Test de Hipótesis II Tabla de Test de Hipótesis ( Caso: Una muestra ) A. Test para µ con σ conocida: Suponga que X, X,, X n, es una m.a.(n) desde N( µ, σ ) Estadística de Prueba X - μ Z 0 = σ / n ~ N(0,) Hipótesis Nula Hipótesis Alternativa Rechace H 0 si. H 0 : µ = µ 0 H : µ µ 0 Z > Z ( - α/) o Z< - Z ( - α/) H 0 : µ µ 0 H : µ > µ 0 Z > Z ( - α) H 0 : µ µ 0 H : µ < µ 0 Z < - Z ( - α)
Test de Hipótesis II Ejemplo : Un profesor ha registrado las calificaciones de sus alumnos durante varios semestres, siendo la media de aquellas igual a 7. Su grupo actual de 36 estudiantes parece tener una aptitud promedio superior, por lo que el profesor desea mostrar que de acuerdo con su media el grupo actual es mejor que los anteriores. Constituye el promedio del grupo x = 75. suficiente evidencia para respaldar la afirmación del profesor? Utilizar α = 0.05 y σ =.0 Solución Paso : Plantear las hipótesis H 0 : µ = 7 ( ) ( el grupo no es superior ) H : µ > 7 ( el grupo es superior ) ; Aquí µ 0 = 7.
Test de Hipótesis II 3 Paso : Aquí σ es conocida (σ =.0 ), por lo que hay que utilizar: test -A. Paso 3 : Z = n ( X - µ 0 ) / σ = 36 ( 75. - 7 ) / =.6 Z * = Z (-α) = Z 0.95 =.645 Paso 4 : Como Z < Z *, estoy en la región de aceptación de H 0. La decisión será no poder rechazar la hipótesis nula Conclusión : como conclusión será no existe evidencia que demuestre que el grupo es superior Valor p : El punto crítico es z =.6, luego P(Z>.6) = P(Z< -.6 ) = 0.0548. Así, para cualquier valor α mayor que 0.0548, la decisión sería rechazar H 0
Test de Hipótesis II 4 B. Test para µ con σ desconocida: Suponga que X, X,, X n, es una m.a.(n) desde N( µ, σ ) y sea S = ( X - x ) / ( n -) n i = x - μ 0 Estadística de Prueba T = S / n ~ t (n -) Hipótesis Nula Hipótesis Alternativa Rechace H 0 si. H 0 : µ = µ 0 H : µ µ 0 T > t ( n -, - α/) o T< - t ( n, - α/) H 0 : µ µ 0 H : µ > µ 0 T > t ( n, - α) H 0 : µ µ 0 H : µ < µ 0 T < - t ( n, - α) i
Test de Hipótesis II 5 Ejemplo: Un presidente de una empresa afirma que el Nº de llamadas solicitando servicio no es más de 5 por semana, en promedio. Para comprobar su afirmación, se revisaron los registros de servicio para n = 36 semanas seleccionadas al azar, el resultado = fue que X = 7 y S 9 para los datos de la muestra. Contradice la evidencia de la muestra la afirmación del presidente al nivel de significación del 5%? Solución Paso : Plantear las hipótesis H 0 : µ 5 v/s H : µ > 5 ( Aquí ( µ 0 = 5 ) ).
Test de Hipótesis II 6 Paso : como la varianza poblacional es desconocida ( σ ) hay que usar la test - B. Paso 3 : T = n ( X - µ 0 ) / S = 4 y T* = t (n-,-α) y como n>30, entonces T*=Z -α = Z 0.95 =.645 Paso 4 : Como T > T*,estoy en la región de rechazo, por lo que hay evidencias suficientes para rechazar la hipótesis nula Conclusión : El número promedio de llamadas solicitando servicio es mayor que 5.
Test de Hipótesis II 7 C. Test para σ con µ desconocida: Suponga que X, X,, X n, es una m.a.(n) desde N( µ, σ ) con µ desconocido y sea S = ( X - x ) / ( n -) Estadística de Prueba Q = ( n -) S σ 0 ~ n i = χ i n - Hipótesis Nula Hipótesis Alternativa Rechace H 0 si. H 0 : σ = σ 0 H 0 : σ σ 0 H 0 : σ σ 0 H : σ σ 0 H : σ > σ 0 H : σ < σ 0 Q > χ ( n -, - α/) o Q< χ ( n, α/) Q > χ ( n, - α) Q < χ ( n, α)
Test de Hipótesis II 8 Ejemplo : Una determinada Cía. Que produce una parte maquinada para un motor, afirma que tiene una varianza de diametro no mayor que 0.000 pulgadas. Una muestra aleatoria de 0 de dichas partes dio una varianza de muestra S = 0.0003. Si se supone que las medidas del diámetro se distribuyen en forma normal, Hay evidencia para refutar la que afirma el proveedor? Usar α = 0.05 Solución Paso : Plantear las hipótesis H 0 : σ 0.000 v/s H : σ > 0.000 ( Aquí ( σ 0 = 0.000 ) ). Paso : Cumple los supuestos para ocupar la test - C.
Test de Hipótesis II 9 0 Paso 3 : Q = ( n -) S / σ = 9 * 0.0003 / 0.000 = 3.5 Q* = χ (n-, α) = χ ( 9, 0.05) = 6.990 Paso 4 : Como Q < Q*,estoy en la región de aceptación, por lo que no hay evidencias suficientes para rechazar la hipótesis nula. Conclusión : no hay evidencia suficiente como para contradecir lo que afirma el proveedor
Test de Hipótesis II 0 D. Test para una proporción p: Suponga que X, X,, X n, es una m.a.(n) desde Bernoulli(p) y sea pˆ = X / n, donde X { 0,} n i = Estadística de Prueba Z = i p 0 i pˆ - p (- p 0 0 ~ N(0,) ) / n Hipótesis Nula Hipótesis Alternativa Rechace H 0 si. H 0 : p = p 0 H : p p 0 Z > Z ( - α/) o Z< - Z ( - α/) H 0 : p p 0 H : p > p 0 Z > Z ( - α) H 0 : p p 0 H : p < p 0 Z < - Z ( - α)
Test de Hipótesis II Ejemplo : Se debe reparar una máquina en una fábrica cuando produce más de 0% de piezas defectuosas en un lote grande de artículos producidos diariamente. Una muestra aleatoria de 00 artículos de la producción del día contiene 5 piezas defectuosas y el supervisor dice que se debe reparar la máquina. La evidencia de la muestra respalda su decisión al nivel α = 0.0? Calcule el valor p para esta prueba. Solución Paso : Plantear las hipótesis H 0 : p 0.0 v/s H : p > 0.0 ( Aquí ( p 0 = 0.0 ) ). Paso : Cumple los supuestos para ocupar la test D.
Test de Hipótesis II 0.5 -.00 Paso 3 : Z = =.67 p 0 pˆ - p (- p 0 = 0 ) / n (0.) (0.9) / 00 Z * = Z (-α) = Z 0.99 =.35 Paso 4 : Como Z < Z *, estoy en la región de aceptación de H 0. La decisión será no poder rechazar la hipótesis nula Conclusión : como conclusión será no existe evidencia que demuestre que la máquina deba repararse Valor p : El punto crítico es z =.67, luego P(Z>.67) = P(Z< -.67 ) = 0.0475. Así, para cualquier valor α mayor que 0.0475, la decisión sería rechazar H 0
Test de Hipótesis II 3 Tabla de Test de Hipótesis ( Caso: dos muestras ) E. Test para µ - µ con σ y σ conocidas: Sea X, X,, X n, una m.a.(n) desde N( µ, σ ) e Y, Y,, Y n, una m.a.(n) desde N( µ, σ ) X i son independientes de los Y j. Estadística de Prueba Z = X - Y σ n + σ n ~ N(0,) Hipótesis Nula Hipótesis Alternativa Rechace H 0 si. H 0 : µ -µ = 0 H : µ -µ 0 Z > Z ( - α/) o Z< - Z ( - α/) H 0 : µ -µ 0 H : µ -µ > 0 Z > Z ( - α) H 0 : µ -µ 0 H : µ -µ < 0 Z < - Z ( - α)
Test de Hipótesis II 4 Ejemplo : Se llevo a cabo un estudio para comparar el tiempo que toma a los hombres y mujeres efectuar determinada maniobra en una línea de ensamble. Se utilizaron muestras independientes de 50 hombres y 50 mujeres en un experimento en el cual se tomaba a cada persona el tiempo para hacer tareas idénticas. Los resultados fueron los siguientes: Datos n X σ Hombres () 50 4 s 8 Mujeres () 50 38 s 4 Presentaron estos datos la evidencia suficiente como para decir que hay una diferencia entre los verdaderos tiempos de terminación para hombres y mujeres, a un nivel de significancia del 5%
Test de Hipótesis II 5 Solución Paso : Plantear las hipótesis H 0 : µ -µ = 0 v/s H : µ -µ 0 Paso : Cumple los supuestos para ocupar la test E. X - Y 4-38 Paso 3 : Z = = = 5 σ σ 8 4 + + n n 50 50 R.C = {x / Z * = Z ( - α/) = Z 0.975 =.96 o Z * < - Z ( - α/) = -.96. }
Test de Hipótesis II 6 Paso 4 : Como x R.C. se tiene que rechazamos H 0 Conclusión : Parece que la diferencia entre los tiempos de hombres y mujeres es real al nivel de significancia del 5%. NOTA : En el ejemplo anterior se asumió que σ y σ eran conocidas, sin embargo se pueden considerar desconocidas y aún así aplicar la Estadística de Prueba producto que n > 30 y n > 30.
Test de Hipótesis II 7 F. Test para µ - µ con σ y σ desconocidas: Sea X, X,, X n, una m.a.(n) desde N( µ, σ ) e Y, Y,, Y n, una m.a.(n) desde N( µ, σ ) donde los X i son independientes de los Y. Analizaremos los siguientes casos: i) σ y σ desconocidas e iguales ii) σ y σ desconocidas, pero distintas Antes de hacer el test de hipótesis para la diferencia de medias es necesario hacer previamente el test para las razones de varianzas, con lo cual se sabrá si son iguales o distintas ( también aquí se asume que las muestras son normales e independientes con medias desconocidas)
Test de Hipótesis II 8 F. Test para σ / σ : Considérese n n i = i = S = ( Xi - x ) / ( n -) y S = ( Xi - x ) / ( n S Estadística de Prueba F = ~ F ( p, q ), donde p = n y q = n S Hipótesis Nula Hipótesis Alternativa Rechace H 0 si. H 0 : σ /σ = H : σ /σ F > F ( p, q, - α/ ) o F< F ( p, q, α/) H 0 : σ /σ H 0 : σ /σ > F > F ( p, q, - α) H 0 : σ /σ H 0 : σ /σ < F < F ( p, q, α) Recordar : F ( p, q, α ) = / F ( q, p, - α ) -)
Test de Hipótesis II 9 F. Test para µ - µ con σ y σ desconocidas e iguales ( σ = σ = σ ) Considérese, S p ( n -) S + ( n -) S =, donde n+ n - n S = ( Xi - x ) / ( n -) y S = ( Yi - y ) / ( n i = n i = X - Y Estadística de Prueba T = ~ t ( ν ), donde ν = n + n - Sp + n n Hipótesis Nula Hipótesis Alternativa Rechace H 0 si. H 0 : µ -µ = 0 H : µ -µ 0 T > t ( ν, - α/) o T< - t ( ν, - α/) H 0 : µ -µ 0 H : µ -µ > 0 T > t ( ν, - α) H 0 : µ -µ 0 H : µ -µ < 0 T < - t ( ν, - α) -)
Test de Hipótesis II 0 Ejemplo : El diseñador de una troqueladora nueva de lámina afirma que su máquina puede trabajar con determinado producto con más rapidez que la máquina que está en uso. Se hicieron nueve ensayos independientes troquelando el mismo artículo en cada máquina y se obtuvieron los siguientes resultados de tiempos de terminación: Máquina Normal Máquina nueva n = 9 n = 9 X X = 35. seg. = 3.56 seg. = ( n ) S = 95.50 ( n ) S = 60. ( Aquí : S =.7, S 7.8 ) El nivel de significación del 5%, puede respaldar la afirmación del diseñador? Asuma que las varianzas poblacionales son desconocidas, pero iguales.
Test de Hipótesis II Solución º Parte: Comparar las varianzas Paso : Plantear las hipótesis H 0 : σ /σ = v/s H : σ /σ Paso : Cumple los supuestos para ocupar el test F. S.7 Paso 3 : F = = =. S 7.8 R.C ={x / F > F * = F ( 9, 9, 0.975) = 4.0 F< F * = F ( 9, 9, 0.05) = / F ( 9, 9, 0.975) = / 4.0 = 0.4} Paso 4 : Como x R.C. se tiene que se acepta H 0 Conclusión : Las varianzas son desconocidas, pero iguales al nivel de significancia del 5%.
Test de Hipótesis II º Parte: Comparar las medias Paso : Plantear las hipótesis H 0 : µ -µ 0 v/s H : µ -µ > 0 ( o sea, µ < µ ) Paso : Cumple los supuestos para ocupar la test F. X - Y 35. - 3.56 Paso 3 : T = = =.65, ya que Sp + 4.7 + n n 9 9 S ( n -) S + ( n -) S 95.5 + 60. p = = = n+ n - t* = t ( ν, - α ) = t ( 6, 0.95 ) =.7459 R.C ={x / T > t* = t ( ν, - α ) = t ( 6, 0.95 ) =.7459 } 6.4 Paso 4 : Como x R.C. se tiene que se acepta H 0 ( o bien no se puede rechazar H 0 )
Test de Hipótesis II 3 Conclusión : No hay evidencia suficiente al nivel de significancia del 5% como para respaldar la afirmación del diseñador. &&&&&&&&&& F3. Test para µ - µ con σ y σ desconocidas y distintas n n S i i i = i = Considérese, = ( X - x ) / ( n -) y S = ( Y - y ) / ( n -) X - Y Estadística de Prueba T = ~ t ( η ) ( aprox.), S S n + n donde η = ( S ( S n / n / n ) - + S + ( S / n n ) / n - )
Test de Hipótesis II 4 Hipótesis Nula Hipótesis Alternativa Rechace H 0 si. H 0 : µ -µ = 0 H : µ -µ 0 T > t ( η, - α/) o T< - t ( η, - α/) H 0 : µ -µ 0 H : µ -µ > 0 T > t ( η, - α) H 0 : µ -µ 0 H : µ -µ < 0 T < - t ( η, - α) Nota : A diferencia de las otras estadísticas de prueba, en este caso se tiene una distribución aproximada del tipo t- student y no exacta ( Problema de Behrens Fisher ).
Test de Hipótesis II 5 Ejemplo : Muchos estudiantes se han quejado de que la máquina vendedora de refrescos A despacha menos bebidas que la máquina B. Los siguientes son los datos de las muestras Maquina A: n = 0 x = 5.38 S =.59 Máquina B: n = x = 5.9 S = 0.83 Con α = 0.05, Respalda la evidencia la hipótesis de que la cantidad media despachada por la máquina A es menor que la despachada por la máquina B? Solución º Parte: Comparar las varianzas Paso : Plantear las hipótesis H 0 : σ /σ = v/s H : σ /σ Paso : Cumple los supuestos para ocupar el test F.
Test de Hipótesis II 6 S.59 Paso 3 : F = = = 3.67 S 0.83 R.C ={x / F > F * = F ( 0,, 0.975) = 3.37 F< F * = F ( 0,, 0.05) = / F (, 0, 0.975) = 0.7 } Paso 4 : Como x R.C. se tiene que se rechaza H 0 Conclusión : Las varianzas son desconocidas y distintas al nivel de significación del 5%. º Parte: Comparar las medias Paso : Plantear las hipótesis H 0 : µ -µ 0 v/s H : µ -µ < 0 ( o sea, µ < µ ) Paso : Cumple los supuestos para ocupar la test F3.
Test de Hipótesis II 7 X - Y 5.38-5.9 Paso 3 : T = = = - 0.969, ya que S S.59 0.83 + + n n 0 η = ( S ( S n - / n + S / n ) = 3.009 / n ) ( S / n ) t* = - t ( ν, - α ) = - t ( 3, 0.95 ) = -.7709 R.C ={x / T < t* = -.7709 } + n - Paso 4 : Como x R.C. se tiene que se acepta H 0 ( o bien no se puede rechazar H 0 ) Conclusión : No hay evidencia suficiente indicada por estas muestras para concluir que la máquina A despacha menos bebida que la máquina B. 3
Test de Hipótesis II 8 G. Test para diferencia de proporciones ( p p ) : Suponga que X, X,, X n e Y, Y,, Y n, muestras aleatorias independientes de poblaciones Bernoulli de parámetros p y p respectivamente y sean pˆ n n = Xi / n, donde Xi i i i = i = Estadística de Prueba Z = { 0,} ; pˆ = Y / n, donde Y { 0,} pˆ (- pˆ (- pˆ n pˆ ) - pˆ + pˆ n ~ N(0,) ) Hipótesis Nula Hipótesis Alternativa Rechace H 0 si. H 0 : p p = 0 H : p p 0 Z > Z ( - α/) o Z< - Z ( - α/) H 0 : p p 0 H : p p > 0 Z > Z ( - α) H 0 : p p 0 H : p p < 0 Z < - Z ( - α)
Test de Hipótesis II 9 Ejemplo : Un vendedor de una nueva marca de radio comunicadores afirma que el número de aparatos defectuosos en sus lotes de producción será no mayor que el de un competidor. Se toman m.a. de ambos productos para contrastar esta aseveración. Producto Nº defectuosos Nº revisados Del vendedor () 8 00 Del competidor () 00 Puede rechazarse la afirmación del vendedor al nivel de significación 0.05? Solución º Parte: Comparar las varianzas Paso : Plantear las hipótesis H 0 : p p 0 v/s H : p p > 0 ( Aquí p > p ) Paso : Cumple los supuestos para ocupar la test G.
Test de Hipótesis II 30 pˆ - pˆ 0.08-0.0 Paso 3 : Z = =.9653 pˆ (- pˆ ) pˆ (- pˆ ) 0.08* 0.9 0.0 *0.98 =.97 + + n n 00 00 R.C ={x / Z > Z* = Z - α = Z 0.95 =.645 } Paso 4 : Como x R.C. se tiene que se rechaza H 0 Conclusión : Existe evidencia suficiente al nivel de significación del 5% para rechazar la afirmación del vendedor, esto es hay evidencia para afirmar que el número de aparatos defectuosos si es mayor. Valor p : El punto crítico es z.97, luego P(Z<.97) = 0.9756. Así, para cualquier valor α menor que 0.044, la decisión sería aceptar H 0
Test de Hipótesis II 3 Prueba : Bondad de Ajuste Los procedimientos de pruebas de hipótesis que se han presentado en las secciones anteriores están diseñados para problemas en los que se conoce la distribución de probabilidad, y las hipótesis involucra los parámetros de la distribución. En esta sección se describe un procedimiento formal basado en la distribución χ que permitirá verificar la hipótesis de que una distribución en particular será un modelo satisfactorio de la población. Por ejemplo tal vez se quiera probar la hipótesis de que la población es normal. Cabe mencionar que este es sólo uno de los muchos procedimientos utilizados para tal fin. Cuando se trabaja con funciones continuas, la prueba χ tal vez no sea el mejor procedimiento, pero es bastante popular este método.
Test de Hipótesis II 3 Estadística de Prueba : k ( O = i - Ei ) L ~ χ, donde E i = i k es el Nº de intervalos en donde están las frecuencias O i es la frecuencia observada del i - ésimo intervalo E i es la frecuencia esperada del i - ésimo intervalo Nota: Si el valor E i de la última celda es menor que 3, se suman las dos ultimas frecuencias esperadas, o bien hasta ser superior a tres. H 0 : La distribución es la propuesta v/s H : no es esta la distribución R.C = ={x / L > χ ( -α, k p ) }, donde p es el Nº de parámetros de la distribución propuesta.
Test de Hipótesis II 33 Ejemplo : Se propone que el número de defectos en las tarjetas de circuito impreso sigue una distribución Poisson. Se reúne una m.a.(60) tarjetas de circuito impreso y se observa el número de defectos. Los resultados obtenidos son los siguientes. Use α = 0.05 Nº Defectos 0 3 Frec. Observada 3 5 9 4 Solución º La media es un estimador de λ cuando estamos en el caso Poisson, luego λ ˆ = 0.75 ( 3*0 + 5* + 9* + 4*3) / 60 = 0.75. Sea X : Nº defectos en las tarjetas º H0 : X~ P( 0.75 ) v/s X no proviene de P( 0.75 ) Calculemos entonces las respectivas probabilidades P(X = k) = 0.75 k e k! - 0.75
Test de Hipótesis II 34 3º X =k 0 3. P( X = k ) 0.47 0.354 0.33 0.04 E i 8.3.4 7.98.46 ( Nota : E = 0.47 * 60 = 8.3, ) Advertencia : La última celda tiene frecuencia esperada < 3. 4º X =k 0 ( o más ) E i 8.3.4 0.44 k ( O - E ) (3-8.3) (5 -.4) (3-0.44) 5º L = i i = + +.94 E 8.3.4 0.44 = i = i R.C ={x / L > χ ( -α, k p ) = χ ( 0.95, 3 ) = χ ( 0.95, ) = 3.84 }
Test de Hipótesis II 35 6º Conclusión : x R.C. luego se acepta H 0, esto es se puede asumir con un nivel de significación del 5% que la distribución es P ( 0.75 ).