1.- Determina las razones trigonométricas de los siguientes ángulos, relacionándolos con algunos ángulos notables (0º, 0º,, 60º, 90º, 180º, 70º, 60º), indicando en qué cuadrante se encuentran: a) 40º b) 1º c) 1º d) 70º e) 70º.- Calcula el valor de los siguientes ángulos el resto de las razones trigonométricas, sabiendo que: a) sen α = - / α III cuadrante b) con α = -1/ α II cuadrante c) tag α = 1 α IV cuadrante.- Calcula el seno la tangente de un ángulo agudo, sabiendo que su coseno vale: a) 0,41 b) 0.18 c) 0,947 d) 0, 4.- Calcula el coseno la tangente de un ángulo agudo, sabiendo que su seno vale: 1 4 a) b) c) d) 6 7 4 Epresa los resultados en forma de fracción..- Calcula el seno la tangente de un ángulo agudo, sabiendo que su coseno vale: 7 a) b) c) d) 4 Epresa los resultados en forma de epresiones racionales. Tercera relación fundamental: l dividir los dos miembros de la primera relación fundamental por cos α : sen α + cos α 1 α cos α 1 1 = sen + = tan α + 1 = cos α cos α cos α cos α cos α cos α este resultado se le conoce como Tercera relación fundamental de la Trigonometría sirve para relacionarnos la tangente con el coseno de un ángulo. Cuarta relación fundamental l dividir los dos miembros de la primera relación fundamental por sen α : sen α + cos α 1 sen α cos α 1 1 1 = + = 1+ = sen α sen α sen α sen α sen α tan α sen α este resultado se le conoce como Cuarta relación fundamental de la Trigonometría sirve para relacionarnos la tangente con el seno de un ángulo. la luz de estos resultados, realiza las actividades siguientes. 6.- Calcula senα cosα, sabiendo que la tangente de α vale: a) 0,76 b) 1,8 c) 8,76 d) 4 7.- La tangente de un ángulo agudo α vale. Calcula senα cosα epresando los resultados mediante fracciones radicales. 8.- La tangente de un ángulo agudo α vale. Calcula el senα cosα dando los resultados mediante epresiones radicales. 9.- Si α es un ángulo agudo senα =, calcula el valor de la epresión senα + cosα - 16tanα 10.- Halla el valor de las letras en los siguientes triángulos: a) b) c) d) 9 αα b 4 c 6, º 6 α 1 a 7, 11.- La altura de los ojos de un observador es de 1,60 m. El observador ve el punto más alto de un poste con un ángulo de elevación de º. La distancia entre los pies del observador el pie del poste es de 6 metros. Calcula la altura del poste. 1.- Desde un punto del suelo se ve la altura de una torre con un ángulo de elevación de 48º. Si se retrocede 0m, se ve la misma torre pero bajo un ángulo de 4º. Calcula la altura de la torre. 1.- Desde la orilla de un río se ve un árbol en la otra orilla bajo un ángulo de 40º, si se retrocede 4m se ve bajo un ángulo de 8º. Calcula la altura del árbol la anchura del río.
14.- Dos observadores situados a 70 metros de distancia ven un globo situado entre ellos en el mismo plano vertical bajo ángulos de elevación de º 70º. Halla la altura del globo las distancias que los separan de cada uno de los dos observadores. 1.- La diagonal de un rectángulo mide 7cm forma con uno de los lados un ángulo de 9º. Calcula la medida de los lados del rectángulo, así como su área. 16.- Calcula el área de un rombo sabiendo que uno de sus ángulos es de que su lado mide m. 17.- Indica el cuadrante al que pertenece cada uno de los siguientes ángulos epresados en grados: a) 0º b) 1º c) 00º d) 1º e) 16º f) 76º g) 19º h) 10º 18.- Indica el cuadrante al que pertenece cada uno de estos ángulos epresados en radicales: 7π 7π π π 11π 16π 49π 8π a) rad b) rad c) rad d) rad e) rad f ) rad g) rad h) rad 4 6 11 4 6 8 19.- El coseno de un ángulo del cuarto cuadrante vale. Calcula el seno la tangente de ese mismo ángulo. 77 0.- La tangente de un ángulo del tercer cuadrante vale. Calcula el seno el coseno de ese mismo ángulo. 6 1.- Responde a las siguientes preguntas razones la respuesta: a) Puede el coseno de un ángulo del segundo cuadrante valer 1? 1 b) Puede el seno de un ángulo del segundo cuadrante valer? 1 1 c) Puede la tangente de un ángulo del tercer cuadrante valer? 1 1 d) Puede la tangente de un ángulo del cuarto cuadrante valer? 1 e) Puede el seno de un ángulo del segundo cuadrante valer 1?.- El seno de un ángulo del tercer cuadrante vale 7.- La tangente de un ángulo del segundo cuadrante vale. Calcula el coseno la tangente de ese mismo ángulo. 10. Calcula el seno el coseno de ese mismo ángulo. 4.- El coseno de un ángulo del cuarto cuadrante vale. Calcula el seno la tangente del mismo ángulo..- Sin auda de la calculadora, indica los valores de las siguientes razones trigonométricas: a) sen 10º b) con (-0) c) tan 1º d) sen º e) tan(-1º) f) tan 10º g) sen 00º h) cos 1º i) tan 10º j) sen (-10º) k) cos 10º l) tan 00º 6.- Indica la medida de todos los ángulos tales que se verifique que: a) sen = b)cos = 0 c) tan = 7.- Indica la medida de todos los ángulos menores que 60º tales que se verifique que: a) sen = 1 b)cos = c) tan = 8.- Sin auda de la calculadora, halla el valor de las siguientes razones trigonométricas: a) sen1º b) tan960º π π c)cos rad d)cos 10º e) sen rad 4 9.- Epresa las razones trigonométricas de 70º, 160º, 00º 40º en función de las de 0º. 0.- Epresa las razones trigonométricas de º en función de las de -º. 1.- Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas cuáles son falsas. Razona tu respuesta. a) Un ángulo de 70º es un ángulo de dos vueltas, uno de 60º, es un ángulo de una vuelta. b) El ángulo de 100º se puede epresar así: 100º = vueltas + 10º c) El seno de 100º es igual al seno del ángulo de 10º d) El ángulo de 780º tiene el mismo seno que el ángulo de 60º e) El seno de 90º es igual a 1 c f) El coseno de 180º es igual a -1 g) Del triángulo rectángulo isósceles de la figura se obtiene que tan = 1 h) El seno de un ángulo es siempre menor que 1 i) Si sen α =1, el ángulo α vale 90º c 1π f ) tan rad
11.- Demostrar las siguientes identidades trigonométricas: a) cosec cot = 1 b) sec + cosec = sec $ cosec c) tg + cot = sec $ cosec d) sen cos = sen cos e) sec + cosec = (tg + cot ) f) sen $ sec sec = 1 g) (sen + cos ) + (sen cos ) = h) tg $ cos + cot $ sen = 1 i) (r $ sen $ cos ) + (r $ sen $ sen ) + (r $ cos ) = r j) sen + cos = sen + sen $ cos + cos $ sen + cos k) tg 1 + sec tg 1 sec = cosec l) cosec sen cot cot cosec = 0 m) sec4 1 tg = sec + 1 n) cos sen + 1 cos = cos o) sec 1 cos sec + 1 sen = 0 p) cos 1 sen 1 + sen cos = 0
1. Calcula la altura de un árbol que a una distancia de 10 m se ve bajo un ángulo de 0º. La altura,, del árbol la deducimos de la relación siguiente: 10 tg0 = = 10 tg0 = m 10. Calcula e : En la figura aparecen dos triángulos rectángulos, los cuales verifican, cada uno de ellos, las dos ecuaciones que forman el siguiente sistema: 0º m tg4= tg0= + Operando: tg4= tg4= tg4= ( + ) ( + ) tg0 tg0= ( 40+ ) tg0= 1 + = ( + ) = = 1 m Calculemos finalmente el valor de : + tg4= = = m. Calcula e en la siguiente figura.
Tenemos dos triángulos. De cada uno de ellos obtendremos una ecuación trigonométrica. tg0= 100 0º 100 m + tg60= 100 60º 100 m + Resolvemos el sistema: 1 100 100 = m = + 100 00 = = m + 100 = + = 100 100 4. Calcula el valor de (las longitudes están epresadas en m) 1 plicamos el teorema del coseno: a = b + c b c cos Entonces 10 = 10 + 1 10 1 cos 4 = 100 + 14 40 cos 4 = 9, 9 m. Calcula el valor de los lados e, aplicando el Teorema del seno: z= m m 40º sen40 = = 1,96 m sen80 sen60 = =,64 m sen80 80º a b c = = sen senb senc Sustituimos los valores dados en la epresión del teorema del seno: a b c = = sen senb senc = = sen80 sen40 sen60
6. Halla la altura del cuerpo más alto 0º En la figura aparecen dos triángulos rectángulos. Ha que hallar a + b. a c m 0º Con este triángulo obtenemos a c: a sen0 = a = m c cos 0 = c = m b Con el anterior triángulo hemos hallado el valor de c. Observando el triángulo de la izquierda podemos obtener b: c b tg4 = b = m c Luego la altura pedida es: ( + ) 1 a + b = + = m 7. Halla la altura de la montaña B h C 4000 m Rehacemos el dibujo de él etraeremos dos ecuaciones, cada una de ellas perteneciente a un triángulo rectángulo (el CBB el CC 0º
C B B 4000 h 4000 m Triángulo CBB : 4000 h tg4 = h C 0º Triángulo CC : h tg0 = Resolvamos éste sistema: 4000 h 4000 h tg4 = 1 = = 4000 h 4000 h = h h 1 h = h tg0 = = 4000 h = m 1464 m + 1 8. Halla la altura de las Torres Petronas, también las distancias, z. C z D 60º 7º 678 m B
Primeramente vamos a centrarnos en el triángulo BC : C 60º z 7º B 678 z 678 = = = sen4 sen60 sen4 sen7 sen60 z 678 = sen7 sen60 678 = = 678 m z 678 = 16 z= sen7 m sen7 hora nos fijamos en el triángulo CD : = 678 sen60= 678 = 4 m 600 m D 60º C