ou UNM Serie de Ejercicio Reuelto de Dináic Ing. Jun Ocáriz Ctelzo Fcultd de Ingenierí Diiión de Cienci áic Deprtento de Cineátic Dináic
Prefcio L erie de ejercicio que heo elbordo pr que etén dipoición de lo luno de l teri de Cineátic Dináic, pretenden ofrecer un buen riedd de ejercicio copletente reuelto. Lo teto de Dináic que recoiendn lo profeore de l igntur, que lo luno conocen, contienen un gnífic elección de proble odelo, que lo utore uelen preentr eficzente reuelto. El preente trbjo pir crecentr el repertorio er ucho á detlldo en lo procediiento. Lo proble e hn reunido confore lo te del progr igente en l Fcultd, e decir, en cinco cpítulo. En cd cpítulo e hn ordendo egún u grdo de dificultd. No heo querido proponer proble pr que el luno reuel por u cuent, pueto que lo teto que tiene cceo, en l bibliotec, en el ercdo, contienen bundnci de ello. En l elborción de l reolucione heo doptdo lguno criterio que coniene conocer. Se h procurdo no oitir ningún po, lo lo que puedn er clrente coprendido por un etudinte de teátic de bchillerto; todo lo deá e ientn, per de que puedn lrgre deido. Sin ebrgo, pr no hcer frrgo u lectur, heo upriido l unidde en el proceo: ólo e ientn en l repuet. Eto, por otr prte, no debe coniderre un l cotubre cundo un luno reuel proble por u cuent. En ucho de lo po e d un eplicción ecrit. ece, pr clrrlo; otr, pr recordr un concepto, teore, le o principio que pued no er fácilente identificdo. El objeto de preentr l reolución e que el luno entiend lo ejor poible cóo e p de lo conociiento conceptule l plicción concret. Lo digr de cuerpo libre, que contituen un edio iprecindible pr l reolución de lo proble cinético, e preentn iepre l ldo izquierdo de lo derrollo teático. En ello e uetrn iteáticente lo dto nuérico conocido, in unidde. Dibujr un digr clro copleto e etr en el cino de l olución de lo proble l ejor herrient con que e puede contr pr llegr buen fin. Lo ite de referenci e uetrn iepre con líne punted, de ner que e ditingn fácilente de lo ectore, en fuerz, poicione, elocidde o celercione. En lo proble cinético e eplen diferente unidde de fuerz. Se un obre todo newton (N), kilogro (kg) o libr (lb, # en lo dibujo); pero tbién l toneld étric ( kg), l toneld cort ( lb), l onz ( oz lb/6) el kilopound ( kip lb). Coniene tener en cuent que el kilogro (kg) puede er tbién unidd de, con frecuenci e utiliz í; unque lguno teto ditinguen edinte un ubíndice i e trt de un kilogrofuerz o un kilogro-, nootro no, pue conidero que el etudinte debe er cpz de identificr de qué tipo de unidd e trt, o bien, decidir por í io qué dee entender por un kilogro en lo proble que e le preenten. L repuet e epren iepre en ite decil. Lo núero e hn redondedo l tercer cifr ignificti o, i coienzn con, l curt. Con ello e pretende que l repuet en lo á bree poible u preciión e or l.%. Lo ángulo e dn en grdo egeile con un cifr decil. Con l repuet prcile no eguio ete criterio. Se recoiend l etudinte que, pr el proechiento de ete teril, intente reoler lo proble por u cuent luego copre u reolución con l de ete libro. de goto de
Índice. Cineátic de l prtícul. Moiiento rectilíneo.. Poición en función del tiepo.. Velocidd en función del tiepo.. celerción en función del tiepo 6..4 Solucione gráfic 9..5 celerción en función de l elocidd..6 celerción en función de l poición. Moiiento rectilíneo unifore uniforeente celerdo 5..Moiiento de ri prtícul independiente 8..Moiiento de ri prtícul conectd. Moiiento curilíneo.. Coponente crtein.. Coponente intrínec 6.. Coponente crtein e intrínec relciond. Cinétic de l prtícul. Moiiento rectilíneo..celerción contnte 9..celerción rible 5. Moiiento curilíneo.. Coponente crtein 69.. Coponente intrínec 7. Trbjo energí e ipulo cntidd de oiiento pr l prtícul. Trbjo energí cinétic 8. Trbjo, energí cinétic energí potencil 9. Ipulo cntidd de oiiento 4. Cineátic del cuerpo rígido 4. Moiiento reltio de prtícul 7 4. Rotción pur 4. Trlción pur 6
4.4 Moiiento plno generl 4.4. Velocidde 7 4.4. Centro intntáneo de rotción 4.4. celercione 8 5. Cinétic del cuerpo rígido 5. Trlción pur 49 5. Rotción pur bricéntric 55 5. Rotción pur no bricéntric 6 5.4 Moiiento plno generl 68
Lit de íbolo celerción (ector celerción) celerción (o gnitud de l celerción) t Coponente tngencil de l celerción n Coponente norl de l celerción Coponente de l celerción en dirección del eje de l equi Coponente de l celerción en dirección del eje de l e celerción edi c Centíetro ft Pie h Hor i Vector unitrio en dirección del eje de l equi in Pulgd j Vector unitrio en dirección del eje de l e k Vector unitrio en dirección del eje de l zet k Rdio de giro Rdio de giro centroidl k Kilóetro I Moento de inerci de l de un cuerpo Moento de inerci de l de un cuerpo, repecto un eje centroidl L Logrito nturl Metro Milíetro N Coponente norl o perpendiculr de un fuerz P Peo de un cuerpo o fuerz de gredd Poición (ector) r Rdio Segundo Poición o ditnci t Tiepo ton Toneld Velocidd (ector) Velocidd (gnitud) o rpidez Velocidd edi Poición o ditnci. Eje de referenci Poición o ditnci. Eje de referenci z Poición o ditnci. Eje de referenci α (lf) celerción ngulr (Delt) Increento Ditnci recorrid Deplziento µ (M) Coeficiente de fricción µ Coeficiente de fricción etátic µ k Coeficiente de fricción cinétic π (Pi) Núero pi. Rzón de l circunferenci l rdio ρ (Ro) Rdio de curtur ω (Oeg) Velocidd ngulr # Libr Pie Pulgd
. CINEMÁTIC DE L PRTÍCUL. Moiiento rectilíneo.. Poición en función del tiepo. L poición de un prtícul que decribe un líne rect qued definid edinte l epreión t / 9t +, donde i t etá en, reult en. Deterine: ) l celerción de l prtícul cundo u elocidd e de 7 /; b) u elocidd edi dede t ht t 6. c) Dibuje l gráfic tiepo-poición, tiepo-elocidd tiepo-celerción del oiiento de l prtícul, durnte lo priero ei egundo. P Reolución Ecucione del oiiento t 9 t + d t 9 dt d t dt ) Tiepo en que l elocidd e 7 / 7 t 9 t 6 t ±4 L ríz negti no tiene ignificción fíic en ete co.
Cineátic de l prtícul Pr t 4 ( 4) ; 8 b) () -6 6 t () 6 t 6 (6) 9(6) + () 9() + 6 ( 6) ; c) Tbulción pr dibujr l gráfic 7 (/) t 6-6 -9 7 6-9 6 t () (/ ) 6 t () 6
Cineátic de l prtícul.. Velocidd en función del tiepo. L elocidd de un punto P que e uee obre el eje de l ordend, que e un eje erticl dirigido hci rrib, e puede eprer coo 6 t 4, en donde e d en ft/ t en ; deá, cundo t, entonce 6 ft. Clcule: ) l gnitud l dirección de l celerción del punto cundo t ; b) el deplziento del punto P durnte lo priero cutro egundo; c) l longitud que recorre durnte ee io lpo. d) Dibuje equeáticente l gráfic del oiiento del punto P. P Reolución Ecucione del oiiento d Coo dt entonce: d dt d dt (6t 4) dt (6t 4) dt t 4t + C Si t, 6 6 C Por tnto: t 4t + 6 6t 4 d t dt ) Pr t () ; ft 6
4 Cineátic de l prtícul b) (ft) 4 8 6-6 4 t () En donde: 4 (4) 4(4) + 6 8 6 8 6 ft c) Pr conocer l ditnci que recorre, inetigreo cundo 7 (ft/) 6t t 4 t ± 4-4 4 t () Sólo l ríz poiti tiene ignificdo fíico () 4() + 6 6 Por tnto, l prtícul e oió de 6 6 luego 4 8 (ft/ ) D ( ) + ( 4) D 6 6 + 8 ( 6) + 64 4 D 96 ft d) Tbulción pr dibujr l gráfic 4 t () t 4 6-6 8-4 7 4 48
Cineátic de l prtícul 5. En l figur prece l gráfic de l gnitud de l elocidd de un prtícul en función del tiepo. Se be que cundo t, l poición de l prtícul e + 8 in. Dibuje l gráfic tiepocelerción tiepo-poición del oiiento de l prtícul. - (in/) 4 6 t () Reolución (in/ ) L gnitud de l celerción e igul l pendiente de l gráfic tiepo-elocidd; durnte lo priero cutro egundo e poiti de 4/4 depué e nul. t () (L gráfic tiepo-celerción puede er dicontinu coo en ete co, pero nunc l gráfic tiepoelocidd tiepo-poición) 4 6 (in) 48 8 4 6 t () L gráfic tiepo-poición coienz, egún lo dto, en + 8. Dede t ht t, l pendiente de l cur que coienz iendo negti, diinuendo en gnitud ht hcere nul: el deplziento en ee lpo e igul l áre bjo l gráfic tiepoelocidd, e decir. De 4 el coportiento de l gráfic e inero l nterior cundo t 4, l prtícul uele u poición inicil, pue el áre cuuld bjo l gráfic tiepo-elocidd e cero. De 4 6, l pendiente e contnte, poiti de, por tnto, e trt de un rect. -
6 Cineátic de l prtícul.. celerción en función del tiepo (c/ ) 4. L gráfic de l figur uetr l gnitud de l celerción de un prtícul que e uee obre un eje horizontl dirigido hci l derech, que llreo '. Sbiendo que cundo t, c 4.5 c/, clcule: ) l poición de l prtícul cundo u elocidd e nul; b) u elocidd cundo t u poición cundo t 5. 9 6 t () Reolución L prtícul e uee confore do lee ditint: un de otr de 6. Ecucione del oiiento de 9 t Pue l ordend l origen e 9 l pendiente de l rect e -. d Coo, entonce d dt dt d (9 t) dt d (9 t) dt + 9t.5t C Si t, 4. 5, confore lo dto 4.5 9().5() + C ; C Por tnto 9t.5t d Coo, entonce d dt dt d (9t.5t ) dt d (9t.5t ) dt + 4.5t.5t t C
Cineátic de l prtícul 7 Si t, 4.5().5() () + C C + 4.5t.5t t + Por lo tnto, l ecucione del oiiento durnte lo priero tre egundo on:.5t + 4.5t t +.5t + 9t t + 9 ) Inetigo i en lgún intnte l elocidd e nul.5t + 9t Diidiendo entre -.5: t 6t + 8 Fctorizndo ( t 4)( t ) t 4 t t 4 etá fuer del interlo: en t, en ee intnte u poición e:.5() + 4.5() () + c b) Pr t.5() + 9().5 c
8 Cineátic de l prtícul c) Pr inetigr l poición en t 5, e neceit l ecución del oiiento de 6..5 (l elocidd que lcnzó lo ) Si t,.5() + 4.5() () +.5() + C C 4.5 Por tnto:.5t.5 Pr t 5.5(5).5 ; 4 5 c
Cineátic de l prtícul 9..4 Solucione gráfic 5. Un tren que prte de l etción uent u elocidd uniforeente ht lcnzr lo 6 k/h. prtir de ee intnte coienz frenr, tbién uniforeente, ht detenere en l etción. Si el ije dur einte inuto, cuánto ditn l etcione? (k/h) Reolución Dibujo l gráfic tiepo-elocidd. Coo in e igul / de hor, / e el lor de l bci. 6 / t (h) Pueto que bjo l gráfic. bh (6) ; k dt, entonce e igul l áre
Cineátic de l prtícul..5 celerción en función de l elocidd 6. L celerción de un ión que terriz en un pit 5 / e puede eprer, pr un cierto lpo, coo 4 (), donde i etá en /, reult en /. Deterine el tiepo requerido pr que el ión reduzc u elocidd /. Reolución Coo l celerción etá en función de l elocidd quereo conocer un tiepo, igulo: d dt 4 d dt Seprndo rible 4 d dt d dt 5 t 5 + C Condicione inicile: i t, 5 + C 5 C 5 t + 5 5 5 t 5 Pr 5 t 5 ; t 7.5
Cineátic de l prtícul 7. Clcule l ditnci que requiere el ión del proble nterior pr reducir u elocidd de 5 /. Reolución Prier étodo Prtiendo de l olución de l ecución diferencil del proble 6: 5 t 5 Depejndo e igulndo d/dt 5 t + 5 5 t + 5 d 5 dt t + 5 dt d 5 t + 5 5L( t + 5) + C Hceo cundo t 5L5 + C C 5L5 Por tnto 5L( t + 5) 5L5 5 [ L( t + 5) L5] Por l propiedde de lo logrito t + 5 5L 5 Pr t 7.5.5 5 L 5L.5 5 9
Cineátic de l prtícul Segundo étodo Coo l celerción e función de l elocidd deeo conocer un deplziento, igulo: d d 4 5 d d d d Seprndo rible d d 5 d d 5 L + C 5 Si, 5 5L + C C 5L L L5 5 L + L5 5 5 L 5 5 5L Pr 5 5L 5L.5 9
Cineátic de l prtícul..6 celerción en función de l poición 8. L gnitud de l celerción de un collrín que e deliz obre un brr horizontl e epre, en función de u poición, coo, donde e d en in/ en in. Cundo t, entonce in/ 6 in. Deterine l poición, l elocidd l celerción del collrín cundo t. Reolución Coo l celerción etá epred en función de l d poición, e utitue por d d d Seprndo rible d d + C 8 + C Si 6, De lo dto 8(6) + C 5 5+ C ; C 8 4 4 d Sutituio por dt d dt 4 4 Seprndo rible 4 d 4dt
4 Cineátic de l prtícul 4 4 4 d 4 dt 4t + C Si t, 6 De lo dto 8 8+ C 4 4 4 t 4t ; C 4 t L ecución qued reuelt. Derindo repecto l tiepo 4t t Stifce l ecución originl, que i: 4 t, t, o e, Pr t 8 in 8 in 8 in
Cineátic de l prtícul 5. Moiiento rectilíneo unifore uniforeente celerdo 9. El otor de un utoóil de crrer e cpz de ipriirle, durnte cierto lpo, un celerción contnte de 5. /. Si el utoóil etá inicilente en repoo, dig: ) cuánto tiepo le lle lcnzr un elocidd de k/h; b) qué ditnci requiere pr ello. Reolución Ecucione del oiiento 5. 5. 5. dt 5.t tdt.6t L contnte de integrción on nul, pue cundo t tnto coo on nul. ) k h.6.6 5.t t ; t 6..6(5.) b).6(6.) ; 669
6 Cineátic de l prtícul. Un tren del etro, que ij 6 i/h, eple 5 ft pr detenere, frenndo uniforeente. Cuál e l celerción del tren ientr fren? 6 i/h Reolución 6 i h 88 ft Coo e dee conocer l celerción prtir de l elocidd el deplziento, epleo: d d d d d d Pueto que e contnte, qued fuer de l integrl. + C Elegio coo origen el punto en el que coienz frenr el tren. Si, 88 88 88 + C C ; 88 88 ; Pr 5 88 5.49 5 El igno indic que tiene entido contrrio l de l elocidd: 5.49 ft
Cineátic de l prtícul 7. Un eledor coercil puede, lo á, tnto uentr coo diinuir u elocidd rzón de.5 /. Y l ái elocidd que puede lcnzr e de 4 /in. Clcule el tiepo ínio que neceit pr ubir quince pio, prtiendo del repoo, i cd pio tiene 5. de ltur. Reolución Supongo que el eledor lcnz un elocidd ái l ntiene cierto tiepo t, coo e uetr en l gráfic (/) 7.5.5 t t t t t () 4 4 in 6 7 L pendiente de l rect inclind e.5, que e l rzón de cbio de l elocidd. Por lo tnto de l gráfic por eejnz de triángulo: t.5 7 t t t ; El eledor debe deplzre 5 (5.) 76.5 Tl deplziento e igul l áre del trpecio en l gráfic ( b + ) h ( t + t + 4) 7 4 t + 8 76.5 7 t 6.5 ; t 8. 9 76.5 El tiepo totl e t.9
8 Cineátic de l prtícul.. Moiiento de ri prtícul independiente. Un otociclit rrnc del punto con un celerción contnte.4 ft/ hci l derech. Cutro egundo depué, un utoóil p por el punto, itudo ft de, ijndo hci l izquierd. Sbiendo que l elocidd del utoóil e ft/ contnte, dig en dónde el otociclit encuentr el utoóil. Deprecie el tño de lo ehículo. ft Reolución Tondo coo origen el punto, eligiendo un eje hci l derech tondo coo t el intnte en que rrnc el otociclit, l ecucione del oiiento on: Motociclit ft.4 dt.4t dt.t L contnte de integrción on nul. utoóil Negti, porque el entido e contrrio l del eje elegido. dt t + C Cundo t 4, de lo dto, utituendo (4) + C ; C t +
Cineátic de l prtícul 9 El otociclit encuentr el utoóil i:.t.t + t ± t t 8.6 t t +. + 4(.).4 Sutituendo t en.(8.6) 78. El otociclit encuentr l utoóil 78. ft l derech de. 78. ft
Cineátic de l prtícul.. Moiiento de ri prtícul conectd. El cuerpo e deplz hci bjo con un elocidd de 8 /, l cul uent rzón de 4 /, ientr bj 5 /, que diinue rzón de /. Clcule l gnitud l dirección tnto de l elocidd coo de l celerción del cuerpo C. D C Reolución Velocidd Cuerd que une lo cuerpo D D D C l + D Derindo repecto l tiepo + D ; D () C Cuerd que une con C l l ( ) + ( ) + C D D C D 8 4 5 Derindo repecto l tiepo + C D De () + + C C () Sutituendo: C 5 (8) El igno negtio indic que el entido e contrrio l del eje C
Cineátic de l prtícul celerción Derindo l ecución () repecto l tiepo: C C ( ) (4) C
Cineátic de l prtícul. Moiiento curilíneo.. Coponente crtein 4. Un ión de prueb decribe, ineditente depué de depegr, un trectori cu ecución crtein e 5 () -5. Se uee confore l epreión 5t + 5t, donde t etá en, reult en. Deterine l poición, elocidd celerción del ión cundo t. 5 () -5 Reolución L ecucione de l coponente horizontle del oiiento on: 5t + 5t d dt d dt 5 + t Sutituendo en l ecución de l trectori, e obtienen l ecucione de l coponente erticle 5.7 5 d dt d dt 5 Pr t (5t + 5t 4 5 ) (5 + t)(5t + 5t [(5 + t) + (5t + 5t )] ) 5 + 5 5 5 () En for ectoril: r i + j [ ]
Cineátic de l prtícul Eclrente: r tnθ ; + θ 5.7 r 5. 7 E l poición del ión 5 + () 5 4 (5)() 5 55 /. Vectorilente: 5i + 5 j Eclrente: [ ] 5 tnθ + 5 5 ; 5 θ. 55. E l elocidd del ión 4 [ 5 + () ] 8. 5 Vectorilente: i + 8.5 j [ ] Eclrente:.96 / 9.5 + 8.5 8.5 tnθ ; θ 9.5.96 9. 5 E l celerción del ión cundo t
4 Cineátic de l prtícul 5. L correder e uee dentro de l rnur confore e ele el brzo horizontl, que tiene un elocidd contnte de in/. Clcule l elocidd l celerción de l correder cundo 6 in. Reolución Coo el brzo e uee hci rrib contnte: con elocidd Y, por tnto: dt t θ 6 L relción entre l coordend de l poición etá etblecid por l ecución de l trectori: 6 6 (t) Sutituio por el lor en función de 6 t 6.5t t Derindo repecto l tiepo Con l ecucione del oiientoo l it, podeo reponder l pregunt. Si 6 6.5t t 4 ± ríz negti no tiene ignificdo fíico.
Cineátic de l prtícul 5 Pr t 6 tn 6.7 6 6 () + + θ 6.6 θ 6 6. in 6.7 Pr el io intnte in 6
6 Cineátic de l prtícul.. Coponente intrínec 6. Un locootor coienz oere dede el punto confore l epreión 4t, donde t etá en e l longitud en ft edid obre l í prtir de. El punto e hll 4 ft de u rdio de curtur e de 8 ft. Dig: ) cuál e l elocidd de l locootor en ; b) cuál e u celerción en ; c) cuál, en. Reolución Derindo l epreión de l longitud recorrid repecto l tiepo, obteneo: 4t d 8t dt d t 8 dt ) El tiepo que trd en llegr e: 4 4t t Su elocidd por tnto, tiene un gnitud de: 8 5 5 ft L dirección e perpendiculr l rdio de l cur, pue debe er tngente l trectori. b) Coo el punto etá en un tro recto t 8 ft Su dirección e l de l trectori.
Cineátic de l prtícul 7 c) En el punto l celerción de l locootor tiene tnto coponente tngencil coo norl, porque pertenece un cur: 8 En dirección de l elocidd t n (5) 8 6 ρ 8 Dirigid hci el centro de curtur 8 8 + 8 8.4 6 θ 8 Se θ el ángulo que for con l elocidd 8 tn θ. ; θ 5. 7 8 Repecto l horizontl, por tnto, for un ángulo de: 6 + 5.7 65. 7 8.4 ft 65. 7
8 Cineátic de l prtícul 7. Un utoóil ij por l crreter de l figur uentndo uniforeente u elocidd. P por con un rpidez de 7 k/h lleg 8 k/h, cinco egundo depué. Deterine: ) l celerción del utoóil l pr por ; b) el rdio de curtur de l crreter en l ci, biendo que llí l celerción del ehículo e de 4 /. Reolución n 7 8 k h k h 7.6 8.6 Coo l rpidez uent uniforeente, i.e., l coponente tngencil de l celerciónn e contnte, tnto en coo en : t t t t t 5 ) l pr por n ρ n + t ( ).8 45 b) l pr por n + t ; + n t
Cineátic de l prtícul 9 n n t 4.46 Coo n ; ρ ρ n ρ ; ρ 6.46
Cineátic de l prtícul 8. Un otociclit que corre en un pit circulr de 44 ft de rdio p por 6 i/h; en, ft delnte, u elocidd e de i/h. Sbiendo que el otociclit reduce uniforeente u elocidd, clcule u celerción cundo e encuentr en. 44 Reolución 6 i 88 h i 44 h ft ft Coo l reducción de l rpidez e unifore, l coponente tngencil de l celerción e l i en culquier intnte. Coo e conoce l función de l ditnci recorrid: d t d d d t t d d Por er contnte, t qued fuer de l integrl. t + C Si, 88 Toreo coo origen el punto 88 + C 88 C 88 t 88 t () 44 4.5 88
Cineátic de l prtícul En el punto l coponente norl e: t n 88 7.6 ρ 44 tnθ t + n 4.5 7.6 ; 4.5 θ 9.5º + 7.6.8.8 ft 9.5º n 7.6 θ 4.5
Cineátic de l prtícul 9. Un buque neg con rpidez contnte de 4 nudo. Pr dirigire l puerto ir 9 en un inuto. Deterine l gnitud de l celerción del buque durnte l niobr. Reolución Pueto que l gnitud de l elocidd no rí durnte l niobr: t Por tnto n θ Donde θ e l elocidd ngulr. grdo π θ 9 in 6 deá: rd ill ríti 4 nudo 4 hor 85 4 6 Por tnto: 85 π (4). 6. Y e perpendiculr l elocidd en culquier intnte.
Cineátic de l prtícul.. Coponente crtein e intrínec relciond. L trectori de un cohete interplnetrio tiene l ecución () 5 +.8. L coponente horizontl de u elocidd e contnte de 5 /. Clcule l rzón del cbio de l gnitud de u elocidd con repecto l tiepo, cundo 9. () 5 +.8 Reolución Prier étodo () 5 d d d dt d dt +.8 d d Coo l coponente horizontl de l elocidd e: t θ θ n 5 t 5 5 d dt 5 5 [ 4() +.8] d d d dt 5 [ 4() ] 4.9 d.4 + 8 d L rzón del cbio de gnitud de l elocidd con repecto l tiepo l ide l coponente tngencil de l celerción. d t dt Coo dich coponente tiene l dirección de l elocidd, inetigo ét. tn θ n Pr 9: 54, 5
4 Cineátic de l prtícul 54 tnθ 5 θ.7 θ e el ángulo que for l elocidd con l horizontl, e el io que for l celerción con u coponente norl. Proecto l celerción en el eje tngencil. t 4.9 enθ.97 L gnitud de l elocidd diinue rzón de.97 Segundo étodo e t Ecribiendo en lenguje ectoril i + i + j 5i + 54 j j 4.9 j t Pr proectr l celerción en el eje tngencil, inetigo el producto eclr (o producto punto) de do ectore. t e t En donde et e un ector unitrio en dirección de l elocidd t 54 5 ( 4.9) + 54.97
Cineátic de l prtícul 5. L ecucione prétric de l coordend de l punt de un brzo ecánico on 5t 4t 5 t ; b reultn en ft, i el tiepo etá en. Dig qué longitud tiene el rdio de curtur de l trectori de l punt cundo. Reolución Prier étodo Pr hllr el rdio de curtur, e requiere conocer l gnitud de l coponente norl de l celerción l gnitud de l elocidd. n ρ L ecucione del oiiento on: 5t 4t d dt d dt 5 t d dt d dt 5 8t 8 4t 4 Inetigo en qué intnte 5 t t ± 5
6 Cineátic de l prtícul L ríz negti no tiene ignificdo fíico en ete co. Pr t 5 5 8(5) 5 4(5) 5 ( 5) + ( ) 65 5 α El ánguloα que l elocidd for con l horizontl e: tnα 5 α 5. L celerción en ee io intnte e: β 8 4 8 4 ( 8) + ( 4) 4 [( ) + ( ) ] 4 5 n Y u dirección β repecto l horizontl 4 tn β ; β 6. 6 8 El ángulo que forn entre í l elocidd l celerción e: α β 6. 5 6.6 L proección de l celerción obre el eje norl e: n co 6.5 4 5 co 6.5 4 t
Cineátic de l prtícul 7 Por tnto: ρ n 65 4 ρ 56. ft e n Segundo étodo Utilizndo álgebr ectoril L coponente norl de l celerción e puede obtener proectndo el ector celerción obre un ector unitrio e n en dirección del eje norl, el cul e perpendiculr l elocidd. Se e t un ector unitrio en dirección de l elocidd e e t n n 5.8i +.6 j e n ( 5i j).6i.8 j ( 8i 4 j) (.8i +.6 j) 6.4.4 4 ρ n 65 ρ 56. 4 ft e t
8 Cineátic de l prtícul
9. CINÉTIC DE L PRTÍCUL. Moiiento rectilíneo.. celerción contnte. Un trctor u reolque uentn uniforeente u rpidez de 6 7 k/h en 4. Sbiendo que u peo on, repectiente, ton, clcule l fuerz de trcción que el piento ejerce obre el trctor l coponente horizontl de l fuerz que e ejerce en el engnche entre lo ehículo durnte ee oiiento. Reolución prtir de l inforción del oiiento, inetigo l celerción del ehículo. Coenzreo conirtiendo l elocidde /: 6 7 k h k h 6.6 7.6 d dt Coo el uento de elocidd e unifore: F.5 t 4 Pr conocer l fuerz proble cinético coenzreo: ) dibujndo el digr de cuerpo libre del conjunto; ) eligiendo un ite de referenci. N Epleo continución l ecucione cinétic: F N N
4 Cinétic de l prtícul Pueto que l celerción del ehículo e horizontl, ete reultdo no e útil pr l reolución del proble. F F (.5) 9.8 Coo Pg; entonce P/g Q F 5.6 ton Q Pr conocer l fuerz en el engnche, e puede etudir culquier de lo do cuerpo que l ejercen. Elegireo el reolque. N F Q (.5) 9.8 Q 5. ton Se trt de un tenión Podeo coprobr lo reultdo nlizndo el trctor: Q Q ton Por l tercer le de Newton, l reccione del reolque obre el trctor on igule l reccione del trctor obre el reolque, pero de entido contrrio. F 5.6 Q (.5) 9.8 Q 5.6 (.5) 9.8 N Q 5. ton
Cinétic de l prtícul 4. Lo coeficiente de fricción etátic cinétic entre l llnt de un cionet de doble trcción l pit on.85.65, repectiente. Dig cuál erá l elocidd teóric ái que lcnzrá l cionet en un ditnci de ft, uponiendo uficiente l potenci de u otor. Reolución p Dibujo el digr de cuerpo libre elegio el ite de referenci. Coo deeo conocer l elocidd ái depué de recorrer ciert longitud, e requiere que el utoóil dquier l ái celerción, por tnto, que ejerz l ái fuerz de trcción, que e de fricción en ete co..85 N N F F P N N P P.85N. P.85P..85..85(.) 7.4 Se trt de un celerción contnte, por tnto: d d d ( ) d
4 Cinétic de l prtícul En ete co, ( ) (7.4) 8. ft Se puede conertir i : h ft 8. 8. i 87.4 44 h i h
Cinétic de l prtícul 4. Un niño rroj un piedr de.5 kg de hci rrib, erticlente, con un elocidd inicil de / dede l orill de un edificio de de ltur. Deterine: ) l ltur ái, obre el uelo, que lcnz l piedr; b) l elocidd con que lleg l uelo. Reolución Dibujo l piedr en un digr de cuerpo libre que repreente culquier intnte del oiiento, elegio un ite de referenci. Diponeo de un ecución cinétic: F.5(9.8).5 9.8 E decir, en culquier intnte, ub o bje l piedr, u celerción e l de l gredd e dirige hci el centro de l Tierr. prtir de l celerción, ecribio l ecucione del oiiento de l piedr, refiriéndol l ite de referenci que e uetr en l figur. / 9.8 + dt 9.8 dt 9.8t + dt + ( 9.8t ) dt 9.8 + t t hor podeo contetr l pregunt.
44 Cinétic de l prtícul ) Cundo lcnce l ltur ái u elocidd erá nul. 9.8t t 9.8 Y en ee intnte: 9.8 + 9.8 9.8 44 7 7 + + 9.8 9.8 9.8 7. que e l ltur ái obre el uelo b) Lleg l uelo cundo 9.8 + t t 9.8t 4t 4 L ríce on: t.58 t.8 El tiepo en que lleg l uelo e l ríz poiti l elocidd e: 9.8(.58). El igno negtio indic que u entido e contrrio l entido del eje de l e, elegido rbitrriente..
Cinétic de l prtícul 45 4. Se lnz un cuerpo de 4 kg hci rrib de un plno inclindo con un ángulo de 5º, con un elocidd inicil de /. Si lo coeficiente de fricción etátic cinétic on.5., repectiente, entre el cuerpo el plno, cuánto tiepo eple en oler l punto del que fue lnzdo?, con qué elocidd p por él? 4 kg 5º Reolución Dibujo el digr de cuerpo libre ientr el cuerpo ube, elegio el ite de referenci. Epleo continución l ecucione cinétic: 4(9.8) F N (4)(9.8) co5 N 79 newton. N F.N 4(9.8)en5 77.4 4.4 N El igno negtio indic que l celerción tiene entido contrrio l eje de l equi que el cuerpo e etá deteniendo. Ecribio l ecucione del oiiento: 4.4 + + dt dt 4.4dt 4.4t 4.4 ( 4.4t ) dt t t El tiepo que trd en ubir lo encontro hciendo.
46 Cinétic de l prtícul 4.4t + 4.4t t 4.5 4.4 t 4.5 Pr encontrr l ditnci que recorre el cuerpo en el ceno ht detenere utituio el tiepo hlldo. 4.4 (4.5) (4.5) 45. Hbrá recorrido et ditnci nte de detenere. hor nlizreo l cuerpo prtir de que coienz bjr. Utilizndo un nueo ite de referenci, teneo: 4(9.8) F N (4)(9.8) co5 N 79 L fuerz de fricción tiene hor otro entido.. N N F 4(9.8)en5.N 4 4(9.8)en5.N 4.644 L ecucione del oiiento, en el nueo ite de referenci tondo coo origen el punto en el que el cuerpo e detuo, on:.644 + dt.644 dt.644t.644 + dt (.644t) dt t Vuele l punto de prtid en 45.
Cinétic de l prtícul 47.644 45. t (45.) t.644 t.8 Por tnto, el tiepo que trd en oler l punto de donde fue lnzdo e l u de ete tiepo á el epledo en ubir. t.8 + 4.5 T t T 6.4 L elocidd con l que p por dicho punto l hllo utituendo el tiepo de deceno en l ecución de l elocidd..644(.8) 7.6 5
48 Cinétic de l prtícul 5. Lo peo de lo cuerpo de l figur on, repectiente, lb, lo de l pole de l cuerd, deprecible. Sbiendo que l cuerd e fleible e inetenible que no h ningun fricción en l pole, clcule l celerción del cuerpo l tenión de l cuerd. # # Pole T T Cuerpo T Cuerpo T T Reolución Lo cuerpo etán conectdo con un ol cuerd, de ner que u celerción tiene l i gnitud. L cuerd ufre l i tenión en tod u longitud, pue l pole e de peo deprecible ( l u de oento de l fuerz repecto u eje de rotción tiene que er nul). Un ez dibujdo el digr de cuerpo libre de, elegio un ite de referenci dirigido hci rrib, pue el cuerpo, á ligero que, celerrá uentndo u rpidez hci rrib. F T. T ( + ) (). El ite de referenci pr el digr de cuerpo libre de lo elegio hci bjo pr er conitente con el digr nterior. F T. T ( ) (). Igulndo () () ( + ) ( )..
Cinétic de l prtícul 49 +.. 5. 6.44 5 L celerción de e, por tnto 6.44 ft Y l tenión de l cuerd T 6.44 ( + ) (.). T 4 lb
5 Cinétic de l prtícul 6. Lo cuerpo pen 4 6 kg, repectiente. El coeficiente de fricción etátic entre el cuerpo el plno horizontl e.5, el de fricción cinétic, de.5. Suponiendo deprecible l de l pole culquier reitenci u l oiiento, clcule tnto l tenión de l cuerd que une l pole, coo l celerción de lo cuerpo. Reolución Cuerpo 4 F N N 4 4.5 N N T F 4 T.5N 9.8 4 T.5(4) 9.8 4 T 9.8 4 T + () 9.8 Cuerpo T nlizndo el cuerpo 6 6 T 9.8 6 T 6 () 9.8 Teneo l ecucione con cutro incógnit. 6
Cinétic de l prtícul 5 Etudieo l pole óil. Coo u e deprecible Por tnto F T T T T () T T T Y l curt ecución l obteneo relcionndo l celercione de, edinte l cuerd que conect l pole, cu longitud e contnte. l + Derindo repecto l tiepo + + T Pr reoler el ite de ecucione, ultiplico () por () e igulo con () 4 6 + 6 9.8 9.8 hor, utituio (4): 4 6 + [ ] 6 9.8 9.8 + 9.8 9.8 9.8 () 4.7. T 8.57 kg
5 Cinétic de l prtícul.. celerción rible 7. un cuerpo que repo en un uperficie li e le plic un fuerz F cu gnitud rí con el tiepo, egún e uetr en l gráfic de l figur. Deterine el tiepo que e requiere pr que el cuerpo regree u poición originl. F 6 F(N) 8 t() Reolución P 6 t De cuerdo con l gráfic, l epreión que define l fuerz horizontl e: F 6 t Pue 6 N e l ordend l origen l pendiente e negti de N/. Depué de dibujr el digr de cuerpo libre pr culquier intnte del oiiento elegir el ite de referenci, ecribireo l ecución cinétic. F P 6 t 9.8 d dt Heo utituido por d/dt porque l fuerz etá en función del tiepo. N Pr reoler l ecución diferencil, epro rible e integro. P (6 t) dt d 9.8 P (6 t) dt d 9.8 P 6t t + C 9.8 Pr t,, de donde C
Cinétic de l prtícul 5 P 6t t 9.8 9.8 (6t t ) P Sutituio por d/dt d dt 9.8 (6t t P Seprndo rible e integrndo: 9.8 d (6t t ) dt P 9.8 d (6t t ) dt P 9.8 (8t t ) + C P ) Ecogiendo el origen en el punto de prtid. Si, t C. 9.8 (8t P t ) Et e l ecución que define l poición en función del tiepo. Si uele l punto de prtid, 9.8 (8t P 8t t t Diidiendo entre 8 t t 8 ( ) ) t, pue do ríce on nul: t 4 Que e el tiepo en que uele l punto de prtid.
54 Cinétic de l prtícul 8. Un ebrcción de 966 lb de deplziento neg en gu trnquil 4 nudo cundo u otor ufre un erí. Qued entonce ujet l reitenci del gu que, en lb, e puede eprer coo.9, donde etá en ft/. Dig en cuánto tiepo l rpidez de l ebrcción e reducirá 6 nudo. Reolución F U 966.9.9 966 d.9. dt d.9 dt d.9dt d.9 dt.9t + C Cundo t, 4 nudo Ddo que l reitenci etá epred en el ite inglé, relizo l conerión de nudo ft i r. ft 4 h i.r. 4 ft h 85 4.48 + C (4.5) C (4.5) C 7.4 6 4.5
Cinétic de l prtícul 55 Entonce:.9t + 7.4 Cundo l elocidd de l ebrcción e 6 nudo: Nueente relizo l conerión, utilizndo un regl de tre con el reultdo nterior. 6 4.5 4. ft Entonce:.9t + 7.4..9t 9.6 + 7.4.9t.. t.9 t 4.7
56 Cinétic de l prtícul 9. Un ebrcción de 966 lb de deplziento neg en gu trnquil 4 nudo cundo u otor ufre un erí. Qued entonce ujet l reitenci del gu que, en lb, e puede eprer coo.9, donde etá en ft/. Qué ditnci negrá ht que u elocidd e reduzc 6 nudo? Reolución 966.9 Dibujo un digr de cuerpo libre, que repreente culquier intnte del oiiento, elegio un eje de referenci en dirección de l elocidd. F.9 966. d d Heo utituido por d/d porque l fuerz etá en función de l elocidd quereo conocer un deplziento. U Siplificndo l ecución, teneo: d.9 d Sepro rible d.9d d.9 d.9 L + C Elegio el origen en l poición en que l ebrcción ufre l erí, de odo que Si, 4 nudo L 4 nudo + C C L 4 nudo
Cinétic de l prtícul 57 L ecución qued í:.9 L L 4.9 L ( L 4 nudo) nudo Por l propiedde de lo logrito.9 L 4 nudo L. 4 nudo Voliendo utilizr l propiedde de lo logrito. 4 L nudo L poición de l ebrcción cundo u rpidez e de 6 nudo e:. L 4 nudo 6 nudo L. 4 46 ft Que e tbién l ditnci que neg ht dich poición.
58 Cinétic de l prtícul. Se rroj un pequeñ efer de kg de peo hci rrib, erticlente, con un elocidd inicil de 5 /. En u oiiento eperient un reitenci del ire, que, en kg, e puede coniderr de.4, donde e dé en /. Deterine: ) el tiepo en que lcnz u ltur ái; b) l elocidd con que uele l punto de prtid. Reolución En el digr de cuerpo libre, dibujreo l reitenci del ire en entido poitio, pero igno l gnitud un igno negtio, de odo que i e poiti, l fuerz reult negti iceer. -.4 F.4 g d dt g.4 dt g t.4 Si t, 5 t.. d dt d.4 L(.4 ) + C g L.6 + C g.6 L g.4 t.6 L.g.4 + () Nobro () l ecución nterior que erá utilizd á delnte. Pr
Cinétic de l prtícul 59 t t.g.7 L. De l ecución ().6.gt L.4 + e. gt.6.4 +.4 +.6 e. gt.4 +.6 e.gt.gt 5 + 65 e () d dt 5 + 65 e d 5t. gt.gt ( 5 + 65 e ) Si, t 65.g e.gt dt + C 65 + C.g 65 5t +.g.gt ( e ) Se encuentr el lor de t pr t.8 Sutituendo el tiepo encontrdo en l ecución ().47
6 Cinétic de l prtícul O bien: F.4 g d d 5 d + 5 g d g d d 5 + 5 g + 5 5 5 d d + 5 g d d d 5 5 + 5 g 5L( + 5) + C 5 Si, 5 5 5 L65 + C C 5 + 5 L65 g 65 5 + 5L 5 + 5 Pr : 65 5 + 5L + 5 Reoliendo edinte proicione o con ud de un clculdor progrble, obteneo: 5 (Cundo coienz el oiiento).48.48
Cinétic de l prtícul 6. Un cden de 4 de longitud 8 N de peo repo en el borde de un uperficie rugo, cuo coeficiente de fricción cinétic e.5. Medinte un fuerz contnte de 5 N e jl otr uperficie contigu, li. Clcule l elocidd con que l cden terin de pr copletente l uperficie li. (4-) µ 5 Reolución Dibujo un digr de cuerpo libre de l cden, que repreent un intnte culquier de u oiiento. Un tro de ell e encuentr obre l uperficie rugo otro en l li. Coloco el origen del ite de referenci en l unión de l do uperficie, de odo que el tro obre l uperficie li tiene un longitud. Coo el peo de l cden e de 8 N ide 4, u peo por unidd de longitud e: 8 w N 4 L coponente norle de l uperficie obre l cden tienen l i gnitud que lo peo de u tro repectio. F 8 d 5.5[ (4 ) ] 9.8 d 8 d 5 (4 ) 9.8 d 8 d 5 4 + 9.8 d 8 d + 9.8 d 8 d + 9.8 d
6 Cinétic de l prtícul d Heo utituido por que l fuerz etá en d función de l poición, heo diidido bo iebro entre. Sepro rible e integro. 8 ( + ) d d 9.8 8 ( + ) d d 9.8 + 8 9.8 + C Si, pueto que cundo el etreo derecho de l cden e hll en el punto de unión de l uperficie coienz oere. C + 9.8 4 4 9.8 + L cden terin de pr l uperficie li cundo 4, u elocidd entonce e: 9.8 4 9.8 4 + 4 + 8 5.4
Cinétic de l prtícul 6. Un cuerpo de unido un reorte, cu contnte de rigidez e k, e encuentr en repoo obre un uperficie horizontl li. Se lej el cuerpo un ditnci o de u poición de equilibrio e uelt. Ecrib l ecucione del oiiento del cuerpo en función del tiepo dibuje l gráfic correpondiente. Reolución g En el digr de cuerpo libre, dibujreo l fuerz del reorte en entido poitio, pero igno u gnitud un igno negtio, de for que i e poiti l fuerz reulte negti iceer. -k F k d d N El igno negtio ire pr cbir el entido de l fuerz. Pue i e poiti, e decir, i el cuerpo etá l derech del origen, l fuerz e dirige hci l izquierd; iceer. k + C Cundo ; k C k + C Entonce: k k k + k k ( ) k( )
64 Cinétic de l prtícul k k ( ) k Se p d dt d p dt d pdt d ngen p dt pt + C Si t, ngen C C ( ) 9 ngen pt + 9 plicndo l función eno de bo ldo de l ecución: en( pt + 9 ) co pt co pt Derindo con repecto l tiepo teneo: d ( p en pt) p pt dt en p en pt
Cinétic de l prtícul 65 Derindo nueente con repecto del tiepo encontrreo l celerción. d dt p ( p pt) p co pt co p co pt p L gráfic pr l poición, elocidd celerción on, repectiente: t p t - p p t -p pt
66 Cinétic de l prtícul. Un cuerpo de 6. lb de peo pende de lo tre reorte otrdo en l figur. Se jl el cuerpo hci bjo tre pulgd de u poición de equilibrio e uelt. Se pide: ) Hllr l contnte de rigidez de un reorte equilente lo tre de l figur. b) Deterinr i el oiiento que dquiere el cuerpo e rónico iple o no. c) Dr l plitud, el período l frecuenci del oiiento. d) Clculr l elocidd celerción ái del cuerpo. Reolución ) L contnte de rigidez equilente l de lo do reorte en prlelo e k 6 lb + ft L contnte equilente lo do reorte en erie e: k k + 6 4 + 5 k 4 lb ft 6. 4 6. b) Dibujo el digr de cuerpo libre pr culquier intnte del oiiento elegio coo origen l poición de equilibrio del cuerpo. En dich poición l fuerz del reorte e igul l peo, de 6. lb, de odo que en culquier poición l cción del reorte tiene un gnitud de 4 + 6. F 6. 4 + 6. 6.. 4.5 48 Et ecución e de l for ρ que correponde l oiiento rónico iple, e decir, rectilíneo, cu celerción e proporcionl l poición
Cinétic de l prtícul 67 con repecto l punto de equilibrio e dirige hci él. Por lo tnto, el cuerpo dquiere oiiento rónico iple. c) Coo l plitud e l ditnci ái que l prtícul e lej del origen, in, que e l longitud eñld en el enuncido. Coo ft in.5 ft El periodo T e el tiepo en que el cuerpo d un ocilción coplet: pt π π T p En donde p k 4 6..5. k 4 p 48 4.5 Entonce: π π T 4 T.97 Y l frecuenci, que e el núero de ciclo copleto por unidd de tiepo: p f T π f. Hz
68 Cinétic de l prtícul d) Coo e trt de oiiento rónico iple, l ecucione del oiiento on: p en p co pt pt co pt p que, pr ete co prticulr, on:.5co4t en 4t co4t El lor de l elocidd ái e lcnz cundo en pt, por tnto: p.7 ft L celerción ái correponde l poición etre,. 5 p 48(.5) ft
Cinétic de l prtícul 69. Moiiento curilíneo.. Coponente crtein 4. L correder, de 5 lb de peo, e uee dentro de l rnur confore e ele el brzo horizontl, que tiene un elocidd contnte de in/. Sbiendo que cundo 6 in, u elocidd tiene un pendiente poiti de / u celerción e horizontl de in/ dirigid hci l derech, deterine tod l fuerz etern que ctún obre ell en e poición. Reolución Dibujo el digr de cuerpo libre de l correder. L reccione norle del brzo de l rnur erán lld N N R repectiente, en donde N tendrá l dirección del eje, ientr que N R erá norl l elocidd en el punto. F N N R R 5 5. 5. 5 N R.868 lb F N N 5 N R 5 + N R 5 5 N 5.8 lb
7 Cinétic de l prtícul 5. Dede l orill de un edificio de de ltur, un niño rroj un piedr con un elocidd de 5 /, cu pendiente e de 4/. Sbiendo que l piedr tiene un de.5 kg l reitenci del ire e deprecible, deterine l ltur ái h obre el uelo que lcnz l piedr, l ditnci horizontl R que e lej del edificio l elocidd con que lleg l uelo. Reolución.5 (9.8) El digr de cuerpo libre de l piedr en culquier intnte del oiiento e el que e uetr. Elegio un eje de referenci unilterl hci rrib. F.5(9.8).5 9.8 9.8 Prtiendo de ete dto, elegio un ite de referenci copleto pr plnter l ecucione del oiiento de l piedr. Coponente horizontle 9 + dt + dt 9 dt 9t 5 5
Cinétic de l prtícul 7 Coponente erticle 9.8 4 + ( 9.8) dt 5 9.8 dt 5 9.8t + ( 9.8t ) 9.8 + t t dt lcnz l ltur ái h cundo l coponente erticl de l elocidd e nul. 9.8t t 9.8 Y e ltur e h 9.8 h + 9.8 9.8 44 7 7 + + 9.8 9.8 9.8 h 7. L piedr lleg l uelo en un punto itudo un ditnci R del edificio. E decir, cundo 9.8 + t t L ríce de et ecución on: t.58 t.8 En t. 58, R R 9(.58) R.
7 Cinétic de l prtícul.. Coponente intrínec 6. Un péndulo cónico de 8 kg de peo tiene un cuerd de de longitud, que for un ángulo de º con l erticl. Cuál e l tenión de l cuerd? Cuál e l rpidez linel del péndulo? Reolución 8 kg T F T co 8 T 8 co T 9.4 kg n Fn Ten Ten n ( 9.8) ( 9.8) 8 9.8 8 9.8 ρ en ( ) T en 8 T en 8.68
Cinétic de l prtícul 7 7. Clcule el ángulo de perlte φ que debe tener l cur horizontl de un crreter pr que lo ehículo l trnitr por ell no produzcn fuerz de fricción obre el piento. El rdio de l cur e de ft de 6 i/h l elocidd de dieño. Reolución Conertio l 6 i h ft i 44 ft ft 6 6 88 h Dibujo el digr de cuerpo libre de un ehículo en el que el piento ólo ejerce un fuerz norl. z El ite de referenci requiere que el eje norl e dirij hci el centro de l cur; elegio otro eje perpendiculr él (el eje tngencil e perpendiculr l plno del dibujo). n F z N coθ P P N coθ N θ P F n P Nenθ. ρ n Sutituendo: P P (88) enθ coθ. enθ (88) coθ (88) tnθ θ.5º
74 Cinétic de l prtícul 8. Un cuerpo de 4 kg de e encuentr ujeto por do cuerd, un horizontl (C) otr () de.8 de lrgo, que for un ángulo de º bjo de l horizontl. Deterine l tenión que oportrá l cuerd en el intnte en que e corte l cuerd C. Dig tbién cuál erá l celerción del cuerpo. Reolución Fn T 4(9.8)enθ 4 n T 4(9.8)enθ 4 ρ T 4(9.8)enθ 4.8 n n T 4(9.8)enθ 5 Cundo θ ; t T 4(9.8)en T 4(9.8)en T 9.6 N Ft 4 (9.8) coθ 4 t t Si θ : 4(9.8) co 4 t t 4(9.8) co 4 8.49 t.9 6
Cinétic de l prtícul 75 9. Un péndulo de 4 kg de coienz ocilr cundo u cuerd, de.8 de longitud, for un ángulo de º bjo de l horizontl, coo e uetr en l figur. Cuál erá l ái rpidez que lcnce? Cuál, l tenión correpondiente de l cuerd? Reolución Pueto que l rpidez del péndulo e rible, dibujreo un digr de cuerpo libre que repreente un intnte rbitrrio de u oiiento. Utilizreo un ite de referenci intríneco: el eje norl e dirige hci el centro de l trectori circulr del péndulo; el tngencil tiene l dirección de l elocidd de éte. n F t 4 (9.8) co θ 4 t t L ái rpidez l lcnz cundo, o e, t t 4coθ coθ θ 9 Y pr hllr e rpidez, utituio d 4 (9.8) coθ 4 d θ dθ.8.8 Siplificndo d co θ 9.8 d Se puede relcionr el ánguloθ el rco diferencil d : el ángulo dθ e, coo todo ángulo, l rzón del rco l rdio. d d dθ.8 d.8dθ
76 Cinétic de l prtícul De donde: d co θ 9.8.8dθ Seprndo rible:.8coθ dθ d 9.8.8 coθ dθ d 9.8.8enθ + C 9.8 ( ) Si θ,.8 C De donde.8enθ +.4 9.8 ( ) 9.8 ( ) ( θ ).4 en.8(9.8)().8 F n n T 4(9.8) enθ 4 r Pr θ 9 (enθ ), r. 8.8(9.8) T 4(9.8) + 4.8 T 8(9.8) T 78.5 N
Cinétic de l prtícul 77. Por el punto de l uperficie li otrd en l figur, p un prtícul de con un rpidez o. Dig con qué rpidez llegrá l punto, i l diferenci de niel entre e h. h Reolución Elegio un poición rbitrri de l prtícul, coo l que e uetr en l figur, dibujo el digr de cuerpo libre. Utilizo un ite de referenci intríneco: el eje norl dirigido hci el centro de l cur el tngencil en dirección de l elocidd. Coo no intere conocer l rpidez, epleo l ecución: N F t d g coθ d t θ g coθ d d n g Pr poder integrr, relciono l longitud d con el ánguloθ, coo e e en l figur: dh θ d t dh coθ d dh d coθ Por tnto g g dh d dh d
78 Cinétic de l prtícul gh gh o + gh + o gh Si, e tiene gh Siepre que no h fuerz de fricción.
Cinétic de l prtícul 79. Un niño coloc un cnic en l prte lt de un globo terráqueo. Dig en qué ángulo β l cnic bndon el globo e conierte en proectil. Deprecie tod fricción. Reolución unque l cnic etá originlente en equilibrio, éte e tn inetble que el oiiento e ininente. n N θ g t Dibujreo un digr de cuerpo libre que repreente culquier intnte del oiiento de l cnic obre l uperficie del globo terráqueo. Elegio un ite de referenci intríneco, con el eje norl hci el centro del globo el eje tngencil en dirección de l elocidd. Pueto que l coponente tngencil de l celer- ción ide el cbio de gnitud de l elocidd, que e rible en ete co, coenzreo con l i- guiente ecución. F t d g enθ d t Se puede relcionr el ánguloθ el rco diferencil d, que todo ángulo e ide con l rzón del rco l rdio. d dθ r d rdθ De donde: d g enθ r dθ gr enθ dθ d gr enθ dθ d
8 Cinétic de l prtícul gr coθ + C Coo cundo θ (co θ ) gr () C gr coθ gr gr gr coθ gr( coθ ) Utilizndo l otr ecución cinétic: F n g co θ N r n Cundo l cnic etá punto de eprre del globo, N θ β g co β r Del reultdo nterior: gr( co β ) g co β r gr( co β ) co β gr co β co β co β co β β 48.
Cinétic de l prtícul 8. El ro lio de l figur, cuo rdio e de.5, gir con rpidez ngulr contnte lrededor de un eje erticl. Clcule dich rpidez ngulr, biendo que el collrín, unque puede delizre libreente obre el ro, ntiene fij u poición relti él. Reolución z Dibujo el digr de cuerpo libre del collrín. Coo l trectori que decribe e un circunferenci en el plno horizontl, el eje norl, que e dirige hci el centro de l trectori, e tbién horizontl. n P.5 r N El eje tngencil e perpendiculr l plno del dibujo no prece en el digr. F Z N en P N P F n. P N co θ r 9.8 P. P r θ 9.8. θ r 9.8 n El rdio de l trectori e.5 r.5co.5
8 Cinétic de l prtícul De donde θ (.5 9.8. θ. 9.8.5. θ 6.6 rd )
8. TRJO Y ENERGÍ E IMPULSO Y CNTIDD DE MOVIMIENTO PR L PRTÍCUL. Trbjo energí cinétic. Con un fuerz E de kg, inclind º, e epuj un cuerpo de 5 kg obre un uperficie horizontl, en líne rect, lo lrgo de. Lo coeficiente de fricción etátic cinétic on.., repectiente. Clcule el trbjo que relizn l fuerz E, el peo, l coponente norl de l rección de l uperficie l fricción durnte el oiiento decrito. Reolución E P 5 Medinte el digr de cuerpo libre inetigreo l gnitude de l fuerz cuo trbjo deeo conocer. N F 5 ; N 6 Por tnto Fr.N Fr. N Coo l cutro fuerz on contnte, el trbjo e puede clculr edinte l epreión: U F co N en donde e el ángulo que l fuerz for con el deplziento, que, en ete co, e horizontl hci l derech.
84 Trbjo e ipulo U E co U E 7. kg U P 5 co7 U P U N 5 co9 U N U Fr co8 U Fr kg El trbjo e un eclr que puede er poitio, negtio o nulo.
Trbjo e Ipulo 85. Un fuerz F de 5 N epuj un cuerpo de 4 kg de que repo en un uperficie horizontl. Sbiendo que el cuerpo e deplz en líne rect que lo coeficiente de fricción etátic cinétic entre el cuerpo l uperficie on..5, repectiente, clcule l elocidd del cuerpo cundo e h deplzdo 8. Reolución Inetigreo l gnitude de l fuerz etern que ctún obre el cuerpo de 4 kg. P 4 g F N 4 g ; N 4(9.8) F 5 Por tnto: Fr k N.5(4)9.8 Fr.5 N Fr 98. N Lo trbjo que relizn l fuerz on: U P U N (pue on perpendiculre l deplziento) U U F Fr 5(8) 4 98.(8) 784.8 L fórul del trbjo l energí cinétic etblece que: U T 4 784.8 5 (4) 5.68
86 Trbjo e ipulo. El collrín de l figur, de 4 lb de peo, e uelt dede el punto de l guí li de l figur lleg l punto. Deterine el trbjo que reliz u peo durnte ee oiiento dig con qué rpidez lleg el collrín. 4 ϴ Reolución Prier procediiento t N Dibujreo el digr de cuerpo libre del collrín en un poición culquier de u trectori. El deplziento tiene l dirección del eje tngencil. U P co d 4 ϴ U 4 co d Coo el ángulo, durnte el oiiento, de -9 θ 9, integrreo utituéndolo por el ángulo, que e el copleento de iepre crece. U 8 4 en d t d d.6 N Toreo un deplziento diferencil lo relcionreo con. d d ; d. 6 d.6 U U U 8 4.6 en d.4 co8 co.4 ( ) U 4.8 lb ft
Trbjo e Ipulo 87 Segundo procediiento Coo el trbjo e un fuerz conerti, e decir, el trbjo que reliz e independiente de l trectori que ig el cuerpo, e puede clculr ultiplicndo u gnitud por el cbio de niel de l prtícul (id. Prob. 4) U U P h 4. U 4.8 lb ft
88 Trbjo e ipulo 4. Un prtícul de p por con un rpidez o. Sbiendo que l uperficie e li, deterine, en función de l ltur h, el trbjo del peo l rpidez con que p por el punto. Reolución ϴ g En culquier poición, l únic fuerz que ctún obre l prtícul on el peo un rección norl. Et últi no trbj preciente por er norl l deplziento. e el ángulo que el peo for con el deplziento. U g co d g co d N t con un deplz- En l figur relcionreo iento diferencil. dh ϴ d co U U g gh dh d dh d d g dh Utilizndo l fórul del trbjo l energí cinétic teneo, teneo: U gh T gh gh Si, entonce: gh
Trbjo e Ipulo 89 5. El collrín de 5 kg de peo, e encuentr originlente en repoo en el punto. El reorte l que etá unido tiene un longitud nturl de. un contnte de rigidez k kg/. Clcule el trbjo que reliz l tenión del reorte pr ller l collrín dede ht, l rpidez con que el collrín lleg ete punto. Reolución 5 ϴ Prier procediiento En l figur e uetr el digr de cuerpo libre del collrín en un poición culquier. e l deforción del reorte e rible, coo e rible l dirección. N El trbjo de l tenión del reorte e: U co d co d d ϴ d En l figur e etblece l relción entre d, d. co por tnto U d d d Coo l longitude inicil finl del reorte on.5., u longitud nturl e., l deforcione on....5. U.. d...5 U...8 U 8 kg
9 Trbjo e ipulo Coo l tenión del reorte e l únic fuerz que trbj, eplendo l fórul del trbjo l energí cinétic e tiene: U U 8 T 5 9.8 6(9.8) 5 5.6 Segundo procediiento Si beo que el trbjo que reliz un reorte e: U k entonce 8 k. 5 9.8. 5 9.8 5.6
Trbjo e Ipulo 9 6. El collrín de l figur tiene un peo de lb repo obre el reorte l que etá unido. L contnte de rigidez del reorte e k lb/ft. L clij por l que p l cuerd e li. dich cuerd e le plic un fuerz contnte de lb pr lentr collrín l poición de l brr li. Deterine l rpidez con que el collrín lleg. Reolución Coniderndo el conjunto de lo cuerpo coo un ite, l fuerz etern que trbjn on l fuerz F, el peo del collrín l fuerz del reorte. Clculreo el trbjo que reliz cd un de ell. Fuerz contnte F de lb El tro de cuerd que e hll originlente entre l pole el collrín ide ft. l finl, el tro e reduce 5 ft. Por tnto, el deplziento de l fuerz e de 8 ft. U F F 8 6 lb ft 5 Peo del collrín Coo el deplziento del collrín tiene el entido contrrio del peo, el trbjo que reliz e negtio. U P P h lb ft Fuerz del reorte Coo el collrín repo inicilente obre el reorte, lo defor un longitud tl que ; o e. 5 ft. l finl, el reorte etrá etirdo un longitud.5.5 ft. k U K k.5. 5
9 Trbjo e ipulo U K lb ft Eplendo l fórul del trbjo l energí cinétic: U T 6 6... ft
Trbjo e Ipulo 9. Trbjo, energí cinétic energí potencil 7. Un copetidor de nowbord de 7 kg de peo, e dej cer dede el punto de l uperficie eicilíndric que e uetr en l figur. Deprecindo el tño del copetidor tod fricción, dig cuál e l energí potencil gritcionl que pierde el copetidor l llegr l fondo con qué rpidez lleg e poición. Reolución El copetidor pierde energí potencil gritcionl, pueto que el punto etá á bjo que. 7 (9.8) n Vg Vg Vg P h 7 9.8 75 N 4 747 L únic fuerz que ctún durnte el oiiento on el peo l rección norl. Se produce un intercbio entre l energí cinétic l potencil gritcionl. N t T Vg 7 747 7 P h 747 8.86
94 Trbjo e ipulo 8. El crrito de 5 lb de un juego de feri p por el punto con un rpidez de ft/. Sbiendo que l ltur h e de ft el rdio del bucle e de ft, clcule l rpidez con que el crrito p por l ci del bucle circulr de l í, l fuerz que ét ejerce obre quél en dich poición. Clcule tbién cuál debe er l íni ltur h l que debe oltre pr que el crrito lcnce l enciond ci. Reolución N Utilizreo l fórul de l conerción de l energí pr clculr l rpidez con que el crrito p por. T Vg P h t obero que h e negti de -() 5 5. 5 n 4 44 644 Dibujo el digr de cuerpo libre del crrito l pr por elegio un ite de referenci intríneco. t 5 F 5 N n N 5 n 5. 5. 44 n N lb Pr clculr l ltur h íni de l que debe oltre el crrito pr que recorr el bucle copleto,
Trbjo e Ipulo 95 dibujreo el digr de cuerpo libre clculreo l rpidez con que debe pr por. F n n 5 5. Con l fórul de l conerción de l energí, tondo en cuent que h h 5. 5 h T h Vg 5 P h 5 h h 5 ft
96 Trbjo e ipulo 9. Lo cuerpo de l figur etán inicilente en repoo. L de on 5 kg, repectiente, ientr que l de l pole e deprecible. Clcule l rpidez de lo cuerpo cundo e hn deplzdo.5 l tenión de l cuerd. Reolución Entre l poición inicil l finl h cbio tnto de l energí cinétic coo de l energí potencil del ite, en el cul e incluen lo do cuerpo, l pole l cuerd. L rpidece de on igule. T T T T 5.5 Vg Vg Vg 7.5 g g 4.5.5 h 4.5 h 49.5 5 7.58 9.8.5 5 9.8.5 5 7.5 49.5 7.58 g.4 Pr deterinr l tenión de l cuerd, podeo ilr culquier de lo cuerpo. Elegio el cuerpo. dibujo u digr de cuerpo libre.
Trbjo e Ipulo 97 U T Vg T T.5.4 T.4 98. g h 9.8.5 T T 7.7 N Podeo coprobr llendo lo reultdo l cuerpo. 5 g U T T 7.7.5 58.86 58.86 Vg 4.7 58.86 5 g.4 7.58 h 5 9.8.5 Lo cul confir que el reultdo e correcto.
98 Trbjo e ipulo. L guí li de l figur etá contenid en un plno erticl. El collrín de lb etá originlente en repoo en e uee. El reorte tiene un longitud nturl de ft un contnte de rigidez k 5 lb/ft. Clcule el cbio de energí potencil elátic que ufre el reorte l rpidez con que el collrín lleg l punto. Reolución Pr clculr el cbio de energí potencil del reorte, neceito conocer u deforcione inicil finl. 6 4 Por tnto: Ve Ve k 5 4 5 5 Ve 75 lb ft El igno negtio indic que hubo un pérdid de energí potencil elátic entre l prier poición l egund. Pr inetigr l rpidez con que el collrín lleg, eplereo l fórul de l conerción de l energí, pue ningun fuerz no conerti ctú en el ite. T Vg Ve P h 75