APUNTES Y DEL TEMA 7 -T 7--2ºESO TRIÁNGULOS SEMEJANTES: En el tema anterior hemos dicho que cuando 2 triángulos están en posición de Thales es porque están compartiendo un ángulo y los lados opuestos a ese ángulo son paralelos. Y, por otro lado, que cuando están así, los ángulos de los dos triángulos son iguales y los lados proporcionales. Pues ahora, si somos capaces de recortar el triángulo menor para desprenderlo del mayor y ponerlo a un lado lo que nos encontraremos sería un par de triángulos semejantes. Y se dice semejantes porque son parecidos, se parecen. Como a 2 triángulos cuando están en posición de Thales les pasan 2 cosas, si a esos 2 triángulos los separamos para obtener 2 triángulos separados y semejantes también les pasarán esas mismas 2 cosas, esto es, que sus ángulos medirán lo mismo y que los lados homólogos o correspondientes son proporcionales. Tal y como ya sabemos, para comprobar si los lados homólogos son proporcionales o no tendremos que formar 3 razones, una por cada lado del triángulo, y veríamos si al final nos sale el mismo nº o fracción (K) al simplificarlas. De ser así significaría que los lados homólogos serían proporcionales. Un ejemplo muy sencillito está en los instrumentos que empleamos de vez en cuando en clase para trazar perpendiculares. Estoy hablando de distintas escuadras o de diferentes cartabones en lo que se refiere al tamaño. Seguro que todos tendréis en este momento una escuadra a mano, y seguro que las hay de varios tamaños en clase. Pues una escuadra de un tamaño con respecto a otra escuadra de otro tamaño sería un claro ejemplo de 2 triángulos semejantes. Los ángulos de cualquier escuadra miden 90º, 45º y 45º, por lo que los ángulos los tendrán todos iguales, y así cumplimos la ª de las propiedades. Si nos pusiésemos a medir los lados veríamos que serían proporcionales, y así cumpliríamos las 2ª propiedad. Aquí vienen 2 ejemplos: a) b) En resumen, cuando tengamos 2 triángulos en posición de Thales los podremos separar para obtener 2 triángulos semejantes. Y si tenemos 2 triángulos semejantes los podremos colocar de forma que obtengamos 2 triángulos en posición de Thales..- De la página 42 del libro, los n os 2, 3 y 4. De la página siguiente, los n os 5 y 6. El nº 5 pudiera ser un poco complicado, pero si pensamos de forma fácil y sencilla en los tipos de triángulos que existen, poner el ejemplo que os piden no debe resultar demasiado complicado. CRITERIOS DE SEMEJANZA EN TRIÁNGULOS: Hemos dicho que para que 2 triángulos sean semejantes deben cumplir las propiedades de tener los ángulos iguales y los lados homólogos o correspondientes proporcionales. Pues en los triángulos, y sólo en los triángulos, si demostramos tan solo una de esas 2 propiedades podemos asegurar que los 2 triángulos son semejantes. Para demostrarlo, existen una serie de pruebas o condiciones, los llamados criterios de semejanza, que hacen que con tan solo demostrar eso ya nos vale para asegurar que 2 triángulos son semejantes. Estos criterios son: a) 2 triángulos con 2 ángulos iguales, son semejantes Y es así porque como en todos los triángulos la suma de sus 3 ángulos sale 80º, el tercer ángulo que nos queda también medirá lo mismo obligatoriamente, y por tanto tendrán los 3 ángulos iguales (ª condición de los triángulos semejantes). Eso nos lleva a decir que la 2ª condición, aunque no la demostremos, también se cumplirá y por lo tanto, aseguramos que los 2 triángulos son semejantes. Un ejemplo podría ser éste er triángulo, 2 ángulos de él miden 35º y 68º 2º triángulo, 2 ángulos de él miden 68º y 77º Serán semejantes? Si calculamos el ángulo que nos falta en el er triángulo (80º - 35º - 68º 77º), vemos que mide lo mismo que el 2º del 2º triángulo. Por lo tanto, cumple el er criterio que es tener 2 ángulos iguales (68º y 77º) y los 2 triángulos son semejantes.
b) 2 triángulos con los lados homólogos proporcionales, son semejantes 2-T 7--2ºESO En este caso tendríamos que hacer las 3 razones con los 3 lados correspondientes y comprobar si al final sale lo mismo ( K constante de proporcionalidad, o r razón de semejanza). Si sale lo mismo, se cumpliría la 2ª de las condiciones, y sin demostrar la ª de ellas (ángulos iguales) aseguraríamos que los 2 triángulos serían semejantes. Va el ejemplo er triángulo, sus lados miden 4, 6 y 7 cm 2º triángulo, sus lados miden 4 8, 7 2 y 8 4 cm. Serán semejantes? Hagamos las 3 razones y lleguemos al final. 4 40 5 6 60 5 7 70 5 Lados pequeños - Lados medianos - Lados mayores - 4 8 48 6 7 2 72 6 8 4 84 6 Tal y como se puede apreciar, en las tres razones llegamos al mismo resultado ( 6 5 ). Eso quiere decir entonces que los lados homólogos son proporcionales, y que K r 6 5, por lo que los 2 triángulos serán semejantes al cumplir la 2ª de las condiciones, esto es, el 2º criterio. c) 2 triángulos con un ángulo igual y los dos lados que forman dicho ángulo proporcionales, son semejantes En este caso, debemos tener 2 triángulos con un ángulo igual de cada triángulo y la medida de los lados que forman sendos ángulos. Si hacemos las 2 razones con los 2 lados homólogos que nos dan y observamos que sale lo mismo al final, aseguraremos que los 2 triángulos son semejantes. El ejemplo sería er triángulo, un ángulo de 46º y los 2 lados que forman este ángulo de 6 y 7 2 cm 2º triángulo, un ángulo de 46º y los 2 lados que forman este ángulo de 5 y 8 cm Observamos que los 2 ángulos son iguales y, por lo tanto, cumple lo primero del 3 er criterio. Con 6 2 7 2 72 2 respecto a los lados, las razones nos salen Lados menores - Lados mayores - 5 5 8 80 5 Como salen lo mismo, los lados que forman el ángulo que comparten son proporcionales, y por ello, los 2 triángulos son semejantes al cumplir el 3 er criterio. 2.- De la página 45 del libro, los n os 8, 9 y 0. En el nº 8 hay que contestar también a la pregunta 2 triángulos equiláteros son semejantes?. En el nº 9 también hay que contestar a la pregunta 2 triángulos rectángulos son semejantes?. Y en el nº 0 el enunciado le vamos a modificar una de las palabras. Cuando aparece el 2º que hay que cambiarlo por si. Luego, también contestaréis a la pregunta 2 triángulos isósceles son semejantes?. POLÍGONOS SEMEJANTES: Sabemos que 2 triángulos son semejantes cuando tienen los ángulos iguales y los lados homólogos proporcionales. Aunque ya hemos visto que no hace falta demostrar las 2 condiciones, ya que al cumplir una de ellas, la otra la cumple de corrido. Pues 2 polígonos (figuras planas) serán semejantes cuando tengan el mismo nº de lados, se parezcan a la vista y cuando los ángulos sean iguales y los lados homólogos sean proporcionales. En el caso de los polígonos, a diferencia de los triángulos, se deben de cumplir y demostrar las dos condiciones, pues puede que haya polígonos con los ángulos iguales pero con los lados homólogos no proporcionales, o viceversa (lados proporcionales pero con los ángulos desiguales). Un ejemplo serían dos romboides, uno con los ángulos de 32º y 48º y los lados de 4 y 6 cm, y otro romboide con los ángulos de 35º y 45º y los lados de 8 y 2 cm (el doble de grandes). Como se aprecia, los lados homólogos serían proporcionales (K r 2) pero los ángulos no son iguales. Por lo tanto, los 2 romboides no serían semejantes al no cumplir las 2 condiciones a la vez. 3.- De la página 47 del libro, los n os 2, 3 y 4. En el nº 4, sobra la palabra sus.
4.- Construye un hexágono regular de 6 cm de lado. Cuánto medirá el lado de otro 3-T 7--2ºESO hexágono semejante, si la razón de semejanza es de K 5? RAZÓN ENTRE LOS PERÍMETROS DE 2 POLÍGONOS SEMEJANTES: Lo vamos a explicar con un ejemplo gráfico. Vamos a partir de 2 rectángulos. El º de ellos tiene los lados de 5 y 8 cm, y el 2º los tiene de 3 5 y 5 6 cm. Serán semejantes? Pues la ª condición la cumplen (ángulos iguales) porque todos los rectángulos tienen los 4 ángulos rectos. La 2ª condición (lados homólogos proporcionales) 5 50 0 8 80 0 tendremos que hacer Lados menores - Lados mayores - 3 5 35 7 5 6 56 7 Esto significa que los lados homólogos son proporcionales. Al cumplir las 2 condiciones a la vez, diremos 0 que los 2 rectángulos son semejantes, y que la razón de semejanza (r) o la constante de propor. (k) es. 7 0 K r 7 Hasta aquí todo es igual que en el apartado anterior. Pero, Qué pasa si hacemos la razón entre los perímetros de estos rectángulos semejantes? Hagámoslo Perímetro del rectángulo mayor 5 cm 2 + 8 cm 2 26 cm Perímetro del rectángulo menor 3 5 2 + 5 6 cm 2 8 2 cm Si ahora le hacemos la razón a los perímetros de los 2 rectángulos, y en el mismo orden (mayor arriba y menor abajo), veamos lo que pasa PER 26 260 0 per 8 2 82 7 Pues la razón entre los perímetros de 2 polígonos semejantes también sale K o r. Esto significa que si alguna vez, en algún problema me piden que averigüe la constante de proporcionalidad (k) o la razón de semejanza (r), tengo ahora mismo 2 modos de obtenerla: K r LADO PER, o al revés (lo pequeño arriba y lo grande abajo) lado per RAZÓN ENTRE LAS ÁREAS DE 2 POLÍGONOS SEMEJANTES: También lo vamos a ver con un ejemplo. Seguiremos con el del apartado anterior, donde teníamos a 2 rectángulos de los que ya hemos comprobado que son semejantes. Calculémosles sus áreas pasa Área del rectángulo mayor b a 8 cm 5 cm 40 cm 2 Área del rectángulo menor b a 5 6 cm 3 5 cm 9 6 cm 2 Si ahora le hacemos la razón a las áreas de los 2 rectángulos, y en el mismo orden, veamos lo que ÁREA 40 400 00, y ya no podemos simplificar más. área 9 6 96 49 Bien. Parece que la razón entre las áreas no sale la constante de proporcionalidad. Y entonces para qué le hemos hecho la razón? Para perder el tiempo? Fijaos bien en lo que sale la razón 0 00 Sacáis algo? Yo sí. Si elevamos al cuadrado, qué sale? No me digas que. Pues entonces ya 7 49 sabemos algo más. La razón entre las áreas de 2 polígonos semejantes sale la constante de proporcionalidad al cuadrado, es decir, k 2 (o r 2, que es lo mismo). Significa pues, que hay otra forma de sacar la k o r de un ejercicio. Como la razón entre las áreas de 2 polígonos semejantes sale k 2, si quiero averiguar k lo único que tendría que hacer es la raíz cuadrada a lo que salga esa razón, y eso me dará k. Por tanto, K r LADO PER lado per ÁREA área
4-T 7--2ºESO 5.- De la página 48 del libro, los n os 6, 7 y 8. 6.- Los lados de un triángulo miden 4, 0 y 2 cm. Halla los lados de otro triángulo semejante a éste que tiene un perímetro de 39 cm. 7.- De la página 49 del libro, los n os 20, 2, 22 y 23. 8.- Halla el lado de un triángulo equilátero sabiendo que el perímetro de un triángulo semejante es 0 cm y que la razón entre sus áreas es 9/4. 9.- Halla la razón entre los perímetros y las áreas de 2 cuadrados, sabiendo que el lado de uno de ellos mide 8 cm y el del otro, la mitad. 0.- La razón entre los perímetros de 2 hexágonos semejantes es 2/5. Sabiendo que el área del pequeño mide 32 4 cm 2, averigua el área del mayor..- Demuestra si estos 2 trapecios son o no semejantes. Explícalo. Por qué son trapecios? De qué tipo son? Por qué? 3.- Los lados de un pentágono miden 4, 4, 5, 5 y 6 cm. Es regular? Se sabe que el perímetro de otro pentágono semejante mide 28 8 cm. Cuánto medirá el lado mayor de dicho pentágono? 4.- Un lado de un heptágono mide 8 cm, y el correspondiente de otro semejante 8 8 cm. Cuánto saldrá la razón entre las áreas de ambas figuras? 5.- Los lados de un romboide miden 5 y 7 cm. Los de otro romboide miden 6 5 y 9 cm. Son semejantes? Por qué? En caso de serlos, halla k o r. 6.- Los perímetros de 2 polígonos semejantes miden 45 y 50 cm. Cuánto saldrá la razón entre sus lados homólogos más pequeños? Y la razón entre los lados homólogos más grandes? Y la de sus áreas? LAS ESCALAS: La parte final del tema está dedicado a un ejemplo real y palpable donde se ven semejanzas. No hay nada más semejante que una maqueta de una motocicleta y la moto real a la que representa. O el plano de un piso antes de hacerlo y el tamaño del suelo del piso cuando estemos en él. Y como éstos, muchos ejemplos más. En todos estos casos, la figura grande será la que corresponde a la realidad, y la figura pequeña es la que tenemos en un plano, en la maqueta, en un dibujo,... Por lo tanto, todo queda igual que antes. Las escalas no son más que un claro ejemplo de 2 figuras semejantes donde la escala a la que está hecho el objeto es, nada más y nada menos, que la constante de proporcionalidad (k) o la razón de semejanza (r). En estos casos, como la escala siempre viene dada por : nº mayor que, nº mayor que siempre se pondrá la medida del plano en la parte superior de la razón, y la medida mayor (la real) en la parte inferior para que la razón, una vez se simplifique, salga : nº mayor que. Entonces, para averiguar la escala con la que está hecho un objeto o plano podremos sacarlo de ESCALA k r lado del plano LADO REAL per. plano PER. REAL área del plano ÁREA REAL nº mayor que Si tuviésemos que hacer algún cambio de unidad de longitud, puesto que la medida del plano está en cm y la de la realidad está en m, os recuerdo que habría que hacerlo con el factor de conversión. 2.- Un campo rectangular tiene una superficie de 7.600 m 2, y en el plano lo veo de 8 cm de largo y 3 de ancho. Calcula la escala con la que está hecho. 7.- De la página 5 del libro, el nº 25.
8.- Una habitación tiene 8 m 2 de superficie, y en el plano 5-T 7--2ºESO la encontramos dibujada en 2 cm 2. Calcula la escala con la que está hecho el dibujo. 9.- En un plano vemos dibujado un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 2 y 5 cm, respectivamente. El de la realidad tiene una superficie de 80 dm 2. Averigua la escala y las medidas reales de los 2 catetos del triángulo. 20.- Las áreas de 2 figuras semejantes miden 42 cm 2 y 68 m 2. Averigua la escala empleada para confeccionar la figura menor. 2.- Una superficie cuadrada tiene 44 m 2 de área, y la tengo dibujada en el plano con un lado de 3 cm. Averigua la escala con la que está hecho. 22.- Averigua la escala con el que está hecho el dibujo de esta farola, sabiendo que en la realidad tiene una altura de 4 5 m. (NOTA: quítale mm a lo que midas) 23.- El campo de fútbol siguiente está hecho a escala. Averíguala con los datos que se dan: DEL TRABAJO: 30, 3, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 43, 44, 47, 48, 54, 55, 59. EJERCICOS CAMBIADOS O MODIFICADOS: 34.- La razón entre las áreas de 2 triángulos es perímetro del menor es 6 cm? 39.- Observa la siguiente figura: Debes explicarlos todo lo que puedas y sea necesario.. Cuánto mide el perímetro del triángulo mayor, si el 4 Si sabemos que el área del triángulo ABC es 6 cm 2 y la del trapecio BB C C es 20 cm 2, cuánto mide el lado B C? 43.- Son semejantes 2 rombos, sabiendo que los lados de uno de ellos miden 6 cm y los del otro rombo miden 4 cm? 44.- La superficie de un comedor mide 24 m 2. Si tiene forma rectangular y mide en el plano 6 cm por 6 25 cm, calcula la escala del plano. 59.- La distancia entre 2 ciudades, en línea recta, es de 744 km. Al medir esta distancia en un mapa obtenemos el valor 372 mm. Cuál es la escala del mapa? Fdo. Juan Chanfreut Rodríguez Profesor de matemáticas de 2º de ESO