Geometría Básica 43 POLIGONOS UNIVERSIDAD DE LOS ANDES - TÁCHIRA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS CARRERA EDUCACIÓN BÁSICA INTEGRAL SEGMENTOS CONCATENADOS Y CONSECUTIVOS Consideremos los segmentos ab y bc, donde ab bc = {b} GEOMETRÍA 10 Prof. Alfonso Sánchez ENCUENTRO 5 Figura 1. Obsérvese que los segmentos pueden estar sobre la misma recta, en este caso se dice que los segmentos son consecutivos. Si los segmentos no se encuentran sobre la misma recta, se dice que son segmentos concatenados. LÍNEA POLIGONAL: Es toda figura formada por varios segmentos concatenados tales que cada uno tiene como origen el extremo del anterior. Sí el punto inicial de una línea poligonal coincide con el punto terminal (a partir de cualquiera de los extremos) se llama línea poligonal cerrada. Si el punto inicial no coincide con el punto terminal se llama línea poligonal abierta. Figura 2.
44 Alfonso Sánchez Los dibujos de la figura 2 están formados por segmentos concatenados, cada una de esas figuras recibe el nombre de línea poligonal. Los puntos: a, b, c, d, e y f reciben el nombre de vértices de la línea poligonal y los segmentos: ab, bc, cd, de, ef y fa reciben el nombre de lados de la línea poligonal. La figura (2b) se denomina línea poligonal abierta a b c d e f. Al unir los puntos a y f, obtenemos una línea poligonal cerrada, la cual se lee: línea poligonal a b c d e f. Para que exista la línea poligonal, se necesita tres (3) o más puntos en el plano, de tal manera que por lo menos tres (3) no pertenezcan a la misma recta. Obsérvese que la figura (2c) es una línea poligonal cerrada intersecada en el punto e. Si la línea polígonal tiene todos sus lados congruentes, se llama línea poligonal regular. POLIGONOS La palabra polígono está formada por dos palabras de origen griego: polys (mucho) y gonia (ángulo). POLIGONO: Es la unión de una línea poligonal cerrada (cuyos lados no se entrecrucen) y el conjunto de puntos interiores a ella. Los vértices y los lados de la línea poligonal cerrada lo son también del polígono. En la figura 3, las líneas poligonales cerradas dividen al plano en tres regiones: a) El conjunto de los puntos interiores. b) El conjunto de los puntos que pertenece a la línea poligonal. c) El conjunto de los puntos exteriores. Figura 3. Obsérvese que la figura (2c) no es un polígono, por cuanto, las líneas y, se entrecruzan. Se debe tener presente que una figura es un polígono si se comprueba que: Ningún par de lados del polígono se interseca, salvo en sus puntos extremos. Ningún par de lados del polígono con un extremo en común, debe ser colineales.
Geometría Básica 45 ELEMENTOS DE UN POLÍGONO 1. ÁNGULOS: Son los formados por sus lados, al cortarse dos a dos. Ángulos Interiores: Son los ángulos formados por dos lados consecutivos. Ángulos Exteriores: Son los ángulos formados en un vértice por un lado y la prolongación del lado consecutivo. 2. VÉRTICES: Son los puntos de encuentro o intersección de dos lados consecutivos. 3. DIAGONAL: Son líneas rectas que unen dos vértices no consecutivos. 4. LADOS: Son los segmentos de la línea polígonal. 5. PERÍMETRO: Es la longitud total de su contorno o la suma de sus lados. CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS A. Según el valor de los ángulos internos POLÍGONOS CÓNCAVOS: Son aquellos que tienen por lo menos un ángulo interior cuya medida es mayor de 180 o. También se puede afirmar al ser atravesado por una recta son cortados en más de dos puntos (Nótese la cueva en la concavidad del polígono). POLÍGONOS CONVEXOS: Son aquellos en los cuales cada uno de sus ángulos internos, tienen medida menor de 180 o. También se puede afirmar que al ser atravesado por una recta son cortados en un máximo de dos puntos (Los polígonos convexos no tienen cueva). Figura 4. B. Según la longitud de segmentos de la poligonal REGULARES: Un polígono es regular si es convexo y además todos los lados de la polígonal tienen la misma longitud y sus ángulos internos de igual medida. IRREGULARES: Un polígono es irregular cuando, al menos, uno de los segmentos de la polígonal tiene diferente medida.que los demás. Importante...! 1. Un polígono convexo que tiene sus lados iguales se llama equilátero (todos sus lados son congruentes).
46 Alfonso Sánchez 2. Un polígono convexo cuyos ángulos interiores son todos congruentes, se llama equiángulo. 3. La distancia del centro de un polígono regular a uno de los lados se llama APOTEMA. C. Según el número de segmentos de la polígonal NOMBRE DEL POLÍGONO NÚMERO DE LADOS Triángulo 3 Cuadrilátero 4 Pentágono 5 Hexágono 6 Heptágono 7 Octágono 8 Nonágonos 9 Decágonos 10 Undecágono 11 Dodecágono 12 Pentadecágono 15 Icoságonos 20 n-ágono n- lados Los polígonos de n-lados se llaman por el nombre de la cantidad de lados. Así, el polígono de 25 lados se llama polígono de veinticinco lados. ÁNGULOS DE UN POLÍGONO ÁNGULOS INTERNOS: Son los que se forman por dos lados consecutivos, en el interior del polígono. ( A, B, C, D, E y F ) (Figura 5). ÁNGULOS EXTERNOS: Son los ángulos adyacentes a los internos, se obtienen al prolongarse los lados del, polígono en un mismo sentido. ( 1, 2, 3, 4, 5 y 6 ). (Figura 5). IMPORTANTE...! Figura 5. 1. La suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono convexo de - lados es igual a tantas veces un ángulo llano como lados menos dos tiene el polígono. S α = 180 o (n 2)
Geometría Básica 47 2. El valor de un solo ángulo interior de un polígono convexo regular de n- lados es: α = 180o (n 2) n 3. El número de ángulos de un polígono es igual al número de lados, lo mismo que el número de vértices. 4. La suma de los ángulos de un polígono convexo regular es igual a 4 ángulos rectos. S θ = 360 o 5. La suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo es igual a 4 ángulos rectos. S β = 360 o 6. Los ángulos exteriores de un polígono, son los ángulos adyacentes de los ángulos internos de dicho polígono. 7. El valor de un solo ángulo exterior de un polígono regular convexo de n- lados es: β = 360o n 8. El valor de un solo ángulo de un polígono convexo regular de n -lados es: α = 360o n 9. El número total de diagonales de un polígono es: de cada vértice de un polígono se pueden trazar (n - 3) diagonales; de los n vértices se podrán trazar n(n - 3) diagonales, pero todo sobre dos, pues cada diagonal corresponde a dos vértices diferente: D t = n(n 3) 2 10. La suma de los ángulos interiores de un polígono cóncavo es igual a tantas veces un ángulo llano como lados menos dos tiene el polígono: S α = 180 o (n 2) ACTIVIDAD ESPECIAL (Justifique su respuesta) 1. Qué nombre recibe el polígono cuya suma de sus ángulos interiores mide 180 o? 2. Cuántas diagonales se le pueden trazar a un pentadecágono? 3. Cuántos triángulos resultan, si un polígono convexo tiene 4 lados?, 5 lados?, 11 lados? Utilice el geoplano para ello. Qué concluyes? 4. Cuántos lados tiene un polígono regular, si la medida de uno de sus ángulos es 128 4 7. 5. Calcular la suma de los ángulos interiores de un hexágono y de un octágono. 6. Calcular el número de lados de un polígono convexo, sabiendo que la suma de las medidas de sus ángulos interiores es 1980 o. 7. Determinar las medidas de sus ángulos de los 4 ángulos interiores de un cuadrilátero ABCD, sabiendo que: m < A = x, m < B = 2x 10, m < C = 3x + 20 y m < D = 3x 10 8. La medida de cada ángulo exterior de un polígono regular es 72 o. Determine el número de lados de dicho polígono. 9. Determine cuántas diagonales tiene un polígono convexo de n -lados. 10. Calcular el perímetro de un cuadrado sabiendo que su diagonal mide 1 metro.
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