TEMA 4: EL LENGUAGE ALGEBRAICO. POLINOMIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Para obtener las epresiones algebraicas hay que utilizar el lenguaje algebraico. Hay epresiones algebraicas de varios tipos: Monomios. Polinomios Identidades. Son igualdades algebraicas que se cumplen para cualquier valor de la letra. Ecuaciones. Son igualdades algebraicas que se cumplen solo para algunos valores de la letra. Ejercicios.. Traduce al lenguaje algebraico las siguientes epresiones. a) El doble de un número menos su cuarta parte. Años de Ana Belén dentro de años. Años de Isabel hace tres años. La cuarta parte de un número más su siguiente. e) Perímetro de un cuadrado. Un número par. e) Un número impar. f) Un múltiplo de 7. g) Dos números enteros consecutivos. h) Dos números que se diferencian en dos unidades. i) El doble de un número menos su quinta parte. j) El quíntuplo de un número más su quinta parte. k) La edad de una señora es el doble de la de su hijo menos 5 años. l) Dos números se diferencian en unidades. m) Dos números suman. n) Un hijo tiene años menos que su padre. ñ) La cuarta parte de la mitad de un número.. Traduce al lenguaje algebraico a) El 5% de un número. ) Lo que cuestan c metros de cuerda si cada metro cuesta 8 euros. ) El beneficio eficio que se obtiene en la venta de un artículo que cuesta a euros y se vende por b euros. ) Lo que cuesta un lápiz si 5 cuestan p euros. e) Considerando un rebaño de ovejas: Número de patas del rebaño. Número de patas si se mueren 6 ovejas. Número de ovejas después de nacer 8 corderillos. Número de ovejas después de dos años si el rebaño crece un cuarto al año. f) Considerando que Ana tiene euros: Enrique tiene 00 euros más que Ana. Susana tiene el doble de Enrique. Charo tiene 400 euros menos que
. En un aparcamiento hay coches de color blanco, de color rojo y de color negro. El número de coches de color rojo es el doble del de color blanco más y el de color negro el triple del de color blanco menos 5. Con estos datos completa la siguiente tabla: MONOMIOS Es el producto de un número por una o varias letras. Todo monomio consta de varias partes. a b 7 c El grado de un monomio es el número de letras que tiene y se calcula sumando los eponentes de las letras. El grado del monomio anterior será. Los números se pueden considerar como monomios de grado cero ya que 0 =. Por ejemplo: 8 =8. 0 Dos o más monomios son semejantes si tienen la misma parte literal. Por ejemplo, vamos a escribir monomios semejantes a y 5 z Suma y resta de monomios. Para sumar o restar monomios estos han de ser semejantes. El resultado es otro monomio. Por ejemplo: y y y y = Si los monomios no son semejantes se deja la operación indicada. Por ejemplo: 4 y 9y 4 -y 4 4 y= Producto y cociente de monomios. El producto de dos o más monomios es otro monomio. Por ejemplo: (-5 y 6 ).(4y 6 = (a 6 b c 5 ) : (-7ab c )= Potenciación de monomios. Es otro monomio. Por ejemplo: ( 4 y 5 ) = Valor numérico de un monomio. Es el resultado de sustituir las letras del monomio por valores previamente asignados. Por ejemplo: Si = e y=-5 calcular el valor numérico de y =
Ejercicios. 4. Realiza las sumas y restas de monomios. a) y z y z 5 = 4 4 7 4 = 4 4 a bc 5a bc a bc a bc = 5. Efectúa los productos de monomios. a)( ) (5 ) = ( ) (4) = ( y z) = (5 y z) (y z ) = e) 8 y z 5 ) (6 yz ) = f)( ( ) ( 5) ( ) = 6. Realiza las divisiones de monomios. a)( ) : (4) = (8 6 y z 5 ) : (6 yz ) = (6 y 7 z 4 ) : ( y ) = 7. Calcula las potencias de los monomios a)( ) = ( ) = ( y 5 ) = 8. Calcula el valor numérico de d e los siguientes monomios para a=/ y b=/ a) a b= a b = 9. Piensa un número, súmale 5,, multiplica el resultado obtenido por 6,, réstale 0,súmale 5,, réstale 5 y finalmente divide el resultado entre 6.. Obtienes el número que has pensado?. Investiga por qué siempre obtienes el número que habías pensado. POLINOMIOS Un polinomio es la suma de dos o más monomios. Cada uno de los monomios que forman el polinomio se llama término. El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo firman cuando el polinomio se ha reducido. Cuando reducimos el polinomio, conviene ordenar los términos de grado mayor a grado menor. El valor numérico de un polinomio es el número que se obtiene al sustituir las letras por valores numéricos asignados previamente. Si el valor numérico de un polinomio es cero para un cierto valor de la letra, se dice que ese valor es una raíz del polinomio. Por ejemplo, = es una raíz del polinomio -- ya que si sustituimos la por da cero:. - =9 6 = 0 Ejercicios. 0. Indica el grado de los siguientes polinomios: a) 4-5 4-8 5-6 4 - -5 4 6 5 4-7-6
. Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios: a) 5-4 para =-, para =5 y para =/5 a b-abb para a=-/ y b=/ Opuesto de un polinomio es el polinomio cambiado de signo. Por ejemplo el opuesto de P()= 5-6 es P()= Suma y resta de polinomios. Para sumar o restar polinomios, se suman o restan los términos semejantes. Por ejemplo, si P()= 5-6, Q()=-7 - -8 y R()=- 7-6 P()Q()-R()= Producto de un monomio por un polinomio. Se multiplica el monomio por todos los términos del polinomio. Por ejemplo: 4. P()= Producto de dos d polinomios. Se multiplica cada uno de los términos de uno de ellos por todos los términos del otro. Por ejemplo: (-5 7-).( 5) = Sacar factor común. Los factores son los términos de un producto. Hemos de encontrar en el polinomio factores que se repitan en todos los sumandos. Por ejemplo: 9 y - 0y 4 y 5 = 5 5-5 5 = Ejercicios.. Simplifica las siguientes epresiones. a) ( 5 4 6) ( 6) 5 6 = ( 5 5) 5 4 4 6 = 5
( 5 )( 5) ( 5)( 7) =. Etrae factor común. 4 a) 5 5 5 = 4 = 9 5 5 4 7 y y y 7 y = ( ) ( ) 5( ) = e) y 6 y 4y = IDENTIDADES NOTABLES Las identidades con este nombre son tres: ( a = a b ab ( a = a b ab ( a (. a = a b Ejercicios. 4. Desarrolla las siguientes identidades notables: a) ( 5) = ( 5y) = ( 7)(. 7) = = e) ( 5) = f) ( 6 ) = g). = 5 5 5. Simplifica las siguientes epresiones: a) ( 5) ( )( ) = ( 5 4) ( 5 4) = ( 9) = ( 5 )( ) = e) ( ) ( ) [ ]=
DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN POLINOMIO Para descomponer en factores un polinomio seguimos dos pasos: º Etraer factor común. º Identificar identidades notables. Veamos algunos ejemplos: 4 -=.. 8-5= X = 8 50-40= X 86= X 4-8= Ejercicios. 6. Descomponer en factores los siguientes ientes polinomios: a) = 4 4 = 4= 4 6= e) 9 6 = f) 5 = g) 0 00 = h) 0 50 = i) 4 49 = j) 4 4 = FRACCIONES ALGEBRAICAS Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos polinomios o monomios. Por ejemplo: Simplificación. ción. Para simplificar se descomponen en factores el numerador y el denominador y se simplifican los factores comunes. Por ejemplo: ( 5) = 5 =
Mínimo común múltiplo. Para calcularlo hemos de proceder como con los números, primero descomponer en factores y luego coger los comunes y no comunes al mayor eponente. Por ejemplo: El m.c.m. de -4, - y 4-4 Suma y resta. Se procede igual que con las fracciones de números. Veamos unos ejemplos 5 6 5 =... 5 5 5 5 6 =... 5 5 5 =... Producto y cociente. Se procede como con las fracciones numéricas. Aunque es conveniente, para ayudar a la simplificación, que antes de operar, descompongamos numerador y denominador en factores. Los pasos que tenemos que seguir son: - MARCAR los productos (en paralelo si es un producto y en cruz si es un cociente) - DESCOMPONER numerador y denominador en factores. - SIMPLIFICAR - OPERAR. Por ejemplo: 5 5 5 9 =... =... ( ) 4 =... 5 5 =...
EJERCICIOS. Traduce al lenguaje algebraico los siguientes enunciados: a) El cuadrado de un número menos su doble. El 80% de un número. Un número impar. Los dos tercios de un número más cinco unidades.. Epresa en lenguaje algebraico empleando una sola incógnita. a) El triple de un número menos dos. El producto de dos números consecutivos. El cuadrado de un número más su mitad. La suma de un número con otro diez unidades mayor.. Epresa algebraicamente el perímetro y el área de estos rectángulos: 4. Traduce a lenguaje algebraico utilizando dos incógnitas. a) La suma de los cuadrados de dos números. El cuadrado de la diferencia de dos números. La mitad del producto de dos números. La semisuma de dos números. 5. Si e y son las edades actuales de dos hermanos, epresa los siguientes enunciados utilizando ambas incógnitas: a) La suma de las edades que tenían hace 5 años. El producto de las edades que tendrán dentro de 6 años. La diferencia entre la edad del mayor y la mitad del menor. 6. Epresa cada enunciado con una identidad: a) La raíz cuadrada del cociente de dos números es igual al cociente de las raíces cuadradas del dividendo y del divisor. La potencia del producto de dos números es igual al producto de las potencias de los factores. La hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos. El producto de un número por el siguiente es igual a ese número más su cuadrado. 7. Epresa algebraicamente el perímetro y el área de estos rectángulos: 8. Epresa algebraicamente: a) El área del triángulo azul. El área del trapecio amarillo. La longitud de l. 9. Epresa algebraicamente el área de la parte coloreada. 4 4 4y 6 0. Epresa algebraicamente el área y la diagonal mayor de este trapecio:
. Epresa algebraicamente el área total y el volumen de un ortoedro cuyas dimensiones son tres números consecutivos. Área = 6 6 4 y volumen =.. Epresa algebraicamente el área total y el volumen de un cilindro cuya altura mide el doble del radio de la base. Área = 6πR Volumen = πr. Epresa algebraicamente el área de este trapecio isósceles: 9 Área = 4. Indica el grado de cada uno de los siguientes monomios y di cuáles son semejantes: 5. Calcula el valor numérico de los monomios del ejercicio anterior para = e y =. a) 5 4-8 9 e) 6 f) -4/5 g) 9/5 h) ½. 6. Simplifica. a) -y -/5 y -/5. 7. Efectúa. a) 5 7 9 7y y y y 5y y y 8. Efectúa los siguientes productos de monomios: a) 8 8 8 8 y /8 6 /8 yz. 9. Cuándo se dice que un número es raíz de un polinomio? Comprueba si es raíz de alguno de estos polinomios: P = Q = 5 7 R = ( 4 5 0)( ) Es 0 raíz de alguno de los polinomios anteriores? es raíz de P y de R.. Cero es raíz de Q. 0. Cuál debe ser el valor de k para que sea raíz del polinomio: 5 7 k? Justifica tu respuesta. k = 4.. Comprueba si 5 y -5 son raíces del siguiente polinomio P() = - 5-5 5. Ni 5 ni -5 son raíces.. Simplifica las siguientes epresiones: a) ( 5 ) ( ) 5 ( 8) ( ) Cuál es el grado de cada polinomio? a) 5 Grado. b 5 5 8 Grado.. Considera estos polinomios: A = 5 B = 4 4 C = 7 Halla: A B; A C; A B C A B = 4 4 4 5 ; A C = 4 4 8 8 8 ; A B C = 4 4 5.
4. Efectúa, reduce y di cuál es el grado del polinomio resultante. a) 5 7 Grado. 6 Grado. -/ 4 Grado 4. 5. Opera y simplifica. a) 5 5 4 4 4 0 6 8 8 4 4 9. 6. Efectúa estas divisiones. a) (60-75 ) : 5 ( - 55) : a) 4 4-5 -5/ 7. Realiza estas divisiones. a) ( 6 6 5) : ( ) ( 4-5 - 6) : ( - - ) (5-4 - 5 6) : ( - ) ( 6 4-5 7) : ( 4 - ) a) Cociente:5 resto: 0 Cociente: - 4 5 resto: -4 Cociente: - 5 7-58 resto: 0-0 Cociente: resto: - 4 0 8. Efectúa la siguiente división de polinomios: (64 7-8 - ) : ( - ) Cociente: - resto: 4-. 9. Efectúa cada división indicando el polinomio cociente y el polinomio resto. a) ( 5-4 ) : ( ) 4 ) : ( - ) ( 6 - - ) : ( - ) a) Cociente: - 4 4 4 resto: -5 5- Cociente: -6 resto: -89 Cociente: - resto: -45. 0. Etrae factor común.. Etrae factor común a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ( ). Desarrolla estas epresiones:. Efectúa estos productos: 4. Simplifica todo lo posible las epresiones siguientes: a) 6 6 8-9 5. 5. Transforma en diferencia de cuadrados. 6. Completa con el término que falta para que cada epresión sea el cuadrado de una suma o el de una diferencia: a) 4 0 9 6 7. Epresa como cuadrado de una suma o de una diferencia a) 49 4 4 4 6 8. Epresa como el cuadrado de una suma, como el cuadrado de una diferencia o como una diferencia de cuadrados. a) 9 6 4 4 4 9 9 4 e) 6 f) 6 40 5
9. Factoriza los siguientes polinomios: a) 4 4 4 4 4 4 48 a) ( )( ) ( ( ) ( )( ) ( 4) 40. Simplifica estas fracciones algebraicas: a) 4 5 4. Comprueba si las fracciones y son equivalentes. 4. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas. 4 a) 4. Simplifica. e) 4 5 f ) a ) e) f ) ( ) 44. Efectúa. 8 4 8 a) 6 7 4 6 4 5 e) f ) 9 4 4 45. Reduce las siguientes epresiones: a) 9 9 7 7 5 8 4 0. 46. Cuál es el resultado de multiplicar una fracción por su inversa? Compruébalo con y su inversa.
47. Opera y simplifica si es posible. 5 5 a ) 4 48. Opera, y simplifica si es posible. 5 46 47 8 0 4 8 7 e) 70 64 6 a ) ( ) ( ) 49. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica: 4 a SOL : a) 0 5 0 5 ) 50. Opera y simplifica todo lo posible las siguientes epresiones: ( 5) 8 8 a) 5 4 ( )( 4) AUTOEVALUACIÓN. Traduce al lenguaje algebraico: a) El triple de un número menos la cuarta parte de otro. El perímetro de un rectángulo cuya base es el doble de su altura. El precio de un producto rebajado un 5%. El doble de la edad de Juan (que hoy tiene años) hace siete años.. 4 4 6 9 4 4 7 4. Etrae factor común: 5 4 a) a b a b a b = y 7 y. Opera y simplifica: ( ) ( ) ( ) = 9 ( ) ( ) 8 ( y ) = 4. Desarrolla las identidades notables: ( y) = = 5 5 5. pera y simplifica: ( 7) ( 4) ( 4) ( 5 4) = 6. Reduce las siguientes epresiones: 6 a) ( ) ( ) = = 7. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: a) ( ) = 4 a) 7 = ( )
8. 8. 8. 8. Opera y simplifica: = 4 4 9. 9. 9. 9. Opera: a) = 5 6 = 4 7 5