Guía Matemática PERÍMETRO Y ÁREA tutora: Jacky Moreno.co
1. Perímetro y área de figuras planas Los registros más antiguos que se tienen del campo de la geometría corresponden a la cultura mesopotámica, quienes entre los años 1600 y 1800 a.c ya manejaban una noción de lo que es el perímetro y el área de figuras planas como los rectángulos y triángulos. El desarrollo de su geometría iba ligado directamente a la necesidad práctica de medir, principalmente sus terrenos. Actualmente, el perímetro hace referencia al contorno que tienen las figuras y el área a la medida de la superficie que encierra cada figura plana. A continuación estudiaremos como calcular el perímetro y el área de distintas figuras geométricas planas vistas anteriormente: 1.1. Paralelogramos De acuerdo a lo ya estudiado, los paralelogramos son cuadriláteros que se pueden clasificar en cuadrados, rectángulos, rombos y romboides. A partir de las características particulares que tiene cada una de éstas figuras estudiaremos como calcular su perímetro y su área respectivamente. 1.1.1. Cuadrado Como sabemos, el cuadrado posee sus cuatros lados de igual medida, por lo tanto para calcular su perímetro basta con multiplicar por 4 la medida de cualquiera de sus lados. P cuadrado = a + a + a + a = 4a En el caso que deseemos determinar alguna expresión para calcular el área de un cuadrado debemos considerar que el área de cualquier figura plana se mide en unidades como cm o m, lo que se puede representar mediante un cuadrado cuyo lado mide 1 unidad de longitud. Es por esto, que para determinar el área de un cuadrado, en este caso, debemos averiguar cuantas veces la superficie de este contiene un cuadrado unitario en la medida correspondiente. De esta forma para calcular el área de un cuadrado de lado 5, debemos dividiri interiormente la figura en cuadrados unitarios tal como se muestra a continuación:
Por lo tanto, como el cuadrado fue dividido en 5 cuadrados unitarios, significa que el área es de 5, valor que corresponde a la multiplicación de dos de sus lados. En general, para determinar el área de cualquier cuadrado de lado a debemos acudir a la expresión: Desafío 1 Á cuadrado = a a = a Cómo varía el área de un cuadrado si su diagonal aumenta a la mitad? Respuesta Ejercicios 1 1. Cuál es la razón entre el perímetro final e inicial de un cuadrado si se disminuye a la cuarta parte la medida de sus lados?. Cuál es la razón entre el área final e inicial de un cuadrado si se triplico la medida de sus lados? 1.1.. Rectángulo Como sabemos, el rectángulo posee pares de lados con igual medida, por lo tanto para determinar su perímetro basta con sumar las medidas de sus dos lados diferentes y multiplicarla por dos. P rectángulo = a + a + b + b P rectángulo = a + b P rectángulo = (a + b) Para determinar el área de un rectángulo, debemos proceder de la misma manera que en el cuadrado, es decir, dividimos el rectángulo en cuadrados unitarios tal como se muestra en la figura: 3
De esta manera, al tener un rectángulo de lados 5 y 10, tenemos que se formaron 50 cuadrados unitarios, por lo que se área es igual a 50. Este número es equivalente a multiplicar la medida de los dos lados distintos que tiene el rectángulo. Por lo tanto, para calcular el área A de un rectángulo de lados a y b debemos acudir a la siguiente expresión: Desafío A rectángulo = a b Cuál de todos los rectángulos de 7 [m ] que se pueden formar tiene el menor perímetro? Respuesta Ejercicios 1. Cómo varía el área de un rectángulo si la medida del lado menor se duplica y la medida del lado mayor se disminuye a la mitad?. Cómo varía el perímetro de un rectángulo si la medida del lado mayor se triplica y la medida del lado menor se mantiene constante? 1.1.3. Rombo En el caso del rombo, al igual que con el cuadrado, todos sus lados tienen la misma medida por lo que el perímetro se determina de la misma manera. P rombo = a + a + a + a = 4a Ahora bien, si deseamos calcular el área de un rombo, lo que haremos es transformarlo a una figura que ya sepamos como determinar su área, en este caso transformaremos el rombo a un rectángulo moviendo dos de los 4 triángulos congruentes que se forman a partir del trazo de sus dos diagonales d 1 y d : 4
A partir del dibujo, podemos ver que el área de un rombo corresponde al área de un rectángulo que tiene como lados una de las diagonales completas y la mitad de la otra diagonal. En base a esto, el área de un rombo cuyas diagonales son d 1 y d, queda determinada por la expresión: 1.1.4. Romboide A rombo = d 1 d En el caso del romboide, al igual que con el rectángulo, tiene dos pares de lados con la misma medida, por lo que el perímetro se determina de la misma manera. P romboide = (a + b) Si deseamos determinar el área de un romboide lo que haremos es transformarlo en una figura cuya área ya sabemos calcular, en este caso a un rectángulo, tal como se muestra a continuación: A partir de la transformación realizada, el área de un romboide equivale al área de un rectángulo cuyos lados corresponden a la altura y a la base del romboide. De acuerdo a lo anterior, el área de un romboide de altura h y lados a y b queda determinado por la siguiente expresión: A romboide = base altura A romboide = b h 5
1.. Trapecios Para cacular el perímetro de cualquier trapecio basta con sumar la medida de sus cuatro lados. P trapecio = a + b + c + d Como lo hemos estado haciendo, para calcular el área de un trapecio debemos transformarlo en otra figura tal que conozcamos su área, en este caso lo transformaremos a un romboide como se muestra a continuación: A partir de la transformación realizada, el área de un trapecio equivale a la mitad del área de un romboide, en donde la altura equivale a la altura del trapecio original y la base corresponde a la suma de las bases del trapecio original. De esta forma, el área de un trapecio de altura h y lados basales a y c queda determinada por la expresión: A trapecio = base altura A trapecio = (a + c) h Ejercicios 3 1. Cuál es la razón entre el área inicial y final de un trapecio si uno de sus lados basales disminuye a la mitad?. Cuál es la razón entre el área inicial y final de un trapecio si la altura se triplica? 3. Cómo varía el perímetro de un trapecio si sus lados laterales disminuyen a su quinta parte? 6
1.3. Deltoide Un deltoide, como ya vimos, es un tipo de trapezoide que tiene dos pares de lados con la misma medida, por lo tanto para determinar su perímetro debemos procedes de la misma manera que en el caso de un rectángulo: P deltoide = a + a + b + b P deltoide = a + b P deltoide = (a + b) Si deseamos determinar el área de un deltoide transformaremos esta figura a un rectángulo, ya que sabemos que su área corresponde a la multiplicación de los distintos lados. Para realizar la transformación del deltoide procedemos como se muestra a continuación: A partir del dibujo, podemos ver que el área de un deltoide corresponde al área de un rectángulo que tiene como lados una de las diagonales completas y la mitad de la otra diagonal. En base a esto, el área de un deltoide con diagonales d 1 y d queda determinada por la expresión: A deltoide = d 1 d 7
1.4. Triángulos Para determinar el perímetro de cualquier triángulo debemos sumar la medida de sus tres lados. P triángulo = a + b + c Al trazar alguna de las diagonales en un paralelogramo se puede formar cualquier tipo de triángulo independiente de la medida de sus ángulos. Como vemos, al dibujar la diagonal, se forman dos triángulos que son congruentes, es decir, dividimos la superficie del paralelogramo en dos áreas con igual medida. Basándonos en esto, podemos decir que el área de un triángulo corresponderá a la mitad del área que tiene el paralelogramo. De acuerdo a lo anterior, el área de un triángulo queda definida por la expresión: Desafío 3 A triángulo = base altura A triángulo = b h Es cierto que si un triángulo tiene su perímetro mayor que otro triángulo, entonces su área también es mayor? Respuesta 8
1.4.1. Triángulo Equilátero Como sabemos, los triángulos equiláteros tienen sus tres lados de igual medida, por lo tanto para determinar su perímetro basta con multiplicar por 3 cualquiera de los lados. P equilátero = a + a + a = 3a La expresión antes vista para determinar el área de un triángulo se puede modificar de manera tal que dependa únicamente de la medida del lado de un triángulo equilátero. Sea ABC un triángulo equilátero de lado a. Apliquemos el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo BDC para obtener la medida del cateto CD que corresponde a la altura del triángulo inicial: (Hipotenusa) = (Cateto) + (Cateto) (CB) = (CD) + (DB) ( a a = h + ) h = a a 4 h = 3a 4 h = a 3 Si sustituimos el valor de la altura en la expresión general para calcular el área de un triángulo, obtendremos la expresión que determina explícitamente el área de un triángulo equilátero: base altura A equilátero = a a 3 A equilátero = A equilátero = a 3 9
A equilátero = a 3 4 Ejercicios 4 1. Cómo varía el área de un triángulo equilátero si su lado disminuye a la mitad? Y si el lado se triplica?. Cuál es la razón entre el área inicial y final de un triángulo rectángulo si uno de sus catetos disminuye a la sexta parte? 3. Qué sucede con el área de un triángulo isósceles si su base se duplica? 1.5. Polígono Regular Como bien sabemos, los polígonos regulares son aquellos que tienen todos sus lados de la misma medida, por lo tanto para determinar el perímetro de un polígono regular debemos multiplicar la medida de uno de sus lados por la cantidad de lados que tienen el polígono, de esta forma si n representa la cantidad de lados del polígono y a la medida de uno de ellos entonces: P polígono regular = n a En el caso que queramos calcular el área de un polígono regular de n lados, debemos darnos cuenta de que cualquiera de estas figuras se pueden dividir interiormente en n triángulos isósceles congruentes. En base a esto, para determinar el área del polígono, basta con calcular el área de uno de esos triángulos y multiplicarlo por la cantidad de lados. Para determinar el área de uno de esos triángulos debemos multiplicar la base por su altura y dividirla en dos. En el caso de un polígono regular, la altura del triángulo corresponde a la distancia perpendicular desde el centro del polígono a uno de sus lados, esta distancia es denominada apotema y se simboliza con la letra ρ. 10
De acuerdo a lo anterior, si tenemos un polígono regular de n lados que miden a cada uno, el área queda determinada por la siguiente expresión: A polígono regular = a ρ n Ejercicios 5 1. Cómo varía el área de un polígono regular si su apotema se disminuye a la mitad?. Que sucede con el área de un polígono regular si el número de lados se duplica? Y si se cuadruplica? 1.6. Círculo Para determinar el perímetro de un círculo o bien, la longitud de una circunferencia de igual radio, debemos multiplicar la medida de su diámetro por una magnitud irracional constante llamada π, cuyo valor aproximado es de 3, 14159... y que corresponde a la razón entre el perímetro de un círculo y su diámetro. De acuerdo a lo anterior, el perímetro de un círculo de radio r queda determinado por la expresión: P círculo = π r Ahora bien, si deseamos calcular el área de un círculo, una buena aproximación sería pensar que corresponde a la superficie de un polígono regular cuyo número de lados en tan grande que podría tender al infinito (ver figura). 11
Si nos apoyamos en la idea anterior, el área de un polígono regular es [ a ρ n], lo cual se puede interpretar como la mitad del perímetro del polígono regular ( ) a n por la apotema (ρ). En el caso de un círculo de radio r, la mitad de su perímetro sería π r y la apotema correspondería al radio r. A partir de lo esto, podemos decir que el área de un círculo de radio r está determinada por la siguiente expresión: A polígono regular = mitad del perímetro apotema A círculo = mitad del perímetro radio ( ) π r A círculo = r A círculo = (π r) r A círculo = π r Ejercicios 6 1. Cuál es la razón entre el perímetro inicial y final de un círculo si su diámetro se triplica?. Cuál es la razón entre el área inicial y final de un círculo si su diámetro disminuye a su cuarta parte? Ejemplo Calcule el área de la región sin achurar si el lado del cuadrado mide 40 [cm]. Solución: Si dividimos la figura por la mitad se forman dos rectángulos congruentes con las siguientes medidas: 1
Para determinar el área sin achurar de la mitad de la figura, debemos calcular el área del rectángulo y restarle el área del sector circular y del triángulo rectángulo que hay dibujado en su interior. En base a esto tenemos lo siguiente: A rectángulo = 0[ cm] 40[ cm] A rectángulo = 800[ cm ] π (0[ cm]) A sector circular = 4 A sector circular = 100 π[ cm ] En base a lo anterior: 0[ cm] 0[ cm] A triángulo = A triángulo = 00[ cm ] A sin achurar = (A rectángulo A sector circular A triángulo ) A sin achurar = (800[ cm ] 100 π[ cm ] 00[ cm ]) A sin achurar = 100 (1 π)[ cm ] Ejercicios 7 Resolver los siguientes ejercicios. 1. Calcule el área de la región sombreada si el lado del cuadrado mide 8 [cm].. En la figura, E y F son puntos medios de dos lados del cuadrado ABCD. Cuánto mide el área y el perímetro de la figura achurada? 13
3. Cuál es la razón entre la área sombreada y el área sin achurar si el lado del cuadrado mide 6 [cm]? 4. En el rectángulo de la figura, E y F son puntos medios de los lados AD = 40 [cm] y BC = 0 [cm] respectivamente. Si con centro en E se traza un sector circular de radio BE y con centro en F se traza otro sector circular con radio F D, cuánto mide el perímetro y área achurada? 5. Cuál es el perímetro y el área de la figura sombreada si el lado del triángulo equilátero es de 0 [cm]? 14
6. En la figura el ABC es isósceles rectángulo de lado 4 [cm]. A partir del vértice A se construye un sector circular de radio AB y sobre la hipotenusa se construye un semicírculo con radio OB tal que CB = OB. Calcule: a) El perímetro de la figura sombreada. b) La razón entre el área de la figura sombreada y la superficie no sombreada. 7. Cuál es el perímetro y área de la superficie sombreada si en un círculo de radio 5 [cm] está inscrito un pentágono de lado 3 [cm]? 8. Si ABCD es un cuadrado y ABE es equilátero. Cuál es la razón entre el área achurada y el área sin achurar? 15
9. En la figura, O es centro de la circunferencia de radio 10 [cm] y BC es tangente a la circunferencia en el punto A. Cuánto mide el área sombreada si AC = AB = OA? 10. En la figura se tienen 9 circunferencias tangentes de radio 5. a) Cuál es el perímetro y el área de la figura formada al unir los centros de las 8 circunferencias exteriores? b) Cuál es el perímetro y el área del triángulo que se forma al unir los centros de las 3 circunferencias que están en el centro de la figura? 11. Si OABC es un cuadrado y O es el centro del círculo de radio 14 [cm], cuál es la razón entre el área del cuadrado y el área del círculo? 16
1. En la figura, los puntos O, O 1 y O corresponden a los centros de las circunferencias tangentes. Si sus radios están en la razón 5 : 3 : 1. Cuál es el perímetro de la figura formada al unir los puntos O, O 1 y O? 13. Determinar el área de la figura sombreada si el lado del cuadrado mide 7 [cm]. 14. Cuál es el perímetro y el área de la figura sombreada si el radio del círculo mayor mide 16 [cm]? 17
Desafíos resueltos Desafío I: Primero debemos hallar alguna expresión que me relacione el área del cuadrado con su diagonal. Sea a el lado del cuadrado y d su diagonal, aplicando el teorema de pitagóras a uno de los triángulos formados al traza la diagonal tenemos lo siguiente: a + a = d a = d a = d Como el área del cuadrado es a tenemos que: a = d a = d A cuadrado = a ( d A cuadrado = A cuadrado = d 4 A cuadrado = d Por lo tanto si aumentamos la diagonal al doble el área del cuadrado se cuatriplica ya que: A inicial = d ) Volver A final = (d) A final = 4d A final = 4 A inicial Desafío II: Primero debemos hallar que números multiplicados me dan 7 para poder obtener todas las combinaciones de lados posibles. 7 = 1 7 7 = 36 7 = 3 4 7 = 4 18 7 = 6 1 7 = 8 9 18
Luego vemos que suma de factores es la menor para así decir que esos lados corresponden al rectángulo con menor perímetro. En este caso 8 + 9 = 17 es la menor suma, por lo tanto el rectángulo con menor perímetro es el que tiene sus lados iguales a 8[m] y 9[m]. Volver Desafío III: Es falso ya que no siempre se cumple. Por ejemplo, basemos en los dos triángulos de acontinuación: ˆ Para el triángulo 1 tenemos las siguientes medidas: A 1 = 5 1 = 5 6 = 30 P 1 = 5 + 1 + 13 = 30 ˆ Para el triángulo tenemos las siguientes medidas: A = 5 8 = 5 4 = 0 P = 17 + 0 + 5 = 4 Por lo tanto tenemos que P 1 < P pero A 1 > A. Volver Bibliografía [1 ] Manual de preparación PSU Matemática, Quinta Edición, Oscar Tapía Rojas, Miguel Ormazábal Díaz-Muñoz, David López, Jorge Olivares Sepúlveda. [ ] Desarrollo del pensamiento matemático, La circunferencia y el círculo, No 15, Marzo 007, Martín Andonegui Zabala. [3 ] Desarrollo del pensamiento matemático, Cuadriláteros y otros polígonos, No 14, Abril 006, Martín Andonegui Zabala. [4 ] Desarrollo del pensamiento matemático, Polígonos. Triángulos, No 13, Noviembre 006, Martín Andonegui Zabala. 19