Función Lineal Se llama función lineal a toda función que tiene la forma:. con Su representación gráfica es una línea recta que intercepta al eje de las X en el punto ( ) y al eje de las Y en. Muchas son las aplicaciones de las funciones lineales, por ejemplo, en Economía, podemos encontrarnos con: Función de Costo: (costos variables más costos fijos). Función de Ingreso: (precio unitario por cantidad) (p: precio, x: cantidad). Función Utilidad (ingresos- costos) La Recta Si en la función lineal hacemos ; tendremos la ecuación de la recta. Siendo m la tangente de la recta y b el coeficiente de posición. La recta será paralela al eje de las X. Ejemplo:, aquí no existe pendiente. 1
la recta será creciente. Ejemplo:, la pendiente es 2. la recta será decreciente. Ejemplo:, la pendiente es -2. 2
La pendiente se puede obtener de la siguiente fórmula, sabiendo que una recta se forma al menos con dos puntos, suponga los siguientes puntos y, por lo tanto la fórmula es: de las Y. la pendiente no existe y esto ocurre cuando la recta es paralela al eje La ecuación de la recta se puede obtener de dos fórmulas, 1. Punto Pendiente: Para usar esta relación, se debe entregar de información el valor de la pendiente y al menos un punto de la recta, 2. Punto Punto: Para usar esta relación, la información que se debe entregar es de al menos dos puntos de la recta. Ejemplo de aplicación: Suponga que las acciones de una multitienda bajaron linealmente desde el 8 de junio de 2011 cuyo precio unitario era de $2.300 al 9 de junio del mismo año cuyo 3
precio alcanzó sólo los $1.300. Si la tendencia continuará a la baja linealmente. Cuál sería el precio el 10 de junio de 2011? Se definen los puntos, la variable x es la independiente, corresponden a los días, por ello la dependiente corresponde al precio. Como el 8 de junio es el primer día y luego se considera el día siguiente, se elige que x inicié en el cero. Se aplica la fórmula punto punto. Como representa el día 8 de junio, el 10 de junio del mismo año será en. Reemplazando: Es decir, el valor de cada acción para el 10 de junio del mismo año sería $300. Función Cuadrática Toda función de la forma, con, se llama función cuadrática. La expresión es el término cuadrático, es el término lineal y es el término independiente. El dominio de esta función son todos los números reales. Su gráfica corresponde a una curva simétrica llamada parábola, que cumple las siguientes condiciones: 1. Concavidad. se dice que la parábola es cóncava. 4
se dice que la parábola es convexa. 2. Discriminante. Corresponde a la cantidad subradical, y define que: entonces la parábola intersecta en dos puntos distintos al eje X. Ejemplo: la función la gráfica es:, su discriminante es mayor que cero, por ello 5
entonces la parábola intersecta en un punto al eje X. Ejemplo: la función es por lo tanto:, su discriminante es igual a cero, su gráfica entonces la parábola no intersecta al eje X. Cómo sería la gráfica de la función? 3. Intersección en los ejes. Para determinar los puntos en que la parábola intersecta al eje X, se debe aplicar la siguiente fórmula. De manera tal que cada valor de x que entregue la ecuación, representa el valor que la parábola intersecta al eje X. Para determinar el punto en que la parábola intersecta al eje Y, sólo se debe observar la función y encontrar el valor. 4. Vértice. El vértice de la parábola representa el punto más alto (máximo) si punto más bajo (mínimo) si. o el Se obtiene de la siguiente fórmula: 6
( ) En este punto ocurre la intersección con su eje de simetría. Ejemplo de aplicación: La utilidad de cierta empresa está dada por la función cuadrática.donde x corresponde a las unidades producidas y vendidas de la empresa. Explique que representa el vértice. Se obtienen los valores de la función. Aplicando la fórmula del vértice: ( ) La concavidad de la función indica que se trata de una función cuadrática convexa, por ello el vértice representa el punto máximo de la función. Por lo tanto, los 30 representan a cantidad de unidades vendidas y producidas que se requieren para maximizar la utilidad, y los 900 corresponden a la utilidad máxima. 7