Economería II Análisis de series emporales (I): Procesos esacionarios Miguel Jerez y Sonia Sooca Universidad Compluense de Madrid Febrero 2004 Ver. /6/2003, Pag. #
Índice: Inroducción Concepos básicos Procesos elemenales Idenificación Anexo: Esudio de los procesos más comunes Ver. /6/2003, Pag. # 2
Inroducción (I) Diferencias enre el análisis de series emporales y la economería esudiada aneriormene: Los daos esán ordenados. No consideramos, en principio, variables exógenas. Se raa de consruir un modelo sencillo que aproveche la inercia de los daos económicos para predecir uilizando la información pasada. La economería de series emporales conempla res fases de análisis idenificación, esimación (no lineal) y diagnosis, que se recorren ieraivamene. Ver. /6/2003, Pag. # 3
Inroducción (II): Ejemplos Miles de personas 700 600 500 400 300 200 00 0 950 952 954 956 958 960 Pasajeros de líneas aéreas, oal mensual Punos log x00 5 0 5 0-5 -0-5 986 988 990 992 994 996 Rendimienos (logx00) del índice NIKKEI Número de pasajeros de líneas aéreas. La serie muesra: un perfil creciene (endencia), flucuaciones esacionales y una variabilidad que crece a medida que aumena el nivel de la serie. Rendimienos del índice NIKKEI de la Bolsa de Tokio. Los daos: flucúan esablemene en orno a una media nula, muesran períodos de ala y baja volailidad Los primeros y segundos momenos (media y varianza) de disinas series emporales pueden comporarse de formas muy diferenes Las series emporales de nauraleza similar (p. ej., financieras) a menudo presenan rasgos comunes que son de gran uilidad para analizarlas Ver. /6/2003, Pag. # 4
Concepos básicos (I): Definiciones Proceso esocásico es un conjuno de variables aleaorias asociadas a disinos insanes de iempo. Serie emporal, es un conjuno de observaciones o medidas realizadas secuencialmene en inervalos predeerminados y de igual, o aproximadamene igual, duración. La relación enre una serie emporal y el proceso esocásico que la genera es la misma que hay enre una muesra y la variable aleaoria de la que procede. Las peculiaridades de una serie emporal (frene a una muesra) y de un proceso esocásico (frene a una variable aleaoria) son: las series emporales y los procesos esocásicos esán referidos a insanes de iempo concreos, y los daos esán ordenados desde el pasado hasa el presene. El objeivo del análisis de series emporales es inferir la forma del proceso esocásico a parir de las series emporales que genera. Ver. /6/2003, Pag. # 5
Concepos básicos (II): Hipóesis simplificaorias En ciencias sociales suele ser imposible obener varias muesras de una serie emporal, por lo que es necesario realizar una serie de supuesos simplificaorios. Los supuesos más comunes son: Linealidad: El valor que oma hoy la serie (o el proceso) depende linealmene de: a) sus valores pasados y b) los valores presenes y pasados de oras series. Esacionariedad (débil): La media y varianza incondicional de una serie (o proceso) son consanes, las auocovarianzas enre dos valores sólo dependen de la disancia emporal que los separa. Formalmene: k, : Ez ( ) = µ = µ z E[( z µ ) ] = σ = σ 2 2 2 z E[( z µ )( z µ )] = γ = γ k k, k k Normalidad: El proceso esocásico generador sigue un modelo normal de disribución de probabilidad (proceso gaussiano ). Ver. /6/2003, Pag. # 6
Procesos elemenales (I): Ruido blanco. Un proceso de ruido blanco represena una variable que: oscila en orno a una media consane, con una volailidad consane y cuyo pasado no coniene información úil para predecir valores fuuros. Podemos represenar esa variable como z con: = µ z + a 2 Ez ( ) = µ z [ Ea ( ) =0 ] Ez ( 2 2 γk ) = σz = γ0 = σ ρ ; a k = = 0 k γ.4 0 La figura muesra el perfil de 500 observaciones simuladas del proceso de ruido blanco: z = a ; a iid N(0,.0).3.2..0 -. -.2 -.3 -.4 00 200 300 400 500 Ruido blanco Ver. /6/2003, Pag. # 7
Procesos elemenales (II): AR(). Un proceso auorregresivo de primer orden, AR(), represena una variable cuyo valor acual esá relacionado con su valor anerior mediane un modelo de regresión. Eso es: z = c+ φz + a ; φ < (esacionariedad) 2 c 2 a con: Ez ( ) = µ z = Ez ( 2 σ k ) = σz = γ0 = ρ ; φ 2 k = φ k 0 φ La figura muesra el perfil de dos series generadas por un AR() sin consane, con disinos valores del parámero φ:.4.6.3.2..4.2.0.0 -. -.2 -.3 -.2 -.4 -.4 00 200 300 400 500 -.6 00 200 300 400 500 AR() phi=.5 AR(), phi=.9 Ver. /6/2003, Pag. # 8
Procesos elemenales (III): MA(). Un proceso de medias móviles de primer orden, MA(), represena una variable cuyo valor acual esá correlado con su valor anerior. Eso es: Con: z = µ + a θa ; θ < z 2 Ez ( ) = µ Ez ( ) = σ = γ = ( + θ ) σ z (inveribilidad) 2 2 2 z 0 a ρ k θ si k = = + θ 0 si k > 2 La figura muesra el perfil de dos series generadas por un proceso MA() sin consane, con disinos valores de θ :.4.4.3.3.2.2...0.0 -. -. -.2 -.2 -.3 -.3 -.4 00 200 300 400 500 -.4 00 200 300 400 500 MA(), hea=.5 ma(), hea=.9 Ver. /6/2003, Pag. # 9
Procesos elemenales (IV): Paseo aleaorio. Un paseo aleaorio represena una variable cuyos cambios son ruido blanco y, por ano, imprevisibles. Eso es: y c y a = + + La figura muesra el perfil de dos series generadas por paseos aleaorios con y sin deriva. Como puede observarse, la caracerísica fundamenal de ese proceso es la fala de afinidad de las series a una media esable: 450 0 400 350-300 250-2 200-3 50 00-4 00 200 300 400 500 50 00 200 300 400 500 Paseo aleaorio sin deriva Paseo aleaorio con deriva Ver. /6/2003, Pag. # 0
Idenificación (I): Esadísica descripiva Para conrasar H µ = puede usarse el esadísico: 0 : X 0 Coeficienes de asimería y kurosis: X X = n i CA n i= σ X 3 X = n σ X / n H 0 n Xi X CK = n = σ i X 4 La hipóesis de normalidad puede conrasarse mediane el es de Jarque-Bera: 60 50 40 30 20 0 0 2 2 CA ( CK ) JB n 3 = + χ 6 24-0.25 0.00 0.25 H 0 2 2 Series: WNOISE Sample 500 Observaions 500 Mean 0.002643 Median 0.006559 Maximum 0.38647 Minimum -0.304903 Sd. Dev. 0.02973 Skewness -0.046988 Kurosis 3.393006 Jarque-Bera 3.40768 Probabiliy 0.82522 El hisograma muesra el perfil de una muesra del proceso: z = a ; a iid N(0,.0) Obsérvese que los momenos muesrales se aproximan a los eóricos y el es de Jarque-Bera no rechaza normalidad. Ver. /6/2003, Pag. #
Idenificación (II): Función de auocorrelación simple El coeficiene muesral de auocorrelación simple de orden k ( ρ k ) se define como: n γˆ k ρk = con: γˆ k = zz k ; z = z z, k= 2,, γˆ n 0 = k+ Para hacer inferencia sobre la función de auocorrelación simple (FAS o ACF) pueden usarse los siguienes resulados: / Para muesras suficienemene grandes se..( ρ k ) 2 n K 2 Si es ciero H0 : ρ = ρ2= ρ3= = ρk = 0 enonces QK ( ) = nn ( + 2) ρ k= n k en donde: K es el número de reardos de la ACF H0 p es el número de parámeros esimados, si la serie es de residuos. En la figura se muesra la función de auocorrelación simple de una muesra del proceso: z = a. 5a ; a iid N(0,.0) 2 k χk p... como puede observarse su configuración se parece, sin coincidir exacamene, a la FAS eórica de un proceso MA() Ver. /6/2003, Pag. # 2
Idenificación (III): Función de auocorrelación parcial Los procesos MA ienen una FAS finia. Por ano en ese caso la FAS resula muy úil, ano para deecar una esrucura MA como para idenificar su orden. Un insrumeno con propiedades análogas para procesos AR es el coeficiene muesral de auocorrelación parcial de orden k ( φ kk), que se define como el k- ésimo coeficiene de una auorregresión de orden k esimada por MCO: z = φˆ z + φˆ z + + φˆ z + εˆ ; k =,, k k2 2 kk k k 2 al gráfico de barras de los coeficienes φ kk frene a su correspondiene reardo se le llama función de auocorrelación parcial (abreviadamene, FAP o PACF). En la figura se muesran las funciones de auocorrelación de una muesra del proceso: z =. 5z + a ; a iid N(0,.0) como puede observarse, la FAP idenifica con claridad la nauraleza y el orden del proceso generador de los daos. Ver. /6/2003, Pag. # 3
Idenificación (IV) Ruido blanco:.4.3.2..0 -. -.2 -.3 -.4 00 200 300 400 500 Ruido blanco AR(): z =. 5z + a ; a iid N(0,.0).4.3.2..0 -. -.2 z = a ; a iid N(0,.0) Combinando insrumenos gráficos y esadísicos pueden reconocerse de forma aproximada las pauas de auocorrelación caracerísicas de los disinos procesos. En análisis de series emporales, a ese proceso de especificación empírica se le llama idenificación -.3 -.4 00 200 300 400 500 AR() phi=.5 Ver. /6/2003, Pag. # 4
Idenificación (V) MA(): z = a. 5a ; a iid N(0,.0).4.3.2..0 -. -.2 -.3 -.4 00 200 300 400 500 MA(), hea=.5 0 - -2 Paseo aleaorio: y = y + a ; a iid N(0,.0) La idenificación puede esrucurarse como una secuencia de pregunas: Es esacionaria la serie? Tiene una media significaiva? Es finia o infinia la ACF? Es finia o infinia la PACF? -3-4 00 200 300 400 500 Paseo aleaorio sin deriva Ver. /6/2003, Pag. # 5
Idenificación (VI) Combinando el análisis de la ACF y la PACF, la idenificación de los procesos esacionarios puede reducirse a decidir: Cuál de las dos funciones es finia? para deerminar la nauraleza del proceso generador: ACF PACF Finia Infinia Finia Ruido blanco AR Infinia MA ARMA A parir de qué reardo muere la ACF o PACF? para deerminar el orden del proceso. Esas écnicas requieren usar esadísicos como la media, la varianza o la covarianza muesrales, que sólo ienen senido si el proceso es esacionario, eso es, si los daos ienen una media y una varianza finias y aproximadamene consanes. Ver. /6/2003, Pag. # 6
A.. Esudio de los procesos más comunes: AR() z = c+ φz + a ; φ < c Ez ( ) = µ z = φ 2 2 σa Ez ( 2 ) = σz = γ = φ γk k ρk = = φ ; k 0 γ 0 0 2 ACF 0< φ < Reardo PACF Reardo Los procesos AR() se reconocen por una ACF infinia y una PACF que se anula a parir del segundo reardo. Si los daos ienen media, es necesario especificar un érmino consane. - < φ < 0 Reardo - Reardo - - Ver. /6/2003, Pag. # 7
A.2. Esudio de los procesos más comunes: MA() z = µ + a θa ; θ < z ACF PACF Ez ( ) = µ z 0< θ < 2 Ez ( ) = σ = γ = ( + θ ) σ 2 2 2 z 0 a ρ k γ γ k = = + 0 θ si k = 2 θ 0 si k > Reardo Reardo Los procesos MA() se reconocen por una PACF infinia y una ACF que se anula a parir del segundo reardo. Si los daos ienen media, es necesario especificar un érmino consane. - < θ < 0 Reardo - Reardo - - Ver. /6/2003, Pag. # 8
A.3. Esudio de los procesos más comunes: AR(2) z = c+ φz + φ z + a 2 2 ACF PACF φ + φ < ; φ φ < ; φ < 2 2 2 c Ez ( ) = µ = z φ φ 2 φ > 0 ; φ > 0 2 ρk = φρk + φ2ρk 2; k con : 2 φ φ ρ = ; ρ2 = φ2 + φ φ 2 2 - Reardo - Reardo Los procesos AR(2) se reconocen por una ACF infinia y una PACF que se anula a parir del ercer reardo. Si los daos ienen media, es necesario especificar un érmino consane. φ < 0 ; φ > 0 2 Reardo - Reardo - Ver. /6/2003, Pag. # 9
A.4. Esudio de los procesos más comunes: AR(2) ACF φ > 0 ; φ < 0 2 PACF Reardo Reardo - - φ < 0 ; φ < 0 2 Reardo Reardo - - Ver. /6/2003, Pag. # 20
A.5. Esudio de los procesos más comunes: MA(2) z = µ + a θa θ a z 2 2 θ2 + θ < ; θ2 θ < ; θ2 < θ > 0 ; θ > 0 Ez ( ) = µ z 2 Ez ( ) = σ = γ = ( + θ + θ ) σ ρ k 2 2 2 2 z 0 2 a θ( θ2) si k = 2 2 + θ + θ2 γ k θ = = 2 si k = 2 2 2 γ 0 + θ + θ2 0 si k > 2 Los procesos MA(2) se reconocen por una PACF infinia (no se muesra aquí) y una ACF que se anula a parir del ercer reardo. Si los daos ienen media, es necesario especificar un érmino consane. - θ - ACF 2 < 0 ; θ > 0 2 Reardo Reardo - - θ θ ACF < 0 ; θ < 0 2 > 0 ; θ < 0 2 Reardo Reardo Ver. /6/2003, Pag. # 2
Economería II Análisis de series emporales (II): Exensiones y meodología Miguel Jerez y Sonia Sooca Universidad Compluense de Madrid Marzo 2004 Ver. 23/3/2003, Pag. #
Índice Propiedades ípicas de las series económicas Transformaciones de daos Operadores reardo y diferencia Procesos generalizados Exensiones Meodología Ver. 23/3/2003, Pag. # 2
Propiedades ípicas de las series económicas Miles de personas 700 600 500 400 300 200 00 0 950 952 954 956 958 960 Pasajeros de líneas aéreas, oal mensual Muchas series emporales económicas presenan: endencia, esacionalidad, una variabilidad que crece con su nivel y componenes deerminisas (valores aípicos,...) Sin embargo, los procesos ARMA describen variables puramene esocásicas, no esacionales, con media y varianza consanes. Por ano, para modelizar series económicas es necesario definir: Transformaciones de daos diseñadas para esabilizar la media y la varianza de las series. Exensiones de la familia de procesos ARMA, que permian capar endencias y flucuaciones esacionales. Ver. 23/3/2003, Pag. # 3
Transformaciones de daos (I): Box-Cox Muchas series emporales muesran una variabilidad que cambia con su nivel. Para eliminar esa caracerísica se uiliza la ransformación de Box-Cox: σ y λ, m λ ( y + m) si λ 0 = λ ln( y + m) si λ = 0 λ > 0 λ = 0 λ < 0 λ = µ Cada ransformación se caraceriza por un valor del parámero λ. Además, puede aplicarse un cambio de origen (parámero, m) cuando la ransformación requiere valores posiivos. Para elegir la ransformación adecuada puede usarse el gráfico media-desviación ípica muesral de varias submuesras. En la figura se muesran las configuraciones correspondienes a diversos valores de λ. Las series económicas a menudo muesran una variabilidad que crece con la media de forma aproximadamene lineal. En ese caso, la ransformación adecuada es la logarímica (λ=0) Ver. 23/3/2003, Pag. # 4
Transformaciones de daos (II): Ejemplo Box-Cox 700 650 600 Miles de personas 500 400 300 200 00 0 Sandard deviaions 3 2 0-950 952 954 956 958 960 Pasajeros de líneas aéreas, oal mensual Sandardized mean/sd. dev. plo of nº de pasajeros de lineas aereas B A F E C D G H J I L M 600 550 500 450 Sandard deviaions 3 2 0-950 952 954 956 958 960 LAIR Sandardized mean/sd. dev. plo of log nº de pasajeros de lineas aereas J L M I F G H B E D A C Como muesran los gráficos, la volailidad crece linealmene con el nivel de la serie, ras la ransformación, la volailidad es aproximadamene consane. -2-2 -3-3 -2-0 2 3 Means -3-3 -2-0 2 3 Means Ver. 23/3/2003, Pag. # 5
Transformaciones de daos (III): Diferencias A menudo la endencia de una serie puede eliminarse diferenciando los daos. Se dice que una serie es inegrada de orden uno si su primera diferencia: z = y y es esacionaria en media. La serie de la primera figura es una muesra del proceso esocásico y = y + a ; a iid N(0,.0). Por ano, z = y y será esacionaria..3 0.2 -..0-2 -. -3 -.2-4 00 200 300 400 500 -.3 00 200 300 400 500 Paseo aleaorio sin deriva Primera diferencia Algunas series económicas necesian una diferencia adicional para conseguir una media incondicional esable. En ese caso se dice que son inegradas de segundo orden. Ver. 23/3/2003, Pag. # 6
Transformaciones de daos (IV): Inerpreación La primera diferencia del logarimo de una serie es una asa logarímica en ano por uno, alernaiva a la asa porcenual, ya que si: y = ( + α) y, resula: ln y ln y = ln( + α) α Frene a la asa de variación convencional, la asa logarímica iene la venaja de ser adiiva, eso es: n ( ) ln y ln y = ln y ln y = ln( + α ) n 0 = = En el cuadro se presenan varias ransformaciones comunes y su inerpreación. n Serie ransformada z = y y z = ln y ln y w = z z ; z = y y z = ln y ln y S Inerpreación Cambio en el valor de y Tasa logarímica (en ano por uno) de variación enre un período y el siguiene (indicador de crecimieno ) Cambio en la asa logarímica de variación enre un período y el siguiene (indicador de aceleración en el crecimieno) Tasa logarímica de variación acumulada en S períodos. Indicador de crecimieno acumulado en un ciclo esacional Ver. 23/3/2003, Pag. # 7
Operadores reardo y diferencia A menudo resula prácico represenar los procesos esocásicos uilizando el operador reardo, que se define de la siguiene manera: B / i) Bz = z ii) Bk = k ; k :consane iii) B z iv ) B z 0 = z = z + 2 3 l v) z = Bz = B z = B z = = B z ( l > ) + + 2 + 3 + l 0 El operador diferencia se define a parir del operador reardo como: / y = ( B) y = y y En series esacionales de período S, a menudo se uiliza una variane de ese operador que se conoce como diferencia esacional: S / y = ( B ) y = y y S S s Ver. 23/3/2003, Pag. # 8
Procesos generalizados (I): ARMA(p,q) Los procesos definidos aneriormene pueden escribirse con órdenes generales: AR(p): MA(q): z c z z z a = + φ + φ2 2 + + φp p + z a a a a = µ z + θ θ2 2 θq q ARMA(p,q): z = c+ φz + φ z + + φ z + a θa θ a θ a 2 2 p p 2 2 q q... y expresarse en érminos del operador reardo de la siguiene forma: AR(p): φ ( Bz ) = c+ a p MA(q): z = µ + θ ( B) a z q ARMA(p,q): φ ( Bz ) = c+ θ ( Ba ) p q... en donde: φ ( B) = φb φ B 2 φ B p 2 θ ( B) = θb θ B 2 θ B q 2 q p q p (polinomio AR) (polinomio MA) Ver. 23/3/2003, Pag. # 9
Procesos generalizados (II): Esacionariedad Esacionariedad: Se dice que un proceso esocásico es esacionario si odas p las raíces de la ecuación caracerísica φb φ B 2 esán fuera del 2 φpb = 0 círculo de radio unidad del plano complejo. La condición de esacionariedad sólo afeca a la componene AR del proceso ARIMA, ya que la componene MA siempre es esacionaria. Cuando el polinomio AR iene alguna raíz igual a uno, se dice que iene raíces uniarias. Consecuencias del cumplimieno: El proceso iene media y varianza incondicionales finias y esables. El proceso puede escribirse en forma MA equivalene. Consecuencias del no cumplimieno (raíces uniarias): La varianza incondicional diverge a infinio. Si iene deriva, la media incondicional diverge a infinio. El facor AR puede facorizarse separando las raíces uniarias de las raíces esacionarias. 2 Ejemplo. El proceso AR(2) no esacionario: (. 5B+. 5B ) y = a al proceso ARIMA(,,0): (. 5B) y = a es equivalene Ver. 23/3/2003, Pag. # 0
Procesos generalizados (III): Inveribilidad Inveribilidad: Se dice que un proceso esocásico es inverible si odas las q raíces de la ecuación caracerísica θb θ B 2 2 θqb = 0esán fuera del círculo de radio unidad del plano complejo. La condición de inveribilidad sólo afeca a la componene MA del proceso ARIMA, ya que la componene AR siempre es inverible. Consecuencias del cumplimieno: El proceso puede escribirse en forma AR equivalene. Consecuencias del no cumplimieno (raíces uniarias): El proceso podría simplificarse, bien eliminando una diferencia, bien represenando la endencia de forma deerminisa. Ejemplos. 2 2 El proceso ARIMA(2,2,) no inverible: (. 5B+. 7B ) y = ( Ba ) 2 al proceso ARIMA(2,,0): (. 5B+. 7B ) y = a Diferenciando el proceso de endencia deerminisa: y = β + a proceso ARIMA(0,,) no inverible: y = β + ( Ba ) es equivalene se obiene el Ver. 23/3/2003, Pag. #
Procesos generalizados (IV): ARIMA(p,d,q) La endencia esocásica de las series económicas puede caparse mediane raíces AR uniarias. Por ello iene inerés generalizar la formulación del modelo ARMA admiiendo en él ese ipo de facores. Esa idea da lugar al modelo ARIMA (p,d,q), que se define como: d λ, m φ ( B) y = c+ θ ( B) a en donde: p q p φ ( B) = φb φ B 2 φ B [polinomio AR(p)] p 2 p q θq( B) = θb θ B 2 2 θqb [polinomio MA(q)] ± k B/ B y = y B [operadores reardo y diferencia] y λ, m k λ ( y + m) si λ 0 = λ ln( y + m) si λ = 0 [ransformación de daos (Box-Cox)] Si los polinomios AR y MA ienen sus raíces en o fuera del círculo de radio unidad, el proceso ARIMA puede escribirse de las siguienes formas equivalenes: θ ( ) d, q B λ m y = µ + a φ ( B) z p φp( B) ( θ ( B) q y µ ) = a d λ, m z φp( B) d λ, m y = c + a θ ( B) q Ver. 23/3/2003, Pag. # 2
Procesos generalizados (V) Represenaciones alernaivas: Cuando un proceso esocásico no iene raíces AR ni MA denro del círculo de radio unidad, puede escribirse de forma equivalene como AR( ) o MA( ): Ejemplo. Un AR() no explosivo puede escribirse como: o, alernaivamene, como un proceso media móvil infinio: c z = a µ z ( φb φ B ) a φ + φb = + + + 2 2 + ( φb) z = c+ a Ejemplo 2. Un MA() con raíces en o fuera del círculo de radio unidad puede escribirse como: z = µ z + ( θb) a o, alernaivamene, como: µ z z a ;( θb θ B ) z c a θb = θ + + + 2 2 + = + Eso quiere decir que el proceso ARIMA es una aproximación finia a los procesos esocásicos generales: Forma pi : z = c+ z + z + + a π π2 2 Forma psi : z = µ z + a + ψa + ψ a + 2 2 Ver. 23/3/2003, Pag. # 3
Exensiones (I): Esacionalidad Miles de personas 700 600 500 400 300 200 00 0 950 952 954 956 958 960 Pasajeros de líneas aéreas, oal mensual Las series económicas a menudo muesran un comporamieno esacional, eso es, una paua que se repie con una periodicidad fija, a menudo anual. El período esacional (S) se define como el número de observaciones necesarias para recorrer odo el ciclo esacional. Por ejemplo, S=2 para daos mensuales, S=4 para daos rimesrales, ec. Para capar ese comporamieno, se define el modelo ARIMA(p,d,q)x(P,D,Q) S : φ S D d λ, m S p( B) Φ P( B ) S y = c+ θq( B) ΘQ( B ) a... que incluye res nuevos facores: S S S Φ ( B ) = Φ B Φ B 2 P S Φ B [polinomio AR(P) S ] P 2 S S S Θ ( B ) = Θ B Θ B 2 QS Θ B [polinomio MA(Q) S ] Q 2 S S B [operador diferencia esacional] Ese modelo admie relaciones enre un dao y el de S períodos arás. P Q Ver. 23/3/2003, Pag. # 4
Exensiones (II): Modelo RegARIMA Uniendo las ideas aneriores con el análisis de regresión, resula inmediao formular el modelo RegARIMA (modelo de regresión con errores ARIMA) como: con: y λ, m λ,m T = ( x x ) β +ε y y x φ ( B) Φ ( B S ) D d ε = θ ( B) Θ ( B S ) a p P S q Q De manera que los valores de la serie emporal se ponen en relación, no sólo con su pasado, sino ambién con los valores conemporáneos de oras series, que acúan como variables explicaivas o inpus. x λ x,m Las variables x pueden ser series económicas o variables deerminisas diseñadas para modelizar: Efecos calendario, causados por irregularidades en la unidad de iempo como pueden ser: disino número de días laborables y fesivos o celebración de la Semana Sana. Valores aípicos (ouliers) debidos a fenómenos como, p.ej., el spli del nominal de una acción, cambios en ipos imposiivo o fenómenos como inundaciones o erremoos. En ese caso se dice que el modelo es de inervención. Ver. 23/3/2003, Pag. # 5
Exensiones (III): Inpus de inervención Impulsos. Producen un cambio en el nivel de una sola observación de la serie. Pueden modelizarse mediane: x i si = = 0 si * * Impulsos compensados. Producen un cambio en el nivel de una observación, seguido por un cambio de nivel compensaorio en la observación siguiene. Pueden modelizarse mediane: * si = IC = * x si = + * * 0 si, + Escalones. Producen un cambio en el nivel de odas las observaciones poseriores a una fecha dada. Pueden modelizarse mediane: x E si = 0 si < * * Ver. 23/3/2003, Pag. # 6
Meodología (I) Definir los objeivos del análisis, esudiar la información disponible Idenificación: Seleccionar una especificación enaiva Los méodos de análisis de series emporales combinan los modelos e insrumenos aneriores en una meodología sisemáica para consruir y probar modelos Esimación (Méodos no lineales) Diagnosis: Es válido el modelo para los fines Previsos? no si Uilización del modelo Ver. 23/3/2003, Pag. # 7
Meodología (II): Idenificación Parámero Insrumeno de idenificación Observaciones m, λ d, orden de diferenciación Término consane p, orden del érmino AR q, orden del érmino MA Gráfico media-desviación ípica Gráfico de la serie emporal Gráfico de la serie emporal ACF (decrecimieno leno y lineal) Media muesral de la serie diferenciada Desviación ípica de la media PACF de orden p ACF infinia ACF de orden q PACF infinia Se raa de conseguir que la variabilidad de los daos sea independiene de su nivel. En series económicas es habiual λ=0, lo que supone ransformar logarímicamene los daos. Se raa de conseguir que los daos flucúen en orno a una media aproximadamene esable Si la media de la serie ransformada es significaiva, el modelo debe incluir un érmino consane La PACF iene p valores no nulos Un proceso AR finio y esacionario equivale a un MA( ) La ACF iene q valores no nulos Un proceso MA finio e inverible equivale a un AR( ) Ver. 23/3/2003, Pag. # 8
Meodología (III): Diagnosis Parámero Insrumeno de idenificación Observaciones d, orden de diferenciación Término consane p y q Raíces de los polinomios AR y MA Gráfico de la serie de residuos Media muesral de los residuos Desviación ípica de la media Conrases de significación de los parámeros esimados ACF y PACF residuales Tes Q Correlaciones elevadas enre parámeros esimados Sobreajuse Una raíz próxima a uno en la pare AR indica que conviene añadir una diferencia Una raíz próxima a uno en la pare MA indica que conviene quiar una diferencia Si muesra rachas largas de residuos posiivos o negaivos, puede ser necesaria una diferencia adicional Si la media de los residuos es significaiva, debe añadirse un érmino consane Permien eliminar parámeros irrelevanes Deecan pauas de auocorrelación no modelizadas Conrasa la hipóesis conjuna de que odos los coeficienes de auocorrelación son nulos Puede ser un sínoma de sobreparamerización Consise en añadir parámeros AR y/o MA, para comprobar si resulan significaivos y mejoran la calidad esadísica del modelo Ver. 23/3/2003, Pag. # 9