. (1 puto) Idique a qué precio debe veder cada caja de fresas para obteer el máximo beeficio. Cuál será ese beeficio máximo? c) (1 puto) Determie a qué precios de la caja obtiee pérdidas el agricultor. U agricultor comprueba que si el precio al que vede cada caja de fresas es x euros, su beeficio diario, e euros, será: B(x) = -10x 2 + 100x 210. Represete la fució precio-beeficio. La gráfica de B(x) = -10x 2 + 100x 210, es ua parábola que tiee las ramas hacia abajo ( ), porque el º que multiplica a x 2 es egativo; abscisa de su vértice V e B (x) = 0 = - 20x + 100 x = 5, es decir su vértice es V(5, B(5)) = V(5,40). Sus cortes co los ejes so: Para x = 0, puto (0,-210). Para B(x) = 0 = -10x 2 + 100x - 210 x 2 2 10 ± 10-4 21 10 ± 4-10x + 21 = 0 x = =, de dode x = 7 y 2 2 x=3 putos (3,0) y (7,0). U esbozo de la fucio precio-beeficio es: germa.jss@gmail.com 1
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2001 (Modelo 6) Germá-Jesús Rubio Lua Idique a qué precio debe veder cada caja de fresas para obteer el máximo beeficio. Cuál será ese beeficio máximo? El beeficio máximo está e el vértice V(4, 40), es decir el máximo beeficio es 40 y se obtiee vediedo la caja de fresas a 5. c) Determie a qué precios de la caja obtiee pérdidas el agricultor. Observado el gráfico el agricultor tiee pérdidas si vede la caja a meos de 3 o a más de 7. EJERCICIO 3_A Parte I Dado u espacio muestral E se cosidera los sucesos A y B, cuyas probabilidades so p(a) = 2/3 y p(b) = 1/2. (0 75 putos) Puede ser los sucesos A y B icompatibles? Por qué? (0 75 putos) Supoiedo que los sucesos A y B so idepedietes, calcule p(a B). c) (0 5 putos) Supoiedo que A B = E, calcule p(a B). Dado u espacio muestral E se cosidera los sucesos A y B, cuyas probabilidades so p(a) = 2/3 y p(b) = 1/2. Puede ser los sucesos A y B icompatibles? Por qué? ( ) Sabemos que p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B); p(a/b) = p A B ; p(b) = 1 - p(b C ); p(a C ) = 1 p(a) p(b) p(a C B C ) = {Ley de Morga} = p(a B) C = {suceso cotrario} = 1 - p(a B); p(a B C ) = p(a) - p(a B). A y B so idepedietes si p(a B) = p(a) p(b); A y B so icompatibles si p(a B) = 0. Me pide A y B so icompatibles? Teemos p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) y por otro lado p(a) + p(b) = 2/3 + 1/2 = 7/6 > 1. Como la probabilidad o puede ser mayor de 1, obligatoriamete p(a B) > 0, por lo tato A y B o so icompatibles. Supoiedo que los sucesos A y B so idepedietes, calcule p(a B). Como los sucesos so idepedietes p(a B) = p(a) p(b) = (2/3) (1/2) = 1/3, luego: p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) = 2/3 + 1/2-1/3 = 5/6. c) Supoiedo que A B = E, calcule p(a B). Como p(a B) = p(e) = 1, teemos p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B), de dode: p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) = 2/3 + 1/2 1 = 1/6. EJERCICIO 3_A Parte II (2 putos) Ua ciudad de 2000 habitates está poblada por persoas de pelo egro, rubio o castaño. Se ha seleccioado, mediate muestreo aleatorio estratificado co afijació proporcioal, ua muestra costituida por 28 persoas de pelo egro, 32 de pelo rubio y 20 de pelo castaño. Determie cuál es la composició, segú el color del pelo, de esa ciudad. germa.jss@gmail.com 2
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2001 (Modelo 6) Germá-Jesús Rubio Lua Ua ciudad de 2000 habitates está poblada por persoas de pelo egro, rubio o castaño. Se ha seleccioado, mediate muestreo aleatorio estratificado co afijació proporcioal, ua muestra costituida por 28 persoas de pelo egro, 32 de pelo rubio y 20 de pelo castaño. Determie cuál es la composició, segú el color del pelo, de esa ciudad. Sabemos que e u muestreo aleatorio estratificado co afijació proporcioal, si hay k estratos y que el úmero de elemetos de cada estrato es N 1, N 2,..., N k, y si 1, 2,..., k so los elemetos de cada ua de las muestras de los estratos, el tamaño total de la muestra = 1 + 2, +...+ k, y se calcula eligiedo los úmeros 1, 2,..., k proporcioales a los tamaños de los estratos N 1, N 2,..., N k, es decir 1 = 2 =... = k = N1 N2 Nk N 28 E uestro caso N = 32 1 N = 20 2 N = 28+32+20 = 80 3 2000 2000. 28 De N = 80 1 2000, teemos N 28 2000 1 = = 700 persoas co el pelo egro e la ciudad. 80 32 De N = 80 2 2000, teemos N 32 2000 2 = = 800 persoas co el pelo rubio e la ciudad. 80 20 De N = 80 2000, teemos N 20 2000 3 = = 500 persoas co el pelo castaño e la ciudad. 80 3 OPCIÓN B EJERCICIO 1_B Sea el recito defiido por las siguietes iecuacioes: 5x + 2y 10 0 x y 2 0 3x + 4y 20 0 x 0 y 0. (2 putos) Dibuje dicho recito y determie sus vértices. (1 puto) Determie e qué puto de ese recito alcaza la fució F(x,y) = 4x + 3y el máximo valor. y c) Dibuje la regió factible determiada por dichas restriccioes: 5x + 2y 10 0; x - y 2 0; 3x + 4y - 20 0, x 0 e y 0. Calcule los vértices de dicha regió. Obtega los putos e los que la fució objetivo F(x,y) = x + 2y preseta el máximo. Fució Objetivo F(x,y) = 4x + 3y. Las desigualdades 5x + 2y 10 0; x - y 2 0; 3x + 4y - 20 0, x 0 e y 0, las trasformamos e igualdades, y ya sus gráficas so rectas, 5x + 2y 10 = 0; x - y 2 = 0; 3x + 4y - 20 = 0, x = 0 e y = 0. Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = -5x/2 + 5; y = x 2; y = -3x/4 + 5, x = 0 e y = 0. Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, y el recito covexo limitado por las iecuacioes, que será la regió factible; e el cual estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. germa.jss@gmail.com 3
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2001 (Modelo 6) Germá-Jesús Rubio Lua Calculamos los vértices del recito covexo, resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De y = 0 e y = x-2, teemos 0 = x-2, de dode x = 2, y el puto de corte es A(2,0) De y = x-2 e y = -3x/4+5, teemos x-2 = -3x/4+5, luego 4x-8 = -3x+20, 7x = 28, es decir x = 4 e y = 2, y el puto de corte es B(4,2) De x = 0 e y = -3x/4+5, teemos y = 5, y el puto de corte es C(0,5). Vemos que el polígoo covexo cerrado tiee por vértices los putos: A(2,0), B(4,2) y C(0,5). Calculemos el máximo y el míimo de la fució F(x,y) = 4x + 3y e dicha regió covexa. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió acotada covexa, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(2,0), B(4,2) y C(0,5). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(2,0) = 4(2) + 3(0) = 8; F(4,2) = 4(4) + 3(2) = 22; F(0,5) = 4(0) + 3(5) = 15; Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 22 (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e el vértice B(4,2). EJERCICIO 2_B (1 5 putos) Dada la fució f(x) = x 3 + bx + c, determie los valores de b y c sabiedo que dicha fució alcaza u máximo relativo e el puto (-1,3). (1 5 putos) Calcule a para que el valor míimo de la fució g(x) = x 2 + 2x + a sea igual a 8. Dada la fució f(x) = x 3 + bx + c, determie los valores de b y c sabiedo que dicha fució alcaza u máximo relativo e el puto (-1,3). Como f tiee e el puto (-1,3) u máximo relatico (aula la 1ª derivad, teemos que f(-1) = 3 (por puto) y f (-1)= 0 (por extremo). f(x) = x 3 + bx + c; f (x) = 3x 2 + b. De f(-1) = 3 (-1) 3 + b(-1) + c = 3-1 b + c = 3 b + c = 4. De f (1) = 0 3(-1) 2 + b = 0 3 + b = 0, de dode b = -3. Etrado e la aterior teemos: b + c = 4 (-3) + c = 4 c = 1, de dode b = -3 y c = 1. Calcule a para que el valor míimo de la fució g(x) = x 2 + 2x + a sea igual a 8. Sabemos que los extremos relativos (míimo) aula la 1ª derivada, luego teemos que resolver la ecuació g (x) = 0 y después impoer la codició de que el valor del míimo es 8. De g (x) = 0, teemos 2x + 2 = 0, luego x = -1, que es la abscisa del míimo. De g(-1) = 8, teemos (-1) 2 + 2(-1) + a = 8, de dode a = 9. germa.jss@gmail.com 4
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2001 (Modelo 6) Germá-Jesús Rubio Lua EJERCICIO 3_B Parte I El 35% de los estudiates de u cetro docete practica el fútbol. El 70% de los que practica el fútbol estudia Matemáticas, así como el 25% de los que o practica el fútbol. Calcule la probabilidad de que al elegir, al azar, u estudiate de ese cetro: (1 puto) Estudie Matemáticas. (1 puto) Practique el fútbol, sabiedo que o es alumo de Matemáticas. El 35% de los estudiates de u cetro docete practica el fútbol. El 70% de los que practica el fútbol estudia Matemáticas, así como el 25% de los que o practica el fútbol. Calcule la probabilidad de que al elegir, al azar, u estudiate de ese cetro: Estudie Matemáticas. Llamamos F, F C, M y M C, a los sucesos practica el fútbol, o practica el fútbol, estudia Matemáticas y o estudia Matemáticas. Del problema teemos p(f) = 35% = 0 35, p(m/f) = 70% = 0 7, p(m/ F C ) = 25% = 0 25,.. Todo esto lo vemos mejor e u diagrama de árbol (recordamos que las probabilidades que sale desde u mismo odo suma 1) Por el Teorema de la Probabilidad Total p(estudie Matemáticas) = p(m) = p(f) p(m/f) + p(f C ) p(m/f C ) = (0 35) (0 7) + (0 65) (0 25) = 0 4075. Practique el fútbol, sabiedo que o es alumo de Matemáticas. Utilizado la Fórmula de Bayes teemos: C C pf ( M ) p(f) ( M /F) p(f/m C ) = = = ( (0 35) (0 3) ) / ( 1 0 4075 ) = 14/79 0 1772. C p(m ) 1 - p(m) EJERCICIO 3_B Parte II (2 putos) E ua població ormal co variaza coocida se ha tomado ua muestra de tamaño 49 y se ha calculado su media: x = 4 2. Determie la variaza de la població sabiedo que el itervalo de cofiaza, al 95%, para la media poblacioal es (3 64,4 76). Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: I.C. (µ) = x z 1 α/2,x + z1 α/2 = (a, dode z 1-α/2 y z α/2 = - z 1-α/2 es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/2 ) = 1 - α/2 germa.jss@gmail.com 5
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2001 (Modelo 6) Germá-Jesús Rubio Lua Tambié sabemos que la media es x = (a + /2, el error máximo de la estimació es E = z1 α /2, para el itervalo de la media. Pero la amplitud del itervalo es b a = 2 z1 α /2 = 2 E, de dode E = (b /2, 2 2 z 1- α/2. 2 z 1- α/2. por tato el tamaño míimo de la muestra es = = E b - a. E ua població ormal co variaza coocida se ha tomado ua muestra de tamaño 49 y se ha calculado su media: x = 4 2. Determie la variaza de la població sabiedo que el itervalo de cofiaza, al 95%, para la media poblacioal es (3 64,4 76). Datos del problema: = 49, x = 4 2, itervalo de cofiaza = (3 64,4 76) = x z 1 α/2,x + z1 α/2 = = (a,, ivel de cofiaza = 95% = 0 95 = 1 - α, de dode α = 0 05, es decir α/2 = 0 05/2 = 0 025. De p(z z 1-α/2 ) = 1 - α/2 = 1-0 025 = 0 975. Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad 0 975 viee, y que correspode a z 1-α/2 = 1 96. De la fórmula b a = 2 z1 α /2, teemos 1 12 = 2 1'96, es decir = 2, por tato la variaza 49 pedida es 2 = 4. germa.jss@gmail.com 6