Nivel: 3.º medio Subsector: Matemática Unidad temática: Edificio y árbol, qué altura tienen? Joaquín es un joven inquieto, y entre muchas cosas que le llaman la atención es que cada vez que él camina, la longitud de su sombra cambia. Joaquín quiere cerciorarse de que esto no solo sucede con él, sino con todas las cosas que puedan generar sombra, como un edificio, una casa o un árbol. Así, Joaquín decide hacer un esquema en el cual pueda anotar sus conclusiones. Está un poco complicado, ya que la posición del sol va variando cada hora. Por eso, le pregunta a su abuelo Manuel cómo se puede calcular la sombra de su cuerpo o del edificio sabiendo que el sol varía cada hora. Entonces, su abuelo le explica que para ello debe conocer el ángulo de inclinación y la longitud de la sombra que el cuerpo genera. Joaquín investiga acerca de la relación que existe entre longitudes y ángulos. Joaquín piensa que en un triángulo rectángulo, estableciendo algunas relaciones entre medidas de ángulos y de longitudes de lados, tal vez pueda hallar una medida que no pueda obtener en forma directa. Es decir, hacer una medición indirecta. Una estrategia de esta naturaleza sería muy apropiada si lo
que se quiere medir es muy inaccesible ya sea por dificultades del terreno u otra razón. Para ello, Joaquín investiga más sobre la trigonometría y sus propiedades. Cuántas relaciones encontrará Joaquín?, en qué se basan esas relaciones? Luego de realizar tu propia investigación, resuelve la siguiente actividad: 1. El ángulo de elevación del tope de un edificio es de 0 desde un punto A. Desde ese mismo punto, el ángulo de elevación hasta el tope de una antena sobre el edificio es de 60. Si la distancia desde el punto A hasta el tope de la antena es de 60 m: a) Cuántos metros mide la antena? Aproxima a la unidad más cercana. b) Cuántos metros mide el edificio? Aproxima a la unidad más cercana. c) Cuántos metros tiene la distancia desde A hasta la base del edificio? Aproxima a la unidad más cercana. 2. Halla la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6 m a la misma hora que un árbol de 21 m proyecta una sombra de 24 m. 3. El triángulo de la figura es rectángulo en Q. PQ = 3 cm y sen α = 1/2. Entonces PR mide: a) b) 3 c) 2 3 d) 2 e) 6 4. En un triángulo rectángulo se cumple que 2 cos β = cot β. Entonces el valor de β es: a) 0 b) 30
c) 4 d) 60 e) Ninguna de las anteriores. Una escalera apoya su pie a 3 m de un muro. La parte superior se apoya justo en el borde del muro. El ángulo formado entre el piso y la escala mide 60º. El largo de la escalera es: a) 2 3 b) 3 2 c) 6 d) 8 e) No se puede determinar 6. Una colina mide 420 metros de altura. Se calcula que el ángulo de elevación a la cima, vista desde el punto A, es de 4º. Determina la distancia desde A hasta la cima de la colina. a) 420 b) c) 840 d) 840 2 e) Ninguna de las anteriores 7. Si se calcula sen60º, el valor que se obtiene es: cos 30º tg30º a) 3 b) 0 c) 3 d) 1 e) Indeterminado
8. Si sen α =, donde α es el ángulo agudo de un triángulo rectángulo, entonces el valor de cosα es: a) b) c) d) e) 9. Si se calcula 4 sen 30º + 2 cos 4º 2 sen 4º tg 4º resulta: a) 0 b) 2 c) 2 + 2 d) 2 2 e) Valor irracional 10. Si se calcula a) + 2 6 b) c) 1 d) 0 e) Otro valor sen60º cos30º + cos 4º sen4º resulta:
11. Si se calcula (tg 60º + cos 4º)(tg 30º cos 30º) se obtiene: a) b) 6 ( + ) 1 6 2 c) d) e) 6. Cuando el Sol se encuentra a 60º sobre el horizonte, un árbol de 1 m de alto proyecta una sombra que mide: a) 9 m b) 3 m c) 1/2 m d) 1 3 m e) 1 2 3 m. Sí tg α = /, entonces la alternativa correcta es: a) sen α = b) cos α = c) cosec α = /4 d) sec α = 3 e) cos α = / 14. El triángulo ABC de la figura es rectángulo en C, CB = cm y tg β = 2,4. Cuánto mide el perímetro del triángulo ABC? a) 17 cm b) 18 cm
c) 2 cm d) 30 cm e) No se puede determinar 1. Encuentra la altura de la palmera, sabiendo que tg β = 1/4. a) 8 m b) 6 m c) 3/8 m d) 8/3 m e) 24 m En efecto, en todo triángulo rectángulo se pueden establecer ciertas relaciones entre las medidas de los ángulos y de sus lados para hallar una medida que no se pueda obtener en forma directa. Es decir, hacer una medición indirecta. Una estrategia de esta naturaleza es muy apropiada si lo que se quiere medir es muy inaccesible ya sea por dificultades del terreno u otra razón. Una herramienta que nos provee solución al problema es la tangente de un ángulo, herramienta de la trigonometría. Ahora que ya sabes qué relaciones pudo encontrar Joaquín y qué elementos del triángulo rectángulo usó para sus cálculos, puedes determinar la altura de un poste, o su sombra. Edificio y árbol, qué altura tienen? Ya no será problema resolverlo.