TEMA 3: PROGRESIONES

3. Sucesiones TEMA 3: PROGRESIONES A partir de las sucesiones del libro de la página 60, escribir cuatro términos más:., 5, 9, 3, 7,, 5, 9, 33............................ Vamos sumando cuatro siempre! Se trata de una progresión aritmética de diferencia d 4., 4, 9, 6, 5, 36, 49, 64, 8.................... Ten en cuenta que: º º 4 3º 3 9 4º 4 6 5º 5 5 6º 6 36 7º 7 49 8º 8 64 9º 9 8 Entonces el que está en lugar 456º 456 9 936 3., 4, 8, 6, 3, 64, 8, 56, 5..................................... Se pasa de un término a otro multiplicando por. Se trata de una progresión geométrica de rázon r. Ten en cuenta que: º º 4 3º 8 3 4º 6 4 5º 3 5 6º 64 6 Entonces el término que ocupa el lugar 45º 45 5. 653 9 0 73 4.,3, 9,7, 8,43, 79,87, 656....................... Se pasa de un término a otro multiplicando por -3. Se trata de una progresión geométrica de razón r 3. Ten en cuenta que: º 3 0 º 3 3 3º 9 3 4º 7 3 3 5º 8 3 4 6º 43 3 5 7º 79 3 6 Entonces el término que ocupa el lugar 56º 3 55 89 907 0 863 535 854 40 70 90 35 76 84 537 3 963 394 70 68 637 089 80 488 34 84 507 8. 990 7 0 73 5.,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89,.............. Cada término se obtiene sumando los dos anteriores: se trata de una ley de recurrencia. Es la sucesión de Fibonacci. 6. 70, 0, 70, 0,30,80,30,80,30.............. De un término al siguiente se va restando 50, es decir, sumando -50. Se trata de una

progresión aritmética de diferencia d 50. 7., 3, 6, 8, 6, 8, 36, 38, 76, 78, 56............. Se va alternativamente sumando al término anterior o multiplicando por el término anterior. Tareas 3--03: los ejercicios y 4 de la página 60. Calcula el término general de las sucesiones del apartado anterior siguientes:, 4, 9, 6, 5, 36, 49, 64, 8.................... El término que ocupa el lugar º 544 El término que ocupa el lugar 35º 35 55 5 El término que ocupa el lugar nº n Es decir, el término general de la sucesión es s n n 3, 4, 8, 6, 3, 64, 8, 56, 5..................................... Se pasa de un término a otro multiplicando por. Se trata de una progresión geométrica de rázon r. El término que ocupa el lugar 4º 4 El término que ocupa el lugar nº n Es decir, el término general de las sucesión es a n n 4,3, 9,7, 8,43, 79,87, 656....................... Se pasa de un término a otro multiplicando por -3. Se trata de una progresión geométrica de razón r 3. El término que ocupa el lugar 9º 3 8 3. 874 0 8 El término que ocupa el lugar nº 3 n Es decir, el término general de la sucesión es b n 3 n Calcula los cinco primeros términos de las sucesiones dadas por los siguientes término generales:. a n 4n 3 º a 4 3 º a 4 3 5 3º a 3 4 3 3 9 4º a 4 4 4 3 3 5º a 5 4 5 3 7. a a a n a n a n º a º a 3º a 3 a 3 a 3 a a 4º a 4 a 4 a 4 a a 3 3 5º a 5 a 5 a 5 a 3 a 4 3 5 3. a n 70 50n º a 70 50 0 º a 70 50 70 3º a 3 70 50 3 0 4º a 4 70 50 4 30 5º a 5 70 50 5 80 4. a n n 3n º a 3 º a 3 3º a 3 3 3 3 0

4º a 4 4 3 4 4 5º a 5 5 3 5 0 Tareas 4--03: todos los ejercicios de la página 6 3. Progresiones aritméticas Añade tres términos más a las siguientes sucesiones con ayuda de tu calculadora:., 5, 8,, 4, 7,0, 3, 6................. 0, 40, 60, 80, 00, 0,40, 60, 80,.......... 3. 9, 7, 5, 3,,,3,5,7,9,................. 4. 5. 83, 5. 87, 5. 9, 5. 95, 5. 99, 6. 03,6. 07, 6., 6. 5................... Calcula los términos generales de todas las progresiones aritméticas del ejercicio anterior. Comprueba dicho término general (calculando los cinco primeros términos de la progresión) y calcula el término que ocupa el lugar 0º.. Hemos de conocer d 3 a Entonces el término general es a n a n d n 3 3n 3 3n º a 3 º a 3 5 3º a 3 3 3 8 4º a 4 3 4 5º a 5 3 5 4 0º a 0 3 0 359. Hemos de conocer d 0 b 0 Entonces el término general es b n b n d 0 n 0 0 0n 0 00 0n º b 00 0 0 º b 00 0 40 3º b 3 00 0 3 60 4º b 4 00 0 4 80 5º b 5 00 0 5 00 0º b 0 00 0 0 500 3. Hemos de conocer d c 9 Entonces el término general es c n c n d 9 n 9 n n º c 9 º c 7 3º c 3 3 5 4º c 4 4 3 5º c 5 5 0º c 0 0 9 4. Hemos de conocer d 0. 04 d 5. 83 Entonces el término general es d n d n d 5. 83 n 0. 04 3

5. 83 0. 04n 0. 04 5. 79 0. 04n º d 5. 79 0. 04 5. 83 º d 5. 79 0. 04 5. 87 3º d 3 5. 79 0. 04 3 5. 9 4º d 4 5. 79 0. 04 4 5. 95 5º d 5 5. 79 0. 04 5 5. 99 0º d 0 5. 79 0. 04 0 0. 59 Tareas 5--03: todos los ejercicios de la página 6 Calcula para cada una de las sucesiones anteriores las sumas de los seis primeros términos y de los cien primeros términos.., 5, 8,, 4, 7,....................... a n 3n Suma de los seis primeros términos S 6 5 8 4 7 57 Otra forma de verlo: S 6 7 5 4 8 9 9 9 9 3 57 S 6 7 6 7 6 Suma de los cien primeros términos S 00 a a 00 00 99 00 30 50 5 050 00º a 00 3 00 99. 0, 40, 60, 80, 00, 0,..................... b n 00 0n Suma de los seis primeros términos S 6 0 40 60 80 00 0 00 Otra forma de verlo: S 6 0 0 40 00 60 80 340 340 340 340 3 00 S 6 0 0 6 0 0 6 Suma de los cien primeros términos S 00 b b 00 00 0 00 00 b 00 00 0 00 00 000 00 Tareas 5--03: todos los ejercicios de la página 63 3.3 Progresiones geométricas 0 50 000 Añade tres términos más a las siguientes sucesiones con ayuda de tu calculadora:. 3, 6,, 4, 48, 96,9, 384, 768,............ Es una progresión geométrica de razón r, pues multiplicando cada miembro por se obtiene el siguiente.. 3, 30, 300, 3000,30000, 300000, 3000000,............. Es una progresión geométrica de razón r 0, pues multiplicando cada miembro por 0 se obtiene el siguiente. 3. 80, 40, 0, 0, 5,. 5,. 5, 0. 65, 0, 35,............ Es una progresión geométrica de razón r, pues multiplicando cada miembro por se obtiene el siguiente. OJO: La división a b se convierte en multiplicación de la forma siguiente a. El inverso de b b 4

es b. 4. 80, 8, 0. 8, 0. 08,0. 008, 0. 0008, 0. 00008.................... Es una progresión geométrica de razón r 0, pues multiplicando cada miembro por se 0 obtiene el siguiente. 5. 3,6,,4, 48,96,9,384, 768,........ Es una progresión geométrica de razón r, pues multiplicando cada miembro por se obtiene el siguiente. Calcula los términos generales de todas las progresiones geométricas del ejercicio anterior. Comprueba dicho término general (calculando los cinco primeros términos de la progresión) y calcula el término que ocupa el lugar 37º.. Hemos de conocer r a 3 Entonces el término general es a n a r n 3 n º a 3 3 0 3 3 º a 3 3 3 6 3º a 3 3 3 3 3 4 4º a 4 3 4 3 3 3 8 4 5º a 5 3 5 3 4 3 6 48 37º a 37 3 37 3 36 3 68 79 476 736 06 58 430 08. 06 6 0 36 68 79 476 736. Hemos de conocer r 0 b 3 Entonces el término general es b n b r n 3 0 n º b 3 0 3 0 0 3 3 º b 3 0 3 0 3 0 30 3º b 3 3 0 3 3 0 3 00 300 4º b 4 3 0 4 3 0 3 3 000 3000 5º b 5 3 0 5 3 0 4 3 0000 30 000 37º b 37 3 0 37 3 0 36 3000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 3. 0 0 36 3. Hemos de conocer r 0. 5 c 80 Entonces el término general es c n c r n 80 0. 5 n º c 80 0. 5 80 0. 5 0 80. 0 º c 80 0. 5 80 0. 5 40. 0 3º c 3 80 0. 5 3 80 0. 5 0. 0 4º c 4 80 0. 5 4 80 0. 5 3 0. 0 5º c 5 80 0. 5 5 80 0. 5 4 5. 0 37º c 37 80 0. 5 37 80 0. 5 36. 64 0 9 4. Hemos de conocer r 0. d 80 Entonces el término general es d n d r n 80 0. n º d 80 0. 80 0. 0 80. 0 º d 80 0. 80 0. 8. 0 3º d 3 80 0. 3 80 0. 0. 8 4º d 4 80 0. 4 80 0. 3 0. 08 5

5º d 5 80 0. 5 80 0. 4 0. 008 37º d 37 80 0. 37 80 0. 36 8. 0 0 35 5. Hemos de conocer r e 3 Entonces el término general es e n e r n 3 n º e 3 3 0 3 º e 3 3 6 3º e 3 3 3 3 4º e 4 3 4 3 3 4 5º e 5 3 5 3 4 48 37º e 37 3 37 3 36 06 58 430 08. 06 6 0 Tareas --03: todos los ejercicios de la página 65 Calcula, para cada una de las sucesiones anteriores, la suma de los veinte primeros términos.. a n a r n 3 n S 0 a r 0 a r 3 9 3 3 9 57 864. b n b r n 3 0 n 57 864 3 57 86 S 0 b r 0 b r 3 09 3 30 000 000 000 000 000 000 3 0 9 3333 333 333 333 333 333 3. 333 3 0 8 3 0 9 30 000 000 000 000 000 000 3. c n c r n 80 0. 5 n S 0 c r 0 c r 80 0. 59 80 0. 5 4. d n d r n 80 0. n S 0 d r 0 d r 80 0. 9 80 0. 5. e n e r n 3 n 60. 00 88. 889 S 0 e r 0 e 3 9 3 54 89 r Tareas --03: todos los ejercicios de la página 66 EJERCICIOS FINALES DEL TEMA. Escribe los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones. c El primero es ; el segundo es 4, y los siguientes, la semisuma de los dos anteriores. º c º c 4 3º c 3 4 6 3 4º c 4 4 3 5º c 5 3 7 7 3. 5 6 7 3 3 3 4 Atención: la sucesión viene dada por la regla siguiente Tareas 8--03: todos los ejercicios que faltan del Escribe el término a 0 y a 5 de las siguientes sucesiones. 3. 5 c c 4 c n c n c n 6

d d n n 0 d 0 0 0 0 0 0 d 5 5 0 0 0 0 f f n n n f 0 0 0 8 3 f 5 5 0. 9 0 0. 9 5 3 7 Tareas 8--03: todos los ejercicios que faltan del 3 Escribe los cinco primeros términos de la siguiente sucesión: a a n a n 3 a a a 3 a 3 3 3 5 a 3 a 3 3 a 3 5 3 0 3 3 a 4 a 4 3 a 3 3 3 3 6 3 9 a 5 a 5 3 a 4 3 9 3 58 3 6 4 Averigua el criterio con el que se ha formado cada una de las siguientes sucesiones. d,, 3, 4,......................... º º 3º 3 4º 4 Claramente d n n f 0, 3, 8, 5,................ º 0 º 3 3º 8 3 4º 5 4 5º 4 5 6º 35 6 7º 48 7 8º 63 8 9º 80 9 0º 99 0 f n n Tareas 8--03: todos los que faltan del 4 5 Halla el término general de estas sucesiones. a., 4, 6, 8,......................... Se ve claramente que un término se obtiene del siguiente sumando. Entonces se trata de una progresión aritmética de diferencia d Su término general es a n a n d n n n 0 d, 3, 3 4, 4 5,..................... º º 3 3º 3 4 4º 4 5 7

5º 5 6 6º 6 7 d n n n Tareas 8--03: todos los ejercicios que faltan del 5 6 Busca una ley de recurrencia para definir las siguientes sucesiones. b 3,, 3, 3,,.............. º 3 º 3º 3 3 4º 3 3 5º 3 3 6º 3 3 7º 3 3 b n b n b n Tareas 8--03: todos los ejercicios que faltan del 6 7 Escribe los cinco primeros términos y a 0 de las siguientes progresiones aritméticas. d d 3; d 4 Como se trata de una progresión aritmética, su término general es d n d n d 3 n 4 3 4n 4 4n d 4 7 d 3 4 3 d 4 4 4 5 d 5 4 5 9 d 0 4 0 79 Tareas 9--03: todos los ejercicios que faltan del 7 8 Halla, en cada caso, el término general y calcula, después, a 50. a. 5, 8,, 4,....................... Se trata de una progresión aritmética de diferencia d 7, pues de un término al siguiente se pasa restando 7. Su término general es a n a n d 5 n 7 5 7n 7 3 7n a 50 3 7 50 38 Tareas 9--03: todos los ejercicios que faltan del 8 9 Calcula la suma de los veinte primeros términos de las siguientes progresiones aritméticas. d Los múltiplos de 3 3, 6, 9,, 5,....................... Se trata de una progresión aritmética, pues de un término al siguiente pasamos sumando 3. Su término general es d n d n d 3 n 3 3 3n 3 3n La suma de los veinte primeros término es S 0 d d 0 0 3 60 0 63 0 630 d 0 0 3 60 Tareas 9--03: todos los ejercicios que faltan del 9 0 Escribe los cinco primeros términos de las siguientes progresiones geométricas. d d 8 ; r 3 El término general de una progresión geométrica es d n d r n 8 3n º d 8 3 8 30 8 8 8

º d 8 3 8 3 8 3 7 3º d 3 8 33 8 3 8 9 9 4º d 4 8 34 8 33 8 7 3 5º d 5 8 35 8 34 8 8 Tareas 9--03: todos los ejercicios que faltan del 0 Halla el término general de cada una de las siguientes sucesiones. a. 0, 8, 3.,. 8,........................ Tenemos el primer término a 0 Nos hace falta encontrar la razón r? La razón saldrá de las siguientes divisiones: 0 r 8 r 0 8 5 0. 4 8 r 3. r 3. 8 0. 4 3. r. 8 r. 8 3. 0. 4 La razón es r 0. 4 Así que, el término general es a n a r n 0 0. 4 n Tareas 9--03: todos los ejercicios que faltan del Calcula la suma de los diez primeros términos de las progresiones geométricas siguientes. b b 5 r La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es S n b n rb b r n b. r r En nuestro caso, es la suma de los diez primeros términos. S 0 b 0 rb b 0 5 560 5 705 r 3 El término general de una progresión geométrica es b n b r n Asi, b 0 5 0 5 9 560 Tareas 04--03: todos los ejercicios que faltan del 4 Identifica las progresiones aritméticas, las geométricas y las que no son progresiones. Obtén el término general de cada una de ellas. b,, 3, 4,................... º º 3º 3 4º 4 No es ningún tipo de progresión, no se da que un término se obtiene del anterior sumando o multiplicando por la misma cantidad. b n n Tareas 04--03: todos los ejercicios que faltan del 4 5 Halla el primer término y el término general de las siguientes progresiones aritméticas. b b 7 d El término general es b n b n d Aplicamos esto para el undécimo término. b b 7 b 0 7 0 b 9

b 3 Ahora el término general es b n 3 n 3 n 5 n Tareas 04--03: todos los ejercicios que faltan del 5 6 Halla la diferencia y el primer término de las progresiones aritméticas siguientes. a. a 8 a 7 7 El término general de una progresión aritmética es a n a n d En particular: a a d 8 a d a 7 a 7 d 7 a 6d Recapitulamos: 8 a d 7 a 6d Se trata de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. De la segunda sacamos que: a 7 6d Sustituimos este valor en la primera ecuación: 8 7 6d d 8 7 5d d 5 35 7 Sustituimos este valor para hallar a : a 7 6 7 7 4 5 ATENCIÓN: hemos resuelto el sistema por el método de sustitución. Tareas 04--03: todos los ejercicios que faltan del 6 7 Qué lugar ocupa un término cuyo valor es 56 en la progresión aritmética definida por a 8 y d 3? El término general de una progresión aritmética es: a n a n d 8 n 3 8 3n 3 5 3n Tendremos que: 56 5 3n 56 5 3n n 5 3 7 Es el término que ocupa el lugar 7. 8 Calcula la razón y el primer término de las progresiones geométricas siguientes: a 5 8 a. a 3 9 El término general es a n a r n En particular es: 8 a 5 8 a r 5 8 a r 4 9 a 3 9 a r 3 9 a r 0

Recapitulamos, tenemos dos condiciones para dos incógnitas: 9 a r 8 a r 4 Despejamos a en la ª ecuación: a 8 r 4 Sustituimos este valor en la otra ecuación: 9 8 r 4 r r4 9 r 8 r 4 9 r 9 r 9 3 Sustituimos este valor de r para hallar a. a 4 8 8 3 8 a 8 4 8 3 8 Tenemos dos soluciones: a ; r 3 a ; r 3 Tareas 05--03: todos los ejercicios que faltan del 8 9 Halla el primer término y escribe el término general de las siguientes progresiones geométricas. b b 4 0. 5 r. 5 El término general es b n b r n b. 5 n En particular: 0. 5 b 4 0. 5 b. 5 4 0. 5 b. 5 3 b 0. 5. 5 3 6. 0 Por último el término general es b n 6. 5 n Tareas 05--03: todos los ejercicios que faltan del 9 0 Calcula la suma de los cinco primeros términos de una progresión geométrica en la que a 000 y a 4 8 Hemos de hallar la razón r. El término general es a n a r n 000 r n En particular: 8 a 4 8 000 r 4 8 000 r 3 r 3 8 000 r 3 8 000 3 5 5 n Así a n 000 5 La suma de los cinco primeros términos es:

S 5 a 5 ra r 8 5 5 000 5 8 5 000 5 8 5 5000 5 5 5 5 499 5 4 499 5 4 5 499 5 5 4 499 5 4 496 0 5 648 5 5 4 Tenemos que calcular a 5 000 000 000 5 5 65 8 5 Tareas 05--03: todos los ejercicios que faltan del En un teatro, la primera fila dista del escenario 4. 5 m, y la octava, 9. 75 m. a. Cuál es la distancia entre dos filas? En los teatros la distancia entre las filas de butacas es siempre la misma, luego tenemos una progresión aritmética. Tenemos que a 4. 5 a 8 9. 75 El término general de una progresión aritmética es a n a n d 4. 5 n d Sabemos que 9. 75 a 8 9. 75 4. 5 8 d 9. 75 4. 5 7d 7d 9. 75 4. 5 d 5. 5 0. 75 m es la distancia entre dos filas 7 b A qué distancia del escenario está la fila 7? a 7 4. 5 7 0. 75 4. 5 6 0. 75 6. 5 m separan la fila 7 del escenario. Tareas --03:3,4,5 6 Un tipo de bacteria se reproduce por bipartición cada cuarto de hora, Cuántas bacterias habrá después de seis horas? En principio 6 h 6 60 360 min Tenemos 360 5 4 cuartos de hora en 6 h En el primer instante tengo a bacterias Pasado el primer cuarto de hora, tenemos a bacterias Pasado el segundo cuarto de hora, tenemos a 3 4 bacterias. Pasado el tercer cuarto de hora, tenemos a 4 4 8 bacterias. Se trata de una progresión geométrica a r El término general será a n a r n n n En el cuarto de hora veinticuatro habrá a 5 5 4 6 777 6 bacterias. Tareas --03:7,8 9 Una bola que rueda por un plano inclinado recorre metro durante el primer segundo, 4 metros durante el segundo, 7 metros durante el tercero, y así durante 0 segundos. Qué distancia ha recorrido en total? En principio es una progresión aritmética pues de un término al siguiente se pasa sumando tres metros. s a m s a 4 m 3 s a 3 7 m 4 s a 4 0 m El término general es a n a n d n 3 3n 3 3n m

Ahora habría que calcular la suma de los diez primeros términos de una progresión aritmética. S 0 a a 0 0 8 0 90 45 m Nos falta a 0 3 0 8 m En total ha recorrido 45 metros. 30 Calcula el número de bloques necesarios para construir una torre como la de la figura de la página 60, pero que tenga 50 pisos. Vamos a ver cúantos bloques hay en cada piso empezando desde arriba: es decir, para nosotros el primer piso es el último y de ahí hacia abajo. º a º a 5 3º a 3 5 4 9 4º a 4 9 4 3 Esto claramente es una progresión aritmética de primer término y de diferencia 4. El término general es a n a n d n 4 4n 4 4n 3 Cálculamos la suma de los 50 primeros términos de una progresión aritmética. S 50 a a 50 50 97 50 98 5 4950 Es a 50 4 50 3 97 Hacen falta 4950 bloques. 3 Una pelota cae desde una cierta altura y rebota ascendiendo los 3 de la altura anterior. 4 Después de dar en el suelo por tercera vez, alcanza 54 centímetros. Desde qué altura se dejó caer? Qué distancia recorre hasta el décimo bote? Se trata de una progresión geométrica de primer término a y de razón r 3 4 Sabemos que a 3 54 cm, que se corresponde con el tercer bote. Como en una progresión geométrica se pasa de un término a otro multiplicando por la razón es: a 54 3 4 54 3 4 7 cm es el segundo rebote. a 7 3 4 7 3 4 96 cm es primer rebote. Cae desde 96 centímetros. Tenemos que calcular la suma de los diez primeros términos de una progresión geométrica. S 0 a 0 ra a r 0 a r r 96 0. 750 96 36. 38 0. 75 Teniendo en cuenta que la distancia en cada rebote la sube y la baja exceptuando el primer rebote y el último, la distancia recorrida hasta el décimo rebote es: S 0 a a 0 36. 38 96 7. 6. 56 cm Es a 0 a r 0 96 0. 75 9 7. 08 7. cm La pelota recorre 6.56 centímetros. 3