CAPÍTULO 6 Reglas e erivación 6. Regla e la caena En las reglas básicas e erivación se aplican fórmulas apropiaas para calcular las erivaas e las funciones f C g (suma), f g (iferencia), fg (proucto) y f (cociente). Pero no se presentó en esa g sección una regla que nos iga cómo calcular la erivaa e una composición e funciones; esto es, no sabemos cómo calcular la erivaa e f ı g (g compuesta con f o bien g seguia e f ). Es, precisamente, la regla e la caena la que nos ice cómo obtener la erivaa e y.f ı g/./. Regla e la caena: g u g./ f y f.u/ y.f ı g/./ f Œg./ f ı g canek.azc.uam.m: / 5/ 008
Cálculo iferencial e Integral I Si u g./ es una función erivable en 0, one u 0 g. 0 / y si y f.u/ es una función erivable en u 0, entonces la función y.f ı g/./ es erivable en 0 :.f ı g/ 0. 0 / f 0.u 0 /g 0. 0 / f 0 Œg. 0 / g 0. 0 / : En la emostración e esta regla esempeña un papel relevante el comportamiento e la función u g./ cuano está cerca e 0, ya que si eisten puntos cerca e 0 tales que g./ g. 0 /, entonces la iferencia g./ g. 0 / 0 genera problemas. Por eso en esta emostración suponemos que g./ g. 0 / para cerca e 0 y 0. Sea./.f ı g/./ f Œg./ f.u/ con u g./, 0. 0 / lím!0./. 0 / 0 lím!0.f ı g/./.f ı g/. 0 / 0 lím!0 f Œg./ f Œg. 0 / 0 : Se multiplica y ivie por el número iferente e cero g./ g. 0 /: f Œg./ f 0 Œg.0 / g./ g. 0 /. 0 / lím!0 0 g./ g. 0 / f Œg./ f Œg.0 / lím!0 g./ g. 0 / g./ g. 0 / 0 Pero la erivabilia e g en 0 asegura la continuia e g en 0. Luego, cuano! 0, sucee que g./! g. 0 /; o sea que u! u 0, cuano! 0. Volvieno a./ vemos 0 f Œg./ f Œg. 0 / g./ g. 0 /. 0 / lím lím! 0 g./ g. 0 /! 0 0 f.u/ f.u 0 / g./ g. 0 / lím lím u!u 0 u u 0! 0 0 Œf 0.u 0 / Œg 0. 0 / f 0 Œg. 0 / g 0. 0 / : Por lo tanto,.f ı g/ 0. 0 / f 0 Œg. 0 / g 0. 0 / ; : (*) que es lo que se quería emostrar. En general si u g./ es una función erivable en & y f.u/ es una función erivable en u, entonces la función y.f ı g/./ es erivable en. Aemás.f ı g/./ f Œg./ g./ f Œg./ g./ u f.u/ g./ : f.u/ u u Esto se acostumbra sintetizar como: ( u ) ( ) u :
3 6. Regla e la caena 3 Un caso particular e la regla e la caena es cuano y f.u/ u n con n N & u g./, situación que se conoce como la regla e la potencia: y entonces, Es ecir, ( u ) ( ) ( u u un y.f ı g/./ f Œg./ Œg./ n ) ( ) u.nu n / ( ) u nœg./ n g./ : Œg./ n nœg./ n g./ nœg./ n g 0./ : En palabras: la erivaa e una potencia e una función erivable es el eponente por la potencia una unia menor e la función base, por la erivaa e la función ( la erivaa e lo e aentro", como se ecía anteriormente). Ejemplo 6.. Para g./ 3 C 5 & f.u/ u 0.. Obtener.f ı g/./.. Calcular.f ı g/./.. Calculamos y.f ı g/./ f Œg./ f. 3 C 5/. 3 C 5/ 0. g u 3 C 5 f y u 0. 3 C 5/ 0 f ı g Entonces,.f ı g/./. 3 C 5/ 0.. ( ) ( ) u.f ı g/./ u ( u u0 ).3 C 5/.0u 9 /Œ. / C 0 0u 9.6 / 0. 3 C 5/ 9 6 60. 3 C 5/ 9 :
4 4 Cálculo iferencial e Integral I Lo cual es eactamente lo que se obtiene con la regla e la potencia:.3 C 5/ 0 0. 3 C 5/ 9. C 5/ 0. 3 C 5/ 9 6 60. 3 C 5/ 9 : emostraremos ahora la regla para el caso en que el eponente es un número racional, esto es: Regla. Si f./ n con n p q Q. p Z y q N /, entonces f 0./ n n. p En efecto, tenemos que f./ q ; elevano ambos miembros a la potencia q, tenemos que Œf./ q p ; ahora erivano con respecto a ambos miembros e esta última iguala: Œf./ q p ) qœf./ q f./ p p : Lo primero por la regla e la potencia y lo seguno por la regla. e aquí que f./ pp qœf./ pp q ( ) p q pp q q q p p q p.p p p q q / p q p q n n : Que es lo que queríamos emostrar. Ejemplo 6.. Sean u g./ & f.u/ u r con r Q.. Obtener.f ı g/./.. Calcular.f ı g/./...f ı g/./ f Œg./ Œg./ r. g u g./ f y f.u/ u r Œg./ r f ı g
5 6. Regla e la caena 5 Entonces,.f ı g/./ Œg./ r...f ı g/./ ( u ) ( ) ( ) u u ur g./.ru r /g 0./ rœg./ r g 0./ ) ).f ı g/./ rœg./ r g 0./ ) ) Œg./ r rœg./ r g 0./ : Ejemplo 6..3 Calcular la erivaa e w p t 3 C 4. Por la regla e la potencia w t t.t3 C 4/.t3 C 4/ t.t3 C 4/.t3 C 4/.6t / 6t.t 3 C 4/ 3t p t3 C 4 : Ejemplo 6..4 Calcular la erivaa e u 5. y 4 3 Por la regla e la potencia ( ) u 5 5 3 y 4. y 4 / 3 Œ5. y4 / 3 5. y4 / 3 5 3. y4 / 3. y4 / 5 3. y4 / 4 3. 4y 3 / 0y3 3. y 4 / 4 3 0y 3 3 3. y 4 / 4 : ( ) 3 5 Ejemplo 6..5 Calcular la erivaa e y. C 3
6 6 Cálculo iferencial e Integral I Por la regla e la potencia y luego por la el cociente ( ) 3 5 C 3 ( ) 3 5 ( ) 3 5 C 3 C 3 ( ) 3 4. C 3 / 5. 3 /. 3 /. C 3 / C 3. C 3 / ( ) 3 4. C 3 /. 6 /. 3 /.6 / 5 C 3. C 3 / ( ) 3 4. 6 /. C 3 C 3 / 5 C 3. C 3 / 5. 3 / 4. 6 /./. C 3 / 4. C 3 / 60. 3 / 4. C 3 / 6 : Ejemplo 6..6 Calcular la erivaa e z.u 3 C / 5.u 3 / 8. Por la regla el proucto y luego por la e la potencia z u u Œ.u3 C / 5.u 3 Para simplificar, factorizamos / 8.u 3 C / 5 u.u3 / 8 C.u 3 / 8 u.u3 C / 5.u 3 C / 5 8.u 3 / 8 u.u3 / C.u 3 / 8 5.u 3 C / 5 u.u3 C /.u 3 C / 5 8.u 3 / 7.3u / C.u 3 / 8 5.u 3 C / 4.3u / 4u.u 3 C / 5.u 3 / 7 C 5u.u 3 / 8.u 3 C / 4 : z u 3u.u 3 C / 4.u 3 / 7 Œ8.u 3 C / C 5.u 3 / 3u.u 3 C / 4.u 3 / 7.8u 3 C 8 C 5u 3 0/ 3u.u 3 C / 4.u 3 / 7.3u 3 / : Ejemplo 6..7 Calcular la erivaa e w.3t 4/ 3. t / 4.
7 6. Regla e la caena 7 Primero por la regla el cociente y luego por la e la potencia w t.3t 4/ 3 t. t / 4. t / 4 t.3t 4/ 3.3t 4/ 3 t. t / 4 Œ. t / 4 Para simplificar, factorizamos. t / 4 3.3t 4/ 3 t.3t 4/.3t 4/ 3 4. t / 4 t. t /. t / 8. t / 4 3.3t 4/.6t/.3t 4/ 3 4. t / 3. t/. t / 8 8t. t / 4.3t 4/ C 8t.3t 4/ 3. t / 3. t / 8 : w t t. t / 3.3t 4/ Œ9. t / C 4.3t 4/. t / 8 t. t / 3.3t 4/.8 9t C t 6/. t / 3. t / 5 t.3t 4/. C 3t /. t / 5 : Ejemplo 6..8 Calcular la erivaa e f./. / C p.. Puesto que f./. / C. / = = : f 0./. / C. /. /. / C. /. / C p 4. / p C. / C p 4 p. / C p 4. / p C 4 p. / C p : Ejemplo 6..9 Calcular la erivaa e y C C p.
8 8 Cálculo iferencial e Integral I ( C C p ) ( C C p ) C C p C C p C C p C C p ( C C p )./ C C p C ( p ) C { C C p C C p C C p C C p C. C p / ( p ) C./ C }. / ( C ) p : Ejemplo 6..0 Utilizano 3 proceimientos iferentes, obtener la erivaa e y C :. Consierano que: y Pero ( ) C ( ) C ( C ( C es potencia e una función ) ) ( ) : (*) C. C /. /. /. C /. C /. C /.6/. /.6/. C / 83 C 6 8 3 C 6. C /. C / :
9 6. Regla e la caena 9 Entonces, sustituyeno en./. /. C /. C /. /. C / 3 6 6. C /. 3 /. C / p C p 6. C /. C /. / 6. C / p 9 4 :. Consierano que y. /. C /. /. C /. C / es un cociente e potencias e funciones:. /. /. C / Œ. C / : (**) Pero. /. /. /. / 6. C /. C /. C /. C / 6. /. C / : Entonces, al sustituir en./. C /. /. /. C /. C /. C /. / C. /. C / C C. C /. /. /. C / ( ) 9 3 C 9 3 C p p C 6. C / p 9 4 : 3. Consierano que y. /. C / es un proucto e potencias e funciones: Œ.. / /. C /. C / C. C /. / : (***)
0 0 Cálculo iferencial e Integral I Pero. C /. C / 3 6. C / 3. C / 3. /. / 6 :. / Entonces, al sustituir en. /. /. /. C / 3 C. C /. C / 3. / C. C /. /. / C. C /. C /. 3 / 9 3 C C 9 3 C. C / p C p 6. C / p 9 4 : Ejercicios 6.. Soluciones en la página Utilizano reglas e erivación, calcular la erivaa e las funciones siguientes.. y. 4 / 5. (. u t C ) 0. t 3. z 4 y. 4. w 5. 6. y 5.3u C /. 6 y 5. 3 C. 7. f./. 8. f.z/ 4z C p 7 z. 9. y 3 4t C 5t.
6. Regla e la caena 0. y C p C.. 3y y C.. y 3. f.z/ p. p z C. p z C 3/. 4. Si f.w/ p w C C 3.w C / 3 ; calcular f 0./. 5. Sean ˆ.s/.s/,. / 3 & 0. / 3, calcule ˆ 0. /.
Cálculo iferencial e Integral I Ejercicios 6.. Regla e la caena, página 0.. 3. 4. 5. 6. 603. 4 / 4. ( u t 0 t C ) 9 ( t z w u 4y y. 60u.3u C / 3. 0y 4 3.y 5 /. 4 C 7. f 0./ C ) t. C. ( ). 8. f 0.z/ 4z C p 7 9. 0.. z t 3 3 3. 5t/ 4.4t C /. 6 p C C 5 C 4 4 p C C p C. 3y.y C /.y C / 3.. y 0 p C. p z C 3. f 0.z/ p z. p z C 3/ 3. 4. f 0./ :6. 5. ˆ 0. / 3 4. ( 8z ) p : 7 z