Espacio euclídeo 2 2. ESPACIO EUCLÍDEO 2.. PRODUCTO ESCALAR En el espacio vectorial se define el producto escalar de dos vectores y como el número real que resulta del producto matricial y se nota por:, 2... PROPIEDADES El producto escalar tiene las siguientes propiedades:. Se verifica que,, para todos y (es simétrico) 2.,,, para todos, y y,, para todos, y (es bilineal) 3. para todo es, y, (es definido positivo) 2..2. NORMA DE UN VECTOR Si, se llama norma o magnitud de al número real no negativo: Un vector se dice que es un vector unitario si su norma vale. Si es un vector no nulo y no unitario, se llama normalizado de al vector unitario que tiene la misma dirección y sentido que. El normalizado de es el vector:
Álgebra Lineal Miguel Reyes Águeda Mata EJEMPLO : Dados y calcular el producto de,. Estudiar si o son unitarios, y en caso negativo normalizar los vectores., 2 4 2 2 /2 Luego los vectores no son unitarios. El normalizado de es el vector /2. /2 /2 / 2 El normalizado de es el vector: / 2 2.2. DISTANCIAS Y ÁNGULOS ENTRE DOS VECTORES Dados dos vectores,, se define la distancia entre y como la norma del vector diferencia:, Se llama ángulo que forman dos vectores no nulos y de al único valor, tal que cos Dos vectores no nulos y son ortogonales, si el ángulo que forman es, y se tiene que: 2 cos,
Espacio euclídeo 2 EJEMPLO 2: Dados y, calcular, y el ángulo que forman y. Son ortogonales los vectores y? 2 2, 2 2 2 2 cos 2 2 2 2 Los vectores y no son ortogonales. arccos 2 3 4 2.3. COMPLEMENTARIO ORTOGONAL DE UN SUBESPACIO Sea un subespacio vectorial de. Se llama complementario ortogonal de en al subespacio vectorial que se nota por formado por todos los vectores de que son ortogonales a todos los vectores de :,, 2.3.. PROPIEDAD Si,, es una base cualquiera de, entonces el complementario ortogonal de se puede definir como:,, Demostración Sea,,, se trata de comprobar que,,,, 3
Álgebra Lineal Miguel Reyes Águeda Mata Claramente se tiene que si entonces, por tanto se verifica que Para demostrar que también, se considera un vector. Para todo vector se tiene que, y el producto, resulta:,,,, Por tanto, para todo Puesto que y se deduce que y por tanto si,, es una base de entonces:,, EJEMPLO 3: Calcular una base del complementario ortogonal del subespacio, 2 Las ecuaciones implícitas de se obtienen directamente de la definición:,,, 2, 2 Para obtener una base a partir de las ecuaciones implícitas se resuelve el sistema dado: 2 ~ 2 2 2 2 2 Se deduce que 2 es una base de. 2 2 OBSERVACIONES Si es un subespacio de, en la unidad 9 se ha definido el complementario de como un subespacio de tal que dim y dim. Este subespacio no es único: el subespacio puede tener muchos subespacios complementarios en.
Espacio euclídeo 2 El subespacio es un subespacio complementario de en el sentido de que dim y dim Cada subespacio de tiene un único subespacio complementario ortogonal,,. El subespacio complementario ortogonal de es, es decir: EJEMPLO 4: Comprobar que los subespacios y, que tienen por bases, y son complementarios. Determinar si es el complementario ortogonal de y en caso negativo calcular una base del complementario ortogonal de cada uno de ellos. Tanto como son subespacios vectoriales de y verifican que: dim 2, dim. A partir de las bases de y de se obtiene un sistema de generadores de :,, Para calcular una base, se calcula el rango de la matriz que tiene por columnas a los vectores generadores: ~ ~ El rango es 3, por tanto,, y dim 3. dim dim dim dim 23 Se tiene que dim 3 y dim por tanto y son subespacios complementarios, pero no son complementarios ortogonales, pues, y, 2 5
Álgebra Lineal Miguel Reyes Águeda Mata El complementario ortogonal de es:,, Para obtener una base a partir de las ecuaciones implícitas se resuelve el sistema: ~ 2 2 2 Se deduce que es una base de. El complementario ortogonal de es: 2,, Para obtener una base a partir de las ecuaciones implícitas se resuelve el sistema: Se comprueba que los dos vectores obtenidos son linealmente independientes, de donde se deduce que, es una base de.