ÍNDICE Prologo,... ix 1 Conjuntos y lógica... 1 1-1 Conjuntos... 1 1-2 Notación... 1 1-3 Conjuntos iguales... 2 1-4 Conjunto vacío... 2 1-5 Subconjuntos... 2 1-1 Ejercicios... 3 1-6 Conjuntos equivalentes... 4 1-7 Cardinalidad de un conjunto... 5 1-8 Conjuntos finitos e infinitos... 6 1-9 Subconjuntos especiales de N... 6 1-2 Ejercicios... 7 1-10 Variables, conjuntos satisfactores, proposiciones abiertas y conjuntos verdad... 8 1-11 Notación de conjuntos por construcción... 9 1-3 Ejercicios... 9 1-12 Combinación de conjuntos... 10 1-13 Complemento de un subconjunto... 10 1-4 Ejercicios... 11 1-14 Gráfica de un conjunto... 12 1-5 Ejercicios... 13 1-15 Lógica... 14 1-16 Enunciados... 15 1-17 Enunciados específicos y enunciados generales... 15 1-18 Gráfica de un enunciado específico... 16 1-19 Gráfica de un enunciado general... 17 1-20 Enunciados compuestos... 17 1-21 Conjunto de dos enunciados... 18 1-22 Disyunción de dos enunciados... 18 1-23 Gráfica de un tipo importante de enunciados específicos... 19 1-6 Ejercicios... 20 1-24 Negación de un enunciado... 21 1-25 Negación de un enunciado compuesto... 22 1-26 Negación de «Es un subconjunto de»... 25 1-7 Ejercicios... 25 1-27 Implicaciones... 27 1-28 Otras figuras de una implicación... 28 1-8 Ejercicios... 29 1-29 Recíproca o inversa de una implicación... 30 1-30 Enunciados equivalentes... 30 1-31 La contrapositiva de una implicación... 32 1-32 Cadena de implicaciones... 33
1-9 Ejercicios... 33 1-33 Silogismo... 34 1-34 Razonamiento deductivo... 35 1-35 La demostración «Enunciado-justificación»... 36 1-10 Ejercicios... 37 2 Introducción al conjunto de los números reales como un campo... 39 2-1 Descripción del conjunto de los números reales... 39 2-1 Ejercicios... 41 2-2 Operaciones binarias... 42 2-3 Propiedades de la igualdad... 44 2-2 Ejercicios... 44 2-4 Propiedades aditiva y multiplicativa de la igualdad... 45 2-3 Ejercicios... 47 2-5 Los números reales forman un campo... 47 2-4 Ejercicios... 51 2-6 Los números reales forman un campo (continuación)... 52 2-5 Ejercicios... 57 3 Continuación del desarrollo del cuerpo o campo de los números reales... 60 3-1 Propiedades del inverso aditivo... 60 3-1 Ejercicios... 62 3-2 Resta... 63 3-2 Ejercicios... 65 3-3 División... 65 3-3 Ejercicios... 71 3-4 Los postulados de orden... 73 3-4 Ejercicios... 77 3-5 Ordenamiento de los enteros... 78 3-6 Propiedades de los enteros... 80 3-7 Los números racionales... 80 3-8 La representación geométrica de los números reales... 83 3-9 Valor absoluto... 85 3-10 Distancia entre dos puntos de la recta numérica... 86 3-5 Ejercicios... 86 3-11 Teoremas importantes del Capítulo 3 para referencia posterior... 89 4 Técnicas y aplicaciones... 91 4-1 Uso del sistema de los números reales... 91 4-2 Terminología... 92 4-3 Operaciones suma y resta en expresiones... 93 4-1 Ejercicios... 94 4-4 Multiplicación... 95 4-2 Ejercicios... 96 4-5 Multiplicación por visualización... 96 4-6 Diferencia entre dos cuadrados... 97 4-7 El cuadrado de un binomio... 97
4-3 Ejercicios... 98 4-8 Factorización en el conjunto de los enteros... 99 4-9 Factorización de expresiones algebraicas... 100 4-4 Ejercicios... 102 4-10 La suma o diferencia de dos cubos... 103 4-11 Factorización por agrupación... 103 4-5 Ejercicios... 104 4-12 Factorización completa en el conjunto de polinomios sobre los reales... 105 4-13 Resumen de factorización... 109 4-6 Ejercicios... 109 4-14 Fracciones... 110 4-15 Fracciones y formas racionales... 111 4-16 Multiplicación y división de fracciones... 114 4-7 Ejercicios... 116 4-17 Mínimo común múltiplo de un conjunto de enteros... 117 4-18 Mínimo común múltiplo de un conjunto de polinomios... 118 4-19 Suma y resta de fracciones... 120 4-8 Ejercicios... 121 4-20 Más técnicas de suma y resta... 123 4-9 Ejercicios... 125 4-21 Simplificación de fracciones complejas... 126 4-10 Ejercicios... 128 4-22 Solución de ecuaciones... 129 4-23 Solución de desigualdades... 131 4-11 Ejercicios... 132 4-24 Ecuaciones fraccionales... 133 4-12 Ejercicios... 135 4-25 Problemas de planteo... 135 4-13 Ejercicios... 139 5 Potencias, exponentes y raíces... 142 5-1 Exponentes enteros pasivos... 142 5-1 Ejercicios... 145 5-2 Exponentes cero y enteros negativos... 146 5-2 Ejercicios... 149 5-3 Raíces y radicales... 150 5-4 Isomorfismo de dos conjuntos... 152 5-3 Ejercicios... 156 5-5 Simplificación de expresiones radicales... 158 5-4 Ejercicios... 160 6 Funciones, relaciones y sus gráficas... 162 6-1 Funciones... 162 6-2 Notación de funciones... 164 6-3 Relaciones... 166 6-1 Ejercicios... 167 6-4 El sistema coordenado rectangular... 168 6-5 Gráficas de funciones y relaciones... 170 6-2 Ejercicios... 175
6-6 Ecuaciones lineales y relaciones lineales... 178 6-3 Ejercicios... 184 6-7 Funciones polinomiales... 185 6-4 Ejercicios... 189 6-8 Variación... 190 6-5 Ejercicios... 195 7 Sistemas de ecuaciones y desigualdades lineales... 197 7-1 Ecuaciones lineales... 198 7-2 Sistemas lineales de ecuaciones... 198 7-3 Ecuaciones lineales simultáneas con dos variables... 199 7-4 Soluciones simultáneas por el método gráfico... 203 7-1 Ejercicios... 206 7-5 Sistemas de n ecuaciones con n variables... 208 7-2 Ejercicios... 211 7-6 Problemas de planteo y sistemas de ecuaciones... 212 7-3 Ejercicios... 215 7-7 Desigualdades lineales simultáneas con dos variables... 216 7-4 Ejercicios... 223 8 Números complejos... 225 8-1 EI conjunto C de los números complejos... 225 8-2 Suma y multiplicación de números complejos... 226 8-3 Los elementos identidad e inverso en los números complejos... 228 8-4 EI sistema de los números complejos como un campo... 230 8-1 Ejercicios... 232 8-5 Un subconjunto especial de los números complejos... 234 8-6 La forma rectangular del número complejo (a, b)... 236 8-7 Resta de números complejos... 238 8-8 División de números complejos... 239 8-2 Ejercicios... 241 8-9 Raíces cuadradas que son números complejos... 242 8-10 Un modelo geométrico para C: el plano complejo... 243 8-3 Ejercicios... 246 9 Ecuaciones cuadráticas... 249 9-1 La forma canónica de la ecuación cuadrática en una variable... 249 9-2 Solución de ecuaciones cuadráticas por factorización... 250 9-1 Ejercicios... 252 9-3 Soluciones de ecuaciones cuadráticas de la forma (x + m) 2 = t... 254 9-4 Soluciones de ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado... 255 9-2 Ejercicios... 257 9-5 La fórmula cuadrática... 258 9-3 Ejercicios... 262 9-6 Ecuaciones con radicales... 264 9-7 Ecuaciones de forma cuadrática... 265 9-4 Ejercicios... 266
10 Sistemas de ecuaciones con cuadráticas... 268 10-1 Introducción... 268 10-2 Solución gráfica... 268 10-3 Solución por sustitución... 270 10-4 Dos ecuaciones de la forma ax 2 + by 2 = c... 272 10-1 Ejercicios... 273 10-5 Dos ecuaciones sin términos lineales... 274 10-2 Ejercicios... 276 10-6 Solución de problemas... 276 10-3 Ejercicios... 276 11 Álgebra de matrices y determinantes... 279 11-1 Matrices... 279 11-2 Igualdad de matrices... 280 11-3 Suma de matrices... 281 11-4 Multiplicación escalar... 282 11-1 Ejercicios... 283 11-5 Multiplicación de matrices... 284 11-6 Matriz inversa multiplicativa... 286 11-2 Ejercicios... 287 11-7 Determinantes... 288 11-8 Regla de Cramer... 290 11-3 Ejercicios... 291 11-9 Determinantes de tercer orden... 291 11-10 Determinantes de orden n... 292 11-4 Ejercicios... 295 12 Polinomios y funciones polinomiales... 297 12-1 Polinomios... 297 12-2 Operaciones con polinomios... 298 12-1 Ejercicios... 300 12-3 Algoritmo de la división de polinomios... 301 12-2 Ejercicios... 303 12-4 Funciones polinomiales... 304 12-5 El teorema del residuo y el teorema del factor... 305 12-3 Ejercicios... 306 12-6 División sintética... 307 12-7 Funciones polinomiales de una variable compleja... 308 12-8 Ceros racionales de una función polinomial sobre los enteros... 310 12-4 Ejercicios... 311 13 Funciones logarítmicas y exponenciales... 312 13-1 Funciones exponenciales y sus gráficas... 312 13-1 Ejercicios... 315 13-2 Logaritmos... 316
13-3 Funciones logarítmicas y sus gráficas... 317 13-2 Ejercicios... 318 13-4 Leyes fundamentales de los logaritmos... 319 13-3 Ejercicios... 321 13-5 Logaritmos comunes... 322 13-4 Ejercicios... 326 13-6 Interpolación... 326 13-5 Ejercicios... 329 13-7 Cálculos con logaritmos... 329 13-8 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales... 331 13-6 Ejercicios... 332 14 Sucesiones: un tipo especial de funciones... 333 14-1 Definición y notación... 333 14-2 Suma de términos consecutivos de una sucesión... 335 14-1 Ejercicios... 337 14-3 Sucesiones aritméticas y geométricas... 337 14-2 Ejercicios... 339 14-4 La suma de una sucesión aritmética... 340 14-5 La suma de una sucesión geométrica... 342 14-3 Ejercicios... 343 Apéndice... 346 Un tratamiento alternativo de los exponentes fraccionarios... 346 Tabla I. Logaritmos comunes... 349 Respuestas a algunos ejercicios... 351 Índice alfabético... 387