Tema 3: Fundamentos de Probabilidad Introducción En la vida cotidiana aparecen muchas situaciones en las que los resultados observados son diferentes aunque las condiciones iniciales en las que se produce la experiencia sean las mismas. Por ejemplo, al lanzar una moneda unas veces resultará cara y otras cruz. Estos fenómenos, denominados aleatorios, se ven afectados por el azar. El azar está relacionado con el desconocimiento y la incertidumbre. Desconocemos de antemano qué resultado saldrá al tirar la moneda al aire, o el número de aciertos en un boleto de la lotería primitiva, o si al invertir una cierta cantidad de dinero en un negocio ganaremos más o menos dinero, o si al comprar un producto saldrá defectuoso o no. También desconocemos el tiempo que tardaremos en llegar a Murcia desde el Campus o si una medicina es más efectiva que otra para una determinada enfermedad o si un nuevo mecanismo de fabricación producidas menos unidades defectuosas. Una compañía de seguros también desconoce el número de primas que deberá abonar el próximo año por un determinado accidente. El efecto del azar está presente en estas situaciones citadas y en muchas otras de la vida cotidiana. La Teoría de la Probabilidad es la parte de las matemáticas que trata los fenómenos en los que interviene el azar o también llamados fenómenos aleatorios. En denitiva, usamos la probabilidad con el n de tomar decisiones de las que esperamos obtener la mayor ganancia o que conlleven el menor riesgo. Además, es el puente ente la Estadística Descriptiva y la Estadística Inferencial, pues permite usar propiedades obtenidas de la descripción de muestras para formular y aceptar hipótesis relativas a la población que generó dicha muestra. 1. Sucesos aleatorios Un fenómeno o experiencia se dice que es un experimento aleatorio cuando al repetirlo en condiciones idénticas es imposible predecir su resultado. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se llama espacio muestral y lo denotaremos mediante Ω. Cada uno de los elementos del espacio muestral se llama punto muestral o suceso elemental. Se denomina suceso a todo conjunto de Ω. diremos que el suceso A Ω se verica o se realiza si al realizar el experimento se obtiene como resultado uno de los puntos muestrales de A. El conjunto de todos los sucesos asociados a un experimento se llama espacio de sucesos, que denotaremos mediante S. El suceso se llama suceso imposible y el suceso Ω se llama suceso seguro. Tema 3 Página: 1
1.1. Actividad Denir experimentos aleatorios de la vida cotidiana, expresando el espacio muestral asociado y algunos sucesos relativos a los mismos. Piensa, por ejemplo en los juegos de azar. Un ejemplo: El lanzamiento de un dado es un experimento aleatorio. Su espacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles resultados, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y un posible suceso es obtener número par, que representamos por el conjunto A = {2, 4, 6}. El suceso obtener un número menor que 20 es el suceso seguro y el suceso obtener un número entre 7 y 10 es un suceso imposible. 1.2. Operaciones con sucesos Unión de sucesos: Dados dos sucesos A y B, denotaremos mediante A B al suceso que se verica cuando al menos uno de los dos se verica. Intersección de sucesos: Dados dos sucesos A y B, denotaremos mediante A B al suceso que se verica cuando ambos se verican. Complementario: Dado un suceso A, denotaremos mediante A al suceso que se verica cuando A no se verica. Diferencia de sucesos Dados dos sucesos A y B, denotaremos mediante A B al suceso que se verica cuando se verica A y no se verica B. Diferencia simétrica Dados dos sucesos A y B, denotaremos mediante A B al suceso que se verica cuando o bien se verica A y no se verica B, o bien se verica B y no se verica A. 1.3. Actividades 1. Representar mediante diagramas de Venn las operaciones entre sucesos anteriores. 2. En el caso de que el experimento aleatorio sea el lanzamiento de un dado y que los sucesos A y B sean A = {2, 4, 6} y B = {2, 3, 4}, obtener los sucesos: A B, A B, A, B, A B, B A y A B. 3. Supongamos los siguientes sucesos inciertos A =iré al cine y B =iré de compras, describir los sucesos A B, A B, A, B, A B, B A y A B. 2. Modelos de Probabilidad La probabilidad asignada a un suceso aleatorio mide el grado de conanza de que ese suceso ocurra. Podemos encontrar en la literatura varios enfoques para este objetivo. El enfoque clásico considera experimentos con espacios muestrales nitos y puntos muestrales equiprobables. La probabilidad se asigna usando la Regla de Laplace haciendo P (A) = Car(A) Car(Ω) Tema 3 Página: 2
Este enfoque, aunque limitado en su uso por las condiciones que maneja, está actualmente vigente. El enfoque frecuentista considera la repetición del experimento un número grande de veces n, de las cuales un número n A ha ocurrido el suceso A. La probabilidad se asigna como n A P (A) = lím n n Este enfoque tiene varios inconvenientes, entre ellos que no podemos estar indenidamente repitiendo el experimento. Para superar los inconvenientes de los enfoques anteriores usaremos el enfoque axiomático que engloba y generaliza los enfoques anteriores y que usa la siguiente denición. Si Ω es el espacio muestral y S es el conjunto de todos los sucesos aleatorios asociados al experimento, la terna (Ω, S, P ) es un espacio de probabilidad cuando la función P : S [0, 1] cumple Axioma 1 P (Ω) = 1. Al suceso Ω se le llama suceso seguro. Axioma 2 P (A B) = P (A) + P (B), cuando A B = Los sucesos A y B cuya intersección es el suceso imposible se llaman incompatibles o excluyentes y signican que no pueden suceder simultáneamente. Por ejemplo, cualquier suceso A y su complementario A son siempre incompatibles. Ejemplo 2.1 Si el dado es equilibrado es razonable asignar 1/6 de probabilidad a cada una de las 6 caras, por lo que sería válida la aplicación de la Regla de Laplace para calcular probabilidades, sin embargo, si es un dado ladrillo con cuatro caras con doble área a las dos restantes, por ejemplo las caras del 2,3,4 y 5, sería más razonable asignar 2 veces más probabilidad a cada una de dichas caras que a las dos restantes. Para que dicha asignación cumpla con los axiomas y por tanto sea una verdadera probabilidad ha de ser 2/10 a cada una de las cuatro caras grandes, es decir a las caras del 2,3,4,y 5, y 1/10 a las caras del 1 y 6. 2.1. Propiedades de las probabilidades A partir de la denición anterior se enuncian propiedades de la probabilidad como las siguientes, en las que A, B y C representan sucesos aleatorios cualesquiera y representa al suceso imposible. 1. Si Ω = {e 1,..., e n } es nito, y asociamos probabilidad a cada uno de ellos, P (e i ) = p i, con 0 p i 1, i y n i=1 p i = 1, asignamos al suceso A la siguientes probabilidad P (A) = p i e i A En particular, si p i = 1 n se obtiene la regla de Laplace. Tema 3 Página: 3
2. P (A) = 1 P (A) 3. P ( ) = 0 4. P (A) P (B) si A B 5. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) 6. P (A B C) = P (A)+P (B)+P (C) P (A B) P (A C) P (B C)+P (A B C), A, B, C S 2.2. Actividades Asignar probabilidad a los sucesos A = {2, 4, 6} y B = {1, 2, 3}, A B, A B, A, B, A B, B A y A B, en el caso de que el experimento aleatorio sea el lanzamiento de un dado y en los supuestos siguientes: 1. Es un dado regular 2. Es un dado ladrillo 3. Probabilidad Condicionada La probabilidad condicionada permite asignar probabilidades introduciendo informaciones acerca del experimento o ciertas creencias subjetivas que se dispongan sobre el mismo. Dados dos sucesos A y B con P (B) > 0 denimos la probabilidad de A condicionada a que el suceso B ha ocurrido como P B (A) = P (A B) = P (A B) P (B) Si P (A B) = P (A) decimos que el suceso A es independiente de B. 3.1. Propiedades de la probabilidad condicionada 1. Si A es independiente de B, entonces B es independiente de A. En ese caso simplemente decimos que A y B son independientes. 2. Los sucesos A y B son independientes si y sólo si P (A B) = P (A).P (B) 3. Si los sucesos A y B son sucesos independientes sus complementarios también lo son. 3.2. Actividades 1. Calcular P (A B) en los casos en donde A y B son los de las actividades anteriores. Tema 3 Página: 4
4. Probabilidad Total y Regla de Bayes En muchas ocasiones, cuando no se dispone de información sobre el experimento, resulta muy ventajoso asignar probabilidad a un suceso A considerando un conjunto de condiciones mutuamente excluyentes cuya unión sea el suceso seguro. Si E 1,..., E k es un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes (E i E j = si i j) tales que P (E i ) > 0 para i = 1,..., k y k i=i P (E i) = 1 entonces: k P (A) = P (A E i )P (E i ) i=1 expresión conocida como Fórmula de la Probabilidad Total. La Regla de Bayes permite actualizar nuestras creencias acerca de los sucesos de la partición E i, una vez conocida cierta información; por ejemplo el suceso A ha ocurrido. P (E j A) = P (A E j)p (E j ) k i=1 P (A E i)p (E i ) 4.1. Actividades 1. Extraemos dos cartas de una baraja de 40. Calcula la probabilidad de extraer dos ases cuando no reemplazamos la primera carta para extraer la segunda. 2. Tenemos dos urnas, cada una de ellas con 1 bola blanca y 1 negra. Se traspasa una bola de la primera a la segunda urna sin saber el color y a continuación se saca una bola de la segunda urna. a) Calcula la probabilidad de que la bola extraída sea blanca. b) Si se extrajo bola blanca de la segunda urna, calcular la probabilidad de que se traspasara la bola blanca. ¾Son independientes estos sucesos?. 3. Tenemos dos urnas, cada una de ellas con 1 bola blanca y 1 negra. Se intercambia una bola de cada urna de forma simultánea sin saber el color y a continuación se saca una bola de la segunda urna. a) Calcula la probabilidad de que la bola extraída sea blanca. b) Si se extrajo bola blanca de la segunda urna, calcular la probabilidad de que se intercambiara blanca por blanca. ¾Son independientes estos sucesos?. 5. Bibliografía 1. Tema 2, sección 1 del texto Estadística para Ciencias Agropecuarias. Autor: Di Riezo, J. A. 2. Tema 1 del texto Probabilidad y Estadística para Ciencias e Ingenierías. Rosario Delgado de la Torre. Editorial Delta. 3. Tema 2, secciones 2.1, 2,2 y 2.3 del texto Estadística para ingenieros y cientícos. William Navidi. Editorial McGraw-Hill. Tema 3 Página: 5