FACULTAD DE ECONOMÍA Y NEGOCIOS Documeno de Trabajo N 6 Esimación del VaR mediane modelos con disribuciones asiméricas y lepocúricas René Sanjinés Zúñiga *Universidad Andrés Bello Enero 013
Resumen Ese rabajo esá moivado por la necesidad de comparar los resulados que se obienen al calcular el VaR, uilizando para ello el modelamieno de la volailidad mediane un proceso con residuos disribuidos normales y un donde los residuos siguen una disribución de Gram-Charlier, en el senido de Gallan y Tauchen (1989). El VaR calculado en base a una disribución normal falla en su predicción de la pérdida máxima esperada con respeco al valor real, en un porcenaje superior al obenido en base a la disribución de residuos no normales.
Esimación del VaR mediane modelos con disribuciones asiméricas y lepocúricas. René Sanjinés Zúñiga 1 JEL classificaion: C3 Keywords: VaR-, expansión en series de Gram-Charlier, Volailidad condicional, curosis y asimería. Secor Board:. 1 Es Ingeniero Comercial y Magiser en Finanzas de la U. de Chile, PhD (c) en Economía y Empresa de la Universidad Europea de Madrid. Acualmene se desempeña como Académico de la Faculad de Economía y Negocios de la UNAB. Mail: rsanjines@unab.cl - Fono: 56 0 661 58 5 3
1. Inroducción Desde 1996 cuando JP Morgan inrodujo la meodología VaR para valorar el riesgo de acivos financieros ales como índices bursáiles, acciones, bonos y ipos de cambio, enre oros, es que su popularidad ha ido creciendo a lo largo de esos más de diez años que han ranscurrido desde aquel enonces. Y eso principalmene porque la gesión y adminisración del riesgo se ha vuelo un elemeno esencial en empresas y bancos que deben lidiar con las urbulencias y la ala volailidad que presenan los insrumenos financieros en periodos de crisis, así como ambién es una respuesa a la globalización de los mercados que significa que ya no sólo una economía se ve afecada por los hechos que ocurren en su erriorio, sino que además facores inernacionales van a repercuir en el ánimo de los agenes económicos provocando variaciones en los precios de los acivos. El riesgo como sabemos puede jugar ano a favor, como en conra. Cuando es a favor, la siuación no desagrada, sino más bien reconfora por el incremeno de la renabilidad en las inversiones. Sin embargo, la siuación es complicada y puede raer cosos imporanes cuando el riesgo juega en conra, eso es, por ejemplo que provoque una caída abrupa en los ipos de cambio y esa siuación perjudique direcamene a los exporadores. En ese senido el VaR es una meodología que apuna a calcular la pérdida máxima que un agene puede llegar a presenar con su acivo, para una ciera probabilidad. Son res los méodos que exisen para obener el VaR, esos son: paramérico, no paramérico y semiparamérico (véase Engle & Manganelli (001)) En ese esudio nos concenraremos en la forma paramérica la cual nos permiirá calcular el VaR uilizando la volailidad esimada en base a un normal donde la disribución es del ipo paramérica, pero ambién 4
obendremos el VaR mediane un méodo semiparamérico, eso debido a que la disribución de los residuos en el modelo alernaivo que nos permiirá modelar la volailidad, sigue una expasión en series Gram-Cherlier (Véase Jodeau y Rockinger(001)), la cual si bien es ciero es en esrico rigor una función con parámeros, no obsane, iene la flexibilidad de represenar disinas formas funcionales que permien una mejor represenación al objeivo de esudio. Para la esimación de la volailidad, exise una baería de modelos con las caracerísicas ARCH- que incorporan especificaciones propias con el senido de capurar la lepokurosis y asimería observada en los reornos de cieros acivos financieros. Exise abundane lieraura donde se han esudiado disribuciones alernaivas a la normal para capurar esos efecos (véase para un ciero dealle de cias a Peiró (1999)) y las implicancias de mejorar la especificación del modelo es que la volailidad resulane mejore la represenación del riesgo de un acivo. La incorporación del ercer y cuaro momeno de una disribución en el modelamieno de la varianza con procesos ha venido a buscar ese objeivo, siuación que inicialmene no fue considerada en la inroducción a los procesos ARCH por Engle (198) y poseriormene con los por Bollerslev (1986). Harvey y Siddique (1999) incorporan el exceso de curosis mediane una disribución T-no cenral, y especifican el modelamieno de la media, varianza y asimería simuláneamene. Sus conclusiones son ineresanes en el senido que la incorporación del ercer momeno variable en el iempo, impaca en la persisencia de la varianza de los reornos. Oros auores como Premarane y Bera (001) uilizan una disribución del ipo IV de Pearson que capura el 5
ercer y cuaro momeno pero lo asumen consane y sus conclusiones son que las esimaciones son superiores bajo el crierio SIC. León e.al (005) proponen una disribución de Gram-Cherlier para los residuos pero la gran diferencia con el reso de los esudios es que ellos además de modelar la varianza variable en el iempo, lo hacen ambién para la asimería y la curosis. Esiman los modelos para una serie de ipos de cambio e índices accionarios, y comparan los resulados con un esándar. Las conclusiones son robusas y en ellas se evidencia una asimería y curosis variables en el iempo significaivas, siendo esa especificación superior a los modelos con residuos normales. Tal como indican esos auores, la modelización del ercer y cuaro momeno en el iempo puede ener implicancias en la valoración de opciones y como concluye Harvey y Siddique(1999) ambién eso puede ser imporane en el manejo de careras, en la aplicación para mercados energéicos y en economías de amaño pequeño, por nombrar algunos ejemplos. Sin embargo, nosoros no esamos ineresados en modelar la asimerías y curosis variables en el iempo, sino más bien en especificar un modelo que capure el exceso de curosis y la asimería de los reornos, donde la asimería y curosis serían parámeros a esimar y no procesos auoregresivos como los especifican León e. Al (005). Nuesro esudio se fundamena en probar que la aplicación VaR basado en esándar es menos efeciva que la basada en un con residuos no normales. Esimamos los modelos para dos índices accionarios, IPSA de Chile e IBEX35 de España, además ambién lo hacemos para el ipo de cambio Euro/Dólar. Finalmene, con los resulados de las volailidades esimadas, efecuamos el cálculo del VaR para los dos ipos de modelos. Enconramos evidencia que el VaR esimado con residuos no 6
normales es siempre mejor que el VaR con residuos normales, eso en el senido de que el porcenaje de fallo donde la pérdida real fue inferior a la esperada, es siempre superior para el VaR basado en la disribución normal que para el VaR calculado en base a la disribución alernaiva. El presene esudio esá organizado como sigue: en la sección describimos las ecuaciones uilizadas para el modelamieno de la volailidad. La sección 3 describe los daos y enrega los resulados empíricos de los modelos de volailidad condicional en el iempo y los es de comparación enre ambos. La sección 4 enseña los fundamenos del VaR basado en la disribuciones definidas y enrega los resulados para ambos modelos, y la sección 5 finaliza con las principales conclusiones del esudio y sus posibles exensiones.. Un modelo con residuos asiméricos y lepocúricos para el cálculo del VaR En las líneas sugeridas por León e.al (005) para el modelamieno de los residuos de un no no normal, presenaremos el modelo a esimar con una disribución que llamaremos Gallan & Tauchen (GT). Nuesra inención, a diferencia de lo que esos auores perseguían en su arículo que era modelar la Skewness y Kurosis variables en el iempo, es que la disribución de los residuos sea asimérica y lepocúrica, como manera de mejorar la especificación del modelo. La esrucura de los procesos es: Ecuación de media: r E ( r ) 1 (.1) Ecuación de varianza ( (1,1)): h 0 1 1 h 1 (.) 7
Donde: ~ GT(0, h ), siendo GT la disribución de Gallan y Tauchen que se I 1 Llamamos define a coninuación y I 1 disponible en -1. al residuo esandarizado, al que: el conjuno de información h 1/ (.3) Los residuos esandarizados cumplen además las siguienes condiciones: E 1( ) 0 E 1( ) 1 E E 3 1( ) 4 1( ) S K (.4) (.5) (.6) (.7) Donde S y K represenan los parámeros de asimería y curosis. Luego usando una expansión en series de Gram-Charlier, acoando al cuaro momeno y haciendo unas ransformaciones para eviar la negaividad, la función densidad para los residuos es: f ( ) ( ) ( ) / (.8) Donde s 3 k 3 4 ( ) 1 3 6 3 (.9) 3! 4! s ( k 3) 1 3! 4! (.10) León e.al (005) represenaron.6 y.7 como una función del iempo y donde el ercer y cuaro momeno se generaban por procesos auoregresivos especificados como: 3 s 1 s 0 1 1 k k 4 0 1 1 1 Noar que esos procesos se relacionan con a ravés de lo que implica que la asimería y la forma de las colas de esa disribución van a deerminar el error y ese a su vez por una ecuación similar a. afecará la varianza esimada. Ese hecho lo descubrieron Harvey y Siddique (1999) pero ellos apunaron sólo a la Skewness variable en el iempo. León e.al apunan ambién a la Kurosis variable en el iempo. 8
) Denoa la función densidad normal esandarizada. En esrico rigor la ( expansión de series es: ) ( ) ( (.11) Pero esa función densidad puede omar valores negaivos dependiendo de K y S, por lo ano, se ajusa elevando al cuadrado.9 y dividiendo por.10, resulando.8 la cual esá bien definida y la inegral en su dominio es 1. 3. Esimaciones para la volailidad condicional 3.1 Daos y esadísicas descripivas Se han uilizado dos índices accionarios, por una pare el IPSA (índice de precios selecivos de acciones) el cual represena a las 40 acciones con mayor presencia bursáil en el mercado de valores de Chile y por oro lado hemos omado el índice IBEX 35(Iberia Index) el que por su pare represenan a las 35 empresas con mayor liquidez en el mercado de valores de España. Tano en el caso del IPSA como en el del IBEX, se omaron los valores de cierre diario desde el 7 de sepiembre de 1993 al 18 de marzo del 009. Además se uilizó el ipo de cambio Euro/Dólar diario, con valores al cierre desde el 7 de sepiembre de 1993 al 18 de marzo del 009. Tano los índices como el ipo de cambio diario, se uilizaron para obener los reornos porcenuales diarios (r ) compuesos coninuamene r 100 ln( P ) ln( P 1), donde P es el precio de cierre de una de las res series descrias aneriormene. La Tabla 1 muesra algunas esadísicas descripivas de los reornos de ambos índices y del ipo de cambio. Como podemos noar, el IPSA es el mercado con 9
mayor exceso de curosis y presena ambién el mayor sesgo de asimería que en ese caso es posiivo. El IBEX ambién presena lepucurosis pero asimería negaiva y como vemos, los reornos de divisa Euro/Dólar presenan menor exceso de curosis y, como es habiual en las series de ipos de cambio, la asimería es menor que en el caso de las series de índices bursáiles. Por ora pare, la mediana y la media de la serie de ipos de cambio Euro/Dólar écnicamene son cero y los punos máximos y mínimos esán a una disancia muy menor en relación a los mercados accionarios analizados. Es imporane observar que los esadísicos de Jarque-Bera corroboran la hipóesis de no normalidad de las res series analizadas. Tabla 1 Esadísicas descripivas para reornos diarios Esadísicos IPSA IBEX Euro/Dólar Num. Obs. 3858 3888 4035 Media 0,039 0,03 0,003 Mediana 0,038 0,086 0,000 Mínimo -7,658-9,586 -,797 Máximo 11,803 10,118 3,13 D.S 1,00 1,43 0,61 Asimería 0,70-0,156 0,084 Exceso Kurosis 7,091 4,714 1,696 JB(Jarque-Bera) 8118,865 3609,959 486,04 p-valor (0.000) (0.000) (0.000) FUENTE: Elaboración propia. 3. Esimación de modelos y comparaciones. Los modelos que esimamos para los resulados que se presenan en las ablas siguienes, son: Para el esándar: Ecuación de media (AR(1)): r 1 r 1 (3.1) Ecuación de varianza ( (1,1)): h 0 1 1 h 1 (3.) 10
Donde h Varianza ( r I 1) y I 1 sigue una disribución N ( 0, h ) La selección de la esrucura en la ecuación de la media se ha hecho en base al crierio del SIC (Schwarz Informaion Crierion), eliminando la consane, que resuló ser no significaiva en los res casos. Para el basado en la disribución de Gallan & Tauchen: Ecuación de media (AR (1)): r 1 r 1 Ecuación de varianza ( (1,1)): h 0 1 1 h 1 Donde, h 1/ y I 1, sigue una disribución de Gallan y Tauchen Observemos que con el basado en la disribución de Gallan y Tauchen obenemos ambién esimaciones de la asimería y curosis, que se esiman conjunamene con los parámeros del modelo. Si observamos primeramene la abla donde enconramos los resulados para un radicional, podemos noar que la volailidad condicional esá presene en los dos índices con el parámero 1 significaivo, ambién podemos decir que la volailidad es persisene en el iempo para ambos índices, al menos en el periodo a -1, pues el parámero es esadísicamene disino de cero, es decir, días de ala volailidad son seguidos de días con ala volailidad ambién, eso es, dado que el parámero es mayor que cero. Por ora pare, el ipo de cambio Euro/Dólar presena las mismas conclusiones: los parámeros son significaivos enconrándose evidencia de volailidad condicional y de varianza persisene en el iempo. 11
Tabla Resulados esimación modelo esándar Parámeros IPSA IBEX35 Euro/Dólar Ecuación de media α 1 0,11 11,97 0,036 1,97-0,0403 -,59 Ecuación de varianza β 0 0,1534 4,30 0,0953 3,34 0,0305,03 β 1 0,846 8,47 0,894 6,93 0,9655 7,13 β 0,037 41,61 0,033 61,97 0,0017 196,48 Loglikelihood -1983,9855-638,0679 189,443 funcion SIC -000,5013-654,599 17,8377 Los parámeros son esimados por ML usando el algorimo BHHH. Valores que esán en negria corresponden al esadísico de Quasi-Máxima Verosimiliud. FUENTE: Elaboración propia. Ahora cuando observamos la Tabla 3 las conclusiones ano para los índices como para el ipo de cambio no cambian, enconramos volailidad condicional en los res mercados y una varianza persisene. Podemos noar que se han esimado los coeficienes de asimería y curosis como parámeros de las series en expansión Gram-Charlier. No se encuenra evidencia de asimerías en los reornos en el mercado accionario chileno (IPSA) siendo por lo ano, el coeficiene de Skewness esadísicamene igual a cero. Lo mismo se observa para el mercado cambiario Euro/dólar. En cambio, el índice español IBEX35 presena una asimería negaiva. 1
El coeficiene de curosis es significaivo ano para los mercados accionarios como para el de ipo de cambio, sin embargo, noamos que exise un leve exceso de curosis para cada caso. Si definimos el crierio de Schwarz (SIC) como ln( L ML ) q ln( T), donde q es el número de parámeros esimados, T es el número de observaciones y LML es el valor de la función de verosimiliud calculado con los q parámeros esimados, enonces a mayor valor del SIC, mejor es el ajuse. Las mismas conclusiones se obendrían con el crierio de Akaike, que se define como: ln( L ML ) q. Como uno de nuesros objeivos es esudiar qué modelo esá mejor especificado para aplicar en la valoración del riesgo, observamos el crierio SIC que crece monóonamene en los res casos cuando pasamos de un esándar a un GT. Por lo ano, esaríamos en la dirección correca. 13
Ecuación de media Ecuación de varianza Tabla 3 Resulados esimación modelo GT Parámeros IPSA IBEX35 Euro/Dólar α 1 0,115 1,47 β 0 0,1460 4,55 β 1 0,88 8,61 β 0,0419 41,09 Asimería Sk -0,0167-0,8 Curosis KT 3,461 Loglikelihood funcion 81,96 0,015 0,9 0,0897 3,45 0,900 7,31 0,0184 71,59-0,1037-5,09 3,17 80,75-0,054-3,61 0,0305,1 0,9639 7,48 0,0017 01,75 0,0197 1,03 3,335 84,0-1957,44-595,876 33,10 SIC -198,1961-60,6695 08,3019 Los parámeros son esimados por ML usando el algorimo BHHH. Valores que esán en negria corresponden al esadísico de Quasi-Máxima Verosimiliud. FUENTE: Elaboración propia. Para comparar los modelos observemos en primer lugar las figuras que se muesran a coninuación para la varianza condicional obenidas a ravés de un Esándar y ambién por un GT ( esimado con la disribución de Gallan y Tauchen), se han consruido para el IPSA (Figura 1), IBEX (Figura ) y Euro/Dólar (Figura 3). Podemos noar que el comporamieno de la varianza condicional en odos los casos es más lisa para las generadas por la disribución GT que para la normal. En paricular en las cimas se puede observar que la varianza condicional generada por el GT es menos empinada que la que genera el radicional. Eso guarda relación con la 14
precisión que podemos obener con una u ora especificación, cuesión que veremos poseriormene reflejada en el cálculo del VaR. Figura 1 Volailidades generadas por Esándar y GT IPSA FUENTE: Elaboración propia. Además podemos complemenar esa conclusión analizando las esadísicas descripivas de la varianza condicional, las cuales se presenan en la Tabla 4. Vemos por ejemplo que ano para el IPSA como para el Euro/Dólar, la media y la desviación esándar son inferiores para el GT. En el caso paricular del IBEX, enconramos que si bien la media disminuye, no obsane la 15
desviación esándar sube marginalmene. Sin embargo, en odos los casos analizados, los valores exremos disminuyen su disancia lo que es consisene con lo observado en las cimas de los análisis gráficos aneriores y que además es sinónimo de rangos de variabilidad más pequeños lo que mejorará las esimaciones que se realicen a parir de ese modelamieno. Figura Volailidades generadas por Esándar y GT IBEX FUENTE: Elaboración propia. 16
Figura 3 Volailidades generadas por Esándar y GT Euro/Dólar FUENTE: Elaboración propia. También hemos medido la capacidad prediciva de los modelos uilizando el error absoluo medio (AE) y el porcenaje de error absoluo medio (PAE), los cuales se pueden calcular como 3 : AE med h (3.3) 3 med es la mediana de la muesra. 17
PAE med h (3.4) Tabla 4 Esadísicas descripivas para las varianzas condicionales IPSA IBEX EURO/Dólar Esadísica descripiva Esándar GT Esándar GT Esándar GT Núm. Obs. 3858 3858 3888 3888 4030 4030 Media 1,473 1,381,0354,031 0,3760 0,3617 Mediana 0,9134 0,8968 1,3077 1,979 0,3317 0,3185 Máximo 34,1331 3,4333 7,1096 5,8785 1,959 1,8874 Mínimo 0,889 0,3080 0,383 0,3593 0,1099 0,1053 D.S 1,985 1,814,415,46 0,144 0,079 FUENTE: Elaboración propia. El ejercicio de calcular la capacidad prediciva se ha divido en dos muesras, una es la que se ha uilizado hasa ahora y la ora corresponde a una submuesra que comienza en Enero del 007, eso para ver cómo se comporan los modelos en el periodo que envuelve a la acual crisis financiera inernacional. Los resulados se pueden observar en las Tabla 5 y 6. Se puede concluir que ano el error absoluo medio como el porcenaje de error absoluo medio, disminuyen con el GT siendo válido para los res casos, aunque en algunos casos es marginal la diferencia. Ahora bien, los resulados enconrados en la submuesra reflejan el mismo efeco, con la única excepción del AE para el IBEX y el Euro/Dólar que se manienen prácicamene igual al pasar a un no esándar. Lo más ineresane es que AE y PAE aumenan(a excepción de PAE para el E/D), como era de esperar por la mayor volailidad de los mercados, pero el modelo GT proporciona mayores 18
mejoras que con la muesra complea. Eso sugiere que ese modelo es más úil en épocas de mayor volailidad. Eso es lógico porque el GT esá inroduciendo una disribución asimérica y lepocúrica para los residuos, y esas caracerísicas se dan en mayor medida en las épocas de crisis. Tabla 5 Error absoluo medio y porcenaje de error absoluo medio Muesra complea IPSA IBEX EURO/Dólar Indicador de Esándar GT Esándar GT Esándar GT predicción AE 0,6974 0,6876 0,9418 0,941 0,647 0,536 PAE 1,454 1,4133 1,4418 1,447 1,8380 1,708 FUENTE: Elaboración propia. Tabla 6 Error absoluo medio y porcenaje de error absoluo medio Submuesra, de Enero 007 IPSA IBEX EURO/Dólar Indicador de Esándar GT Esándar GT Esándar GT predicción AE 1,007 1,1636 1,3939 1,390 0,154 0,157 PAE 1,300 1,044 1,6455 1,5557 1,6008 1,565 FUENTE: Elaboración propia. 19
4. Esimación VaR en base a disribución normal y propuesa. Fundamenos y aplicaciones. Los resulados enconrados en la sección res nos muesran que el modelamieno de la volailidad con la disribución de Gallan y Tauchen son mejores, en paricular disminuye el rango de valores mínimos y máximos, reduce la desviación esándar de la varianza y de acuerdo al error absoluo medio (y ambién en porcenaje) la predicción sería superior con esa especificación. En paricular cuando probamos los dos modelos con la información en los meses enorno al inicio y desarrollo de la acual crisis financiera inernacional, el modelo propueso parece comporarse mejor. Esa conclusión es imporane, pero ahora debemos ver cómo se desenvuelven los modelos en la esimación del VaR, a priori deberíamos pensar que las esimaciones de Valor en riesgo basado en los GT debiesen ser mejores. 4.1 Crierio para comparar los resulados Sea: r El reorno observado en el período. E VaR El valor esimado máximo de pérdida (reornos esperados negaivos) en base a un esándar en. GT VaR El valor esimado máximo de pérdida (reornos esperados negaivos) en base a un GT en. T Es el amaño de la muesra Definimos enonces a PFA como el porcenaje de fallo en la predicción del Valor en riesgo con respeco a la pérdida real. Eso es 0
T D 1 PFA T x100 Donde 1 si r VaR D (4.1) 0 Ahora PFA se calculará para el esándar (PFA E ) y para el basado en la disribución de Gallan y Tauchen (PFA GT ). En érminos simples si PFA E > PFA GT el GT sería más efecivo en predecir la pérdida máxima de un acivo, de lo conrario lo sería el esándar. Se debe además cumplir que PFA (1-Q) donde Q es la probabilidad de que r VaR es decir, (1-Q) es la probabilidad de ener una caída superior a lo que esima el VaR E GT 4. Fundamenos para esimar VaR y VaR 4..1 Valor en Riesgo en base a una disribución normal Sea X una variable aleaoria coninua que represena el valor de un acivo financiero. Llamaremos x* al valor mínimo que esperamos para esa variable durane el próximo periodo, con probabilidad Q. Es decir: P( X x*) Q P( X x*) 1Q E( X ) Sean: Var( X ) Enonces, la variable esandarizada es: Y X ; E(Y) = 0, Var(Y) = 1. x* P( X x*) 1Q P( Y x*) 1Q P( Y ) 1Q x * F 1 (1 Q), donde F es la función de disribución de Y. 1
Si Y N(0,1), enonces F =, donde es la función de disribución de la normal esándar. Supongamos, como es habiual que Q = 0.99, enonces 1 Q = 0.01 1 F (0.01).33. Enonces: x*.33 x*.33. Es decir, si el valor esperado de X es, enonces la pérdida máxima que esperamos obener en el próximo periodo con una probabilidad del 99% es.33. (Véase Figura 4) Figura 4 Cuanificación del VaR en una disribución normal,33 % 0% FUENTE: Elaboración propia. Por ano, la media que uilizaremos para el E VaR es.33, donde es la varianza condicional generada por un esándar en el momeno. En general será: F 1 (1 Q). 4.. Valor en Riesgo en base a una disribución de Gallan y Tauchen Consideremos ahora la función de disribución basada en una expansión de Gram-Charlier de la densidad de la normal esándar, que llamaremos disribución de Gallan y Tauchen, al como definimos en la sección 3, reomamos las ecuaciones.8,.9 y.10:
f ( x) ( x) ( x) / Donde: s ( k 3) 1 3! 4! s ( x) 1 3! 3 k 3 4 x 3x x 6x 3 4! En ese caso X es una variable esandarizada: E(X) = 0, E(X ) = 1. Se cumple además que: E(X 3 ) = s y E(X 4 ) = k. Para comprobarlo fijémonos en que: s k 3 1 H3 H4 (4.) 3! 4! Donde H son polinomios de Hermie, ales que: 1, i x i H x H x x 0 1 y para i cumplen: H x xh x i 1 H x / i i i1 i Se verifica además que i x i H es una base oronormal, que cumple: H ( x) ( x) dx 0 H i i i ( x) ( x) dx 1 i H ( x) H ( x) ( x) dx 0 i j i j El cálculo del VAR con una función normal esándar es sencillo, ya que la función de disribución de una normal esándar esá abulada y es inmediao calcular el valor de la variable que deja ras de sí un 1% de probabilidad, que es -.33. Sin embargo, la función de Gallan y Tauchen anerior no esá abulada y no es inmediao deerminar el valor de X que deja ras de sí el 1% de probabilidad. Es decir, se raa de deerminar el valor x*, al que: 3
x* ( x) ( x)/ dx 0. 01 Esa inegral se ha calculado numéricamene 4 para los res casos considerados (IPSA, IBEX y ipo de cambio Euro/Dólar), obeniéndose los siguienes valores: 1) Para el IPSA, usando los valores esimados de asimería y curosis - 0.016691091 y 3.460954 respecivamene, obenemos: x* = -.53. Por lo ano, GT VaR es -,53, donde es la varianza condicional esimada con un GT en el momeno. ) Para el IBEX, usando los valores esimados de asimería y curosis - 0.1037499 y 3.17785, obenemos: x* = -.69. Por lo ano, GT VaR es -,69, donde GT en el momeno. es la varianza condicional esimada con un 3) Para el ipo de cambio Euro/dólar, usando los valores esimados de asimería y curosis 0.019689398 y 3.334739, obenemos: x* = -.63. Por lo ano, GT VaR es -,63, donde es la varianza condicional esimada con un GT en el momeno. Uilizando esos valores de x* hemos calculado la pérdida máxima que se espera obener con una probabilidad del 99% durane cada uno de los días de la muesra. A coninuación se calculan las asas de fallo 5, como el número de veces en que se obiene una pérdida mayor a la esperada según el VAR, así como el porcenaje de veces en que eso ocurre, los resulados esán en la Tabla 7. 4 Se han uilizados ruinas en GAUSS para obener el resulado numérico de la inegral, al como se hizo para esimar los modelos en la sección 3. 5 Véase crierio en 4.1 4
Tabla 7 Porcenaje en que la esimación del VaR es superada como pérdida máxima IPSA IBEX EURO/Dólar VaR E VaR GT VaR E VaR GT VaR E VaR GT %Fallo 1,37% 1,04% 1,49% 0,85% 1,1% 0,7% VaR E : Es el porcenaje de fallo con VaR basado en una disribución normal VaR GT: Es el porcenaje de fallo con un VaR basado en una disribución GT FUENTE: Elaboración propia. Comprobamos que para las res series, las medidas del VAR basadas en la normal esándar infravaloran el riesgo, ya que el número de veces en que la pérdida es mayor que la esperada según el VAR es siempre mayor que el número de veces en que eso ocurre con la disribución de Gallan y Tauchen. Además, con la disribución de Gallan y Tauchen el porcenaje de fallo (número de veces en que la pérdida es mayor que la esperada según el VAR sobre el oal de observaciones) es menor en odos los casos que el 1% (salvo para el IPSA, que es el 1.04%), mienras que con la normal esándar esos porcenajes son mayores que el 1%. Eso significa que con la normal esándar el VAR es inconsisene en el senido de que obenemos más pérdidas que las esperadas según el VAR, mienras que eso no ocurre si asumimos una disribución de Gallan y Tauchen. En la figura 5 se observa que el VaR GT predice mejor los reornos negaivos máximos del IPSA con respeco al VaR E, eso porque para algunos punos como W que represena el reorno negaivo del IPSA en esa fecha, las líneas amarrillas lo cubren pero no hay línea rosada(represena el VaR E), por lo ano, para esa observación el VaR E se equivoca en el senido que el reorno 5
observado es mayor a lo que se ha supueso como máximo, en cambio, el VaR GT lo predice correcamene. Esa ejemplificación se puede observar en varios punos de la figura. La figura 6 muesra los daos para el IBEX de España. La aplicación a ese índice del VaR GT resuló ser la más efeciva, pues el porcenaje de fallo cae en 0,64% eso significa que en una muesra que es de casi 4.000 días, el VaR E habría equivocado en 5 días adicionales el pronósico de pérdida máxima con respeco al VaR GT. Para el caso del Euro/Dólar la disminución sería de 0,49% y siendo el IPSA el que muesra el menor ajuse, en 0,33%. Veáse Tabla 7. Como dao ineresane, observe en la figura el puno Y, siendo el VaR GT el que mejor se compora con ese índice, ese no fue capaz de predecir la pérdida en aquel momeno y menos lo hice el VaR E. Figura 5 Reornos negaivos observados para el IPSA y su predicción con VaR E y VaR GT W FUENTE: Elaboración propia. 6
Figura 6 Reornos negaivos observados para el IBEX y su predicción con VaR E y VaR GT Y FUENTE: Elaboración propia. En la figura 7 se presenan los daos para el ipo de cambio Euro/Dólar. Acá se observan más días en donde ano el VaR E como el VaR GT no logran pronosicar la pérdida máxima y por lo ano, ambos fallan. 7
Figura 7 Reornos negaivos observados para el Euro/Dólar y su predicción con VaR E y VaR GT FUENTE: Elaboración propia. 5. Conclusiones El supueso de normalidad en los residuos de un modelo economérico ha sido discuo largamene en la lieraura especializada. En paricular, en nuesro esudio la revisión se relaciona con el modelamieno de la volailidad de los reornos de acivos financieros uilizando los procesos para la esimación del Valor en Riesgo (VaR) El esudio se basó en dos índices accionarios, el IPSA de Chile y el IBEX35 de España, y ambién analizamos un ipo de cambio, él Euro/Dólar. Ya desde un comienzo las esadísicas descripivas evidenciaban la ausencia de normalidad en los reornos de esos acivos, en paricular la prueba Jarque-Bera rechazó la hipóesis de normalidad al 5% de confianza para cada una de las series. Por lo ano, la abundane lieraura que se relaciona con ese ema y que ha 8
esudiado las asimerías y colas más pesadas en los reornos, van en la misma dirección que nuesras conclusiones. Nosoros hemos propueso una disribución de reornos que capure las asimerías de los reornos y las colas más pesadas o lepucurosis, consanes en el iempo. Hemos llamado a esa disribución: Disribución de Gallan y Tauchen, o simplemene Disribución GT y cuyo fin es generar un proceso donde los residuos disribuyan GT. En paricular, se llevaron a cabo pruebas para comparar los resulados obenidos por un modelo Normal o Esándar y un GT y la conclusión es la misma para cada una ellas (el crierio SIC, las gráficas, las esadísicas descripivas y la prueba de poder predicivo) El GT se compora mejor que el Esándar. Después el desafío fue probar la esimación del VaR uilizando la volailidad esimada por ambos procesos y enconramos resulados muy auspiciosos en donde en base al crierio de porcenaje de falla, el VaR GT erró menos veces que el VaR Esándar al predecir la pérdida máxima y eso se dio para los res casos esudiados. Pero observamos que el caso del IBEX la caída en el porcenaje de falla es la mayor, eso es, de un 1.49% con el VaR Esándar a un 0.85% con el VaR GT. Eso puede ener alguna relación con lo enconrado en la sección res, donde el IBEX es el único que presenó coeficiene de asimería significaivo en la esimación GT, y ese es negaivo. También oro dao imporane, las pruebas de predicción si bien, pasaron para ese índice, no fueron an imporane las mejoras en relación al reso, pero cuando rabajamos con la submuesra para ver cómo se comporaba el modelo en periodos de crisis, el indicador PAE se incremenó significaivamene al 9
esimar con GT. Todo eso nos dice que al presenar el mercado español, asimerías negaivas en sus reornos, la disribución GT es más apropiada para ella y que esa reacciona mejor en periodos donde los mercados van a la baja, y precisamene como el VaR rabaja con esa pare de la disribución, es que enconramos la mejor mejora en los resulados para ese índice. Concluimos que el VaR Esándar infravalora el riesgo lo que puede ener consecuencias en las decisiones de los agenes del puno de visa de asumir riesgos que no esaban bien definidos lo que puede llevar a cosos imporanes si se dan los escenarios adversos. Por lo ano, aquí hay un campo para explorar y es el de cuanificar los cosos que se pueden derivar de decisiones mal omadas por una mala esimación del riesgo. Finalmene pensamos que debemos ir en la búsqueda coninua de modelos que esimen con mayor precisión la volailidad para enconrar mejoras en la obención del VaR y minimizar los cosos por errores en la esimación del riesgo. 30
6. Bibliografía Bollerslev T., (1986) Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy. Economerica, 50. Bollerslev, T., & Wooldridge, J. (199). Quasi-maximum likelihood esimaion and inference in dynamic models wih ime-varying covariances. Economeric Reviews, 11, 143 17. Engle R., (198) Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy wih esimaes of he variance of Unied Kingdom Inflaion. Journal of Economerics, 31, pp 307-37. Engle R. y Manganeli S., (001) Value A Risk Models in finance. Working Paper Series. European Cenral Bank. Gallan R. y Tauchen G., (1989). Seminonparameric esimaion of condiionally consrained heerogeneous processes: asse pricing applicaions. Economerica, 57, 1091 110. Greene W., (1997) Economeric Analysis. Prenice Hall, New Jersey. Gujarai D., (004) Economería. MCGraw-Hill, México. Harvey C. y Siddique A., (1999) Auoregressive Condiional Skewness. Journal of Financial and Quaniaive Analysis, 34, pp 465-487. Johnson C., (001) Value A Risk: Teoría y aplicaciones. Esudios de Economía, Banco Cenral de Chile, 8, pp 17-47 Jondeau E. y Rockinger M., (001) Gram-Charlier densiies. Journal of Economics Dynamics & Conrol, 5, pp 1457-1483. León Á., Rubio G. y G. Serna., (005) Auoregresive condiional volailiy, skewness and kurosis. The Quarerly Review of Economics and Finance, 45, pp 599-618 31
Peiró A., (1999) Skewness in financial reurns. Journal of Banking & Finance, 3, pp 847-86. Premarane G. y Bera A., (001) Modeling Asymmery and Excess Kurosis in sock reurn daa. Deparameno de Economía, Universidad de Illinois. Tagliafichi R., The esimaion of Marke VaR using Garch models and a heavy ail disribuions. 3