MÉTODOS GENERALES DE ANÁLISIS DE REDES. Capítulo 4

apítulo 4 MÉTODOS GENERALES DE ANÁLISIS DE REDES Hasta el momento hemos desarrollado el marco teórco de la Teoría de Redes. onocemos cómo plantear las ecuacones de equlbro, y tambén cómo plantear ecuacones lnealmente ndependentes, debdas a la nterconexón. Además conocemos dferentes conjuntos de varables ndependentes y sus relacones. S planteáramos las ecuacones lnealmente ndependentes, asocadas al modelo de una red, obtendríamos un sstema de e ecuacones en e ncógntas, sendo e el número de componentes de dos termnales que tene la red. Un sstema de elevado número de ecuacones suele ser complejo de resolver por métodos convenconales. Por esta razón, tradconalmente se han empleado dversos procedmentos para plantear sstemas reducdos de ecuacones; todos ellos basados en elmnar sstemátcamente algunas de las varables, medante el apropado uso de las ecuacones lnealmente ndependentes. Los métodos apuntan a obtener un sstema de ecuacones, en el cual las ncógntas sea alguno de los conjuntos de varables ndependentes. Luego de resolver el sstema y tener expresado, en funcón de los datos, los valores de las varables ndependentes, pueden obtenerse las solucones para el resto de las varables de la red. Se entende por datos de la red: los valores de las componentes y las funcones temporales asocadas a las fuentes. En general, se obtenen sstemas de ecuacones ntegro-dferencales no lneales. En el caso de redes lneales, el sstema puede ser convertdo a un sstema algebraco de ecuacones medante la aplcacón de la transformada de Laplace. Resulta convenente expresar los sstemas de ecuacones en forma matrcal. S se tene el sguente sstema de ecuacones:

Teoría de Redes Eléctrcas ax by c dx cy f (4.) Empleando notacón matrcal, (4.) puede representarse, en forma equvalente, medante: a b x c c d y f (4.) Para smplfcar la notacón, evtando escrbr ntegrales y dervadas se puede emplear el operador dferencal D, el cual se defne, medante: t a x d ad x ( ) ( ) dx b bd( x) dt (4.3) El operador D debe premultplcar a la funcón. 4.. Método nodal Su objetvo es plantear un sstema de ecuacones en térmnos de los voltajes de nodo a terra. Se escoge un nodo como referenca y se dentfcan las varables voltajes de nodo a terra. Se plantean LK en los nodos. Quedan (v-) ecuacones, en funcón de las correntes de elementos. Se aplcan las ecuacones de equlbro, para elmnar las correntes, de esta forma quedan (v- ) ecuacones en térmnos de los voltajes de elementos. Se expresan los voltajes de los elementos en funcón de los voltajes de nodo a terra, quedan (v-) ecuacones en funcón de los (v-) voltajes de nodo a terra. Empleando la notacón matrcal desarrollada en el capítulo 3, podemos formular matemátcamente el método nodal recén descrto. Se tenen las sguentes ecuacones: LK en nodos: A (4.a) Ecuacones de equlbro, expresando las correntes en térmnos de los voltajes: G v j (4.b)

apítulo 4. Métodos generales de análss de redes. 3 Se consdera un vector de exctacones j para especfcar las relacones de equlbro de las fuentes ndependentes de corrente. LVK expresando los voltajes en funcón de los voltajes de nodos: t v A v (4.c) n S se reemplazan las ecuacones de equlbro (4.b) en las ecuacones LK en nodos (4.a), resulta: A G v A j (4.d) Reemplazando (4.c) en (4.d) se obtene fnalmente un sstema de (v-) ecuacones en térmnos de (v-) ncógntas. t A G A vn A j (4.e) Ejemplo 4.. Aplcar método nodal a la red de la Fgura 4.. Para la red de la Fgura 4., se tenen ecuacones en ncógntas: los 6 voltajes y las 6 correntes de los elementos. Aplcando el método nodal, se logra un sstema de tres ecuacones en tres ncógntas: los voltajes de nodos. g A R L R 5 3 R 4 D Fgura 4.. Método nodal. Solucón:

4 Teoría de Redes Eléctrcas Se escoge D como nodo de referenca, se dentfcan las varables voltajes de nodos: va, v, v, como se lustra en la Fgura 4.. 6 A v A 5 v 3 4 v Fgura 4.. Identfcacón de voltajes de nodos. LK en nodos: A: 5 6 : 4 6 : 3 (4.4) Quedan tres ecuacones, en funcón de las 6 correntes de los elementos. Aplcando ecuacones de equlbro, se elmnan las correntes en (4.4), resultando: G L 5 5 v G v g t v( ) d G4 v4 g t L 3 - v v( ) d 3 G dv dt (4.5) Quedan tres ecuacones en funcón de 5 voltajes. Nótese que las fuentes de corrente se consderan datos; además no es posble expresar la corrente de una fuente ndependente en térmnos del voltaje del elemento. Aplcando LVK, se expresan los voltajes de los elementos en funcón de los voltajes de nodo a terra:

apítulo 4. Métodos generales de análss de redes. 5 v v v 3 4 5 A v v v v v v v v v A Elmnando los voltajes de los elementos en el sstema anteror (4.5), medante (4.6), quedan tres ecuacones en térmnos de los voltajes de nodos. (4.6) G ( v v ) G ( v ) A 5 A t (( v( ) v ( )) d G4( v) g L t dv G( va v ) (( v( ) v ( )) d 3 L dt g - (4.7) Usando el operador dferencal defndo en (4.3), se obtene: G ( v v ) G ( v ) L A 5 A D ( v( t) v ( t) ) G4( v) L -G ( va v) D ( v( t) v( t) ) 3D( v) g g (4.8) Fnalmente se emplea notacón de matrces para representar el sstema de ecuacones (4.8), resultando: G G G v 5 G ( L D) ( L D) v 4 G ( L D) G ( L D) D v 3 A g g (4.9) S en la red de la Fgura 4. exstera una fuente de tensón, no es posble elmnar la corrente a través de ésta, empleando la ecuacón de equlbro de la fuente de tensón. En este caso la corrente en la fuente de tensón será una nueva ncógnta; pero tendremos una ecuacón adconal: la relacón LVK de la fuente de tensón en térmnos de los voltajes de nodo a terra. Ésta últma se denomna ecuacón de restrccón. ases algorítmcas de los programas que analzan redes eléctrcas El método nodal ha sdo tradconalmente empleado para obtener la solucón de una red eléctrca medante algortmos computaconales.

6 Teoría de Redes Eléctrcas Se descrbe la topología de la red empleando una lsta de los elementos, a partr de la cual pueden obtenerse la matrz de ncdenca nodal A y las matrces asocadas a las ecuacones de equlbro. La lsta de los elementos se defne especfcando el nombre del elemento medante convenos, s es resstenca el nombre comenza con R, s es nductor el nombre comenza con L, s es condensador el nombre comenza con, s es fuente de corrente el nombre comenza con I, y s es fuente de tensón el nombre comenza con E. Luego se colocan los nodos, el prmer nodo ndca que de ese nodo sale la corrente en el elemento; el segundo ndca que a ese nodo llega la corrente del elemento. A contnuacón puede especfcarse el valor de la componente. Para la red de la Fgura 4. con las dreccones de referenca de la fgura 4., se tene, la sguente lsta de elementos, que descrbe completamente la red: R L 3 R4 R5 A D D D A A g (4.9a) Las ecuacones (4.9a) se denomnan netlst, en nglés, y permten dbujar el esquemátco o dagrama de la red. De la lsta (4.9a) puede obtenerse, medante un algortmo, la matrz de ncdenca A. Las columnas representan los elementos, en orden,, 3, 4, 5, y 6; los renglones los nodos, en orden A,,. Para cada columna asocada a un elemento, se coloca +, en el renglón asocado al prmer nodo, y - en el renglón asocado al segundo nodo. El nodo, D en este caso, usado como referenca no ntervene en la matrz. A (4.9b) A partr de (4.9a) puede obtenerse como una matrz dagonal la relacón (4.b) que representa las ecuacones de equlbro:

apítulo 4. Métodos generales de análss de redes. 7 G G D L D 3 G G 4 5 j g (4.9c) Reemplazando (4.9b) y (4.9c) en (4.e) se obtene (4.9), lo cual puede comprobarse efectuando las operacones con matrces. La Ecuacón (4.e) puede escrbrse, sacando nversa, según: v ( t n A G A ) A j (4.9d) Entonces la solucón de la red se logra programando la ejecucón de las operacones matrcales en (4.9d), donde prevamente se han calculado las matrces A, G y j, a partr de la lsta de los elementos (4.9a), que debe ngresarse como dato. La aplcacón SPIE analza las redes de esta forma. El sguente programa Maple, calcula (4.9d) a partr de las matrces A, G y j: > restart: wth(lnearalgebra): > A := Matrx(3,6,[[,,,,-, ], [,,,,,-],[ -, -,,,, ]]): G:=Matrx(6,6,[[G,,,,, ], [, /(L*s),,,, ],[,, 3*s,,, ], [,,, G4,, ], [,,,, G5, ],[,,,,, ] ]): J := Vector(6, [,,,,, g]): D:=MatrxMatrxMultply(MatrxMatrxMultply(A, G), Transpose(A)): V:=MatrxVectorMultply(MatrxInverse(D), MatrxVectorMultply(A, -J)): collect(smplfy(v[]), s); 4.. Método de mallas Sólo puede aplcarse s la red es plana, y su objetvo es plantear un sstema de ecuacones en las varables ndependentes correntes de mallas. Se dentfcan las varables correntes de mallas. Se plantean LVK en las mallas. Quedan (e-v+) ecuacones en funcón de los voltajes de los elementos. Se elmnan los voltajes de los elementos, usando las ecuacones de equlbro, quedando (ev+) ecuacones en térmnos de las correntes de los elementos. Se expresan las correntes de los elementos en funcón de las correntes de mallas.

8 Teoría de Redes Eléctrcas Quedan (e-v+) ecuacones en funcón de las (e-v+) correntes de mallas. Empleando la notacón matrcal desarrollada en el capítulo 3, podemos formular matemátcamente el método de las mallas. Se tenen las sguentes ecuacones: LVK en mallas: M v (4.a) Ecuacones de equlbro, expresando los voltajes en térmnos de las correntes: v R e (4.b) Se consdera un vector e, para especfcar las ecuacones de equlbro de las fuentes ndependentes de voltaje. LK expresando las correntes en funcón de las correntes de mallas: t M (4.c) m S se reemplazan las ecuacones de equlbro (4.b) en las ecuacones LVK en mallas (4.a), resulta: M R M e (4.d) Reemplazando (4.c) en (4.d) se obtene fnalmente un sstema de (e-v+) ecuacones en térmnos de (e-v+) ncógntas. t M R M m M e (4.e) Ejemplo 4.. Aplcar el método de las mallas a la red de la Fgura 4.3.

apítulo 4. Métodos generales de análss de redes. 9 e G A R 4 L 5 R 3 R 6 D Fgura 4.3. Método de mallas. Solucón. Se dentfcan y se elgen sentdos de recorrdos para las correntes de mallas a, b, c. a 4 5 3 c b 6 Aplcando LVK en mallas, resultan: Fgura 4.4. Identfcacón de correntes de mallas. a : v v v 4 5 b : v v v 5 6 c : v v v 3 4 (4.) Medante las ecuacones de equlbro se elmnan los voltajes de los elementos en (4.), quedando un sstema de ecuacones en térmnos de las correntes de los elementos:

Teoría de Redes Eléctrcas e g R 4 4 L 5 D 5 ( ( D) D) L 5 R D 3 3 5 R R 4 4 6 6 (4.) Los voltajes de las fuentes ndependentes de tensón se consderan datos. Empleando LK, se expresan las correntes de los elementos en funcón de las correntes de mallas: 3 4 5 a b c a b c c (4.) 6 b Reemplazando las correntes de los elementos en (4.) por las correntes de mallas, según (4.), resulta fnalmente: R L D L D R e 4 5 5 4 5 6 5 4 3 4 L D R L D ( D) ( D) R ( D) R R ( D) a b c g (4.3) S en la red de la Fgura 4.3 exstera una fuente de corrente, no es posble elmnar el voltaje de ésta, empleando la ecuacón de equlbro de la fuente de corrente. En este caso la tensón en la fuente de corrente será una nueva ncógnta; pero tendremos una ecuacón de restrccón adconal: la relacón LK de la fuente en térmnos de las correntes de mallas. La matrz resulta smétrca, para redes formadas por resstencas, condensadores, nductores y fuentes. 4.3. Método de los conjuntos de corte fundamentales Voltajes de ramas Se desea plantear un sstema de ecuacones en térmnos de las varables ndependentes voltajes de ramas. Se escoge un árbol y se dentfcan los voltajes de ramas. Se plantean LK en ccf. Quedan (v-) ecuacones en funcón de las correntes de los elementos. Se aplcan las ecuacones de equlbro para elmnar las correntes. Quedan (v-) ecuacones en térmnos de los voltajes de elementos.

apítulo 4. Métodos generales de análss de redes. Se elmnan los voltajes de cuerda, empleando LVK en crcutos fundamentales. Quedan (v- ) ecuacones en térmnos de los voltajes de ramas. Empleando la notacón matrcal desarrollada en el capítulo 3, podemos formular matemátcamente el método de los conjuntos de corte fundamentales. Se tenen las sguentes ecuacones: LK expresando las correntes de ramas en funcón de las correntes de cuerdas: r Qc (4.3a) c Ecuacones de equlbro, expresando las correntes en térmnos de los voltajes: r Gr vr j r c Gc vc j c (4.3b) Se consderan vectores de exctacón para representar las ecuacones de equlbro de las fuentes de corrente. En caso de tener fuentes de voltaje, las ecuacones de equlbro para éstas son ecuacones de restrccón, y se agregan como ncógntas las correntes de las fuentes de voltaje. LVK expresando los voltajes de cuerdas en funcón de los voltajes de ramas: t vc Qc v (4.3c) r S se reemplazan las ecuacones de equlbro (4.3b) en las ecuacones LK (4.3a), resulta: Gr vr jr Qc Gc vc Qc j (4.3d) c Reemplazando (4.3c) en (4.3d) se obtene: t Gr vr jr Qc Gc Qc vr Qc j (4.3e) c Agrupando los térmnos de (4.3e) se obtene fnalmente un sstema de (v-) ecuacones en térmnos de (v-) ncógntas. t Gr Qc Gc Qc vr jr Qc j c (4.3f) Ejemplo 4.3. Aplcar método de conjuntos de corte a la red de la Fgura 4.5.

Teoría de Redes Eléctrcas G A R L R 5 3 R 4 D Fgura 4.5. Método de conjuntos de corte. Solucón. Se elge árbol = {,, 3} y se dentfcan las varables ndependentes: los voltajes en las ramas: v, v, v 3. 6 ccf A ccf 5 3 4 ccf3 LK en conjuntos de corte fundamentales. Fgura 4.6. Identfcacón de voltajes en ramas. ccf : 5 6 ccf : 4 6 ccf : 3 3 4 5 (4.4) Elmnando las correntes en (4.4) medante las ecuacones de equlbro, se obtene:

apítulo 4. Métodos generales de análss de redes. 3 G v G v 5 5 4 4 ( L D) v G v Dv G v G v 3 3 4 4 5 5 g g (4.5) Aplcando LVK en crcutos fundamentales, se expresan los voltajes en las cuerdas, medante los voltajes de ramas: v v v 4 3 v v v 5 3 v v v 6 (4.6) Elmnando los voltajes de las cuerdas, en (4.5) medante (4.6), resulta fnalmente: G G G v 5 5 4 ( ) 4 G L D G v G G G G D v 5 4 4 5 3 3 g g (4.7) S en la red de la Fgura 4.5 un elemento fuera una fuente de tensón, se agrega como ncógnta la corrente en la fuente de tensón; y al msmo tempo se agrega una ecuacón de restrccón: la relacón LVK entre el voltaje de la fuente y los voltajes de ramas. 4.4. Método de los crcutos fundamentales orrentes de cuerdas Se desea plantear un sstema de ecuacones en térmnos de las varables ndependentes correntes de cuerdas. Se escoge un árbol y se dentfcan las correntes de cuerdas. Se plantean LVK en crcutos fundamentales, quedan (e-v+) ecuacones en térmnos de los voltajes de elementos. Se aplcan ecuacones de equlbro, elmnando los voltajes, quedan (e-v+) ecuacones en térmnos de las correntes de elementos. Se elmnan las correntes de ramas aplcando LK en conjuntos de corte fundamentales, quedan (e-v+) ecuacones en térmnos de las correntes de cuerdas. Este método puede aplcarse a redes no planas. Empleando la notacón matrcal desarrollada en el capítulo 3, podemos formular matemátcamente el método de los crcutos fundamentales. Se tenen las sguentes ecuacones:

4 Teoría de Redes Eléctrcas LVK expresando los voltajes de cuerdas en funcón de los voltajes de ramas: vc r v (4.4a) r Ecuacones de equlbro, expresando los voltajes en térmnos de las correntes: vr Rr r e r vc Rc c e c (4.4b) Se consderan vectores de exctacón para representar las ecuacones de equlbro de las fuentes de voltaje. En caso de tener fuentes de corrente, las ecuacones de equlbro para éstas son ecuacones de restrccón, y se agregan como ncógntas los voltajes de las fuentes de corrente. LK expresando las correntes de ramas en funcón de las correntes de cuerdas: t r r (4.4c) c S se reemplazan las ecuacones de equlbro (4.4b) en las ecuacones LVK (4.4a), resulta: Rc c ec r Rr r r e (4.4d) r Reemplazando (4.4c) en (4.4d) se obtene: t Rc c ec r Rr r c r e (4.4e) r Agrupando los térmnos de (4.4e) se obtene fnalmente un sstema de (e-v+) ecuacones en térmnos de (e-v+) ncógntas. t Rc r Rr r c ec r e r (4.4f) Ejemplo 4.4. Aplcar método de crcutos fundamentales a la red de la Fgura 4.7. La red se conoce como puente de Wheatstone, y se emplea en medcones eléctrcas.

apítulo 4. Métodos generales de análss de redes. 5 R R + V - e G R 3 R4 R 5 Fgura 4.7. Método de los crcutos fundamentales. Solucón: Se elge árbol = {4, 5, 6}, y se dentfcan las correntes de cuerdas,, 3. 6 3 4 5 LVK en crcutos fundamentales: Fgura 4.8. orrentes de cuerdas,, 3. cf : v v v 4 6 cf : v v v 5 6 cf : v v v 3 3 4 5 (4.8) Se elmnan los voltajes de los elementos, medante las ecuacones de equlbro, resulta: R R R 3 3 R 4 4 R 5 5 R 4 4 e g e g R 5 5 (4.9) Medante LK en conjuntos de corte fundamentales, se expresan las correntes de ramas en térmnos de las correntes en las cuerdas:

6 Teoría de Redes Eléctrcas ccf : 6 6 ccf : 5 5 3 ccf : 4 4 3 (4.) Elmnando las correntes de ramas en (4.9), medante (4.), resulta fnalmente: R R R e 4 4 R R R e 5 5 R R R R R 4 5 3 4 5 3 g g (4.) S en la red de la Fgura 4.7 un elemento fuera una fuente de corrente, se agrega como ncógnta la tensón de la fuente de corrente; y al msmo tempo se agrega una ecuacón de restrccón: la relacón LK entre la corrente de la fuente y las correntes de cuerdas. S se calcula 3, ya sea nvrtendo la matrz o aplcando el método de ramer, resulta: eg ( R4R R R5 ) 3 R RR3 R RR4 RR R5 RR 3R5 RR 4R5 RR3 R4 RR4 R5 R3R4 R5 Para tener 3 = se requere: R (4.) R5 RR4 La relacón (4.) se conoce como condcón de puente equlbrado. La red anteror se utlza para medr una resstenca desconocda medante el equlbro de los brazos del puente. El puente está consttudo por cuatro resstencas que forman un crcuto cerrado, sendo la resstenca R 5 la que se desea medr. La resstenca R 3, se reemplaza por un galvanómetro, que puede medr con precsón cuando es cero la corrente en esa rama. R, R 4 son resstencas de valores conocdos y precsos, además la resstenca R es ajustable, y su valor puede leerse en una escala graduada. Se varía R hasta que la corrente en el galvanómetro sea cero, y medante la condcón de equlbro del puente, puede calcularse la resstenca que se desea medr. 4.5. Método mxto Pueden escogerse como varables ndependentes, las correntes de cuerdas y los voltajes de ramas. Debdo a que las ncógntas son correntes y voltajes se denomna mxto a este método. Se elge un árbol. Se dentfcan las varables ndependentes.

apítulo 4. Métodos generales de análss de redes. 7 Se plantea LVK en crcutos fundamentales, expresando los voltajes de cuerdas en funcón de los voltajes de ramas. Se escrben las ecuacones LK en conjuntos de corte fundamentales, expresando las correntes de ramas en funcón de las correntes de cuerdas. Se elmnan los voltajes de cuerdas, empleando las ecuacones de equlbro para éstas. Se elmnan las correntes de ramas, empleando las ecuacones de equlbro, y expresándolas en térmnos de los voltajes de ramas. Empleando la notacón matrcal desarrollada en el capítulo 3, podemos formular matemátcamente el método mxto. Se tenen las sguentes ecuacones: LVK expresando los voltajes de cuerdas en funcón de los voltajes de ramas: vc r v (4.5a) r Ecuacones de equlbro, expresando los voltajes en térmnos de las correntes: r Gr vr j r vc Rc c e c (4.5b) En esta stuacón convene defnr las fuentes de tensón como cuerdas y las fuentes de corrente como ramas. Se calculan como parte de las ncógntas las tensones en las fuentes de corrente y las correntes en las fuentes de tensón. LK expresando las correntes de ramas en funcón de las correntes de cuerdas: r Qc (4.5c) c S se reemplazan las ecuacones de equlbro (4.5b) en las ecuacones LVK (4.5a) y (4.5c) resulta: Rc c r vr e c Qc c Gr vr j r (4.5d) Expresando matrcalmente (4.5d) se obtene fnalmente un sstema de e ecuacones en térmnos de e ncógntas. G Q v j r c r r R e r c c c (4.5e)

8 Teoría de Redes Eléctrcas Se puede flexblzar además la eleccón de las fuentes. S se camba la defncón de las ecuacones de equlbro (3.5b) pueden escogerse como cuerdas las fuentes de corrente y como ramas las fuentes de tensón. c Gc vc j c vr Rr r e r (4.5f) S se reemplazan las ecuacones de equlbro (4.5f) en las ecuacones LVK (4.5a) y (4.5c) resulta: Q G v Q j r c c c c c v R e c r r r r r (4.5g) La forma del sstema (4.5g) favorece la elmnacón de r o v c. Ejemplo 4.5. Para la red de la Fgura 4.9, nteresa calcular los voltajes y correntes en los elementos, asumendo que se conocen los valores de R, R y R3; y las formas de ondas de e4, j5 y e6. R A R R 3 j 5 e 4 e 6 D Fgura 4.9. Método mxto. Solucón. S se elge el árbol: {, 4, 6}, las cuerdas resultan: {, 3, 5} Se dentfcan correntes en las cuerdas y los voltajes de las ramas.

apítulo 4. Métodos generales de análss de redes. 9 R A R v 3 R 3 4 5 j e 5 4 e 6 6 v 4 v 6 Ecuacones de nterconexón: LVK en crcutos fundamentales: Fgura 4.. Varables ndependentes. v v4 v6, v3 v v4 v6, v5 v v (4.3) 4 LK en conjuntos de corte fundamentales: D 3 5, 4 3 5, 6 (4.4) 3 Ecuacones de equlbro: v R, v R, v R 3 3 3 v e, j, v e 4 4 5 5 6 6 (4.5) Análss del sstema: Se tenen ecuacones lnealmente ndependentes, y las varables ndependentes son: v, v, v,,,. 4 6 3 5 Una vez obtenda la solucón para este conjunto de varables ndependentes; es decr, los valores de esas varables en térmnos de los datos, se podrá conocer la solucón para las doce varables de la red. La eleccón del árbol se ha realzado de tal modo que el máxmo de las varables ndependentes anterores puedan conocerse fáclmente. Por esta razón se han elegdo como ramas a las fuentes ndependentes de voltaje; y como cuerdas a las fuentes de corrente.

Teoría de Redes Eléctrcas Puede decrse que las ecuacones de equlbro de las fuentes: v4 e4, 5 j5, v6 e 6 son ecuacones de restrccón, ya que restrngen el número de varables ndependentes. Nótese que v4, v6, 5 dejan de ser varables ndependentes, y aparecen como nuevas ncógntas: 4, 6, v 5. Elmnacón de las ecuacones de equlbro: S se reemplazan las ecuacones de equlbro en las ecuacones de nterconexón, de tal forma de dejar solamente en funcón de las varables ndependentes, resultan dos conjuntos de ecuacones: El prmero en térmnos voltajes de ramas y correntes de cuerdas que no son fuentes: R e e 4 6 R v e e v R 3 3 4 6 j 3 5 (4.6) El segundo, que expresa las varables ndependentes asocadas a las fuentes, en térmnos de las ncógntas de (4.6). v v e 5 4 j 4 3 5 6 3 (4.7) La eleccón del árbol lleva naturalmente a expresar, en forma smple, las varables desconocdas asocadas a las fuentes, y permte reducr el sstema formado por ecuacones a uno de tres. El que puede expresarse matrcalmente, según: R e e 4 6 R e e 3 3 4 6 R v j 5 (4.8) Ejemplo 4.6. Pueden resolverse sstemas de ecuacones, empleando procesadores matemátcos. Se lustra el uso de Maple.

apítulo 4. Métodos generales de análss de redes. El sguente programa, permte resolver el sstema, en forma smbólca, en térmnos de los datos: > restart; >eceq:={v=r*, =v/r, v3=r3*3, v4=e4, 5=j5, v6=e6}; lvk:={v=v4-v6, v3=-v+v4-v6, v5=-v+v4}; lck:={=3+5, 4=--3-5, 6=+3}; ec:=eval(lvk, eceq); ec:=eval(lck, eceq); solve(ec unon ec,{, 3, v, v5, 4, 6}); Se defnen tres conjuntos de ecuacones, empleando notacón de conjuntos: eceq, lvk y lck. Se emplea el comando eval, para nterceptar las ecuacones de equlbro, con las de nterconexón, generado dos nuevos conjuntos de ecuacones, ec y ec. Medante el comando solve, el sstema de ecuacones formado por la unón de ec y ec es resuelto para el conjunto de ncógntas, que es el segundo argumento del comando. Nótese que en las ecuacones de equlbro se plantea las varables que se desea elmnar a la zquerda. De este modo el comando eval efectúa la elmnacón. Se obtenen: 3 v v5 4 6 e4 e6 R j5 R e6 e4 R3 R R ( R3 j5 e6 e4) R3 R R3 j5 R e4 R3 e6 R R3 R R e6 R e4 e4 R3 e4 R e6 R3 e6 R R j5 R3 R ( R3 R ) R j5 R R e6 R e4 e4 R3 e4 R e6 R3 e6 R R ( R3 R ) La solucón anteror está basada en el método mxto. (4.9) Otra alternatva de solucón, es obtener la solucón para las doce varables, planteando las doce ecuacones: >ecs:={v=r*, v=r*, v3=r3*3, v4=e4, 5=j5, v6=e6, v=v4-v6, v3=-v+v4-v6, v5=-v+v4, =3+5, 4=--3-5, 6=+3}; vars:={v, v, v3, v4, v5, v6,,, 3, 4, 5, 6}; solve(ecs, vars);

Teoría de Redes Eléctrcas Lo que produce: v4 e4, 5 j5, v6 e6, v e4 e6, 6 R e6 R e4 R R j5 R3 e4 R3 e6 R e4 R e6, R ( R R3 ) 3 e6 e4 R j5 R e6 R3 e4 R3 R j5 v5 R R3 R R3 v3 R3 ( e6 e4 R j5), R R3 4 R e6 R e4 R3 e4 R3 e6 R e4 R e6 R j5 R3, R ( R R3 ) e6 e4 R3 j5 R ( e6 e4 R3 j5) e4 e6, v, R R3 R R3 R El problema de redes consste en plantear un sstema consstente de ecuacones lnealmente ndependentes. La solucón del sstema es un asunto algebraco, que un procesador matemátco puede resolver mejor y sn cometer errores. Ejemplo 4.7. Para la red de la Fgura 4. se plantearon LVK en crcutos fundamentales y LK en conjuntos de corte fundamentales. Podemos estudar la relacón entre estos conjuntos de ecuacones, planteando la matrz de ncdencas de los conjuntos de corte en los elementos, en la cual podemos dentfcar la submatrz Qc, que es la que relacona los dos conjuntos de ecuacones. Q 4 6 3 5 ccf - - ccf4 ccf6 - - (4.3) Medante matrces, las ecuacones LK, pueden plantearse: A partr de la cual se obtenen las ecuacones LK: r Qc (4.3) c

apítulo 4. Métodos generales de análss de redes. 3 4 3 6 5 La relacón (4.3) es la expresón matrcal de (4.4). (4.3) De las relacones: se desprende que las ecuacones LVK, pueden plantearse: vc r v (4.33) r t Q (4.34) r c v Q v c c r t (4.35) A partr de la cual se obtenen las ecuacones LVK: v v v 3 4 v v v 5 6 (4.36) La relacón (4.36) es la expresón matrcal de (4.3). Observando (4.3) y (4.35), debe notarse que sólo es precso conocer Qc para plantear las ecuacones lnealmente dependentes de nterconexón. S se hubera planteado la matrz de ncdencas de los crcutos fundamentales en los elementos, podemos reconocer en (4.37) la submatrz r, que tambén relacona las ecuacones LVK y LK: 4 6 3 5 cf - cf3 - cf5 - (4.37) Usando la submatrz r, LVK puede expresarse: De las relacones: vc r v (4.38) r

4 Teoría de Redes Eléctrcas Se desprende que las ecuacones LK, pueden plantearse: r Qc (4.39) c t Q (4.4) c r r r c t (4.4) Obtenendo las msmas ecuacones que en el caso anteror, pero ahora basados en conocer r. Observamos que de la matrz puede determnarse Q y vceversa. Tambén notamos que s plantean las ecuacones LVK y LK, pueden obtenerse las matrces Q y. 4.6. Método de varables de estado En general, en una red los voltajes en los condensadores y las correntes en los nductores consttuyen las varables de estado. S se conocen los valores de las varables de estado, en determnado nstante, resulta sencllo calcular la energía almacenada en la red en dcho nstante. S se tene un crcuto formado solamente por condensadores y fuentes ndependentes de tensón, uno de los voltajes de los condensadores puede expresarse como combnacón lneal de los voltajes de los otros condensadores y no forma parte de las varables de estado. Stuacón smlar ocurre s se tene un conjunto de corte fundamental formado solamente por nductores y fuentes de corrente ndependentes. El método consste en plantear un sstema de ecuacones dferencales de prmer orden en térmnos de las varables de estado. En un curso de Sstemas Lneales se justfcan las ventajas conceptuales y computaconales de esta formulacón. Este método es un caso partcular del método mxto vsto en 4.5. Se escoge un árbol que contenga todas las fuentes de tensón ndependentes y los condensadores y nngún nductor n fuente ndependente de corrente. Se dentfcan las varables de estado. LK en conjuntos de corte fundamentales asocados a los condensadores. Usando la ecuacón de equlbro de los condensadores.

apítulo 4. Métodos generales de análss de redes. 5 Plantear LVK en crcutos fundamentales asocados a los nductores, usando las ecuacones de equlbro de los nductores. Elmnar varables resstvas, medante las relacones de equlbro de las resstencas. S es necesaro se emplean: LK para conjuntos de corte fundamentales asocados a ramas resstvas. LVK para crcutos fundamentales asocados a cuerdas resstvas. Después del últmo paso se han expresado las varables resstvas en funcón de las varables de estado. Ejemplo 4.8. Aplcar método de varables de estado a la red de la Fgura 4.. A R L 5 L 6 D e G R 3 Fgura 4.. Método de varables de estado. Solucón. En la Fgura 4. se ha dbujado el grafo asocado a la Fgura 4.. A 6 D 5 E 4 3 E Fgura 4.. Identfcacón de varables de estado. Para cumplr con los requermentos para escoger el árbol, los elementos y 4 deben elegrse como ramas, y los elementos 5 y 6, como cuerdas. Lo cual nos conduce a que y 3 deben ser ramas. Entonces se tene el árbol: {,, 3, 4}. Las varables de estado son: v, 5, 6.

6 Teoría de Redes Eléctrcas Planteando LK en ramas capactvas: (4.4) 5 6 Aplcando la ecuacón de equlbro del condensador, resulta: Dv (4.43) 5 6 Se plantea LVK en cuerdas nductvas: v v e v 5 g v v v 6 3 Aplcando ecuacones de equlbro de los nductores, se obtene: L D v e v 5 5 g L D v v 6 6 3 (4.44) (4.45) Ecuacones de equlbro resstvas: v v R R 3 3 3 (4.46) LK en ramas resstvas: 5 3 6 (4.47) En este ejemplo no se tenen cuerdas resstvas. Expresando las varables resstvas en funcón de las varables de estado, se obtenen: v R 5 v3 R36 Empleando estas ecuacones para elmnar las varables resstvas, se obtene: (4.48) v v d dt L L L R e g 5 5 5 5 5 6 6 R3 L L 6 6 (4.49)

apítulo 4. Métodos generales de análss de redes. 7 Defnendo el vector X, para las varables de estado: v X 5 6 (4.5) El sstema anteror toma la forma general: X AX (4.5) Donde: A es la matrz de estado y el vector de exctacones. 4.7. Redes de transstores Se reemplaza cada transstor por su modelo equvalente de red, de acuerdo al modo de funconamento. Veremos que puede aplcarse el método de las mallas con modfcacones. Se emplea el sguente símbolo para representar a un transstor: E Fgura 4.3. Símbolo para un transstor. 4.7.. Modelos de redes Se suele estudar un transstor funconando en alguno de los sguentes modos: Modo lneal Las curvas smplfcadas del transstor, en modo lneal, son:

8 Teoría de Redes Eléctrcas b h fe b,7 v E v E Fgura 4.4. urvas en modo lneal. El modelo de redes del transstor en modo lneal, se muestra en la Fgura 4.5, y emplea una fuente de corrente controlada por corrente. v E,7 h fe b E b E v E Fgura 4.5. Modelo de redes en modo lneal. Para operar en modo lneal, deben cumplrse: v E,7 y v,7 (4.5) Modo transstor en corte En modo corte las correntes de emsor y colector deben ser nulas: E = e c =. v E,7 b v E E E Para operar en modo corte, debe cumplrse: Fgura 4.6. Modelo de redes en modo corte.

apítulo 4. Métodos generales de análss de redes. 9 v,7, e (4.53) E Modo transstor en saturacón S el transstor está saturado, las curvas smplfcadas son: E b c /r,7 v E v E V SAT Fgura 4.7. urvas en modo saturado. El modelo de redes en modo saturacón: r v E,7 V sat b E Fgura 4.8. Modelo en modo saturado. Está en saturacón s: es menor que sat h y ve,7 (4.54) fe b c csat /r V SAT v E Fgura 4.9. Umbral saturacón.

3 Teoría de Redes Eléctrcas 4.7.. Ejemplos Ejemplo 4.9. Plantear ecuacones para la red de la Fgura 4.. Vcc R R E V b R E Fgura 4.. Transstor en modo lneal. Prmero asumremos que el transstor está en modo lneal. Se reemplaza el transstor por su modelo, y se obtene la Fgura 4.. R v E Vcc R,7 h fe E V b R E Fgura 4.. Red equvalente de la Fgura 4.. La aplcacón convenconal del método de las mallas, tendría como ncógntas a e. Pero la corrente de colector, depende de ; y además, no es posble expresar el voltaje en la fuente controlada de corrente en funcón de las correntes de mallas. Por esta razón se emplea como ncógnta a v E, en lugar de. Para la malla de la base resulta: Para la del colector: Vb R,7 RE E (4.55)

apítulo 4. Métodos generales de análss de redes. 3 ve REE R V (4.56) Además de la ecuacón de equlbro de la fuente de corrente controlada por corrente: h (4.57) fe Resultan: E ( hfe) (4.58) V,7 (4.59) b R R ( h ) E fe ve V R hfe RE ( hfe) (4.6) Luego asummos que el transstor está saturado. Reemplazando en la Fgura 4., el modelo de la Fgura 4.8, se obtene la Fgura 4.: v E R r Vcc R,7 V sat E V b R E Fgura 4.. Transstor saturado. Aplcando mallas, con ncógntas e, resultan: ( R RE ) RE V b,7 RE ( RE R r) V V sat Una vez calculado, debe resultar menor que fe efectvamente saturado. (4.6) hpara que el transstor esté

3 Teoría de Redes Eléctrcas Ejemplo 4.. Obtener la característca de transferenca v o /v para la sguente red: Vcc R R R 3 V E V o Fgura 4.3. Red con transstor. on: I E = [ma] para V E =,7 [V] h fe = = 5 V ESAT =, [V] V = [V] R = [k ]; R = [k ]; R 3 = [k ] (4.6) Se determna la transferenca en modo lneal y luego se lmta con las zonas de saturacón y corte. En saturacón: En corte: Resulta entonces: V v, (4.63) o E, (4.64) E o V V (4.65) Planteando las ecuacones para las correntes de mallas que crculan por las resstencas y, y aplcando LK en la base, se obtene la sguente red:

apítulo 4. Métodos generales de análss de redes. 33 Vcc R 3 R b v b E V o Fgura 4.4. Red equvalente de Fgura 4.3. on: V b 5 Rb R R k 3 RV RV V R R (4.66) Usando las ecuacones obtendas para la Fgura 4., con R E =, resultan: b V b,7 R V v V R h o E 3 fe b b (4.67) Reemplazando (4.66) en (4.67); y luego elmnando b, se obtene en forma numérca: V 5V 9 (4.68) o Que es la ecuacón de una recta. Podemos dbujarla medante dos puntos. El prmer punto, en saturacón: Puede calcularse, ya que de (4.6) se conoce que el mínmo valor de V o es,, con el transstor saturado. Reemplazando este valor en la ecuacón anteror, resulta:, 9 (4.69) V s,77 5

34 Teoría de Redes Eléctrcas El segundo punto, en corte, puede determnarse ya que se conoce que el máxmo valor de V o es V, cuando el transstor está en corte. Para este caso, resulta: V 9 5,6 (4.7) Gráfcamente: v o V V Esat -,6 -,77 v Fgura 4.5. aracterístca de transferenca. on: h (4.7) fe Empleando (4.7) en (4.67), se obtene: ve V R3 (4.7) Que permte calcular la corrente de colector en corte y saturacón: S, 9,8 ma (4.73) Ejemplo 4.. Se tene la sguente red con dos transstores, los cuales se dcen que están conectados como un espejo de correntes:

apítulo 4. Métodos generales de análss de redes. 35 V cc R T T Fgura 4.6. Espejo de corrente. Se obtene la sguente red equvalente, asumendo modo de operacón lneal: I I R V cc h fe I,7 h fe I,7 I I Fgura 4.7. Red equvalente de la Fgura 4.6. Por LVK, resulta que: V V. (4.74) E E onsderando la característca no lneal base-emsor del transstor: v E Fgura 4.8. aracterístca exponencal en la base. S los transstores son guales, puede conclurse que: I (4.75) Aplcando LK, se obtenen: I

36 Teoría de Redes Eléctrcas I h I ( I I ) ( h ) I I h I fe, fe fe (4.76) on hfe, se obtene de (4.76) que: I I (4.77) Razón por la cual se denomna espejo de corrente a la red de la Fgura 4.6. Aplcando LVK, se logra: I V V R E (4.78)

apítulo 4. Métodos generales de análss de redes. 37 Problemas resueltos Problema 4. Para la red de la Fgura P4., emplear la dentfcacón para las varables según el dagrama de la derecha, de tal forma que el producto de las varables asocadas a un elemento, sea la potenca que ngresa a esa componente. 4 R 4 E L 6 R 3 k 4 3 5 Fgura P4. a) Determnar las ecuacones de nterconexón, aplcando el método mxto. b) Introducr las ecuacones de equlbro, aplcando el método de las varables de estado. c) Escrbr el sstema de ecuacones dferencales de prmer orden. Solucón. a) Para árbol = {,, 3} se expresan los voltajes de cuerdas en funcón de los voltajes de ramas; y las correntes de ramas en funcón de las correntes de cuerdas: (), (), (3) (4), (5), (6) v4 v v, v5 v v3, v6 v v v3 4 6, 4 5 6, 3 5 6 De estas ses ecuacones, no consderamos las dos que permten determnar el voltaje en la fuente de corrente () y la que determna la corrente a través de la fuente de tensón (4). b) Ecuacones de equlbro: Ecuacones de restrccón: v e, 5 k 4 Voltajes de cuerdas en funcón correntes de cuerdas: v4 R4 4 v6 D L 6 orrentes de ramas en funcón de voltajes de ramas:

38 Teoría de Redes Eléctrcas v3 D v 3 R3 Reemplazando estas ecuacones en (), (3), (5), (6), resultan respectvamente: R44 e v DL6 e v v3 Dv 4 k4 6 v3 R3 k4 6 c) Elmnando las varables 4 y v3, de la prmera y cuarta ecuacones anterores, se obtenen: 4 v e R4 v3 R3( k4 6) k( v e) R3( R4 6) Y reemplazando éstas en la segunda y tercera ecuacón, para dejar en funcón de v e 6, se obtene el sstema de ecuacones dferencales de prmer orden: Problema 4. dv ( k) ( k) v 6 e dt R4 R4 d6 R3k R3k L R36 ( ) v ( ) e dt R4 R4 Determnar el sstema de ecuacones dferencales de prmer orden que descrbe la conducta dnámca de la red.

apítulo 4. Métodos generales de análss de redes. 39 L M v 4 A R v 5 v k 6 4 3 v 6 e v 3 v L D Fgura P4. Expresar el resultado según el método de las varables de estado, especfcando el valor de los elementos de las matrces A, y. a a a 3 t v 3 b b b 3 v 3 c a a a 3 t b b b 3 c a 3 a 3 a 33 b 3 b 3 b 33 c 3 t Solucón. Se defnen adconalmente las varables v4 e 6. Se escoge el árbol formado por la fuente de tensón, el condensador y la fuente controlada por corrente. Quedan como cuerdas los nductores acoplados y la resstenca. Ecuacones LK: 4, 3, 6 Ecuacones LVK: v5 v4 v3, v v3 v6, v v3 v6 v 4 Ecuacones de equlbro: Dv, v L D MD, v L D MD 3 3 v R, v e, k 5 4 6 Reemplazando, las ecuacones de equlbro en LK, resultan:, Dv, k 4 3 Reemplazando, las ecuacones de equlbro en LVK, resultan:

4 Teoría de Redes Eléctrcas R e v3, LD MD v3 v6, L D MD v3 v6 e Ses ecuacones en 6 ncógntas:, 4, v6, v3,, Deben elmnarse, 4, v6para lograr tres ecuacones en las ncógntas v3,,. Elmnando las varables y v 6, resultan: ( ) 4, Dv3 ( )( ) k k R( ) e v3, L D MD LD MD e k Resultando 4 ecuacones en las ncógntas 4, v3,, ; las últmas tres ecuacones permten plantear la solucón pedda, ya que sólo dependen de v3,, : L M L M t v 3 t t k k k k R R k k v 3 e e Solucón en Maple: > restart; >ecequlbro:={3=*s*v3,v=l*s*-m*s*, v=-l*s*+m*s*,v5=r*,v4=e,6=k*}; datos:={=, R=, L=, L=, M=.9, k=}: Planteamos LK ndependentes en los ccf, dejando la corrente de rama en funcón de las correntes de cuerdas. > lck:={4=--, 3=-+, 6=-+}; Planteamos (e-v +) ecuacones LVK en cf, dejando los voltajes de cuerda en funcón de los voltajes de ramas. > lvk:={v5=v4-v3, v=v3-v6, v=v3-v6-v4}; Substtuímos las ecuacones de equlbro en los dos conjuntos anterores. > ec:=subs(ecequlbro, lck); > ec:=subs(ecequlbro, lvk); > ecs:=ec unon ec: Elmnando las varables, 4 y v6, resultan: > sol:=elmnate(ecs, {, 4, v6}); Donde el últmo conjunto son las ecuacones peddas.

apítulo 4. Métodos generales de análss de redes. 4 Problema 4.3 Para la red dentfcar las varables, nodos y mallas como se ndca en la Fgura P4.3 a la derecha. Las correntes en los elementos apuntan en la dreccón donde se encuentra la polardad negatva del voltaje. h 5 A j R gv 4 k R 4 A 6 m3 m m 3 4 D D Fgura P4.3 S escoge un árbol, debe ndcar su eleccón e ndvdualzar las ramas y las cuerdas. 4. a) Obtener un sstema consstente de ecuacones en las varables:, e b) Determnar v 5, v 6 e 3, en funcón de:, e 4. Solucón. Ecuacones de equlbro: v R, v k, v3 gv4, v4 R44, 5 h, 6 j () LVK en mallas: LK en nodos: v v v 6 v v v 3 4 v v v 5 3 5 6 6 4 4 3 5 () (3)

4 Teoría de Redes Eléctrcas La estratega consste en elmnar medante las ecuacones de equlbro a las varables: v, v, v 3, v 4, 5 e 6, en () y (3). () en (): () en (3): v6 R k (4.) gr k R (4.) 4 4 4 4 v R gr (4.3) 5 4 4 h j (5.) j (5.) 4 h (5.3) 4 3 (5.) (5.) (4.) forman el sstema peddo: h j k R gr 4 4 4 j (a) (4.) (4.3) (5.3) representan a v 5, v 6 e 3, en funcón de:, e 4. v R k 6 v R gr 5 4 h 3 4 (b) La solucón de (a): Problema 4.4 4 j R4 ( h h g g ) R4 g R4 k h j ( R4 g R4 k) R4 g R4 k h j k ( h ) R4 g R4 k h Determnar las ecuacones de estado para red de la Fgura P4.3. Las polardades deben defnrse tal que el voltaje por la corrente sea la potenca que ngresa a la componente.

apítulo 4. Métodos generales de análss de redes. 43 4 j(t) 5 R 3 3 R 4 6 L v e(t) Fgura P4.3 Solucón. Árbol = {,4, 6} LVK en cuerda nductva + Ec. Eq Inductanca y fuente de tensón: d dt L v e t 4 ( ) () LK en rama capactva +Ec eq. ondensador y fuente de corrente: dv dt j 3 () Se requere expresar v4 e 3 en funcón de las varables de estado. Para lo cual dsponemos de las sguentes ecuacones: LVK en cuerda resstva: LK en rama resstva: Ec. Eq. Resstencas: Empleando (5) en (3) y (4), para elmnar v3 e 4, se obtenen: v3 v v4 e (3) 4 j 3 (4) v3 R33 v4 R4 (5) 4 R33 v v4 e v4 j 3 R 4 (6) Resolvendo el sstema (6) para 3 y v4:

44 Teoría de Redes Eléctrcas 3 v 4 v e R4 ( j ) R R 3 4 R4 ( v e R3 ( j)) R R 3 4 (7) Reemplazando (7) en () y (): dv v R4 e R4 j dt R R R R R R 3 4 3 4 3 4 d R4v R3R4 R4e R4R3 j L e dt R R R R R R 3 4 3 4 3 4 j (8) Fnalmente, expresando en forma matrcal: dv dt - R 4 v - R 3 L d R R - -R R R R R R R dt 3 4 3 4 3 4 3 3 4 e j (9)

apítulo 4. Métodos generales de análss de redes. 45 Ejerccos propuestos Ejercco 4.. Para la red de la Fgura E4.: A L e 4 R v j 3 v 3 D E Fgura E4. Determnar un sstema de ecuacones dferencales de prmer orden en las varables:, v y v 3. Ejercco 4.. Para la red de la Fgura E4.: A e R 3 v j R D E Determnar ecuacón dferencal para v(t). Ejercco 4.3. Fgura E4. Para la red de la Fgura E4.3 obtener las ecuacones de la red medante los métodos de: mallas, nodal, conjuntos de corte fundamentales y crcutos fundamentales. omparar cómo se tratan los tpos de fuentes dependendo del método.

46 Teoría de Redes Eléctrcas R A R v 3 R 3 4 5 j e 5 4 e 6 6 v 4 v 6 D Fgura E4.3

apítulo 4. Métodos generales de análss de redes. 47 Índce general APÍTULO 4... MÉTODOS GENERALES DE... ANÁLISIS DE REDES... 4.. MÉTODO NODAL... Ejemplo 4..... 3 ases algorítmcas de los programas que analzan redes eléctrcas... 5 4.. MÉTODO DE MALLAS... 7 Ejemplo 4..... 8 4.3. MÉTODO DE LOS ONJUNTOS DE ORTE FUNDAMENTALES... Ejemplo 4.3.... 4.4. MÉTODO DE LOS IRUITOS FUNDAMENTALES... 3 Ejemplo 4.4.... 4 4.5. MÉTODO MIXTO... 6 Ejemplo 4.5.... 8 Ejemplo 4.6.... Ejemplo 4.7.... 4.6. MÉTODO DE VARIALES DE ESTADO... 4 Ejemplo 4.8.... 5 4.7. REDES DE TRANSISTORES... 7 4.7.. Modelos de redes... 7 Modo lneal... 7 Modo transstor en corte... 8 Modo transstor en saturacón... 9 4.7.. Ejemplos... 3 Ejemplo 4.9.... 3 Ejemplo 4..... 3 Ejemplo 4..... 34 PROLEMAS RESUELTOS... 37 Problema 4.... 37 Problema 4.... 38 Problema 4.3... 4 Problema 4.4... 4 EJERIIOS PROPUESTOS... 45 Ejercco 4..... 45 Ejercco 4..... 45 Ejercco 4.3.... 45 ÍNDIE GENERAL... 47

48 Teoría de Redes Eléctrcas Índce de fguras. Fgura 4.. Método nodal.... 3 Fgura 4.. Identfcacón de voltajes de nodos.... 4 Fgura 4.3. Método de mallas.... 9 Fgura 4.4. Identfcacón de correntes de mallas.... 9 Fgura 4.5. Método de conjuntos de corte.... Fgura 4.6. Identfcacón de voltajes en ramas.... Fgura 4.7. Método de los crcutos fundamentales.... 5 Fgura 4.8. orrentes de cuerdas,, 3.... 5 Fgura 4.9. Método mxto.... 8 Fgura 4.. Varables ndependentes.... 9 Fgura 4.. Método de varables de estado.... 5 Fgura 4.. Identfcacón de varables de estado.... 5 Fgura 4.3. Símbolo para un transstor.... 7 Fgura 4.4. urvas en modo lneal.... 8 Fgura 4.5. Modelo de redes en modo lneal.... 8 Fgura 4.6. Modelo de redes en modo corte.... 8 Fgura 4.7. urvas en modo saturado.... 9 Fgura 4.8. Modelo en modo saturado.... 9 Fgura 4.9. Umbral saturacón.... 9 Fgura 4.. Transstor en modo lneal.... 3 Fgura 4.. Red equvalente de la Fgura 4..... 3 Fgura 4.. Transstor saturado.... 3 Fgura 4.3. Red con transstor.... 3 Fgura 4.4. Red equvalente de Fgura 4.3.... 33 Fgura 4.5. aracterístca de transferenca.... 34 Fgura 4.6. Espejo de corrente.... 35 Fgura 4.7. Red equvalente de la Fgura 4.6.... 35 Fgura 4.8. aracterístca exponencal en la base.... 35 Fgura P4.... 37 Fgura P4.... 39 Fgura P4.3... 4 Fgura P4.3... 43 Fgura E4.... 45 Fgura E4.... 45 Fgura E4.3... 46