ECONOMERÍA I Lección 4: Auocorrelación. jm Auocorrelación.. Qué es un modelo con auocorrelación?. Con qué ipo de daos económicos se suelen presenar modelos auocorrelacionados? Auocorrelación. 3. Qué problemas planea a la esimación por MCO? 3.. En qué consise el cálculo de la mariz de varianzas y covarianzas de los esimadores MCO corregida por el efeco de la auocorrelación, Newey-Wes(987)?
Diaposiiva jm Se agradece la conribución de los profesores Arranz, Suárez y Zamora, cuyos maeriales de clase se han uilizado en la elaboración de esa presenación. juan muro; 8/09/007
Auocorrelación. 4. Cómo se deeca la auocorrelación? Auocorrelación. 5. Cómo se esima un modelo auocorrelacionado mediane esimadores que engan buenas propiedades esadísicas? Qué se eniende por la esimación de un modelo en cuasidiferencias? Qué problemas planea la uilización de un modelo en diferencias" como méodo para resolver la auocorrelación? 4.. Consecuencias de la auocorrelación. MRLG: Y =X β+u ; =,,. Serie emporal; {i} core ransversal. X, β, vecores fila xk y columna kx, respecivamene; Y, u, escalares. E(u u +s X)= σ +s (elemenos de la mariz de varianzas y covarianzas Ω).
4.. Consecuencias de la auocorrelación. Impondremos el supueso de esacionariedad débil. σ +s = σ para s=0. (homoscedasicidad). σ +s = γ s para s 0. (covarianza sólo depende del desfase emporal). 4.. Consecuencias de la auocorrelación. Esimador MCO: b= (ΣX X ) - ΣX Y. E(b X)= β. Var(b X)=(ΣX X ) - ΣΣE(u u s X)X X s (ΣX X ) -. Como E(u u s X)= γ -s mariz lo es. es desconocida, la 4.. Consecuencias de la auocorrelación. En expresión maricial: σ γ γ ρ γ σ γ ρ E( uu') = = σ Ω = σ γ γ σ ρ ρ Donde Cov( u, u ) γ + S S ρ = = s = 0, S Var( u ) Var( u ) + S No hay resulados generales para el sesgo de la mariz por MCO, s (ΣX X ) -. γ 0 ρ ρ ±, ±, 3
4.. Consecuencias de la auocorrelación. La auocorrelación sigue las siguienes esrucuras, AR(p), MA(q), ARMA(p,q). Procesos auorregresivos: AR(p): u = Φ u - + Φ u - +.+ Φ p u -p +ε. AR(): u = Φ u - +ε. Procesos de medias móviles: MA(q): u = ε + θ ε - + θ ε -.+ θ q ε -q. MA(): u = ε + θ ε -. 4.. Consecuencias de la auocorrelación. Procesos auorregresivos y de medias móviles: ARMA(p,q): u = Φ u - + Φ u - +.+ Φ p u -p +θ ε - + θ ε -.+ θ q ε -q. ARMA(,): u = Φ u - + ε +θ ε -. +ε Arás Mariz de Newey-Wes (987). La mariz ( X ' X ) S L + w e e l ( X X ' + X X ' ) ( X ' X ) 0 l l l S = 0 e i i = = = l + X X ' ; w i i l l l =. L + Es un esimador consisene de la mariz de varianzas y covarianzas asinóica del esimador b. V MCO = X' X σ X' ΩX X' X.. 4
Mariz de Newey-Wes (987). La sugerencia de Newey y Wes es esimar por MCO (lineal e insesgado) y calcular consisenemene los errores por medio de su mariz (esimadores no eficienes). Se pueden uilizar los esadísicos (no así el F). Arás 4.. Conrases de auocorrelación. Carácer Exacos Asinóicos Hipóesis nula Generales (robusos) Específicos (poenes) Durbin y Wason(950, 95). Residuos Recursivos: Razón de Von Neumann modificada (MVNR) Breusch-Godfrey(978) Correlograma de residuos. h de Durbin(970). Sargan(964) Durbin y Wason(950, 95). Conrase exaco. Diseñado para conrasar la presencia de procesos AR(), esacionarios. Es robuso ane la presencia de oro ipo de auocorrelación. No permie la presencia de especificación dinámica en el modelo. Las ablas de la disribución del esadísico D-W habiualmene uilizadas requieren la especificación con érmino independiene (Savin-Whie)(Farebroher para ce). 5
Y =X β+u Con u =ρu - +ε. Durbin-Wason(950, 95). Conrase exaco. H 0 : NO HAY AUOCORRELACION: ρ=0. H : EXISE AUOCORRELACION SEGUN UN AR(): ρ 0; ρ <.. Esimar el modelo por MCO. Obener los residuos minimocuadráicos e.. Calcular el esadísico de D-W: ( e - e - ) = d = e 3. Comprobar en las ablas oporunas de la disribución del esadísico de D-W, para un nivel de significación deerminado, si el valor anerior cae en las zonas de rechazo, indecisión o no rechazo de la hipóesis nula. 4. Emplear algún crierio para resolver la indecisión en el caso en que el valor caiga en dicha zona. = eniendo en cuena que: ˆ ρ, el rango de variación del esadísico: ˆ ρ = ˆ ρ = 0 ˆ ρ = d 4 d d 0 Auocorrelación negaiva Ausencia auocorrelación Auocorrelación posiiva Durbin y Wason hallaron unos límies superior d u e inferior d L que permien omar una decisión acerca de la presencia o ausencia de auocorrelación: Auocorrelación Zona Región de no rechazo: Zona Auocorrelación posiiva indecisión No auocorrelación indecisión negaiva 0 d L d U 4-d U 4-d L 4 Es decir: 0 < d < d L Se rechaza H 0, exise au. posiiva con esquema AR() 4- d L < d < 4 Se rechaza H 0, exise au. negaiva con esquema AR() d u < d < 4-d u No se rechaza H 0, no exise auocorrelación d L < d < d u El conrase no es concluyene 4-d u < d < 4-d L El conrase no es concluyene MVNR(94). Conrase exaco. Y =X β+u Con u =ρu - +ε. H 0 : NO HAY AUOCORRELACION: ρ=0. H : EXISE AUOCORRELACION SEGUN UN AR(): ρ 0; ρ <.. Esimar el modelo por mínimos cuadrados recursivos. Obener los -k residuos recursivos (w).. Calcular el esadísico de la razón de von Neumann modificada (MVNR): - k ( w - w - = k + MVNR = - k - w = k + ) 6
MVNR(94). Conrase exaco. 3. Comprobar en las ablas de la disribución del esadísico MVNR, para un nivel de significación deerminado, si el valor anerior cae en las zonas de rechazo o no rechazo de la hipóesis nula. 4. El conrase se realiza como un conrase de una sola cola frene a la auocorrelación posiiva y negaiva, respecivamene. H de Durbin(970). Conrase asinóico. y = Y *' β + X ' γ + u con u = ρ u donde la Y* significa una mariz de valores reardados de la variable regresando y; X mariz de regresores que no incluye los valores reardados del regresando. H0 : NO HAY AUOCORRELACION: ρ=0. H : EXISE AUOCORRELACION SEGUN UN AR(): ρ 0, ρ <.. Esimar el modelo por MCO y obener los residuos MCO e.. Esimar r. De una manera apropiada es el coeficiene de e - en la regresión de e frene a e -. Se puede hacer ambién a ravés del esadísico de D-W. + ε H de Durbin(970). Conrase asinóico. 3. Forma del conrase: bajo la hipóesis nula el esadísico h se disribuye asinóicamene como una N(0,). h = r - var( donde b es el coeficiene de y - en la regresión del aparado y el amaño de la muesra. El conrase es de una sola cola. b ) 7
H de Durbin(970). Conrase asinóico. 4. En el supueso de que h no pueda ser calculado por ser el radicando negaivo, Durbin sugiere un procedimieno asinóicamene equivalene que consise en 4. Esimar la regresión del aparado. 4. Esimar la regresión siguiene e = e +Y*' β+x' γ+u Bajo la hipóesis nula, el coeficiene de e - no será significaivamene disino de cero. Breusch-Godfrey(978). Conrase asinóico. con u = u y = X ' β + u + u o, +..+ u u = Θ ( ε ) donde X puede conener valores reardados del regresando. H 0 : NO HAY AUOCORRELACION: Φ τ =0; Θ τ =0; para odo τ. H : EXISE AUOCORRELACION SEGUN UN AR(p) o MA(q).. Esimar el modelo original por MCO y obener los residuos minimocuadráicos e. - - q p - p + ε Breusch-Godfrey(978). Conrase asinóico.. Esimar la regresión e = X 'β + E ' γ + u p. 3. Forma del conrase (conrase de muliplicadores de Lagrange): bajo la hipóesis nula el esadísico R se disribuye asinóicamene como una Chi- con p grados de liberad. 8
Correlograma de residuos. H 0 : No hay auocorrelación. H : Auocorrelación de cualquier ipo AR(p), MA(q), ARMA(p,q). Se rechaza la hipóesis nula en el caso de que el correlograma no sea plano, es decir, en el caso de que no odos los valores de la función de auocorrelación y auocorrelación parcial esén denro de las bandas.. Ajusar el modelo por MCO. Obener los residuos MCO e.. Calcular el correlograma de los residuos MCO e. 3. Calcular el esadísico de Ljung-Box y la probabilidad asociada a dicho esadísico bajo la hipóesis nula. 4. Cualquier valor de la probabilidad asociada al esadísico de Ljung-Box inferior a 0.05 permie rechazar la hipóesis nula a un nivel de significación del 5%. Conrase de Sargan(964). Conrase de fala de especificación dinámica en un modelo (la auocorrelación es un sínoma de esa especificación errónea) Si con y = β + x u u = ρu- + ε ; ρ < Conrase de Sargan(964). y susiuimos la segunda ecuación en la primera, queda y = ρ y + ( x - ρ x - ) β +. - ε Generaliza ndo, y = y + x + x - + β - β β 3 ε para que ambos modelos sean idénicos debe cumplirse H 0 : β = -. β β 3. Esimar el modelo general por MCO.. Conrasar la hipóesis nula H 0 por medio del conrase de WALD. En concreo: [f(b) ] ~ W = A var[f(b)] donde b son los esimadores MCO del modelo general. Χ Arás 9
4.3. Solución a la auocorrelación. Y =X β+u ; =,,. Serie emporal; {i} core ransversal. X, β, vecores fila xk y columna kx, respecivamene; Y, u, escalares. E(u i u j X)= σ ij. 3.3. Solución a la auocorrelación. MCO: esimación lineal, insesgada y no ópima; mariz de Newey y Wes(987). MCG: exige el conocimieno de la mariz Ω. Esimación lineal, insesgada y ópima; auocorrelación eórica. MCGF: Esimación en dos eapas o ieraiva, consisene. MV: exige una paramerización de la mariz Ω. Esimación consisene, asinóicamene eficiene y con disribución asinóica normal. Arás Esimación por MCG. Es imposible en casi odos los casos por el desconocimieno de Ω. El realizar supuesos sobre la esrucura de la auocorrelación ayuda poco. 0
Esimación por MCGF. Esimación para un AR() esacionario u = u + ε. Esimación por MCGF. En ese caso, ) E(u E(u u E(uu E(uu = 0 Var ( u ) = E( u ) = < σ ε ) = γ = σ = ρ u ) = γ = σ ρ = u S ) = S γ = σ ρ = s u S S Esimación por MCGF. La mariz de varianzas y covarianzas es = E( uu' X) = σ uu u σε =
La mariz Ω es: Ω = y su inversa, Ω + 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + 0 0 0 + 0 + 0 0 0 0 0 0 La mariz de ransformación será: P Ω P' = I P' P = Ω con 0 0 0 P = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Por lo que el modelo de regresión que cumple los supuesos del MRLC, será el que relaciona las variables ransformadas: ( ) ( ) X Y * * Y Y X X Y = X = /9/007 Y Y Juan Muro y Sonia X Quiroga X Por ano, Esimación por MCGF. Lo primero es esimar el coeficiene Φ. En una segunda eapa se ransforman las variables y se aplican MCO al modelo resulane. La esimación en dos eapas es consisene y con disribución asinóica normal (eficiencia desconocida). El incremeno de la eficiencia se consigue ierando el proceso.
Procedimieno de Cochrane-Orcu. Procedimieno radicional de aplicar MCGF con AR(). ) Se esima el modelo por MCO y se calcula la serie de residuos. ) Se realiza una regresión auxiliar de los residuos sobre los residuos del periodo anerior sin incluir érmino consane. De ese modo se obiene una primera esimación del coeficiene de auocorrelación de primer orden. 3) Se ransforman las variables del modelo y se repie la esimación del modelo (eapa ) y se coninua con el procedimieno descrio. 4) Se finaliza cuando el esadísico d de Durbin-Wason indique que los residuos de la eapa son de ruido blanco o cuando las esimaciones de ϕ difieran en menos de una canidad prefijada por ejemplo 0,0 ó 0,005 (o cualquier oro crierio de convergencia) Ṡiga Esimación por MV en presencia de auocorrelación. Función de verosimiliud. L(Y,X Θ)= f ( Y, Y, Y. Y = f ( Y = Πf ( Y Y Y, Y, Y. Y i i 3, X, Θ) f ( Y, Y, Y. Y X, Θ) f ( Y X, Θ). X, Θ) = Se obiene de la aplicación de la descomposición de la probabilidad conjuna en érminos de la condicional y de la marginal. La maximización de esa función proporciona los esimadores MV (problema de las condiciones iniciales). 3 3 X, Θ). Arás Predicción con auocorrelación. La presencia de auocorrelación en un modelo debe considerarse para realizar la predicción. Por ejemplo, en un modelo de regresión con perurbaciones AR() la mejor predicción para un periodo exramuesral + debe incluir una corrección por auocorrelación; por ano, Yˆ a bx no es la mejor predicción. = + + + La predicción que incorpora la información es: Yˆ = a + bx + ρˆ u + + ˆ Y a + bx + ˆ( Y a bx ) = ρ + + y ese predicor coincide con el que se obendría habiendo ransformado el modelo con cuasidiferencias. 3
Bibliografía. Breusch,.S.(978) "esing for Auocorrelaion in Dynamic Linear Models", Ausralian Economic Papers, 7, págs. 334-355. Durbin, J.(970) "esing for Serial Correlaion in Leas Squares Regression when Some of he Regressors are Lagged Dependen Variables", Economerica, 38, págs. 40-4. Durbin, J. y G.S. Wason(950) "esing for Serial Correlaion in Leas Squares Regression", Biomerika, 37, págs. 409-48; 38, págs. 59-78. Farebroher, R.W.(980) "he Durbin-Wason es for Serial Correlaion when here Is No Inercep in he Regression", Economerica, 48, págs. 553-563. Godfrey, L.G.(978) "esing Agains General Auorregresive and Moving Average Error Models when he Regressors Include Lagged Dependen Variables", Economerica, 46, págs. 93-30. Bibliografía. Hannan, E.J. y R.D. errell(968) "esing for Serial Correlaion afer Leas Squares Regression", Economerica, 36, págs. 33-50. Savin, N.E. y K.J. Whie(977) "he Durbin-Wason es for Serial Correlaion wih Exreme Sample Sizes or Many Regressors", Economerica, 45, págs. 989-996. heil, H. y A.L. Nagar(96) "esing he Independence of Regression Disurbances", JASA, 56, págs. 793-806. Wallis, K.F.(97) "esing for Fourh Order Auocorrelaion in Quarerly Regression Equaions", Economerica, 40, págs. 67-636. Arás 4