DERIVADA DE FUNCIONES REALES

. Recta tangente a una curva DERIVADA DE FUNCIONES REALES Consideremos la curva y = f() correspondiente a una función continua y en ella dos puntos distintos P( ; y ) y Q( ; y ). PQ es una recta secante a la curva con pendiente: y y m Como y = f( ), y = f( ) y si consideramos = Entonces, = + Por lo tanto la ecuación de la recta secante a la curva y = f() es: f f y y. La noción de derivada a permitido a lo largo de los siglos allar soluciones a problemas como determinar la ecuación de rectas tangentes a una curva y calcular los valores máimos o mínimos de las funciones. Qué ocurre cuando el punto Q lo consideramos sucesivamente más cerca del punto fijo P? La derivada epresa la variación de las funciones entre dos puntos muy cercanos y se aplica a situaciones físicas como el cálculo de la velocidad de un móvil, conociendo su ley de movimiento. Las figuras nos muestran cómo las sucesivas secantes n PQ ; PQ ; PQ ;... ; PQ, se acercan cada vez más a la recta tangente a dica curva en el punto P. Profesor: Javier rigoso Página

Es decir: La tangente a la curva y = f() en el punto P es el límite de las sucesivas secantes, cuando el punto Q tiende acia el punto P. Cuando Q se aproima a P (Q P), el número tiende a cero ( ) Por lo tanto: La pendiente m de la recta tangente a la curva correspondiente a la función y = f() en el punto P( ; y ) es: m lim f f La ecuación de la recta tangente a dica curva en el punto P( ; y ) es: y y m PARA LA CLASE Determina la ecuación de la recta tangente a la curva correspondiente a cada función real en el punto indicado:. f() = en el punto (; 4) y = 4 4. f() = + 4 + 4 en el punto (-; ) y = +. f() = + + en el punto (; 4) y = 4 4. f() en el punto (; /9) y = (-4 + 8)/4 Ejemplo: Determina la ecuación de la recta tangente a la curva correspondiente a la función y f 4 en el punto (; 7) Para calcular la pendiente de la recta tangente, usamos la epresión m f f lim Efectuando obtenemos:, es decir: m 4 4 lim 8 4 8 4 m lim lim lim 8 4 m 8 Como la abscisa del punto (; 7) es =, tenemos que la pendiente m = 8. = 8 Luego la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (; 7) es: y 7 8. Derivada de una función real Como abrás podido observar, en la determinación de la pendiente de la recta tangente a una curva correspondiente a una función en uno de sus puntos se a usado el concepto de límite de una función mediante la epresión: lim f f A este límite, si eiste, se le denomina derivada de una función f( ) en y se denota por f ( ) En general: Sea f una función real y sea є R. Decimos que f es derivable en si y sólo si eiste el límite f f lim Profesor: Javier rigoso Página

La derivada también se designa por: d f() d y y' ; ; ; D y ; D f() ; D f d d Ejemplo : Calcula la derivada de la función f() = + en el punto = Reemplazando = en: f' f f lim f f es decir: f' lim lim efectuando obtenemos: 4 4 f' lim lim lim 4 f' 4 4 9 4 9 4 f' lim 6 9 6 9 f' lim lim f' lim 6 9 6 9 Como la pendiente de la recta tangente es (f ( ) = ), entonces: 6 9 = = Reemplazamos = en la función f() = 9 + 4 para obtener y y = () 9() + 4 y = - Por lo tanto el punto buscado P( ; y ) es P (; -) Ejemplo : Si f(t) t 6t es la función que define la trayectoria de un móvil, encuentra la epresión que determina la rapidez instantánea (velocidad) en el instante t Ejemplo : Encontremos el punto de la curva asociada a la función f() = 9 + 4 en el que la pendiente de la tangente es. Sea P( ; y ) el punto buscado, calculemos la derivada f ( ) f' f f lim f t f t V t f' lim t 6 t 6t V t lim 6t 6 6t 6 V t lim lim V t lim 6t 6 6t 6 Profesor: Javier rigoso Página

La epresión V t 6t 6 puede ser calculada para distintos valores de t obteniéndose así cada rapidez deseada PARA LA CLASE Calcula la derivada de las siguientes funciones reales: 5. f() = + en = 6. f() = + en = 6 7. f(t) = t 5t + en t = 5s 5 8. IMPORANE: La rapidez de un móvil, cuya trayectoria está dada por la función de posición S = f(t), es la derivada de la función, es decir: v(t) = f (t), del mismo modo la aceleración será a(t) = f (t), f(t) t 4t en t = s 7 9. Determina las coordenadas de los puntos de la curva correspondiente a la función f(), en los que la pendiente de la recta tangente es 9. (-; -) y (; ) t. Un punto está en movimiento según la ley: t t. Donde se mide en metros y t en segundos. Hallar su velocidad después de 6seg. De iniciado el movimiento. 8. Propiedades sobre las funciones derivadas de funciones reales: Función Derivada c f' f' f f f n n f' n n f' n f n n. f g n n f' n.g.g' f g f' g' ' f c.g f' c.g' f g. f' g'. g.' g g'. g.' f f' f e f' e f ln f' f' f a ; (a ) a.ln a f loga f'.ln a g f' g'.' f sen f' cos f cos f' sen f f f tg f' cos ctg f' sen Profesor: Javier rigoso Página 4

Ejemplo : Sean f y g dos funciones reales tales que f() = y g() = 4 +, entonces la derivada de la función producto es: La función producto es: () f().g(). 4 Y su derivada es: Ejemplo : '() '. 4. 4 ' '(). 4. 4 '() 9 4 '() 6 9 Sean f y g dos funciones reales tales que f() = + y g() =, entonces la derivada de la función cociente es: f() La función producto es: () g() y su derivada es: '().. 6 '.. ' '() 6 4 4 6 6 6 '() 6 6 4 4 4 4 4 PARA LA CLASE.. Si '() '() 6 4 4 f(), calcular: f (-). Calcular n, si. Dada la función: 5 f'(n), siendo: f() 9 4 f() 5 Calcular a, si: f'(a) 8 4. Calcular f(-) en la función f(), que verifica f'() 4, -46/9 f () = 4 5. Dada la función f() que verifica: f''() 6 4; f'() ; f() 4 Calcular: f(-) 5 Profesor: Javier rigoso Página 5

4. Aplicación de máimo y mínimo de una función Ejemplo : Con una cartulina de 54 cm de lado se quiere construir una caja sin tapa de base cuadrada y volumen máimo. Calcula las dimensiones que debe tener la caja. Para construir la caja debemos trazar paralelas a los lados a una distancia de cada borde de la cartulina, recortar los cuadrados de lado determinados en cada esquina y luego doblar la cartulina por las líneas marcadas (fig. ) De esta manera se construye una caja (fig. ) de altura, área de la base iguala a (54 ) y volumen V, donde: V 54. o bien: V 4 6 96 y como V es función de, es decir: V f() 4 6 96, el problema a resolver, consiste en allar un máimo de f(). Calculemos la derivada de f(), es decir: Factorizando resulta: f'() 7 9 f'() 4 96 Luego: f'() 7 9 7 9 Si = 7 V 4 7 6 7 96 7, entonces este valor no nos sirve pues no es posible armar una caja cuyo volumen sea igual a cero. Si = 9 V 4 9 6 9 96 9 664, V toma el valor máimo, entonces las dimensiones de la caja son: lado de la base: (54 ) = 54 8 = 6 cm, altura: = 9 cm Ejemplo : De todos los rectángulos de 5 cm de área, cuál es el de menor perímetro? Reemplazando () en (): Si llamamos a la base, y a la altura y p al perímetro del rectángulo (ver figura) p = + y () Área del rectángulo = 5 5 y 5 y...() 5 5 p 5 y como p es función de, es decir p f 5 derivando f() resulta f', que se anula para = 5 Luego el rectángulo buscado es un cuadrado de 5 cm. Lado. Profesor: Javier rigoso Página 6

PARA LA CLASE. 6. La suma de dos números es 8, encuentra dicos números tales que la suma de sus cuadrados sea mínima. 7. Si la suma de la base y la altura de un triángulo es igual a 8 m. Qué dimensión debe tener dico triángulo para que su área sea máima? 8. Hallar el área máima de un rectángulo que tiene su base inferior en el eje y dos de sus vértices en la curva: y = 6 9. Hallar el área del mayor rectángulo con lados paralelos a los ejes de coordenadas, que pueden inscribirse en la región limitada por las parábolas. y= ; 6y = -. Un paralelogramo y un triángulo tiene un vértice común y los otros vértices del paralelogramo están sobre los lados del triángulo dado. Calcular el área máima del paralelogramo que se puede inscribir de esta forma. Base del triángulo = ; Altura del triángulo = 6.. Halla la derivada de la función f() sen A. sen B. sen.cos C. sen D. sen E. 4. Dada la función: a) b) f() Calcular: P f f 6 c) 6 d) e) 5. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la función y 5 en el punto P(-; ) A. y = B. y + = C. + y = D. 7 + y + 9 = E. + y = 6. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la función y sen cos en el punto P (; ) A. y = + B. y = - C. y = + D. y = + E. y = 4 + 7. Halla el mínimo valor de la función f() 8 A. - B. - C. -9 D. -7 E. -5 PARA LA CASA.. Dada la función: f() 6, calcular f () A. -6 B. - C. D. 4 E. 6. Dada la función: f(), calcular f (4) A. - B. - C. D. E. 8. Cuál es el producto mínimo de dos números cuya diferencia es 4? A. 5 B. C. D. - E. -4 9. Dada la función f() ln sen calcular Profesor: Javier rigoso Página 7 π f' 8 A. B. C. 4 D. E.. Indica el área máima de un rectángulo de lados ( ) y ( + ) A. 5/4 u B. 5/ C. 5/8 D. 5/ E. 5/4. La función desplazamiento de un móvil está dada por f(t) t t Cuál es la rapidez en el instante t =? A. 5 B. 6 C. D. 8 E. 9

. Cuál es el valor de p para que el mínimo de la función f() p sea igual a? A. 8 B. 9 C. D. E. /. El desplazamiento de un móvil está dado por la función f(t) t 5t t. Encuentra la epresión que define su aceleración instantánea. A. 6t t + B. 6t t C. t D. t E. 8t - 5 4. Encuentra un número real tal que al restarle su cuadrado, la diferencia sea máima. A. B. /4 C. /4 D. / E. 5. Determina dos números que sumados den, tal que la suma del cuadrado de uno de ellos con el sétuplo del otro sea mínima. A. 5 y 95 B. y 97 C. 6 y 94 D. 8 y 9 E. 4 y 96 6. Se tiene la derivada de una función: f () calcular: f(-); si f() = A. B. - C. D. E. - 7. Siendo: f() para que el valor de a se cumple f (a) ; a a a? A. B. C. D. 5 E. 4 8. Dada la función f(), allar f (-) A. 88 B. -88 C. 98 D. -98 E. 88 4 9. Si: f() 5 g() f'() ; calcular: R g'() A. -5 B. -,5 C. D. 5 E. -56. Calcula la medida de cada cateto de un triángulo rectángulo de cm de ipotenusa que tenga área máima. A. 5 y cm B. 7 y cm C. 5 y 5 cm D. y cm E. 6 y 8 cm. Dadas las funciones: 5 g() 4 Calcular 5 4 f() 5 6 ; f''( ) P g''( ) A. B. C. 4 D. 5 E. 8. Sea la función: f() a b ; si f() = ; f() = a c Además: f f. Calcula el valor de: R c b A. B. / C. 4 D. /4 E. ½ a b. Dada la función: f(), si su derivada es: f"() 4 4 / calcular: ab A. 8 B. -64 C. 64 D. -8 E. 4. Encuentra dos números positivos cuya suma sea igual a, además, el cuadrado de uno de ellos por el cubo del otro sea máimo. A. 6 y 4 B. 7 y C. 5 y 5 D. 4 y 6 E. 8 y Profesor: Javier rigoso Página 8

5. Una recta pasa por el punto P (; 4) y corta a los semiejes positivos formándose un triángulo, encuentra la ecuación de la recta para que el área de la región triangular sea mínima. A. 4 y + 4 = B. 4 y - 4 = C. 4 + y - 4 = D. + 4y + 4 = E. + 4y - 4 = 6. Sea las funciones: f() sen g() tan Donde: pertenece en primer cuadrante. Además se tiene que: (f ())(g ()). Hallar: Q () ; si :Q() f() g () A. B. C. + D. E. Si se tiene el siguiente triángulo rectángulo: Senα (Cosα) Nos piden allar: fα Cosα Senα con respecto al A. 5 B. 7 C. 4 D. E. 6 5 4 9. Las gráficas adjuntas corresponden a las funciones: f() g() Determina la máima longitud vertical d. A. 5/8 B. 5/ C. /8 D. 7/4 E.. Un torpedero está anclado a 9Km del punto más próimo a la orilla. Se necesita enviar un mensajero al campamento situado en la orilla. La distancia entre el campamento y el punto más próimo referido es de 5 Km.: teniendo en cuenta que el mensajero recorre a pie 5 Km. / y en un bote remando 4 Km. /. Indicar en que pinto de la orilla debe desembarcar para llegar al campamento lo más pronto posible. A. a Km. del campamento B. a 5 Km. del campamento C. a Km. del campamento D. a 8 Km. del campamento E a 4 Km. del campamento d 7. Si el propietario de un teatro cobra S/. por cada boleto de admisión, la asistencia promedio será de personas. Si por S/. de incremento en el precio del boleto, la asistencia promedio desciende en dos personas A cuánto debe vender cada entrada para obtener una ganancia máima? A. S/. B. S/. 5 C. S/. D. S/. E. S/. 8. Una pieza larga y rectangular de lámina de cm. De anco la convirtiese en un canal para agua doblando acia arriba dos de sus lados asta formar ángulos rectos con la base. Cuál debe ser el anco de las partes dobladas, si se desea que tenga la mayor capacidad posible? A. 5cm. B. cm. C. 8, 5cm. D. 6cm. E. 7, 5cm. Profesor: Javier rigoso Página 9