MATEMÁTICA MÓDULO 3 Eje temático: Geometría 1. TEOREMA DE EUCLIDES Tal como se hizo con los contenidos vinculados a este tema, se sugiere demostrar en clases este teorema y así evitar que se presente como una simple receta. Además, la demostración sirve para repasar el contenido de semejanza visto en el nivel anterior. El teorema de Euclides está muy relacionado con el teorema de Pitágoras, ya sea porque el segundo puede ser demostrado a partir del primero (tal como se muestra en el contenido de este eje) o bien porque en la resolución de los ejercicios la determinación de algunos lados necesita de ambos teoremas. Con respecto a la ejercitación de este contenido, si consideramos las magnitudes: a, b, c, p, q, h, contando con dos podemos determinar todos los 6 demás. Es decir, tenemos =15 posibilidades de ejercicios diferentes; por lo 2 tanto una buena forma de cubrir todas las posibilidades de ejercitación de este tema, es dar dos datos cualesquiera y pedir los demás. Algunas de estas posibilidades, sobre todo aquellas en que se consideran como ab datos dos lados del triángulo, requieren la igualdad: h = para determinar c los demás segmentos. Es importante recalcar esta propiedad, pues suele ser olvidada por los estudiantes debido a que no constituye ni el teorema de Pitágoras ni el de Euclides. Por último, es conveniente vincular los teoremas de Euclides y Pitágoras con problemas que involucren segmentos proporcionales en el círculo, tema que los estudiantes ya trataron en el nivel anterior. El teorema de Euclides se puede utilizar en el cálculo de distancias que resuelvan algún problema contextualizado o en otros de carácter netamente geométrico. Lo importante es no presentar solamente problemas rutinarios donde se ocupe la misma figura, aunque ellos son imprescindibles como un trabajo inicial. 1
Actividad sugerida 1 Aprendizaje esperado: Resuelven problemas que involucran propiedades de los triángulos rectángulos; analizan las soluciones que se obtienen y su pertinencia. Ejemplos: El ABC de la figura es rectángulo en B. Si AB = 6 cm y AD = 4 cm, entonces CB mide Solución: Por el teorema de Euclides referente al cateto, tenemos que: AB 2 = AD. AC. Si colocamos AC = x, tenemos que: 6 2 = 4. x, por lo tanto AC = x = 9 cm. De lo anterior se deduce que DC = 5 cm. Si aplicamos ahora el mismo Teorema al cateto BC: BC 2 = DC. AC BC 2 = 5. 9 Por lo tanto BC = 45 = 9 5 = 3 5. 2
En la figura ABCD es rectángulo y BE y DF son perpendiculares a la diagonal AC. Si BC = 6 cm y AB = 10 cm, entonces cuánto mide EF? Solución: Utilizando el Teorema de Pitágoras en el ABC, se deduce que AC = 10 cm. Si utilizamos ahora el Teorema de Euclides referente al cateto en el mismo triángulo: BC 2 = EC. AC 6 2 = EC. 10 EC = 3,6 Pero por los triángulos AFD y CEB son congruentes, por lo tanto AF = EC = 3,6. De lo anterior deducimos que EF = AC AF EC = 10 3,6 3,6 = 2,8 cm. 2. TRIGONOMETRÍA EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Para estudiar la trigonometría en el triángulo rectángulo se debe comenzar aclarando que las razones trigonométricas son constantes para un cierto ángulo en particular, lo que se justifica por la semejanza de los triángulos rectángulos que tienen a ese ángulo como uno de sus ángulos agudos. Posteriormente se analiza el caso particular de los ángulos de 30, 60 y 45, utilizando para ello un triángulo rectángulo isósceles (45 ) y un triángulo equilátero para los ángulos de 30 y 60. 3
No se debe dejar de mostrar la trigonometría como una herramienta eficaz en el cálculo de distancias en triángulos rectángulos que, a diferencia del Teorema de Euclides, aquí se aplica cuando se conoce uno de los ángulos agudos. Posteriormente se deben analizar las relaciones entre las distintas razones trigonométricas; es decir, establecer las identidades de cuociente y pitagóricas: sen 2 α+cos 2 α = 1 ; 1+tg 2 α= sec 2 α ; tgα= senα cos α ; ctgα= cos α senα, etc. Actividad sugerida 2 Aprendizaje esperado: Resuelven problemas relacionados con el cálculo de distancias utilizando la trigonometría en el triángulo rectángulo. En el ABC rectángulo en A de la figura, tg α = 0,75 y BC = 20 cm. Entonces, cuánto mide AB? Como tg α = 0,75 = ¾. Podemos utilizar un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 semejante al dado, lo cual se justifica por la semejanza de los triángulos rectángulos que tienen al ángulo α como uno de sus ángulos agudos. Por el Teorema de Pitágoras, obtenemos que B C = 5 cm. 4
Pero este triángulo es semejante al triángulo original ABC, por lo tanto: 5 4 =. 20 AB De lo que se deduce que AB = 16 cm. Sitios sugeridos Se recomiendan los excelentes applet que se encuentran en los sitios: http://www.cnice.mecd.es/eos/materialeseducativos/mem2002/geometria_tria ngulo/teorema_del_cateto.htm http://www.cnice.mecd.es/eos/materialeseducativos/mem2002/geometria_tria ngulo/teorema_de_pitagoras.htm Allí se demuestran los teoremas de Euclides y Pitágoras respectivamente, a través de áreas. Para trigonometría en el triángulo rectángulo, se recomienda visitar la página web: http://www.pntic.mec.es/descartes/4a_eso/razones_trigonometricas/ratrigo. htm Power Point Acerca de Euclides y trigonometría en el triángulo rectángulo: http://www.educarchile.cl/ntg/mediateca/1605/article-93090.html 5
Mapa conceptual 6