Trigonometría M. en I. Gerardo Avilés Rosas Agosto de 06
Tema Trigonometría Objetivo: El alumno reforzará los conceptos de trigonometría para lograr una mejor comprensión del álgebra. Contenido. Definición de las funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera.. Definición de las funciones trigonométricas para un ángulo agudo en un triángulo rectángulo.. Signo de las funciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes.4 Valores de las funciones trigonométricas para ángulos de 0, 45 y 60 grados y sus múltiplos.5 Identidades trigonométricas..6 Teorema de Pitágoras.7 Ley de senos y cosenos.8 Ecuaciones trigonométricas de primer y segundo grado con una incógnita TRIGONOMETRÍA (G )
Definición de funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera. Trigonometría La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre las caras y los ángulos de un triángulo. La palabra trigonometría proviene de la palabra griega trígonos (τριγωνοϛ) que significa triángulo y metrón (μετρον) que significa medida, etimológicamente: la media de los triángulos. Aunque los antiguos griegos, como Hiparco y Ptolomeo, utilizaban la trigonometría para sus estudios astronómicos (entre los años 50 A. C. y 00 D. C.) o el filósofo Tales de Mileto que utilizaba los triángulos semejantes para encontrar la altura de las pirámides (entre los años 640 A. C. a 550 D. C.); su historia es más antigua. Por ejemplo, el escriba egipcio Ahmes registró algunos cálculos trigonométricos rudimentarios (relativos a las relaciones de los lados de las pirámides) en el famoso papiro Rhind alrededor del año 650 A. C. Figura. (a) Hiparco (b) Ptolomeo (c) Tales de Mileto (d) El papiro Rhind La trigonometría se distingue de la geometría elemental debido a que se tiene un uso extensivo de ciertas funciones de ángulo, conocidas como funciones trigonométricas. Antes de discutir estas funciones, vamos a revisar algunos conceptos básicos acerca de los ángulos. TRIGONOMETRÍA (G )
Definición de funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera Ángulos Un ángulo es la unión de dos rayos con un punto de inicio en común denominado vértice: En trigonometría, en ocasiones pensamos en ángulos a través de rotaciones, es decir, vamos a suponer que uno de los rayos lo colocamos sobre el eje X con su punto de inicio en el origen del sistema coordenado. A este rayo lo llamaremos cara inicial del ángulo: Vamos a dejar ese rayo fijo y pensemos que obtenemos una copia de dicho rayo y comenzamos a girarlo. Si hacemos una rotación en el sentido contrario de las manecillas del reloj (antihorario), decimos que la rotación es positiva, de lo contrario (giro en sentido de las manecillas del reloj) la rotación es negativa: TRIGONOMETRÍA (G ) 4
Definición de funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera El rayo al final de la rotación se denomina cara terminal del ángulo: La medida de un ángulo es un número que indica la cantidad de rotación que separa los rayos del ángulo. Esto genera inmediatamente un problema: Cuál cantidad es la que debes cuantificar? Como se puede observar, tenemos al menos dos ángulos que se describen en la figura anterior. Claramente estos dos ángulos tienen diferentes medidas y aparecen representados a lo lago de la rotación: La medida de un ángulo está dada en grados. Los babilonios desarrollaron la idea de dividir la circunferencia de un círculo en 60 partes iguales. TRIGONOMETRÍA (G ) 5
Definición de funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera. Definición de funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera Si recordamos la siguiente definición, que proviene de la Geometría: Definición. El número real π se define como la relación que existe entre la circunferencia (C) de un círculo y su diámetro (d): C d La definición anterior es conocida como la definición estándar para el número π y actualmente es considerada un Teorema. Como sabemos, el número π es una constante matemática, esto es, no importa que circulo se considere, la relación entre su circunferencia y su diámetro siempre tendrán el mismo valor. Por otro lado, el diámetro de un círculo es dos veces su radio, de manera que la definición se puede escribir como: C C r r Esto nos dice que para cualquier círculo, la relación que existe entre su circunferencia y su radio siempre será una constante (π). Supongamos ahora que tomamos solo una porción del círculo, es decir, en lugar de comparar la circunferencia completa con respecto al radio, vamos a comparar algún arco de medida s. Sea θ el ángulo central subtendido por este arco, es decir, un ángulo cuyo vértice es el centro del círculo y cuyos rayos pasar a través de la determinación de los puntos finales del arco: Usando argumentos de proporcionalidad, es lógico pensar que la relación s r también debe ser una constante entre todos los círculos, y es esta relación la que define la medida en radianes de un ángulo. Vamos a tener una mejor idea sobre esta medida en radianes, es fácil TRIGONOMETRÍA (G ) 6
Definición de funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera notar que la medida de un radian significaría que la longitud s es igual al radio r del círculo, es decir, s = r. Dado que una revolución barre la circunferencia entera π r, una revolución tiene una media r en radianes de. Es importante hacer notar que la medida en radianes de un ángulo r es una longitud dividida entre otra longitud, por lo que se trata de una cantidad adimensional, por esta razón, utilizaremos la palabra radianes ([rad]) para denotar estas dimensiones. Extendemos los radianes a ángulos orientados, tal como lo hicimos con los grados de antemano, de modo que una medida positiva indica rotación hacia la izquierda y una medida negativa indica rotación en sentido horario. Si dos o más ángulos tienen la misma cara terminal, estos ángulos se denominan coterminales. Para encontrar ángulos coterminales para un ángulo dado, necesitamos sumar (o restar) múltiplos de 60º (π), es decir, β = α + k 60º (β = α + kπ) para algún entero k: Conversión entre grados y radianes Para convertir una medida en grados a una medida en radianes, multiplicar por rad 80 80 Para convertir una medida en radianes a una media en grados, multiplicar por rad El Círculo Unitario Consideremos ahora el Círculo Unitario, x y, por definición, este círculo tiene un radio s s de, de esta forma, la medida en radianes del ángulo θ es s, por lo tanto, θ = s. Con r el fin de identificar los números reales con ángulos orientados, haremos uso del hecho de que la línea de los números reales puede envolver el Círculo Unitario y podemos entonces, asociar a cada número real t un arco orientado dentro del Círculo con un punto inicial en,0 : TRIGONOMETRÍA (G ) 7
Definición de funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera Podemos entonces dibujar una línea vertical con x =, este hecho lo podemos ver como un cierto número real t > 0, entonces, podemos envolver el intervalo 0,t alrededor del Círculo Unitario por medio de un giro antihorario. El arco resultante tiene una longitud de t unidades, las cuales corresponden a una medida en radianes del ángulo igual a t. Si t < 0, podemos envolver el intervalo t,0 en un giro horario alrededor del Círculo Unitario: Si t = 0, nos posicionaremos en el punto,0 sobre el eje X, el cual corresponde con un ángulo cuya media en radianes es cero. De esta forma, podemos identificar cada número real t con un ángulo correspondiente que tenga una medida en radianes t. Para asociar el punto P con el ángulo θ, vamos asignar una posición sobre el Círculo Unitario a dicho ángulo. De esta forma, la coordenada X del punto P es llamada coseno de θ y se TRIGONOMETRÍA (G ) 8
Definición de funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera escribe como cos, mientras que la coordenada Y de P es llamada seno de θ, que se escribe como sen : Si recordamos nuestras clases de geometría básica, sabemos que si queremos proyectar el radio r sobre el plano x, esto equivaldría a: x r cos, dado que r x cos De forma similar, si queremos proyectar el radio r sobre el plano y: y rsen, dado que r y sen Utilizando el mismo razonamiento que anteriormente, sabemos que podemos mapear cualquier número real t sobre el Círculo Unitario: s sen De esta forma, la medida angular de θ en radianes está dada por sen. De r manera análoga, podríamos obtener un resultado para el cos θ. Generalizando los resultados anteriores: TRIGONOMETRÍA (G ) 9
Definición de funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera Funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera θ Supongamos que Px, y sobre un círculo de radio r y θ el ángulo que forma el eje X y la cara terminal que cruza a P. Las funciones trigonométricas están definidas de la siguiente forma: coordenada y sen radio y r radio csc coordenada y r y coordenada x cos radio x r radio sec coordenada x r x coordenada y tan coordenada x y x coordenada x cot coordenada y x y TRIGONOMETRÍA (G ) 0
Definición de funciones trigonométricas para un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. Definición de las funciones trigonométricas para un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. Consideremos el triángulo rectángulo ABC, con ángulo recto en C y con longitudes a, b y c, como se muestra en la siguiente figura: Para el ángulo agudo θ el segmento BC se denomina cateto opuesto y llamaremos al segmento AC cateto adyacente. La hipotenusa del triángulo está dada por el segmento AB. Las relaciones entre las caras del triángulo rectángulo y el ángulo θ están dadas por las siguientes expresiones: Funciones trigonométricas para el ángulo agudo θ sen cateto opuesto hipotenusa c.o. h hipotenusa h csc cateto opuesto c. o. cos cateto adyacente c. a. hipotenusa h hipotenusa h sec cateto adyacente c. a. cateto opuesto tan cateto adyacente c.o. c.a. cot cateto adyacente c. a. cateto opuesto c. o. Como se puede observar de la tabla anterior, las funciones seno, coseno y tangente tienen funciones recíprocas: sen csc csc sen cos sec sec cos tan cot cot tan TRIGONOMETRÍA (G )
Valores de las funciones trigonométricas. Signo de las funciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes Los valores de las funciones trigonométricas pueden ser positivos, negativos o cero; dependiendo de en qué cuadrante quede la cara terminal del ángulo. Dado que la longitud del radio es siempre positiva, el signo de los valores de la función depende solo de las coordenadas del punto P. En el primer cuadrante, todas las funciones son positivas, debido a que ambas coordenadas son positivas. En el segundo cuadrante, la primera coordenada es positiva y la segunda es negativa, de esta forma, el seno y la cosecante tienen valores positivos. De manera similar, podemos determinar los signos de las funciones para el tercer y cuarto cuadrante. Positivo: sen Negativo: cos, tan II y Positivo: Todas Negativo: Ninguna I (,+) (+,+) x (, ) (+, ) III Positivo: tan Negativo: sen, cos IV Positivo: cos Negativo: sen, tan TRIGONOMETRÍA (G )
Valores de las funciones trigonométricas.4 Valores de las funciones trigonométricas para ángulos de 0, 45 y 60 grados y sus múltiplos A continuación se presentan los valores de los ángulos comunes para las funciones seno y coseno (cos θ, (0º) (90º) (60º) (5º) (45º) (50º) (0º) (80º) (60º 0º) (0º) (0º) (5º) (5º) (40º) (70º) (00º) TRIGONOMETRÍA (G )
Valores de las funciones trigonométricas Grados 0 0 45 60 90 0 5 50 80 Radianes 0 6 4 4 5 6 tan 0 No definido 0 csc No definido No definido sec No definido - cot No definido 0 No definido Grados 0 5 40 70 00 5 0 60 Radianes 7 6 5 4 4 5 7 4 6 tan No definido 0 csc No definido sec No definido cot 0 No definido TRIGONOMETRÍA (G ) 4
Identidades trigonométricas.5 Identidades trigonométricas. Identidades Recíprocas y por Cociente: sec, siempre que cos 0 ; si cos 0, la sec no está definida. cos csc, siempre que sen 0 ; si sen 0, la csc no está definida. sen sen tan, siempre que cos 0 ; si cos 0, la tan no está definida. cos cos cot, siempre que sen 0 ; si sen 0, la cot no está definida. sen Identidades Pitagóricas cos sen Formas alternativas: sen cos o cos sen tan sec, siempre que cos 0. Formas alternativas: sec tan o sec tan cot csc, siempre que sen 0. Formas alternativas: csc cot o csc cot Identidades pares/impares: Aplicables para todos los ángulos de θ cos sec cos sec csc sen sen csc tan cot tan cot Identidades para suma y resta: Aplicables para todos los ángulos de cos cos cos sen sen sen sen cos cos sen tan tan tan tan tan y TRIGONOMETRÍA (G ) 5
Identidades trigonométricas Identidades para Cofunciones: Aplicables para todo ángulo θ cos sen sen cos sec csc csc sec tan cot cot tan Identidades para ángulos dobles: Aplicables para todo ángulo θ cos sen cos cos sen sen sen cos tan tan tan Identidades para reducción de potencias: Aplicables para todo ángulo θ cos cos cos sen Identidades para ángulo medio: Aplicables para todo ángulo θ cos cos sen cos tan cos cos El signo dependerá del cuadrante en el cual el ángulo se encuentre. Identidades para convertir productos en sumas sen sen cos cos sen cos sen sen cos cos cos cos TRIGONOMETRÍA (G ) 6
Identidades trigonométricas Identidades para convertir sumas en productos cos cos cos cos cos cos sen sen sen sen sin cos TRIGONOMETRÍA (G ) 7
Ley de Senos y Cosenos.6 Teorema de Pitágoras El Teorema de Pitágoras es el nombre del filósofo griego Pitágoras, aunque se sabía mucho antes de su tiempo en diferentes partes del mundo, como el Oriente y China. El teorema de Pitágoras se indica correctamente de la siguiente forma: El cuadrado de la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus catetos. Por lo tanto, si un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de longitud c y sus cateos de longitudes a y b, como se muestra en la siguiente figura, el Teorema de Pitágoras dice: Hipotenusa a b c TRIGONOMETRÍA (G ) 8
Ley de Senos y Cosenos.7 Ley de Senos y Cosenos Las funciones trigonométricas, como ya hemos visto, tienen aplicaciones en el campo del movimiento circular uniforme, pero no olvidemos que la Trigonometría nos permite encontrar relaciones entre los lados de un triángulo y sus ángulos. Por esta razón, podemos utilizarlas también para dar solución a incógnitas sobre los mismos. Resolver un triángulo significa encontrar la longitud de todos sus lados y la medida de todos sus ángulos. Por ejemplo, tomemos el triángulo que se encuentra en la siguiente figura y determinemos la información faltante: Sabemos que la suma de todos los ángulos del triángulo debe ser 80, de esta forma: 80 90 7. 5.9 Para obtener el valor de w, dado que representa el cateto opuesto, podemos plantear la siguiente expresión: q tan 7. q 6.tan 7. 4.8 6. Luego entonces, para encontrar el valor de w, podemos plantear lo siguiente: 6. 6. cos 7. w 7.9 w cos 7. Como se puede observar, utilizamos las relaciones que estudiamos anteriormente, sin embargo, no siempre nos vamos a encontrar con triángulos rectángulos. Las funciones trigonométricas pueden utilizarse además para resolver triángulos que no son rectángulos. Este tipo de triángulos se denominan oblicuos y pueden resolverse si al menos un lado y cualesquiera dos medidas son conocidos. Las posibilidades de solución se presentan a continuación:. Conocemos dos ángulos del triángulo y un lado opuesto a ellos.. Conocemos dos ángulos del triángulo y la cara incluida. TRIGONOMETRÍA (G ) 9
Ley de Senos y Cosenos. Conocemos dos lados del triángulo y el ángulo opuesto a uno de ellos (en este caso puede no haber solución, una solución o dos soluciones; este último es conocido como caso ambiguo) 4. Conocemos dos lados del triángulo y el ángulo incluido. 5. Conocemos todos los lados del triángulo. La lista de arriba no incluye la situación en la cual se conocen los tres ángulos del triángulo. La razón de esto es debido a que las medidas de los ángulos determinan solo la forma de los triángulos y no su tamaño: Para resolver triángulos obliquos, debemos definir las leyes de Senos y de Cosenos. La primera permite resolver las primeras tres situaciones, la ley de Cosenos, para los casos restantes. TRIGONOMETRÍA (G ) 0
Ley de Senos y Cosenos Ley de los Senos Podemos enunciar la Ley de Senos de la siguiente forma: En cualquier triángulo ABC, a b c sen A sen B sen C Cuando se conocen dos lados del triángulo y un ángulo opuesto a uno de ellos, podemos utilizar la Ley enunciada anteriormente. Vamos a suponer que para un cierto ABC, los lados b, c y el ángulo B son conocidos. Se pueden presentar varias posibilidades de solución como se verá a continuación: El ángulo B es agudo Caso : No hay solución (b < c) El lado b es demasiado corto para llegar a la base. No se forma triángulo. Caso : Una solución (b < c) El lado b llega a la base y es perpendicular a la misma. Caso : Dos soluciones (b < c) Un arco de radio B cruza la base en dos puntos (este caso se conoce como ambiguo) TRIGONOMETRÍA (G )
Ley de Senos y Cosenos Caso 4: Una solución (b = c) Un arco de radio b coincide con la base en un punto que no es B. Caso 5: Una solución (b > c) Un arco de radio b corta a la base en un solo punto. El ángulo B es obtuso Caso : Ninguna solución (b < c) El lado b es demasiado corto para llegar a la base. No se forma triángulo. Caso : Ninguna solución (b = c) Un arco de radio b corta a la base solo en el punto B. No se forma triángulo. Caso : Una solución (b > c) Un arco de radio b corta a la base en un punto que no es B. TRIGONOMETRÍA (G )
Ley de Senos y Cosenos Ley de Cosenos Como ya vimos, la Ley de Senos nos permite resolver triángulos para los cuales conocemos un lado y dos ángulos o dos lados y un ángulo opuesto. Una segunda ley, llamada Ley de Cosenos es necesaria para resolver triángulos en donde conocemos dos lados y el ángulo incluido o bien los tres lados de un triángulo, queda de la siguiente manera: En cualquier ABC, a b c bc cos A b a c ac cos B c a b ab cos C Por lo tanto, en cualquier triángulo, el cuadrado de un lado es la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos dos veces el producto de esos lados y el coseno del ángulo incluido. Cuando el ángulo incluido es de 90º la Ley de los Cosenos reduce al Teorema de Pitágoras. La Ley de los Cosenos también puede expresarse de la siguiente manera: cos A b c a, cos B a c b, cos C a b c, bc ac ab TRIGONOMETRÍA (G )