ÁLGEBR Educgui.com DETERMINNTES Determinnte es l expresión numéric de un mtriz. Según el orden de l mtriz el determinnte se resuelve de distints forms: DETERMINNTE DE SEGUNDO ORDEN Pr poder solucionr un determinnte de segundo orden vmos plicr l siguiente regl: El producto de los elementos de l digonl principl menos el producto de los elementos de l digonl secundri. Ejemplo: ( ) ( ) DETERMINNTE DE TERCER ORDEN Pr poder solucionr un determinnte de tercer orden vmos plicr l siguiente regl: El producto de los elementos de l digonl principl ( ) ms l prlel por el de enfrente ( ) ms l otr prlel por el de enfrente ( ) menos l digonl secundri ( ) menos l prlel por el de enfrente ( ) menos l otr prlel por el de enfrente ( ). l resolución del determinnte por este método se le llm Regl de Srrus DETERMINNTES Pilr Folguers Russell
ÁLGEBR Educgui.com DETRMINNTES DE ORDEN SUPERIOR Ddo que el método de Srrus solmente nos permite clculr determinntes de orden dos o tres, tendremos que utilizr otro método pr solucionr los determinntes de orden superior tres. El método utilizdo es hcer djuntos, pr ello vmos tomr un líne (fil o column) sobre l que vmos desrrollr los djuntos. Tommos cd elemento de l líne y eliminmos l fil y column correspondientes ese elemento. Y nos qued un determinnte de un orden inferior. En dicho método hy que tener en cuent el lugr que ocup cd elemento pr poner el signo que le corresponde por estr ocupndo un lugr pr o un lugr impr. Ejemplo: Vmos hcer djuntos de l primer column, c Como se puede ver se redujeron los órdenes de los determinntes un grdo que podemos desrrollr por Srrus. Pr evitr hcer tntos determinntes vmos scr ceros en l primer column y después plicremos los djuntos de es líne: Como todos los elementos de l líne son ceros l multiplicr los ceros por el determinnte resultnte de eliminr l fil y l column correspondiente, nos d cero, por lo tnto no lo ponemos. De est form hciendo muchs menos operciones conseguimos el mismo resultdo. DETERMINNTES Pilr Folguers Russell
ÁLGEBR Educgui.com PROPIEDDES DE LOS DETERMINNTES ) Si todos los elementos de un líne se descomponen en dos sumndos, su determinnte es igul l sum de los determinntes que se consiguen l seprr esos sumndos, mnteniendo ls otrs línes igul. ) Si se multiplicn todos los elementos de un líne por un número el determinnte qued multiplicdo por dicho número. ) El determinnte del producto de dos mtrices es igul l producto de los determinntes de cd un de ells. B B ) Si cmbimos dos línes de orden el determinnte cmbi de signo. DETERMINNTES Pilr Folguers Russell
ÁLGEBR Educgui.com DETERMINNTES Pilr Folguers Russell ) Si un mtriz tiene un líne con ceros, su determinnte vle cero. ) Si un mtriz tiene dos línes igules su determinnte vle cero ) Si un mtriz tiene dos línes proporcionles su determinnte vle cero. ) Si en un mtriz un líne es combinción linel de ls otrs su determinnte vle cero. ) Si un líne de un mtriz se le sum otr prlel su determinnte no vrí. ) Si un líne de un mtriz se le sum otr líne multiplicd por un número su determinnte no vrí.
ÁLGEBR Educgui.com CLCULO DE DETERMINNTES POR EL MÉTODO DE GUSS Pr resolver un determinnte por Guss bst con digonlizr el determinnte, es decir, conseguir que todos los elementos de l digonl principl hci bjo sen nulos; de est form el resultdo del determinnte será el producto de todos los elementos de l digonl principl. Ejemplo: ( ) RNGO DE UN MTRIZ POR DETERMINNTES Pr clculr el rngo de un mtriz por medio de determinntes bst con clculr el myor menor no nulo, es decir, el determinnte cudrdo más grnde posible que se distinto de cero. Imginemos que tenemos un mtriz cudrd de orden cutro, pr mirr su rngo por determinntes cogerímos el determinnte más grnde posible cudrdo, en este cso el de orden cutro, si nos d distinto de cero sbremos que el rngo de l mtriz es cutro. Supongmos hor que nos hubier ddo igul cero, probrímos entonces con culquier de los múltiples determinntes que se pueden encontrr dentro de l mtriz y que son de orden tres, si encontrmos uno que se distinto de cero, el rngo de l mtriz es tres, si fuern todos los de orden tres igules cero probrímos con los de orden dos y sí sucesivmente. Ejemplo: En este cso el determinnte cudrdo más grnde que podemos conseguir es de orden tres, por tnto, probmos con los posibles determinntes de orden tres que podemos conseguir, como comprobmos que son igules cero buscmos los de orden dos, encontrmos uno distinto de cero, por tnto, el rngo de l mtriz es dos. DETERMINNTES Pilr Folguers Russell
ÁLGEBR Educgui.com CÁLCULO DE L MTRIZ INVERS POR DETERMINNTES Pr clculr l mtriz invers por medio de determinntes hcemos: ( ) dj t Que signific tod est expresión? Pues muy sencillo: Signific que l mtriz invers es igul l mtriz djunt de l mtriz trspuest prtido del determinnte de l mtriz. Pr sber hcer todos estos psos vmos verlo con un ejemplo. ( ) dj t t Vmos explicr los psos: Comprobmos que el determinnte de l mtriz es distinto de cero, porque en cso contrrio, no tendrá invers. Clculmos l mtriz trspuest, pr ello cmbimos ls fils por ls columns. Clculmos hor l mtriz djunt de l mtriz trspuest que hbímos clculdo. Pr hcer l mtriz djunt vmos clculr los djuntos de cd uno de los elementos de l mtriz trspuest teniendo en cuent el signo correspondiente l lugr que ocup. Recuerd que un djunto se clcul eliminndo l fil y l column correspondientes l elemento que estemos trtndo. Finlmente dividimos l mtriz djunt clculd en el pso nterior, por el determinnte de l mtriz inicil, consiguiendo de est form l mtriz invers. DETERMINNTES Pilr Folguers Russell