ANÁLISIS. (Junio 994) a) Encontrar las asíntotas de la curva f () = 2 3 2 4 b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. 2. (Junio 994) Calcular : a) d (+ ln) ; b) 3 d 2 cos si < 3. (Junio 994) Dada la función f () = a + 2 2 si b si > a) Calcular los valores de a y b para que la función f () sea continua en. b) Es derivable la función obtenida en =? En =?. Razona la respuesta. + 2 < < 4. (Septiembre994) Dada la siguiente función: f () = 2 < estudiar: 2 a) la derivabilidad de la función en los puntos =, =, =, = 2. Calcular la derivada en cada uno de los puntos citados, si eiste. b) los puntos de discontinuidad en el intervalo [-, 3]. Tipo de discontinuidad. 5. (Junio 995) Eplica razonadamente la interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto. En qué puntos de la curva y = 2 3 +3 2 2 la recta tangente es paralela al eje OX? 6. (Junio 995) La suma de todas las aristas (incluidas las de la tapa) de una pirámide recta con base cuadrada es 2. Calcular sus dimensiones para que el área lateral sea máima. 7. (Junio 995) Hallar dos números naturales que sumen 2 y tal que el producto de uno por el cuadrado del otro sea máimo. 8. (Septiembre 995) La función f () = 2 3 + p 2 q tiene un valor mínimo relativo 3 para =. Calcular las constantes p y q. 9. (Septiembre 995) Hallar el área de la región limitada por la curva y = 3 5 2 + 6 y el eje OX.. (Septiembre 995) La suma de todas las aristas (incluidas las de la tapa y la base) de un prisma recto con base un triángulo equilátero es 6. Calcular sus dimensiones para que el área lateral sea máima.. (Junio996) Hallar el dominio de definición, máimos y mínimos e intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f () =. Encontrar las asíntotas y posibles simetrías de la curva que la representa. 2 4 2. (Junio996) Queremos diseñar un envase cuya forma sea un prisma regular de base cuadrada y capacidad 8 cm 3. Para la tapa y la superficie lateral usamos un determinado material; pero para la base debemos emplear un material un 5% más caro. Hallar las dimensiones de este envase (longitud del lado de la base y altura) para que su precio sea el menor posible. 3. (Junio996) Dada la función f () = 3 + a 2 +5 hallar el valor de a para que tenga un etremo relativo (máimo o mínimo) cuando = 2. Encontrar, en este caso, todos los etremos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento y puntos de infleión. 4. (Septiembre 996) Hallar el área comprendida entre las parábolas: y = 2 2 +3 e y = 2 2 4 +3.
Problemas de Selectividad 5. (Septiembre996) Disponemos de 24 metros de material para hacer una valla con la que queremos delimitar un jardín de forma rectangular y con la mayor superficie posible. En uno de los lados del rectángulo tenemos que poner doble vallado. Encontrar las dimensiones de ese jardín, indicando la del lado doblemente vallado. 6. (Septiembre996) Hallar el área de la región del plano limitada por la parábola y = 2 + 2 y la recta y = 2 + 2. 7. (Septiembre996) Hallar a para que la función f definida por f () = a + si si > sea continua para todo valor de. Una vez hallado este valor de a, hallar la ecuación de la tangente a la curva que la representa en el punto de abscisa 2. Eiste derivada de esta función cuando vale? 8. (Junio 997) Dada la función f () = se pide: a) Asíntotas y simetrías de la curva y = f (). b) Etremos relativos e intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Dibujar la gráfica. 9. (Junio 997) Hallar el área limitada en el primer cuadrante por las gráficas de las funciones y = sen, y = cos y el eje de ordenadas. 2 + 2 + 2 si < 2. (Junio 997) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f dada por: f () = si 2 2 si > razonando las respuestas. 2. (Junio 997) Hallar las dimensiones del rectángulo de área máima que puede inscribirse en un triángulo isósceles cuya base es el lado desigual y mide 36 cm y la altura correspondiente mide 2 cm. Suponer que un lado del rectángulo está en la base del triángulo. 22. (Septiembre997) Dada la función f () = + 4 se pide: 2 a) Asíntotas de la curva y = f (). b) Etremos relativos e intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Dibujar la gráfica. 23. (Septiembre997) La derivada segunda de una función f () es f "() = 6 ( ). Hallar la función si su gráfica pasa por el punto (2, ) y en este punto es tangente a la recta 3 y 5 =. 24. (Septiembre 997) Hallar a y b para que la función f dada por f () = 2 si 2 + a + b si > sea continua y derivable para todo real. Encontrar los puntos en donde la recta tangente a la curva y = f () es paralela al eje OX. 25. (Septiembre997) Un cono circular recto tiene una altura de 2 cm y radio de la base de 6 cm. Se inscribe un cono de vértice el centro de la base del cono dado y base paralela a la del cono dado. Hallar las dimensiones (altura y radio de la base) del cono de volumen máimo que puede inscribirse así. si 26. (Junio 998) Dada la función f definida por: f () = a 3 + b si < < 2. Se pide: 6 si 2 i) Hallar a y b para que la función sea continua en todo real ii) Analizar su derivabilidad. iii) Representación gráfica. 27. (Junio 998) Un campo de atletismo de 4 metros de perímetro consiste en un rectángulo con un semicírculo en cada uno de dos lados opuestos. Hallar las dimensiones del campo para que el área de la parte rectangular sea lo mayor posible. 6
Análisis 28. (Junio 998) Un jardinero dispone de 2 metros de valla y desea delimitar un terreno rectangular y dividirlo en cinco lotes con vallas paralelas a uno de los lados del rectángulo. Qué dimensiones debe tener el terreno para que el área sea la mayor posible? 29. (Junio 998) Dibujar el recinto limitado por la curva y = e, el eje OX y la recta paralela al eje OY que pasa por el punto donde la curva tiene su mínimo relativo. Hallar el área de dicho recinto. 3. (Septiembre998) Comprobar que todas las funciones f () = 3 5 + 3 + a + b tienen un único punto de infleión. Hallar a y b para que la tangente a la gráfica de dicha función en el punto de infleión sea la recta y = + 2. 3. (Septiembre998) Hallar el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f () = y f () = 2 2. 32. (Septiembre998) Dada la función f () = se pide: 2 ( ) a) Asíntotas de la curva y = f (). b) Etremos relativos e intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Dibujar la gráfica. 2 33. (Septiembre998) Hallar los puntos de la curva 2 y 2 = más próimos al punto de coordenadas (4, ). Cómo se llama dicha curva? Dibujarla. 34. (Junio 999) Dibujar el recinto limitado por las gráficas de las funciones y =, y = e y = 8. Hallar el área de este recinto. 2 ln si > 35. (Junio 999) Se define la función f del modo siguiente f () = 2 2 + a + b si encontrar los valores de a y b para que la función sea continua y su gráfica pase por el origen de coordenadas. Estudiar su derivabilidad y hallar los puntos de su gráfica en los que la tangente es paralela al eje OX. 4 36. (Junio 999) De la función f () = + nos piden: 2 ( ) a) Dominio de definición y asíntotas. b) Máimos y mínimos relativos e intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Representación gráfica. 37. (Junio 999) El barco A abandona un puerto a las horas y navega directamente hacia el norte a la velocidad constante de 6 nudos. El barco B se encuentra a las horas a 4 millas marinas al este del puerto y navega en dirección a dicho puerto a la velocidad constante de 8 nudos. Cuándo se hallarán estos barcos lo más próimos el uno al otro? (Dar el resultado en horas y minutos). (NOTA: un nudo es una milla marina por hora) 38. (Septiembre 999) Dada la función f () = e, se pide: 2 3 i) Hallar su dominio de definición. ii) Hallar el punto o puntos en los que la gráfica de la curva y = f () tiene tangente horizontal. iii) Dibujar esta curva en un pequeño entorno de cada uno de estos puntos. 39. (Septiembre 999) Hallar el valor de m (que supondremos positivo) para que el área delimitada por la parábola y = 2 y la recta y = m valga 36 (unidades de área). 4. (Septiembre 999) Dada la función f () = 2 4 2, se pide: i) Hallar su dominio de definición. ii) Hallar, si los tienes, sus etremos relativos. iii) Hallar, si las tiene, las asíntotas horizontales de la curva y = f (). 4. (Septiembre 999) Hallar el punto P de la curva f () = más próimo al punto Q = (9/2, ) Qué ángulo forman la recta que une P y Q y la tangente a la curva en el punto P?. 7
Problemas de Selectividad 42. (Junio 2) Hallar los valores de las constantes a, b y c para que las gráficas de las funciones: f () = 2 + a + b y g() = 2 +c pasen por el punto (, 2) y en este punto tengan la misma tangente. 43. (Junio 2) Un triángulo isósceles tiene cm de base (que es el lado desigual) y 2 cm de altura. Se inscribe en este triángulo un rectángulo uno de cuyos lados se apoya en la base del triángulo. Hallar las dimensiones del rectángulo así construido y que tenga la mayor área posible. 44. (Junio 2) Se considera la función : f () = a) Estudiar su continuidad y derivabilidad cuando =. b) Alcanza para dicho valor de un máimo o mínimo relativo?. Razonar la respuesta. c) Si la respuesta a la pregunta anterior es afirmativa, se pregunta si el etremo en cuestión es absoluto. 45. (Junio 2) Haciendo el cambio de variable u = e calcular: e e 2 d. 46. (Septiembre 2) De todos los prismas rectos de base cuadrada y tales que el perímetro de una cara lateral es de 3 cm, hallar las dimensiones (lado de la base y altura) del que tiene volumen máimo. si 47. (Septiembre 2) Tenemos la función f definida para todo número real no negativo y dado por: f () = si > Se pide su representación gráfica y hallar 3 f ()d e interpretar el resultado. si < 2 48. (Septiembre 2) Hallar a, b y c para que la función f definida en todo número real y dada por: f () = a 2 + b +c si 2 sea continua y derivable en todo real y además alcance un etremo relativo para = 3. Representar gráficamente la función f, analizando su continuidad y derivabilidad. 49. (Septiembre 2) Calcular 2 + 2 2 d. 5. (Junio 2) Hallar los valores de los coeficientes b, c y d para que la gráfica de la función : y = 3 + b 2 +c + d corte al eje OY en el punto (, ), pase por el punto (2, 3) y en este punto tenga tangente paralela al eje OX. Una vez hallados esos valores hallar los máimos y mínimos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la citada función. 5. (Junio 2) Un rectángulo tiene por vértices los puntos de coordenadas (, ), (a, ), (a, b) y (, b), de modo que el punto (a, b) tiene coordenadas positivas y está situado en la curva de ecuación y = + 4. De todos estos rectángulos hallar razonadamente el 2 área mínima. 52. (Junio 2) Hallar el punto de la curva de ecuación y = 3 3 2 + 6 4, en el que la tangente a la misma tiene pendiente mínima. Escribir la ecuación de dicha tangente. 53. (Junio 2) Hallar todas las funciones f cuya derivada es : f () = 4 + + indicando el dominio de definición de éstas. 2 + 54. (Septiembre 2) Sea f la función definida para todo número real de modo que para los valores de pertenecientes al intervalo cerrado [-, ] se tiene f () = ( +) ( ) 2 y para los valores de no pertenecientes a dicho intervalo se tiene f () =. Se pide: a) Estudiar la continuidad y derivabilidad; b) Hallar razonadamente su valor máimo, indicando el valor o valores de en donde se alcanza. 55. (Septiembre 2) Hallar la función f definida en todo número real que verifica las dos condiciones siguientes: a) f '() = 2 e ; b) Su gráfica pasa por el punto (, 2). 8
Análisis 56. (Septiembre 2) Un pequeño islote dista km de una costa rectilínea. Queremos instalar en dicho islote una señal luminosa que se ha de alimentar con un tendido eléctrico. La fuente de energía está situada en la costa en un punto distante km del punto de la costa más próimo al islote. El coste del tendido submarino por unidad de longitud es 5/3 del tendido en tierra. A qué distancia de la fuente de energía debe empezar el tendido submarino para conseguir un coste mínimo?. 57. (Septiembre 2) Hallar el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones: y = 2 4 e y = 2. 58. (Junio 22) Se sabe que la función f () = 3 + a + b corta a su función derivada en = y que además en dicho punto f tiene un etremo. a) Determina los valores de a y b; b) Determina la naturaleza del etremo que f tiene en =. c) Tiene f algún otro etremo?. 59. (Junio 22) Sean las funciones f () = ln b, g() = a + b : a) Determina a y b para que ambas funciones sean tangentes entre sí al pasar por = ; b) Determina en qué puntos se anula cada una de estas funciones. c) Determina cual es el dominio de la función producto h() = f () g(). 6. (Junio 22) Sea la integral e 2 sene d a) Intégrala mediante el cambio t = e ; b) Calcula la constante de integración para que la función integral pase por el origen de coordenadas. 6. (Junio 22) Sea f () = 2. Se pide: a) Halla los etremos y puntos de infleión de la función f. b) Calcula el límite de f en + y. 62. (Septiembre 22) Sea la función f () = cos. a) Tiene límite en +? (justifica tu respuesta); b) Calcula la integral de f entre = y el primer cero positivo que tiene la función. 63. (Septiembre 22) En un concurso se da a cada participante un alambre de dos metros de longitud para que doblándolo convenientemente hagan con el mismo un cuadrilátero con los cuatro ángulos rectos. Aquellos que lo logren reciben como premio tantos euros como decímetros cuadrados tenga de superficie el cuadrilátero construído. Calcula razonadamente la cuantía del máimo premio que se puede obtener en este concurso. 64. (Septiembre 22) Sea la función f definida para todo real en la forma: f () = 2 +3 + si < senb + cosb si a) Determinar el valor de b para que f sea derivable en =. b) Calcular la integral de f sobre el intervalo (, π/3) Nota: Se entiende que la función f cuya integral se pide en la parte b) es la determinada previamente en la parte a). No obstante, si alguien no ha sabido calcular el valor de b, debe integrar f dejando b como parámetro. 65. (Septiembre 22) Sea la función: f () = + 4. Se pide : a) Determinar su dominio, es decir, el conjunto de puntos donde está definida; b) Estudiar sus máimos y mínimos (si los tiene) en el intervalo (-, ), precisando si son absolutos o relativos respecto al intervalo indicado. 66. (Junio 23) Determinar un polinomio de tercer grado sabiendo que pasa por los puntos (,) y (,) y que los dos son etremos, y analizar la naturaleza de ambos etremos, es decir si son máimos o mínimos. 67. (Junio 23) Sean las parábolas y = 2 4 +3 e y = 2 2 8 +6. a) Representar sus gráficas. b) Calcular los puntos donde se cortan entre si ambas parábolas. c) Hallar la superficie encerrada entre las dos parábolas. 9
Problemas de Selectividad 68. (Junio 23) Sea la parábola f () = a 2 + b +c. Determinar sus coeficientes sabiendo que a) pasa por el origen de coordenadas tangencialmente a la bisectriz del primer cuadrante y b) tiene un etremo en =,5. Determinar la naturaleza del etremo anterior. 69. (Junio 23) Sea la función f () = e. a) Calcular la ecuación de su tangente en el origen de coordenadas. b) Determinar los etremos de la función f. c) Hallar el área encerrada entre la gráfica de esta curva, el eje de abcisas y la recta =. 7. (Septiembre 23) Determinar el dominio, los ceros y etremos de la función f () = ln. 7. (Septiembre 23) Sea la parábola y = 2 4 +3 a) Determinar los puntos de corte de la parábola con los dos ejes de coordenadas. b) Calcular el área encerrada entre la parábola y el eje de abcisas. c) Calcular el área encerrada entre la parábola y el eje de ordenadas. 72. (Septiembre 23) Sea la función f () = sen y sea T la recta tangente a su gráfica en = π. Determinar: a) La ecuación de T. b) El área encerrada entre T y los ejes coordenados. 73. (Septiembre 23) Sea la función f () = 2 + a) Definir su dominio. b) Calcular su límite en el infinito, c) Determinar sus etremos. d) Calcular el área encerrada por la gráfica de f entre las abcisas y. 74. (Junio 24) Tenemos que hacer dos chapas cuadradas de dos distintos materiales. Los dos materiales tienen precios respectivamente de 2 y 3 por centímetro cuadrado. Cómo hemos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que el coste total sea mínimo y si además nos piden que la suma de los perímetros de los dos cuadrados ha de ser de un metro. 75. (Junio 24) Calcular el área encerrada entre la gráfica de la función eponencial f () = e y la cuerda a la misma que une los puntos de abcisas = y =. 76. (Junio 24) Sea la función f () = sen. Determinar: a) El área encerrada entre su gráfica y el eje de abcisas entre los valores = y = π. b) El área encerrada entre la tangente en = π y los ejes coordenados. 77. (Junio 24) Sea la función f () = e sen. Determinar: a) El máimo de la función en el intervalo (, π). b) Ecuación de las tangentes a la gráfica en los etremos del intervalo anterior. 78. (Septiembre 24) Descomponer el número e en dos sumandos positivos de forma que la suma de los logaritmos neperianos de los sumandos sea máima. Calcular dicha suma. 79. (Septiembre 24) Calcular el área encerrada entre las gráficas de la recta y = + 2 y la parábola y = 2. 8. (Septiembre 24) Sea el polinomio f () = 3 + a 2 + b +c a) Determinar los coeficientes a, b y c sabiendo que tiene etremos en = y en = y que pasa por el origen de coordenadas. b) Estudiar la naturaleza de ambos etremos. 8. (Septiembre 24) Sea la parábola f () = 2 6 + 9. a) Probar que es tangente a uno de los ejes coordenados, indicando cual. b) Calcular el área encerrada entre la gráfica de la parábola y los dos ejes coordenados. 2
Análisis 82. (Junio 25) Sea la función f () = del dominio. 4 + sen2 sen3. Determinar el dominio de f e indicar si f tiene límite finito en algún punto que no sea 83. (Junio 25) Calcular los etremos y los puntos de infleión de la función f () = e sen en el intervalo [, 2π]. 84. (Junio 25) Queremos construir un marco rectangular que encierre una superficie de un metro cuadrado. Sabemos que el coste de cada centímetro en los lados horizontales es de 2, mientras que en los lados verticales es de 8. Determinar las dimensiones que hemos de elegir para que el marco nos resulte lo más barato posible. 85. (Junio 25) Sea la función f () = sen2. Calcular la integral de esta función entre = y su primer cero positivo. (Nota: Llamamos ceros de una función a aquellos puntos donde se anula) 87. (Septiembre 25) Sea la función f () = e sen. Determinar sus etremos y sus puntos de infleión en el intervalo [ π, π]. 88. (Septiembre 25) Sea Ω la región acotada encerrada entre las parábolas f () = 2 + 2 + 4 y g() = 2 2 + 6, a) Hallar la superficie de Ω. b) Razonar (no valen comprobaciones con calculadora) cuál de las dos parábolas está en la parte inferior de la región Ω. 89. (Septiembre 25) Calcular razonadamente el límite de la sucesión (n 2) 2 (n +) 3 (n ) 3. 9. (Septiembre 25) Determinar el área encerrada por la gráfica de la función f () = 2 sen y el eje de abcisas entre el origen y el primer punto positivo donde f se anula. 9. (Junio 26) Calcular los valores de a y b para que la función f () = b tenga como asíntota vertical la recta = 2 y como asíntota a horizontal la recta y = 3. Razonar si para a = 2 y b = 3 la función f() tiene algún mínimo relativo. 92. (Junio 26) a) Utilizando el cambio de variable t = e calcular e +e d b) Calcular lim sen 7 2. 93. (Junio 26) La función f :[, ) definida por f () = a) Hallar el valor de a que hace que esta afirmación sea cierta. b) Calcular f ()d. a si 8 2 32 4 si > 8 es continua en [, ). 94. (Junio 26) Descomponer el número 8 en dos sumandos positivos de manera que la suma del cubo del primer sumando más el cuadrado del segundo sea mínima. 95. (Septiembre 26) Dadas las funciones f () = 2 y g() = 3, determinar el área encerrada por las graficas de ambas funciones entre las rectas: a) = y =. b) = y = 2. 96. (Septiembre 26) a) Comprobar si f () = e + sen e tiene un máimo relativo en = π/4. +5 b) Calcular lim 2 +3. 2
Problemas de Selectividad 97. (Septiembre 26) a) La función f () = + b) Utilizando el cambio de variable t = ln, calcular no está definida en =. Definir f() de modo que f() sea una función continua en ese punto. ln(ln) ln d 98. (Septiembre 26) Sea f : una función polinómica de grado menor o igual a tres que tiene un mínimo relativo en (, ) y un máimo relativo en (2, 2). Calcular la epresión de dicha función. 99. (Junio 27) Calcular: a) lim 3 2 5 2 3 b) lim 2. (Junio 27) Sea F() = lnt dt con. 2 Calcular F '(e). Es F "() una función constante. Justificar la respuesta. ( + 2)2. (Junio 27) Sea f : una función definida por f () = +. a) Calcular su dominio. b) Estudiar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Analizar sus asíntotas verticales, horizontales y oblicuas y determinar las que eistan. 2. (Junio 27) Calcular ln d e e 3 + 2 < 3. (Septiembre 27) Sea f () = 2 + 2a cos < π a 2 + b π a) Estudiar los valores de a y b para los que la función f () es continua para todo valor de. b) Determinar la derivada de f () en el intervalo (, π). 2π c) Calcular f ()d. 4. (Septiembre 27) Calcular un polinomio de tercer grado p() = a 3 + b 2 +c + d que satisface: i) p() =. ii) Tiene un máimo relativo en = y un punto de infleión en =. iii) p()d = 9 4 5. (Septiembre 27) Obtener las dimensiones de tres campos cuadrados de modo que: i) El perímetro del primero de ellos es el triple del perímetro del tercero. ii) Se necesitan eactamente 664 metros de valla para vallar los tres campos. iii) La suma de las áreas de los tres campos sea la mínima posible. 6. (Septiembre 27) a) Utilizando el cambio de variable t = ln calcular b) Calcular lim sen4 sen5 ( 2 ) 2 e d 2. e (4 ln) 22
Análisis 7. (Junio 28) Sea f : tal que f () = log + : a) Calcular el dominio de f (). b) Estudiar si f () es una función par. c) Calcular las asíntotas de f (). 8. (Junio 28) a) Dada la función F() = t sent dt, estudiar si = π es una raíz de F '(). n 2 2n + b) Calcular el valor de α para el cual lim n + n 2 + n 2 9. (Junio 28) Sean las funciones: αn 3 + n 2 = f : g : 3 f : sen a) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los puntos de infleión de f (). b) Calcular la derivada de (f h)() c) Obtener el área del recinto limitado por f y g entre = y =.. (Junio 28) Encontrar el valor de k para el cual la función f ()= 6 2 < 2 es continua. 2 + k 2 Estudiar si su derivada es una función continua. (2 )2. (Septiembre 28) Sea f ()= 4 2 + a) Calcular el máimo y el mínimo absolutos de f (). b) Estudiar si f () es una función simétrica respecto al eje OY. c) Calcular f ()d. 2. (Septiembre 28) a) Razonar si para F()= 4 b) Calcular lim 4 2 + 4 2 3 + 2 ( ). 3. (Septiembre 28) Sea f ()= 2 +. 2 t 2 dt se satisface que lim F()= lim F '(). a) Estudiar su dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus asíntotas. b) Calcular lim 2 f ( +) f (). ( ) 4. (Septiembre 28) Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista en el tema señala que, dada la estructura de la empresa, sólo puede optar por alarmas de dos tipos, A ó B; además, afirma que la seguridad de la empresa se puede epresar como la décima parte del producto entre el número de alarmas del tipo A instaladas y el cuadrado del número de alarmas instaladas de tipo B. Estudiar cuantas alarmas de cada tipo deben instalar en la empresa para maimizar la seguridad. 5. (Junio 29) 2 2 2 7 a) Calcular los siguientes límites: lim, 9 6 +5 b) Obtener cos 2 d. π π 2 lim ( cos + sen ) 23
Problemas de Selectividad 6. (Junio 29) Sea f ()= 2 + sen2. a) Determinar si tiene asíntotas de algún tipo. b) Estudiar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y la eistencia de etremos relativos. c) Son los valores = π / 2+ kπ con k puntos de infleión de f ()? 7. (Junio 29) Sea f ()= 2 a) Determinar su dominio. b) Estudiar si f () es una función simétrica respecto al origen de coordenadas. c) Obtener el área encerrada por f () y el eje OX entre = ¼ y = 3/4. 8. (Junio 29) a) Queremos vallar un campo rectangular que está junto a un camino. La valla del lado del camino cuesta 5 /m y la de los otros tres lados,.625 /m. Hallar el área del campo de mayor superficie que podemos cercar con 8. + b) Calcular para qué valores de a y b la función f ()= a + 2 < <, es continua. (b ) 2 9. (Septiembre 29) Sean f ()= cos(3 ) y h()= sen 2 a) Calcular g()= (h f )(). b) Comprobar si g() g() es una función par. c) Obtener g'() y estudiar si es cierto que g'( 3)=. 2. (Septiembre 29) Sea f ()= 3 + 2 2 a) Calcular su dominio. + 2 b) Encontrar los puntos de corte de f () con el eje OX y estudiar si la función es creciente en el intervalo (, ). c) Obtener lim f () + 2. d) Hallar f ()d. 2. (Septiembre 29) π 2 a) Calcular cos 3 d. b) Sea f ()= e a con a. Calcular f (n) () a n f (), siendo f (n) () la derivada n-ésima de f () 22. (Septiembre 29) ( 2 +) < a) Sea f ()= 4 + 2 + a. Estudiar para qué valores del parámetro a esta función es continua en =. + b) Entre los números, cuya suma es 36, encontrar aquellos números positivos cuya suma de cuadrados sea mínima. 2 + 2 < 23. (Junio 2) Sea f ()= sen(a) < < π ( π) 2 + π < + a) Calcular los valores de a para los cuales f ()es una función continua. b) Estudiar la derivabilidad de f ()f()para cada uno de esos valores. c) Obtener f ()d. 24
Análisis 24. (Junio 2) Encontrar el polinomio de grado dos p()= a 2 + b + c sabiendo que satisface: en = el polinomio vale 2, su primera derivada vale 4 para = y su segunda derivada vale 2 en =. Estudiar si el polinomio obtenido es una función par. Tiene en = un punto de infleión? 25. (Junio 2) Sea f ()= 2 2 2 3 a) Calcular el dominio de f (). b) Estudiar el crecimiento y decrecimiento de f (). c) Analizar las asíntotas de f () y calcular las que eistan. 26. (Junio 2) a) Hallar el área encerrada entre la curva y = 3 3 y la recta y =. 2 lnn b) Calcular lim n ln(7n 2 ) 27. (Septiembre 2) lnn. a) Utilizar el cambio de variable t 3 = para calcular el siguiente límite: lim ( ) 3 b) Estudiar la continuidad de f ()= 2 + < y obtener 2 f ()d. 28. (Septiembre 2) Sea la función f ()= ln +( ) ln( ) con (,) a) Calcular sus etremos relativos. b) Estudiar su crecimiento y decrecimiento y razonar si posee algún punto de infleión. 29. (Septiembre 2) El número de socios de una ONG viene dado por la función n()= 2 3 5 2 + 24 + 26, donde indica el número de años desde su fundación. a) Calcular el número de socios iniciales en el momento fundacional y en el quinto año. b) En qué año ha habido el menor número de socios? Cuántos fueron? c) El cuarto año se produjo un cambio en la junta directiva, influyó en el ascenso o descenso del número de socios? 2 3. (Septiembre 2) Sea f ()= una función definida en el intervalo [,+ ). + a) Cuánto debe valer f () para asegurar que f () es continua en su dominio? Calcular f (t) b) Para G()= + +t dt calcular G '(). 2 f () + + d. 25