NOCIONES ELEMENTALES DE TRIGONOMETRIA En lo que sigue se repasan conceptos elementales de trigonometría, que serán utilizados en temas posteriores de la asignatura.. Ángulos orientados Un ángulo orientado α = ( O, l i, l t, g ) consiste en un vértice O, una semirrecta l i de origen O llamada lado inicial, otra semirrecta l t de origen O llamada lado terminal, y un giro g alrededor de O desde el lado inicial al lado terminal. El giro g puede contener varias vueltas completas alrededor de O. El ángulo α se dice positivo si el giro g se hace en el sentido contrario al de las agujas del reloj y en caso contrario se dice que α es negativo. De ahora en más vamos a considerar el plano coordenado de origen O y ejes Hx, yl, y los ángulos orientados tendrán siempre como lado inicial l i el semieje positivo de las x. El primer dibujo muestra un ángulo positivo con dos vueltas completas y 45 0. El segundo dibujo muestra un ángulo negativo con una vuelta completa y 35 0. Ambos ángulos tiene el mismo lado terminal pero son diferentes como ángulos orientados. 3 2-3 -2 2 3-2 -3
2 Repaso de Trigonometria_AGA_09.nb 3 2-2 2 3-2 Nota Al girar una rueda alrededor de su eje lo puede hacer hacia "adelante" o hacia "atrás" y puede dar tantas vueltas como se quiera y parar en un momento dado. Esta puede ser la imagen intuitiva de ángulo orientado. 2. Medida de ángulos orientados Medición por grados sexagesimales Al dividir la circunferencia en 360 partes iguales, cada una de esas partes determina, con el centro y los radios correspondientes, un ángulo de 0. Se divide a su vez el ángulo de 0 en 60 partes iguales, cada una de las cuales determina un ángulo de minuto, y así sucesitvamente. Un ángulo orientado se mide por los grados de su giro g en forma positiva o negativa de acuerdo a si el ángulo es positivo o negativo. Por ejemplo, un ángulo orientado puede medir 30 0, 90 0,- 60 0,450 0,- 230 0. Los ángulos orientados de 30 0, 390 0 y - 330 0 tienen el mismo lado terminal pero difieren en el giro g. Medición por radianes Se considera la circunferencia con centro en el origen y radio. Dado un ángulo orientado α, su giro g determina un arco sobre esa circunferencia, que puede contener varias circunferencias completas. Sea a la longitud de ese arco. Si el ángulo α es positivo se dice que mide a radianes y si es negativo que mide - a radianes. La circunferencia de radio tiene longitud. De allí resultan: Un ángulo recto positivo mide π radianes 2 Un ángulo llano positivo mide π radianes Un ángulo de - 45 0 negativo mide - π 4 radianes Relación entre grados sexagesimales y radianes La relación fundamental es que 2π radianes equivalen a 360 0 Luego x radianes equivalen a 360 x 0
Repaso de Trigonometria_AGA_09.nb 3 y θ 0 equivalen a 360 θ radianes Un ángulo de radian mide Un ángulo de 0 mide 360 360 > 57.3 0 > 0.07 radianes Números y ángulos Consideremos un número cualquiera, por ejemplo, el número 73.4. Podemos determinar el ángulo orientado que mide 73.4 radianes. Como 73.4 =27.5975... el ángulo consiste 27 vueltas completas en sentido positivo más un arco de 2π 975..radianes que equivale a > 22.4 0. De la misma manera, para encontrar el ángulo orientado de - 2.3 radianes hacemos 2.3 > 3.23.. y 360 x 3.23 > 82.8. Luego el ángulo de -2.3 rad consiste en 3 giros completos negativos más un ángulo de - 82.8 0. La conclusión importante es que los números reales se corresponden con los ángulos orientados de tal manera que: radianes Cada número real x se corresponde con el ángulo orientado que mide x Nota Pensemos en una rueda que gira alrededor de su eje y cuyo radio es. Un punto del borde recorre una longitud de x unidades si la rueda gira un ángulo orientado de x radianes (con la convención de signo ± establecida). 3. Funciones trigonométricas. Gráficas y propiedades. Dado un número real x consideremos el ángulo orientado de x radianes. El lado terminal corta a la circunferencia unidad en un punto PHa, bl : a 2 + b 2 = Llamamos a P el punto terminal del ángulo. sen x := b Se definen las funciones trigonométricas seno y coseno por : cos x := a Estas funciones están definidas para cada número x. Observemos que cuando 0 < x < π 2, el ángulo orientado de x radianes es el
4 Repaso de Trigonometria_AGA_09.nb ángulo de un triángulo rectángulo y las definiciones anteriores coinciden con las usuales de la trigonometría: * sen x es la longitud del cateto opuesto dividido la longitud de la hipotenusa y * cos x es la longitud del cateto adyacente dividido la longitud de la hipotenusa. Propiedad Se verifica la relación Pitagórica: P sen 2 x + cos 2 x = Es una consecuencia de que el punto P está en la circunferencia unidad. De ella se deduce que: b sen x b ; b cos x b Es claro que: sen 0 = 0 cos 0 = sen π 2 = cos π 2 = 0 sen π = 0 cos π = sen 3 = cos 3 = 0 a) Usando un cuadrado y su diagonal se encuentra que cos π = sen π = = 0.707.. 4 4 2 b) Usando un triángulo equilátero y una de sus alturas se calcula: cos π = sen π = = y cos π = sen π = 3 = 0.866.. 3 6 2 6 3 2 Según en qué cuadrante se ubique el punto terminal P así será el signo de las funciones trigonométricas: en el primer cuadrante sen x > 0 y cos x > 0 en el segundo cuadrante sen x > 0 y cos x < 0 en el tercer cuadrante sen x < 0 y cos x < 0 en el cuarto cuadrante sen x < 0 y cos x > 0 Ejemplo Si sen x = - 0.35 y el punto terminal P está en el tercer cuadrante entonces, por la relación Pitagórica P, podemos calcular cos x cos x = - sen 2 x = - 0.35 2 > - 0.93675. Propiedad 2
Repaso de Trigonometria_AGA_09.nb 5 Como el punto terminal P es el mismo para un ángulo de x radianes o de x + 2 k π radianes, para k entero, resulta la segunda propiedad, llamada de periodicidad: P2... sen Hx + 2 k πl = sen x : cos Hx + 2 k πl = cos x para cada entero k = 0, ±, ±2 Propiedad 3 Sea P = Ha, bl el punto terminal de un ángulo de x radianes. Es fácil ver que el punto terminal para el ángulo de - x radianes es el simétrico de P respecto del eje x : P ' = Ha, bl. De allí resulta la propiedad 3 P3 : sen H xl = sen x cosh xl = cos x Definición Se dice que una función fhxl es impar si fh xl = fhxl y que es par si fh xl = fhxl. La función sen x es impar y la función cos x es par. También fhxl = x 3 es impar y fhxl = x 2 es par. La función fhxl = x + x 2 no es ni par ni impar. Cómo es la gráfica de una función par y de una impar? Propiedad 4 Sea P el punto terminal del ángulo orientado de x radianes. Ubiquemos el punto terminal P ' del ángulo de x + π 2 radianes. Razonado sobre la figura se ve si P = Ha, bl entonces P ' = H b, al, de donde se tiene la propiedad 4. P4 : senix + π 2 M = cos x cosix + π 2 M = sen x
6 Repaso de Trigonometria_AGA_09.nb Con los valores que conocemos de sen x y las propiedades demostradas, estamos encondiciones de determinar los valores de sen x para los múltiplos de π 4 y de π.podemos graficar en el plano algunos esos puntos 6 Hx, sen xl para tener una primera idea de la gráfica de la función sen x. -5-2.5 2.5 5 7.5 0 2.5 Si unimos los puntos por una poligonal queda el siguiente gráfico provisorio para sen x. -5-2.5 2.5 5 7.5 0 2.5 Propiedad 5 Sean x e y dos números reales.vamos a encontrar una manera de calcular coshx yl conociendo los valores del seno y del coseno en x e y.demostraremos la fórmula siguiente : P5 coshy xl = cos y cos x + sen y sen x Caso. Suponemos primero que x e y están entre 0 y a. Sea 0 < y x b π.entonces queda determinado un triángulo O, P Hcos x, sen x L, Q Hcos y, sen yl con ángulo en O de y x radianes. P Q Aplicando el teorema del coseno a ese triángulo se tiene» PQ» 2 = 2 + 2 2.. cos Hy xl = 2 2 coshy xl Otra manera de calcular la distancia entre P y Q es usando sus coordenadas» PQ» 2 = Hcos y cos xl 2 + Hsen y sen xl 2 = 2 2 Hcos y cos x + sen y sen xl Luego se obtiene la propiedad 5 para este caso. b. Sea π < y x <.En esta situación también queda determinado el triángulo OPQ pero donde el ángulo O mide Hy xl radianes.
Repaso de Trigonometria_AGA_09.nb 7 P Q Procediendo como en la situación anterior llegamos a : cos @ Hy xld = cos y cos x + sen x sen y Además por P2 y P3 se tiene : cos@ Hy xld = cos @ Hy xld = coshy xl y encontramos nuevamente P5 en este caso. c. Sea x < y.usando la propiedad P3 se tiene cos Hy xl = coshx yl y usando los casos anteriores nuevamente llegamos a P5 en este caso. d. Si x = y es claro que vale la igualdad P5 pues se tiene cos 0 = y P. Caso 2. Sean x e y cualesquiera. Escribimos x = n + x con n entero y 0 b x < y = m + y con m entero y 0 b y < Por el Caso sabemos que la identidad P5 vale para x e y.usando la periodicidad se llega fácilmente a que también vale para x e y. q.e.d. Terminar de demostrar el Caso 2 anterior. Sobre la tangente Recordamos que tg x = sen x cos x cuando x 2 k π + π 2 Calcular cos x cuando se conoce tg x.