DISTRIBUCIÓN N BINOMIAL

DISTRIBUCIÓN N BINOMIAL

COMBINACIONES En muchos problemas de probabilidad es necesario conocer el número de maneras en que r objetos pueden seleccionarse de un conjunto de n objetos. A esto se le denomina número de combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos. Para calcular el número de combinaciones diferentes de r objetos tomados de una población n objetos se usa la siguiente fórmula: C n r n! r!( n r)! El signo de admiración en este caso significa factorial, es decir que se multiplican los valores del 1 hasta n: ejemplo 5! 1 x x 3 x 4 x 5 10

Ejemplo. Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen. Cuántas maneras de escoger tiene? Cuántas maneras si las tres primeras preguntas son obligatorias?

a) Las 8 preguntas pueden tener C 10! 8!(10 10 8 8)! 45 45 combinaciones posibles b) Si contesta las 3 primeras preguntas, entonces puede escoger las otras 5 de las 7 últimas preguntas, por lo que C 7! 5!(7 7 5 5)! 1 tiene 1 maneras posibles todavía

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL En ocasiones queremos analizar los resultados de efectuar un número de observaciones en los que la variable sólo puede tomar ciertos valores puntuales. A esto le llamamos distribución de variable discreta. Por ejemplo, si echamos una moneda al aire y observamos el lado que cae, está claro que sólo hay dos posibilidades. Ahora bien, la probabilidad de que caiga la moneda de cualquier lado es la misma siempre que ésta no esté cargada. Como cada suceso tiene igual probabilidad de ocurrir, y siendo la suma de probabilidades siempre igual a 1, entonces la probabilidad de que caiga la moneda de algún lado es 0.5.

Esto también lo podríamos haber resuelto conociendo el número de total posibilidades () y considerando cada uno de los casos (1). Entonces F P N 1 donde P es la probabilidad de que algo suceda F es el número de casos favorables (o éxitos) N es el número total de posibilidades. La manera más común en que se presentan las probabilidades de una variable discreta es la distribución conocida como binomial.

En muchos casos podemos resolver problemas que tienen que ver con la estadística considerando una distribución binomial. Esto se presenta cuando el resultado de una medición o experimento puede tener sólo dos posibilidades. A una de ellas comúnmente se le denomina éxito (aún cuando el resultado no sea muy agradable) y a la otra fracaso. Por ejemplo: tirar una moneda y esperar que salga sol podría ser el éxito y águila sería entonces fracaso, obtener un producto defectuoso podría ser éxito, mientras que el producto libre de defectos sería fracaso (claro que podría ser al revés) tomar en cuenta una venta en un almacén por persona podría ser nuestro éxito, mientras que no realizarla sería fracaso, etc.

Para construir un proceso binomial se necesita lo siguiente: 1) En el experimento sólo hay dos resultados a) EXITO 1 b) FRACASO 0 ) A la probabilidad de éxito se le llama p 3) A la de fracaso se le llama q 4) Se cumple que p + q 1 (por lo tanto q 1 p ) 5) La probabilidad de éxito permanece constante ) Los eventos son independientes. Por ejemplo: si lanzamos una moneda las segunda vez no importa lo que pasó antes. 7) El experimento se realiza n veces 8) Lo que se desea es conocer la probabilidad de éxito, P(x), en los n intentos. (Nota: éxito no significa que sea bueno, sólo significa que ocurra el evento).

Para conocer la probabilidad de éxito es necesario calcular las posibles combinaciones de la variable, y mutiplicarlas por las probabilidades de cada suceso: P( x) C n x p x q n x donde P(x) es la probabilidad de que ocurran x éxitos en n intentos n! C x n x!( n x)! posibles combinaciones p es la probabilidad individual de éxito q es la probabilidad individual de fracaso es el coeficiente que da todas las n es el número de veces que se realiza el experimento o medición

Al emplear esta fórmula podemos graficar las probabilidades de ocurrencia de todos los casos de interés, lo que nos dan gráficas como las siguientes (la curva azul es la distribución normal). Qué notas de diferencia entre las barras verticales y la curva azul?

Veamos cómo funciona con ejemplos: Ejemplo 1. Cuál es la probabilidad de sacar 4 águilas en volados? Para este problema n, x 4 y p 0.5 por lo que: P(4)! (0.5) 4!! 4 (0.5) 70 0.0155 0.343 4 haciendo una gráfica con los valores correspondientes tendríamos Respuesta: 3.43%

Ejemplo. Se ha determinado previamente que la probabilidad de que un cliente potencial elegido al azar realice una compra es de 0.0. Si un vendedor visita a clientes potenciales, calcular la probabilidad de que: a) Ninguno de los clientes haga una compra, P(x0), x 0, n, p 0., q 1 p 1 0. 0.8 P(0) P(0) P(0) C 0! (0.8) 0!! (0.8) (0.) 0 (0.8) 0.144 Respuesta:.1%

b) Exactamente cuatro clientes realicen una compra, P(x4), x 4, n, p 0., q 1 p 1 0. 0.8 P(4) P(4) P(4) C 4 (0.) 4! (0.) 4!! 0.0154 (0.8) 4 (0.8) Respuesta: 1.54%

c) Cuando más, tres prospectos realicen una compra, notar ahora P(x 3), o sea que se pueden hacer 1, o 3 ventas. Aquí necesitamos sumar las probabilidades de cada caso válido: P(x 3)x 0, 1, y 3; n, p 0., q 1 p 1 0. 0.8 P( x 3) P(0) + P(1) + P() + P(3) P( x P( x 3) 3) C 0 (0.) 0.983 0 (0.8) + C 1 (0.) 1 (0.8) 5 + C (0.) (0.8) 4 + C 3 (0.) 3 (0.8) 3 + + + Respuesta: 98.3%

Ejemplo 3. El fabricante de una unidad de disco de una conocida marca de computadoras espera que % de las unidades funcionen mal durante el período de garantía. En una muestra de 10 unidades de disco Cuál es la probabilidad de que?: a) Exactamente una funcione mal durante su período de prueba x 1, n 10, p 0.0, q 1 p 1 0.0 0.98 P(x1) P(1) P(1) C 10 1 0.17 (0.0) 1 (0.98) 9 Respuesta: 1.7%

b) Al menos dos funcionen mal durante la prueba x 0, 1 n 10, p 0.0, q 1 p 1 0.0 0. 98 P( x P( x ) 1 P(0) P(1) 10 0 ) 1 C (0.0) (0.98) P( x ) 0.01 0 10 C 10 1 (0.0) 1 (0.98) 9 Mejor le resto esto a 1.0 Respuesta: 1.%

Actividad 1. Sabemos que el 90% de los estudiantes que toman un curso elemental de estadística aprueban Cuál es la probabilidad de que al menos 3 estudiantes en una clase de 15 no aprueben el curso? en este caso la probabilidad de reprobar es 0.10, P(x>) x 0, 1 y n 15, p 0.10, q 1 p 1 0.10 0.90 Px ( ) 1 P(0) P(1) P() Px ( ) 1 C (0.1) (0.9) C (0.1) (0.9) C (0.1) (0.9) Px ( ) 15 0 15 15 1 14 15 13 0 1 Tarea 7. Se sabe que el 10% de las pantallas de plasma de cierta marca fallarán antes que expire su garantía. Calcular la probabilidad de que de 30 pantallas, 5 o más fallen antes de que termine su garantía.

Media y Varianza de una distribución n discreta de probabilidades. Para una distribución discreta, como la binomial, la media se calcula de la siguiente manera: μ E( x ) xi P( xi ) Es decir se multiplican los valores, por su probabilidad y se suman Por otro lado la varianza se calcula: σ E [( x μ ) ] ( x μ ) P( x ) i i Siendo la desviación estándar como anteriormente: σ σ

Ejemplo: El experimento es lanzar una moneda dos veces, para calcular la media de la distribución, tenemos que calcular las probabilidades de cada una de las posibilidades, supongamos que calculamos las probabilidades que nos salgan águilas: 0 0. 1 1 1 (. 5) (. 5). 0 (. 5) (. 5). P ( 0) C (. 5) (. 5) 0 5 P ( 1) C 0 5 P ( ) C 0 5 sustituimos en las fórmulas: μ E( x ) xi P( xi ) μ 0 ( 0. 5 ) + 1( 0. 5 ) + ( 0. 5 ) 1 σ ( xi μ )P( xi ) σ ( 0 1 ) ( 0. 5 ) + ( 1 1 ) ( 0. 5 ) + ( 1 ) (. 5 ) 0. 5 σ σ 0.707