MMII_L_C5: Problema de la cuerda finia: Méodos direco y de las imágenes. Guión: En esa lección se esudia el problema de una cuerda finia, por lo ano, es el problema con dos condiciones de conorno. Como méodos de cálculo desarrollaremos el méodo direco y el de las imágenes. El méodo direco es el mismo que se esudió en la clase de la cuerda semi infinia con condiciones de conorno mias Dirichle-Newmann, solo que ahora pueden aparecer en cualquiera de las dos condiciones de conorno. El méodo de las imágenes lo emplearemos preferenemene cuando las condiciones de conorno sean de ipo Dirichle o Newmann. Los libros recomendados son los apunes de Méodos Maemáicos II de la Escuela y el ya mencionado de Tijonov-Samasrki. Ejercicio recomendado : u - u =,,, 4,, 4 con: u(,) f ( ) 4,, 4, reso u (,) g( ),, ; u (, ) h ( ), ; u (, ) h ( ), Se pide:. Obener la solución por zonas para resolver el aparado siguiene.. Dibujar la solución u(,) para los valores de igual a, y 5 Esas noas son solo una ayuda, que ni preender ni pueden susiuir a la asisencia a clase, donde se desarrollan los concepos, se aclararán las dudas y se subsanaran posibles erraas, y a la consula de la bibliografía recomendada.
Ejercicio recomendado : u - u =,,5, con:,, u(,) f ( ); f ( ) 6, reso u (,) g( ),, ; 5 u(, ) h( ), ; u(5, ) h( ), Se pide:. Aplicando el méodo de las imágenes, obener la epresión genérica de la solución en érminos de las funciones eendidas.. Obener la solución por zonas para resolver el aparado siguiene. Ejercicio recomendado : Dado el modelo: u u,,, u(,),, ; u (,),, u(, ) u (, ), ; u(, ), Se pide la solución en u(,/4). Noas de clase de la cuerda finia Problema de cuerda finia homogéneo: u c u l u(, ) h ( ), u( l, ) h ( ),,,, u(,) f ( ),, l u (,) g( ),, l l La FF busca soluciones, u C, por lo que será necesario que f, h, h C, y g C en sus correspondienes dominios de definición, mienras que la condición de compaibilidad de los daos, para condiciones de conorno Dirichle (ccd) a ambos lados de la cuerda finia, se epresa como: f () h () f ( l) h () g() h () l g( l) h () cf () h () cf ( l) h ()
Por el méodo direco: Igual como hicimos en el caso de la cuerda semi infinia, resolveremos para el caso de CCD. De acuerdo con lo que vimos, y para el caso que las singularidades en los daos se concenren en = y en = l. la solución quedará dividida en zonas que se represenan en la figura: ( c ), es la pare de la perurbación inicial que se desplaza hacia la derecha con velocidad c. ( c ), es la pare de la perurbación inicial que se desplaza hacia la izquierda con velocidad c. -l l Como se observa en la figura, hay zonas que dependen de una, de las dos o de ninguna de las CCD, por lo que las soluciones serán: 5 7 4 6, Zona : no le afecan las CCD u (, ) ( c) ( c ), donde: f ( ) ( ) g( s) ds c ; la solución será la dada por la FD A: f ( ) ( ) g( s) ds,,l c Zona : sólo le afeca la CCD de la izquierda; la solución será u II II, y donde se deermina imponiendo la condición de conorno correspondiene: u (, ) h ( ) ( c) ( c) h ( ); II c ( ) h ( ) ( ), l, c, por lo que la solución en la zona será uii (, ) ( c) ( c ) ; si se desarrolla esa epresión, se comprueba que coincide con la solución obenida para la zona en el caso de la cuerda semiinfinia con condiciones similares. Zona : se ve afecada por la CCD de la derecha; la solución de esa zona resula
u, donde iene por dominio de definición (l,l) y se calcula III III III imponiendo la CCD, eniendo en cuena que omaremos l c l,l por lo que l ( ) h ( ) ( l ), la solución es: uiii (, ) ( c) ( c ) c Zona 4: se ve afecada por las dos CCD, pero las funciones incógnia en esa caso serían, y, que ya esán calculadas, de forma que: u (, ) ( c) ( c ) IV Zona 5: se ve afecada por las dos CCD, pero en ese caso, la función incógnia iene por dominio de definición el inervalo (-l,-l) por lo que - se deerminará imponiendo de nuevo la condición de conorno correspondiene, mienras que la función incógnia será la conocida. Así se sigue con odas las zonas hasa que se obiene la solución general para odas las zonas. Ver apunes de la Escuela. Ejercicio recomendado: Obener la solución de la cuerda finia cuando enemos condiciones de conorno Newmann (CCN) a ambos lados, o cuando enemos condiciones de conorno mias. Méodo de las imágenes: Pariendo de las mismas hipóesis que en el caso de la cuerda semi infinia. Se resolverá con dos CCD homogéneas. Igual se podría hacer con dos CCN o con CCN en un lado y CCD en el oros, ec. El PCH equivalene en la cuerda infinia (PChE) se define por eensión simérica o anisimérica de las funciones daos iniciales, de acuerdo con el ipo de condiciones de conorno que se engan en cada caso. La jusificación del cumplimieno de las CC homogéneas se haría de la misma forma como se hizo en el caso de la cuerda semi infinia. Vamos a considerar el caso con CCD en ambos lados: Pariendo del dominio de definición de problema iremos considerando las CCD a uno y oro lado, omando en cada caso la eensión anisimérica, empezando en el origen y eendiendo el análisis a oda la reca real. Se obiene que la solución es la eensión anisimérica en respeco al origen y periódica de periodo l, 4
-f(-s) -g(-s) f(s) g(s) -l l -f(-s) -g(-s) l El valor de las funciones f y g (y de F en su caso) vendrá dado por la epresión, en el caso de f: a f ( kl) f f ( kl), k L, k L k f ( kl) Ej_L_c5: Como ejemplo se va a represenar el caso f, L, con dos CCD. La función eendida del PCHA es de la forma: f L s=+4l s=+l s= s=-l s=-4l -4L -L L 4L -L, donde s son coordenadas locales de la zona en la que se esá, y -kl coordenadas globales de los ejes de la figura. Para el mismo valor de las funciones dao y con dos CCN. La función f eendida viene definida por: s f ( k L) f f ( k L), k L, k L, k f ( k L), que represenada queda de la forma: f L s=-(+l) s=+l s=- s= -L -L -L L s=-(-l) L s=-l L Ejercicio recomendado: Hacer la eensión de f=- ano para CCN, como para CCD. 5
Ej_L_c5: u u cos( ) u(,) u (,) u(, ) u(, ) cos( ) buscando soluciones pariculares se encuenra que (, ) cos( ) es una solución de la ecuación que verifica las condiciones siguienes: (,) (,) ( o, ) (, ) cos( ) por lo que es una solución que homogeniza la ecuación y las condiciones de conorno; así pues, haciendo el cambio u v y aprovechando la linealidad de la ecuación se obiene un nuevo problema dado por: Resolviendo por el méodo de las imágenes, de forma que se hace una eensión anisimérica y periódica de la función f, a la que se llama f resula ser: Lv v(,) f v (,) v(, ) h v(, ) h g f=-- f=-- f=-- f=- f=- f=- - La solución de ese nuevo problema viene dada por la fórmula de D Alamber con g=, por lo que resula v(, ) f ( ) f ( ) quedando dividida en zonas: 8 9 5 7 6 4 6
Se observa que, con la forma de la solución, se cumple que la solución no se divide realmene en anas zonas, ya que v v v6 v7 v9..., y v v4 v5 v8 v.... Eso se podía haber viso debido a la disconinuidad en los daos, pueso que f() h () ; esa disconinuidad origina una onda de choque que se prolonga reboando en las paredes de la zona donde eise la solución. Si se represena la solución para disinos valores de : v = v = - - - - Ejercicio recomendado: Hacer lo mismo en el caso que: F=f=g=h =h =, CCD y CCN. 7