Ivesigació Mecáica de Coaco de Cuerpos Deformables. Ieracció suelo-esrucura Pablo de la Fuee Carlos Oeo Revisa de Ivesigació ISSN 74-040 de ocubre de 0 Resume E ese arículo se presea las bases eóricas y uméricas ecesarias para aalizar el feómeo de coaco ere cuerpos deformables. Ua vez descrio el modelo eórico ecesario para la correca reproducció del feómeo de coaco ere cuerpos deformables, basado e relacioes ciemáicas y cosiuivas adecuadas, se aborda los aspecos fudameales para ua correca resolució umérica, a ravés del méodo de los elemeos fiios, de los problemas de cooro asociados. Para validar el marco eórico-umérico propueso, ese se aplica al feómeo de la ieracció suelo-esrucura. Los resulados uméricos obeidos esá e cosoacia co daos experimeales exisees. Palabras clave: Mecáica de Coaco Compuacioal, Méodo de los Elemeos Fiios, Ieracció Suelo-Esrucura.. Iroducció Los problemas de cooro que ivolucra coaco so de gra imporacia para la igeiería civil. E paricular, e igeiería geoécica la rasmisió de cargas ere la esrucura y el erreo se desarrolla pricipalmee a ravés del coaco ere superficies []. Hoy e día, es bie recoocido que el comporamieo de esa ierfaz de coaco ifluye de
forma sigificaiva e la respuesa de los sisemas esrucura-cimeació. Es por ese moivo que se requiere desarrollar modelos de ieracció sueloesrucura precisos y robusos. Debido a la auraleza o lieal de la mecáica de coaco, esos problemas ha sido radicioalmee abordados cosiderado hipóesis excesivamee simplificadoras. E alguos casos se prescribía las cargas direcamee sobre el erreo, cosiderado que la esrucura era flexible. E oros casos lo que se impoía era desplazamieos supoiedo que la esrucura era perfecamee rígida. ambié se ha cosiderado el caso e que la esrucura o experimeara desplazamieos relaivos respeco a la cimeació []. Esas crudas simplificacioes coducía frecueemee a prediccioes imprecisas del comporamieo real del sisema esrucuracimeació, iroduciedo serios errores e la esimació de las esioes y deformacioes rasmiidas a la cimeació [3]. E siuacioes especiales, por el ejemplo e el caso de esrucuras maríimas como plaaformas perolíferas, diques poruarios, rompeolas, ec., someidas a la acció cíclica e impulsiva del oleaje, se puede desarrollar complejas ieraccioes suelo-esrucura. Ese ipo de accioes puede iducir imporaes desplazamieos relaivos ere la esrucura maríima y el erreo [4] así como la posible pérdida de coaco ere superficies ivolucradas y poserior resablecimieo del mismo. Para poder reproducir ese comporamieo alamee o lieal de ua forma precisa y robusa parece ser ecesaria la uilizació de la mecáica de coaco de cuerpos deformables. De igual forma, ese comporamieo fueremee o lieal dificula la obeció de solucioes aalíicas cerradas, haciédose ecesario el empleo de écicas uméricas como el méodo de los elemeos fiios. E el presee arículo de ivesigació se describe la aplicació de la mecáica de coaco al feómeo de la ieracció suelo esrucura bajo ua perspeciva umérica. Para ello, e la secció se presea ua descripció de la ciemáica asociada al feómeo de coaco friccioal desde u puo de visa de la mecáica de medios coiuos. Ua vez esablecidas las ecuacioes básicas que gobiera el feómeo de coaco se describe el procedimieo esádar para cosiderar el comporamieo cosiuivo e la ierfaz de coaco. Ese aspeco se desarrolla e la secció 3. E la secció 4 se describe el proceso de resolució umérica a ravés del méodo de los elemeos fiios de u problema de cooro e la mecáica de coaco. E la secció 5 se aplica la mecáica de coaco compuacioal descria e capíulos precedees al feómeo de la ieracció suelo-esrucura. Para ello, se reproduce uméricamee u esayo de laboraorio a escala de u Revisa Pesamieo Maemáico Número Oc ISSN 74-040
dique verical formado por u cajó de hormigó apoyado sobre ua baquea de grava y someido a la colisió de u pédulo. Fialmee e el capíulo 6 se presea alguas coclusioes.. Ciemáica asociada al feómeo de coaco La descripció del feómeo de coaco que se va a desarrollar e esa publicació se circuscribe a la mecáica de medios coiuos, por lo que e primer lugar se defiirá los cocepos fudameales de esa rama de la mecáica e los que se basa las relacioes ciemáicas de la mecáica de coaco. U cuerpo Β puede ser descrio como la clausura de u cojuo abiero coexo y acoado del espacio Euclideo ridimesioal 3. La deformació de u de cuerpo vedrá descria a ravés de u difeomorfismo : Β 3 3 llamado cofiguració. La descripció de la deformació de u cuerpo así esablecida implica que ada caasrófico va a eer lugar como que el cuerpo se rasgue, se perfore o que exisa ierpeeració. Así, el movimieo de u cuerpo se describe como la serie uiparamérica emporal de cofiguracioes parícula () : Β 3 X Β su posició a iempo de al forma que para ua vedará dada por la expresió, Esa ecuació describe ua curva e x X X () 3 para la parícula X Β. Defiimos X 0 X como la cofiguració de referecia del cuerpo Β. Cosiderado la expresió () eemos x X, () 0 E el presee rabajo o vamos a difereciar ere X y X. De esa forma queda simplificada la oació, x X siedo X la posició de la parícula X e la posició de referecia. De esa forma, las posicioes X y 3 x puede ser descrias como vecores e respeco al orige del sisema de coordeadas, al y como se aprecia e la Figura. Revisa Pesamieo Maemáico Número Oc ISSN 74-040 3
Figura. Cofiguracioes del cuerpo B. [5] E esa figura el vecor u es el vecor desplazamieo, defiido por la expresió (3),, u X x X X (3) es decir, se esá cosiderado ua descripció Lagragiaa de la deformació, e la que las variables idepediees so el vecor de posició X y el iempo. Co los igrediees hasa ahora defiidos se puede empezar a describir la ciemáica asociada al feómeo de coaco friccioal. Sea Β co, dos cuerpos del espacio Euclídeo cosideremos que los bordes de cada uo de ellos, cosise e res pares:, dode queda prescrias las esioes superficiales;, dode queda prescrios los desplazamieos y, dode los dos cuerpos Β y puede erar e coaco. E la zoa de coaco hay que formular las ecuacioes ciemáicas de resricció asociadas al coaco ao ormal como agecial. Supoiedo que dos cuerpos era e coaco la codició de o peeració ere ellos vedrá dada por la ecuació (4). c u 3 Β x x 0 (4) Dode x deoa las coordeadas de la cofiguració deformada ( Β ) de cada uo de los cuerpos, es decir, x X u, dode X so y Revisa Pesamieo Maemáico Número Oc ISSN 74-040 4
las coordeadas de la cofiguració de referecia y u los campos de desplazamieo, al y como se puede apreciar e la Figura. Figura. Cofiguració deformada de cuerpos Β. Problema de miimizació. [5] El vecor ormal esá asociado al cuerpo Β. Asumiedo que el borde de coaco describe, al meos localmee, ua regió covexa, podemos relacioar cada puo x x a ravés de u x co u puo problema de miimizació de disacia [5], descrio por la expresió. d, x x mi x x, (5) x Figura 3. Miimizació de la disacia y paramerizació. [5] La disacia puede ser empleada para defiir la aberura o peeració, represea ua paramerizació de la ere los dos cuerpos. superficie borde (Figura 3). De esa forma, el puo x se obiee de la codició ecesaria de la fució míima disacia al difereciar respeco a Revisa Pesamieo Maemáico Número Oc ISSN 74-040 5
,, al y como se muesra e la relació (6) d ˆ x x, d, x,, 0 d x x, (6) La ecuació (6) requiere la orogoalidad del primer y segudo érmio. x represea el vecor agee a, el primer érmio ha de Como,, eer la misma direcció que el vecor ormal e el puo de míimo, a, 0,. Así, se obiee la codició que sigifica que la solució, proyecció orogoal de x sobre la superficie borde acualizada, lo x al problema de miimizació es la c. A esa úlima superficie se la suele deoar por superficie maesra. Por cora c es la superficie esclava. Ua vez el puo x x, es coocido, podemos defiir la resricció represeada por la codició de o peeració a ravés de la expresió g 0 Siedo el vecor ormal asociado al cuerpo de míima disacia,. x x (7) Β, evaluado e el puo E la direcció agecial de la ierfaz de coaco geeralmee se disigue dos casos. Uo es el esado e el que o hay desplazamieo relaivo e la direcció agecial ere las superficies de coaco. El oro caso correspode al esado de deslizamieo, el cual idica la exisecia de u movimieo relaivo agecial ere las superficies de coaco. La codició maemáica para represear la o exisecia de desplazamieo relaivo agecial ere dos cuerpos que era e coaco, puede ser derivada de la proyecció (6). Es claro que u puo que permaece pegado a oro cuerpo o experimea movimieo e la direcció agecial, por lo que su valor respeco a la coordeada, o cambiará, es decir, 0. Así, se puede formular la siguiee codició: Revisa Pesamieo Maemáico Número Oc ISSN 74-040 6
g 0 g a α (8) g = x - x a dode α. La expresió (8) expresa el desplazamieo relaivo e la direcció agecial, el cual ha de ser cero. E el caso de exisir desplazamieo relaivo ere dos cuerpos, ese esá relacioado co el cambio del puo x relaivo a la proyecció,, el cual ha sido x. Eso sigifica que el puo solució obeido a ravés del problema de disacia míima (5), se moverá sobre la superficie maesra. al y como puede apreciarse e la Figura 4, el camio seguido por el puo x sobre la superficie maesra o se cooce a priori, por lo que durae uesros cálculos o podemos asumir ada respeco al camio seguido [5], solo coocemos el vecor de velocidad relaiva v a iempo. De esa forma, e u problema de deslizamieo co fricció, uo iee que iegrar las velocidades relaivas para obeer el camio de x sobre la superficie maesra. Figura 4. Camio seguido por el puo x relaivo a la superficie maesra. [5] E primer lugar, se deermia el desplazamieo relaivo del puo x e la superficie de coaco, el cual esá defiido e érmios del cuerpo Β. La diferecial del deslizamieo relaivo respeco a la paramerizació de la superficie borde d g es u vecor agee, pudiédose expresar respeco a los elemeos de la base del plao agee asociado a ravés de la expresió dg a d x, d, al y como se muesra e la Figura 5. Revisa Pesamieo Maemáico Número Oc ISSN 74-040 7
Figura 5. Icremeo de camio friccioal. [5] Sabiedo que dg dg y friccioal puede ser calculada como d d, la logiud del camio g x, d a d (9) 0 0 Dode a es la mérica asociada a la superficie borde. Para evaluar esa úlima expresió, sería ecesario coocer la derivada emporal de, pudiedo obeerla derivado respeco al iempo la relació - a 0, que es válida e el puo de coaco ya que - x x ormal a la superficie de coaco y x x es a es el vecor agee al borde. De esa forma, y ras u poco de geomería diferecial se obiee la siguiee expresió para Dode H v -v a g v (0), H H y g H a b, mieras que a a a es el esor mérico y b a es el esor de curvaura, ambos cosiderados e la superficie borde., Revisa Pesamieo Maemáico Número Oc ISSN 74-040 8
3. Comporamieo Cosiuivo e la ierfaz de coaco Ua vez esablecidas las ecuacioes básicas que gobiera el feómeo de coaco, es esecial describir el comporamieo cosiuivo e la ierfaz de coaco, ao e la direcció ormal como e la direcció agecial [5]. Ere los disios méodos que exise para obeer las esioes ormales provocadas por el feómeo de coaco se ha opado por cosiderarlas como reaccioes e la zoa de coaco [6] por lo que se deriva de las ecuacioes de resricció preseadas e el capíulo aerior. Como ya se ha idicado, la codició maemáica para u esado de o peeració viee dada por g 0, codició que impide la peeració del cuerpo Β e el cuerpo Β, eiedo lugar el coaco cuado g 0. E ese úlimo caso, la compoee ormal del vecor de esió e la ierfaz de coaco ( σ a ) ha de ser o ula y de compresió, es decir, 0. El vecor de esioes acúa e ambos bordes de coaco, al y como se aprecia e la Figura 6, obedeciedo el pricipio de acció-reacció e el puo de coaco x. De esa forma, eemos Figura 6. esioes e la ierfaz de coaco. [5] σ σ 0. Es imporae resalar que 0 e el caso de cosiderar u coaco si fricció. Así, resumiedo, e caso de esar e coaco, las codicioes so g 0 y 0. Si exise ua separació ere los cuerpos, eoces la relació que se iee es g 0 y 0. Eso os lleva a las codicioes de coaco o friccioal coocidas Revisa Pesamieo Maemáico Número Oc ISSN 74-040 9
como Herz-Sigorii-Moreau [5] g 0, σ 0, σ g 0 () Es ieresae remarcar, al y como se aprecia e la Figura 7 que las ecuacioes () coduce a ua ley de coaco o difereciable para la presió de coaco ormal. σ g Figura 7. Presió de coaco free a aberura ormal. E relació a los coacos co ua compoee agecial o ula hay que icorporar ua ley que gobiere el comporamieo friccioal. Es imporae desacar la dificulad de obeer leyes que gobiere ese feómeo debido a su depedecia de variables ermomecáicas, del comporamieo esodeformacioal de los cuerpos que era e coaco, el esado de las superficies que era e coaco (rugosidad, composició química, ec.), ec. Debido a que es imposible cosiderar odas esas variables e ua úica formulació maemáica, e la prácica, uo raa de expresar la ley de fricció como fució de los aspecos más imporaes e cosoacia co el coexo e el que se desarrolla el coaco. El reso de las variables, deermia el valor de los coeficiees adimesioales que aparecerá e la ley [7]. Ere las diversas leyes exisees para modelar el comporamieo friccioal, la ley de Coulomb ha sido la más uilizada, pasado a coiuació a describirla. Si los cuerpos que era e coaco iicialmee o experimea u desplazamieo relaivo, es decir, se ecuera e modo de o deslizamieo o pegado, es decir, la velocidad agecial relaiva ere los cuerpo es cero, eoces la expresió () es la más idóea para su modelizació: g 0 g 0 () Τ Revisa Pesamieo Maemáico Número Oc ISSN 74-040 0
Ua vez la fuerza agecial exisee e la ierfaz de coaco supera ciero umbral (Figura 8) eoces, las superficies que era e coaco ya o permaece pegadas ere sí, sio que experimea u desplazamieo relaivo ere ellas. F g Figura 8. Ley de Coulomb de fricció Ese movimieo relaivo agecial, deoado deslizamieo, se puede expresar por la ley de Coulomb g si g (3) Dode es el coeficiee de fricció para el deslizamieo. El valor de ese coeficiee, cosae e la ley clásica de Coulomb, depede de los maeriales que era e coaco, pudiédose ver disios valores para ese coeficiee e la abla. abla. Coeficiees de fricció para disias parejas de maeriales Pareja de maeriales que era e coaco Coeficiee de fricció Hormigó-Hormigó 0.5- Hormigó-Area 0.35-0.6 Hormigó-Acero 0.-0.4 Meal-Madera 0.3-0.65 Goma-Acero 0.5-0.65 Acero-Acero 0.-0.8 Acero-Hielo 0.05-0.03 Madera-Madera 0.4- Revisa Pesamieo Maemáico Número Oc ISSN 74-040
El pricipal problema que presea la formulació de Coulomb es que iroduce u comporamieo o difereciable al exisir u umbral a parir del cual empieza a haber deslizamieo ere las superficies de coaco. Ese aspeco colleva serios problemas a la hora de realizar u raamieo umérico del coaco cuya modelizació se basa e esa ley [7]. E la lieraura especializada [5, 8] se ha propueso ua serie de modelos que evia esa dificulad. Esas formulacioes, se basa e la cosideració de u fucioal que permie ua rasició suave del modo de pegado al modo de deslizamieo, regularizado la ley de Coulomb. E el caso dos dimesioes se iee la expresió (4) g (4) Dode la fució que regula la rasició suave del modo de pegado al modo de deslizamieo puede eer diversas expresioes. Ere esas, ua de las más cosideradas por los ivesigadores es la que aparece e la fórmula (5). El procedimieo de suavizado puede apreciarse e la Figura 9. g g g (5) E esa úlima expresió el parámero escalar es la variable de regularizació. Se observa que si 0 se obiee como caso límie la ley clásica de Coulomb. Es imporae desacar que para valores muy elevados de ese modelo o es capaz de reproducir adecuadamee los movimieos pegado -deslizamieo. Por oro lado, la difereciabilidad de la expresió (5) permie el empleo de algorimos uméricos más simples y robusos..5 0.5 0 g g g g -0.5 - -.5 Figura 9. Regularizació de la ley de fricció de Coulomb - - -.5 - -0.5 0 0.5.5 Revisa Pesamieo Maemáico Número Oc ISSN 74-040
4. Méodo de los elemeos fiios e la mecáica de coaco. 4.. Iroducció E esa secció se describe el proceso de resolució umérica a ravés del méodo de los Elemeos Fiios de u problema de cooro e la mecáica de coaco. Los pasos a seguir queda descrios e la Figura 0. Figura 0. Procedimieo de resolució de u problema de coaco a ravés del Méodo de los Elemeos Fiios Pariedo del problema de cooro que gobiera la deformació de u sólido, el primer paso cosise e desarrollar la discreizació espacial a ravés del méodo de los elemeos fiios si cosiderar la exisecia de coaco. El siguiee paso cosise e modificar el sisema discreizado icorporado las resriccioes del coaco. Fialmee, el sisema de ecuacioes difereciales ordiarias compleo y de segudo orde es resuelo a ravés de u algorimo de iegració emporal. 4.. Mecáica de medios coiuos si coaco La deformació de sólidos se puede describir a ravés de las relacioes Revisa Pesamieo Maemáico Número Oc ISSN 74-040 3
ciemáicas combiadas co las ecuacioes de balace y las cosiuivas. Por claridad e la exposició, se va a cosiderar úicamee u problema puramee mecáico e el que la desidad de los cuerpos ivolucrados es cosae bajo u comporamieo cosiuivo elásico lieal isóropo. Bajo esas hipóesis, las ecuacioes de gobiero se compoe de la ecuació de balace de la caidad de movimieo (6) y de la ley cosiuiva correspodiee (7) Siedo σ α α α α σij,j - ρ u i +ρ b i = 0 (6) e K G ε 3 σ = D ε (7) ij ij kl ik jl kl ij ij la desidad de cada cuerpo B co, supueso cosae, σ ij, que se ha las compoees del esor de esioes de Cauchy, u i las compoees del vecor desplazamieo, b i las compoees del vecor de fuerzas voluméricas por uidad de masa (fuerza graviaoria), ε u u,, el esor de deformació, co i, j, k, l e dos kl k l l k dimesioes i, j, k, l 3 e res dimesioes. deformació volumérica y cada cuerpo B. K el módulo de G el módulo de deformació agecial de El sisema de ecuacioes (6) y (7) defie u sisema de ecuacioes compleo del problema de asociado a la respuesa diámica. Para poder resolver ese sisema es ecesario icorporar uas codicioes iiciales y de cooro adecuadas, esas úlimas viee expresadas por (8), imp, para, 0,,, para, 0, x x x u x u x x imp u (8) Dode el borde oal compoees, es decir, del cuerpo B co, u, es la uió de sus. E subsiguiees aparados, cuado se icorpore las resriccioes derivadas del feómeo de coaco, se cosiderará la exisecia de ua ercera compoee, dode los dos cuerpos Β y Β puede erar e coaco. c Revisa Pesamieo Maemáico Número Oc ISSN 74-040 4
4.3. Paso. Discreizació espacial si cosiderar resriccioes de coaco Ua vez la formulació fuere del problema de cuerpos deformables ha sido plaeada a ravés de u sisema de ecuacioes e derivadas parciales, se discreiza las variables primiivas que e el presea caso se correspode co los desplazamieos u, u, pudiedo escribir u u u u = N u = N u k= u u u u = N u = N u k= k k k k (9) Debido a que las ecuacioes de gobiero obeidas presea derivadas parciales de primer orde e el espacio, es ecesario emplear fucioes de u 0 ierpolació N que sea C [9]. Se cosidera elemeos isoparaméricos k e la discreizació de las ecuacioes de gobiero, empleado el mismo ipo de elemeos para ambos cuerpos. Así, premuliplicado la ecuació (6) por N u, iegrado el primer érmio por pares, icorporado el comporamieo cosiuivo e icorporado ua compoee de amoriguamieo se obiee: M u C u K u d u u N b N B M u C u K u d u u N b N B imp d imp d (0) Siedo M, K y C las marices de masas, rigidez y de amoriguamieo del sisema, respecivamee, para cada cuerpo co α =, esado defiidas por: ; u u e M N N K B D B B B d d () Revisa Pesamieo Maemáico Número Oc ISSN 74-040 5
x u C = αm + βk B SN y S 0 z Co ; 0 z x 4.4. Paso. Resriccioes derivadas del coaco. Resolver u problema de coaco co varios cuerpos deformables sigifica resolver las ecuacioes de equilibrio de los disios cuerpos juo co las codicioes de cooro de coaco impuesas por la presecia del reso de cuerpos. Cuado los cuerpos Β y Β era e coaco era e coaco, ao las fuerzas ormales, derivadas de las ecuacioes de resricció Herz- Sigorii-Moreau, como las ageciales, derivadas de la ley que gobiera el comporamieo friccioal, ha de icorporarse e la discreizació espacial de las ecuacioes que gobiera el problema de cooro cosiderado. Esa coribució a las ecuacioes de gobiero ha de cosiderarse exclusivamee e los bordes que era e coaco, es decir y Ua vez la ierfaz de coaco es coocida y cosiderado la coribució del coaco, las expresioes se ve modificadas por c c M u C u K u d u u N b N B M u C u K u d u u N b N B d d imp c imp c () Dode c y c so las coribucioes debidas al coaco. Cosiderado que la discreizació del coaco se desarrolla odo a odo, siedo la formulació empleada para el raamieo umérico el méodo de pealizació y cosiderado como comporamieo friccioal la regularizació de la ley de Coulomb preseada e seccioes aeriores, las coribucioes debidas al coaco adquiere la siguiee forma Revisa Pesamieo Maemáico Número Oc ISSN 74-040 6
c i g A g A c i i i i i i i g i c i g A g A c i i i i i i i g i g g (3) Dode del cuerpo i y i so el vecor ormal y agee e el odo i al borde Β, respecivamee, al y como se puede apreciar e la c Figura 0.4 0.3 0. 0. 0. 0.9 0.8 0.7 c i B c i i A i B 0.6 0.5 0.4 Figura. Elemeo de coaco odo a odo 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 E esa figura, ambié se puede apreciar el área de ifluecia Ai asociada al odo i. Ya que la discreizació de coaco empleada es odo a odo, se aprecia como e las expresioes (3) el sumaorio se esablece sobre úmero de odos acivos, que a lo sumo puede llegar a ser c mi º odos, º odos. E la c c Figura se aprecia la localizació de los cooros E las expresioes aeriores g u u g u u y c, mieras que i i i i, siedo u i i i i i el desplazamieo del cuerpo mieras que del borde u i es el desplazamieo del cuerpo c que esé a meor disacia del odo i del cuerpo c Β e el odo i, Β regisrado e el odo Β. es el coeficiee de pealizació. es el coeficiee de fricció. Por úlimo, el parámero es la variable de regularizació de la ley de Coulomb. 4.5. Paso 3. Iegració emporal. Es acosejable agrupar los desplazamieos, velocidades y aceleracioes Revisa Pesamieo Maemáico Número Oc ISSN 74-040 7
odales de los cuerpos, Β y Β a ravés del cojuo de variables u u. De esa forma, el sisema de ecuacioes difereciales () se pueda expresar mediae la expresió K 0 u C 0 u M 0 u f c 0 K u 0 C u 0 M u f c (4) Esa represeació además de ser más coveiee para el desarrollo de la discreizació emporal de las ecuacioes de gobiero, permie ua implemeació eficiee e el leguaje M del eoro Malab al eer almaceada la iformació del sisema de ecuacioes difereciales de forma maricial. Evaluado el sisema (4) para el paso de iempo siguiee expresió, se obiee la K 0 u C 0 M 0 u u f c 0 K u 0 C 0 M u u f c + (5) global Discreizado emporalmee los desplazamieos u u, u ravés del méodo Geeralizado de Newmark GN [0], se obiee el sisema de ecuacioes e diferecias a u u u global global global u u u u global global global global u u u u u global global global global global (6) Siedo y, parámeros que habiualmee se escoge e el rago de 0 a. Depediedo del valor asigado a esos parámeros se puede obeer ua amplia gama de iegradores co disias propiedades de esabilidad y precisió. Para que el esquema de iegració obeido a parir del sisema de ecuacioes e diferecias (6) sea icodicioalmee esable, se ha de cumplir. Habiualmee, se suele icorporar algo de amoriguamieo umérico, empleado 0.605, 0.6 Icorporado la relació (6) e (5) se obiee el sisema de ecuacioes Revisa Pesamieo Maemáico Número Oc ISSN 74-040 8
algebraico (7) a resolver para cada paso de iempo dode permaece descoocidas. u u M,... u u C u 0.5 K u F 0 u u u M,... u C u 0.5 K u F 0 (7) Las fucioes las expresioes. F, F del sisema algebraico (7) queda formuladas e 0.5 0.5 F M u C u u K u u u f F M u C u u K u u u f Debido al coaco, el sisema (7) es o lieal icluso e el presee caso e el que se ha cosiderado dos cuerpos co u comporamieo elásico lieal. Ese sisema puede resolverse de forma ieraiva a ravés del coocido algorimo de Newo-Raphso. (8) Ua vez se haya resuelo el sisema o lieal (7), los valores de los u global desplazamieos a iempo, so evaluados a ravés de las expresió (6). 5. Ieracció suelo-esrucura. 5.. Iroducció E ese capíulo se presea ua aplicació de la mecáica de coaco compuacioal descria e capíulos aeriores. Esa aplicació cosise e la reproducció umérica de u esayo de laboraorio a escala de u dique verical formado por u cajó de hormigó apoyado sobre ua baquea de grava y someido a la colisió de u pédulo []. Esa aplicació ha sido desarrollada e el rabajo de esis docoral del auor del presee rabajo de ivesigació [] E primer lugar se describe el modelo a escala empleado por Goda e 994, pasado a coiuació a describir el modelo umérico desarrollado Revisa Pesamieo Maemáico Número Oc ISSN 74-040 9
para reproducir el esayo experimeal. Ua pare fudameal del modelo umérico esá relacioada co la ieracció ere el cajó y la baquea de grava. ras u aálisis cualiaivo de la respuesa proporcioada por el modelo umérico se presea ua comparació ere los resulados uméricos y los daos experimeales. 5.. Modelo a escala E la Figura se puede apreciar la descripció del modelo a escala del dique verical empleado por Goda e 994, e el que o se cosideró la presecia de agua. Como se puede apreciar e esa figura, se raa de u dique verical compueso co ua baquea de grava de 90mm de alo, co ua achura e la pare superior de 400mm y ua pediee a. La grava empleada e la baquea esaba formada por piedras cuyo amaño se correspodía co d = 5mm y coeficiee de gradació de 50 d d 0.5 =.6. El suelo sobre el que se apoyaba la baquea era de hormigó. 75 5 Figura. Modelo a escala de u Dique Verical sobre ua baquea de Grava El cajó fue modelado a ravés de u bloque de hormigó de 0mm de alo, 05mm de acho y 05mm de largo, co ua desidad de 3 = 34kg m. El bloque icorporaba e la cara aerior res orillos meálicos a res aluras diferees 34, 0, 68mm sobre la base del bloque. Esos orillos fuero cosiderados como puos de impaco sobre los que colisioaba el pédulo, al y como se puede apreciar e la Figura 3. Revisa Pesamieo Maemáico Número Oc ISSN 74-040 0
Figura 3. Disposició del pédulo y de los idicadores. E la Figura 3 se puede apreciar la disposició del pédulo empleado para colisioar co el bloque de hormigó. Ese pédulo de masa M 5.5kg fue suspedido del echo a ravés de ua cuerda. Se cosideraro res logiudes de cuerda, 3.393, 3.46, 3.57m, ajusadas para coseguir 0 que el pédulo impacara sobre cada uo de los res orillos meálicos. El pédulo fue siuado a ua disacia de s 50mm respeco a la cara 0 aerior del bloque de hormigó, al y como se puede apreciar e la Figura 3. El movimieo del bloque de hormigó fue medido a ravés de los idicadores de deformació siuados a 4mm respeco a la pare superior e iferior del bloque de hormigó. Además, se emplearo dos medidores de desplazamieo para poder verificar el deslizamieo residual ras la colisió del pédulo. De los disios esayos realizados por Goda e 994 se ha cosiderado para el presee caso de aplicació aquel que se correspode co ua logiud de cuerda 3.393m, haciedo colisioar el pédulo e el orillo 0 meálico siuado a 68mm. 5.3. Modelizació a ravés del Méodo de los elemeos fiios El modelo a escala del dique verical ha sido aalizado a ravés del méodo de los elemeos fiios bajo la hipóesis de deformació plaa. E la Figura 4 se muesra la geomería y la malla de elemeos fiios empleada e el aálisis umérico, cosisee e 558 elemeos riagulares Revisa Pesamieo Maemáico Número Oc ISSN 74-040
isoparaméricos de seis odos para discreizar la baquea de grava y 56 elemeos riagulares isoparaméricos de seis odos para discreizar el cajó. m 0.4 0.3 CoacoCajó-Baquea de Grava 0. 0. 0-0. 0 0. 0.4 0.6 0.8. m Figura 4. Malla de elemeos fiios empleada e la simulació umérica E el borde iferior de la baquea de grava los desplazamieos vericales y horizoales ha sido impedidos, permiiedo el libre movimieo e el reso de bordes de la geomería o ivolucrados e el coaco ere el cajó y la baquea de grava. La pare iferior del cajó así como la zoa ceral de la baquea de grava so modelados a ravés del coaco descrio e seccioes aeriores del presee rabajo. Esa zoa de coaco queda resalada e rojo e la Figura 4. E relació a la carga impulsiva derivada de la colisió del pédulo, la velocidad de impaco del pédulo ha sido derivada de las ecuacioes de movimieo de u pédulo, calculado el impulso de impaco a parir de dicha velocidad. Esas expresioes so: s g 0 0 I M e 0 (9) E la expresió (9) e es el coeficiee de resiució, siedo su valor e 0 ese caso de 0.. Icorporado los daos especificados e los párrafos aeriores, es decir, s 50mm, 3.393m y M 5.5kg, se obiee u 0 0 impulso de I.8Ns. Por oro lado, debido a que la simulació umérica se realiza bajo la hipóesis de deformació plaa, es ecesario corregir el impulso I para obeer u sisema diámico e el que la relació ere la masa del sisema y la fuerza aplicada sea igual a la del modelo a escala. De esa forma, e el modelo umérico, se cosidera u impulso de I 3.7Ns. Revisa Pesamieo Maemáico Número Oc ISSN 74-040
Fuerza puual aplicada, (N) Ivesigació Mecáica de Coaco de Cuerpos Ese impulso fue aplicado a ua alura de 68mm sobre la base del cajó mediae el esquema riagular de la Figura 5. 3000 500 000 500 000 500 0 0 0.00 0.00 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.0 iempo (s) Figura 5. Desarrollo emporal de la fuerza puual aplicada sobre el cajó. ao la baquea de grava como el cajó ha sido modelados bajo u comporamieo cosiuivo elásico lieal isóropo. La rigidez horizoal cosiderada por Goda e su modelo masa-muelle, derivada a parir del movimieo del bloque de hormigó medido e el esayo, era de K x 500kN / m. El valor asigado al módulo agecial G para la baquea de grava e el modelo umérico fue el asociado a esa rigidez horizoal, siedo el coeficiee de Poisso 0.5. El módulo agecial del cajó fue 9 de G 0 Nm siedo el coeficiee de Poisso 0.. Debido a que la ley cosiuiva empleada es elásico lieal, se ha icorporado u amoriguamieo de Rayleigh para poder reproducir uméricamee los efecos de la hiséresis presee e la relació esiódeformació de la baquea de grava. Los valores asigados a los coeficiees de Rayleigh fuero 0.03 y 0.03. Para modelar correcamee el feómeo de coaco, se cosideró u 8 3 coeficiee de pealizació 50 Nm, siedo el coeficiee de fricció 0.65. Por úlimo, el parámero de regularizació de la ley de Coulomb 0 cosiderado ha sido 0. Los valores asigados a los parámeros del esquema umérico iegració emporal GN, fuero 0.605, 0.6. 5.4. Resulados y discusió Aes de aalizar la respuesa del cajó ae el impaco del pédulo así como el comporamieo diámico del coaco icorporado e la ierface ere el cajó y la baquea de grava, se muesra el correco fucioamieo Revisa Pesamieo Maemáico Número Oc ISSN 74-040 3
esáico del modelo umérico, aalizado la respuesa del sisema cajó baquea de grava al colocar el cajó sobre la baquea de grava. E la Figura 6 se puede apreciar el desplazamieo verical del sisema cajó-baquea de grava al colocar el cajó sobre la baquea. E esa figura, se puede apreciar como la rasició de colores del cajó a la baquea de grava es coiua, por lo que el feómeo de la ieracció ere el cajó y la baquea de grava, desde el puo de visa de compaibilidad geomérica, ha sido simulado correcamee. -4 0 m Figura 6 Isolíeas de desplazamieo verical ras apoyar el cajó sobre la baquea de grava. Resulado umérico. Ua vez aalizado el feómeo de coaco esáico desde el puo de visa de la compaibilidad geomérica de mallas, se observa e la Figura 7 el campo de esioes regisrado e la baquea de grava y e el cajó ras apoyar el cajó. E esa figura se puede apreciar como la disribució de esió verical e la superficie de coaco ere el cajó y la baquea de grava es propia de ua cimeació rígida, mosrado uos valores máximos de esió verical e los exremos y u valor míimo e el cero. Por ora pare, el valor medio de las esioes e la superficie de coaco se correspode co el peso propio del cajó σ 34 9.8 0.0 4586 N m z. Nm Figura 7 Isolíeas de esió verical regisradas e baquea de grava y cajó ras colocar el cajó. Resulado umérico. Revisa Pesamieo Maemáico Número Oc ISSN 74-040 4
Desplazamieo horizoal, (m) Ivesigació Mecáica de Coaco de Cuerpos Ua vez aalizado el comporamieo del coaco ere el cajó y la baquea de grava de forma esáica, se pasa a coiuació a aalizar la respuesa del cajó ae el impaco del pédulo, presado especial aeció al comporamieo diámico del coaco. E la Figura 8 se muesra la comparació ere los daos experimeales obeidos por Goda e 994 y los resulados uméricos alcazados al aalizar la respuesa del dique verical a escala ae la acció impulsiva de u pédulo. iempo (s) Figura 8. Comparació ere los resulados uméricos y los daos experimeales obeidos por Goda e 994. Desplazamieos horizoales del cajó. E esa figura se puede apreciar como la respuesa umérica obeida es basae buea. Se observa como los desplazamieos uméricos regisrados so muy similares a las medicioes experimeales, siedo la diferecia ere los daos experimeales y los uméricos iferiores al 8%. ras aplicar el impaco, se observa como el desplazamieo horizoal o regresa a cero, si o que exise u desplazamieo residual, represeado el deslizamieo sufrido por el bloque de hormigó sobre la baquea de grava ras la colisió del pédulo. Debido a que la diferecia ere las lecuras experimeales de desplazamieo residual regisradas por los idicadores es isigificae, se pudo cocluir que el impaco del pédulo o causo el cabeceo del bloque de Revisa Pesamieo Maemáico Número Oc ISSN 74-040 5
Desplazamieo horizoal, (m) Ivesigació Mecáica de Coaco de Cuerpos hormigó. Esa úlima observació se puede ambié derivar de los resulados uméricos, ya que ampoco exise ua diferecia apreciable ere los desplazamieos residuales obeidos de cada idicador. El desplazamieo residual regisrado e los cálculos uméricos es u 0% iferior a los regisrados experimealmee. E la Figura 9 se puede apreciar el desplazamieo horizoal experimeado por la esquia iferior izquierda del cajó juo co el desplazamieo horizoal del odo de la baquea de grava más cercao a esa esquia del cajó. Se puede apreciar claramee como ras la colisió del pédulo, el bloque de hormigó queda ligeramee desplazado respeco a su posició iicial, exisiedo u deslizamieo de uos 0.4mm, valor muy similar al regisrado experimealmee. iempo (s) Figura 9 Comparació ere el desplazamieo horizoal regisrado e la esquia iferior derecha del cajó y el odo de la escollera más próximo a la esquia iferior derecha del cajó. E la Figura 0 se muesra, empleado u facor de amplificació de desplazamieos de 0, la deformada e el isae e el que se alcaza el máximo desplazamieo horizoal. E esa figura se aprecia claramee la pérdida de coaco ere el bloque de hormigó y la baquea de grava derivada de la colisió del pédulo. De la misma forma, se aprecia como el coaco implemeado reproduce adecuadamee la o ierpeeració ere las geomerías de los cuerpos que era e coaco. Revisa Pesamieo Maemáico Número Oc ISSN 74-040 6
Desplazamieo verical, (m) Ivesigació Mecáica de Coaco de Cuerpos Figura 0 Deformada e el isae =0.03s, máximo desplazamieo horizoal. Resulado umérico. La pérdida de coaco parcial ere el bloque de hormigó y la baquea de grava queda puesa de maifieso co más claridad e la Figura, e la que se muesra el desplazamieo verical experimeado e la esquia iferior izquierda del cajó juo co el desplazamieo verical del odo de la baquea de grava más cercao a ese. E esa figura se aprecia claramee como la colisió del pédulo es de suficiee iesidad para separar el bloque de hormigó de la baquea de grava. ambié se aprecia cómo, ua vez el efeco del impaco ha pasado, el peso del bloque de hormigó es el causae del resablecimieo del coaco, o exisiedo ierpeeració apreciable ere ambos cuerpos. iempo (s) Figura. Comparació ere el desplazamieo verical regisrado e la esquia iferior derecha del cajó y el odo de la escollera más próximo a la esquia iferior derecha del cajó. Por úlimo, e la Figura se muesra el campo de esioes regisrado e la baquea de grava y el cajó ras el impaco del pédulo. E esa figura se Revisa Pesamieo Maemáico Número Oc ISSN 74-040 7
puede apreciar como la disribució de esió verical e la superficie de coaco ere el cajó y la baquea de grava represea correcamee el giro del cajó, mosrado ua coceració de esioes vericales e la pare derecha iferior del cajó, mosrado ua buea compaibilidad ere los regisros obeidos e la baquea de grava y el cajó. 4 0 N m Figura. Isolíeas de esió verical regisradas e la baquea de grava y el cajó ras el impaco del pédulo. Isae de iempo =0.03s. Resulado umérico. 6. Coclusioes E el presee arículo de ivesigació se describe la aplicació de la mecáica de coaco al feómeo de la ieracció suelo esrucura bajo ua perspeciva umérica. Se describe el modelo eórico ecesario para la correca reproducció del feómeo de coaco, basado e relacioes ciemáicas y cosiuivas adecuadas, abordado poseriormee los aspecos fudameales para ua correca resolució umérica, a ravés del méodo de los elemeos fiios. Bajo el marco eórico y umérico propueso, se reproduce uméricamee u esayo de laboraorio a escala de u dique verical formado por u cajó de hormigó apoyado sobre ua baquea de grava y someido a la colisió de u pédulo. Las pricipales coclusioes alcazadas so: La ieracció suelo-esrucura que ivolucra imporaes deformacioes así como pérdida de coaco ere superficies y poserior resablecimieo del mismo se represea mejor a ravés de la mecáica de coaco friccioal que prescribiedo codicioes de cooro. Cosiderado algorimos uméricos apropiados, el méodo de los elemeos fiios puede proporcioar solucioes precisas y robusas a problemas de la ieracció suelo-esrucura. E el caso paricular abordado de la colisió de u pédulo sobre Revisa Pesamieo Maemáico Número Oc ISSN 74-040 8
7. Referecias u dique verical los resulados uméricos alcazados reproduce fielmee el comporamieo obeido experimealmee. [] SHENG D, WRIGGERS P, SLOAN W. Applicaio of Fricioal Coac i Geoechical Egieerig. Ieraioal Joural of Geomechaics. 007; 7(3): 76-85. [] ZIENKIEWICZ OC, SHIOMI. Dyamic behavior of sauraed porous media: he geeralized Bio formulaio ad is umerical soluio. I. J. Numer. Aaly. Meh. Geomech. 984; 8:7-96. [3] DESAI CS. Geoechical Modelig ad Applicaios. Gulf Publishig Compay, 987. [4] BEA RG, WRIGH SG, SIRCAR P, NIEDORODA AW. Wave Iduced Slides i Souh Pass Block 70, Mississippi Dela. Joural of Geoechical Egieerig, ASCE. 983; 09() :69-644. [5] WRIGGERS P. Compuaioal Coac Mechaics. Spriger: New York, 006. [6] KIKUCHI N, ODEN J. Coac Problems i Elasiciy: A Sudy of Variaioal Iequaliies ad Fiie Eleme Mehods. SIAM, Philadelphia, 988. [7] RAPPAZ M, BELLE M, DEVILLE M. Numerical Modelig i Maerials Sciece ad Egieerig. Spriger: New York, 003. [8] ODEN J, PIRES EB. Nolocal ad Noliear Fricio Laws ad Variaioal Priciples for Coac Problems i Elasiciy. Joural of Applied Mechaics. 983; 50: 67-76. [9] HUGHES JR. he Fiie Eleme Mehod. Liear Saic ad Dyamic Fiie Eleme Aalysis. Dover Publicaios: New York, 000. [0] KAONA MG, ZIENKIEWICZ OC. A uified se of sigle sep algorihms par 3: he bea-m mehod, a geeralizaio of he Newmark scheme. I. J. Numer. Mehods Eg. 985; : 345-359. [] GODA Y. Dyamic Respose of Uprigh Breakwaers o Impulsive Breakig Wave Forces. Coasal Egieerig 994; (-): 35-58. Revisa Pesamieo Maemáico Número Oc ISSN 74-040 9
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