UNIDAD II CONTENIDO TEMÁTICO PRODUCTOS NOTABLES I.S.C. Alejandro de Fuentes Martínez 1
ESQUEMA--RESUMEN RESUMEN DE LA UNIDAD II Definición de Productos Notables Clasificación de productos notables Cuadrado de un binomio PRODUCTOS NOTABLES Producto de dos binomios con un término común Producto de binomios conjugados Teorema del Binomio 2
2.1 DEFINICIÓN DE PRODUCTOS NOTABLES Existen ciertas fórmulas que permiten multiplicar ciertos polinomios de forma directa (sin realizar la multiplicación completa). Tales fórmulas se denominan productos notables y muchas de ellas se refieren a operaciones con binomios. Así pues, productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales. Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización, que es el tema de la siguiente unidad. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente. Así pues, para sintetizar los conceptos: Un producto es la cantidad que resulta de una multiplicación. Y los productos notables, son multiplicaciones clásicas o típicas entre binomios o trinomios, que dan siempre la misma estructura en su resultado, y que por ende, pueden escribirse por simple inspección si se conoce y se ha memorizado, en cierta manera, la regla que produce dicha estructura. Comenzaremos la unidad abordando una clasificación genérica de los productos notables, para posteriormente enfocarnos a aquellos que tendrán mayor relevancia para el estudio de esta segunda unidad. 3
2.2 CLASIFICACIÓN DE PRODUCTOS NOTABLES Binomio al Cuadrado o Cuadrado de un Binomio (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Ejemplo:(3x + 4) 2 = (3x) 2 + 2(3x)(4) + 4 2 = 9x 2 + 24x + 16 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 Ejemplo: (x - 8) 2 = (x) 2 2(x)(8) 8 2 = x 2 16x 64 Binomios Conjugados ó Suma por Diferencia (a + b) (a b) = a 2 b 2 Ejemplo: (2x + 5) (2x - 5) = (2 x) 2 5 2 = 4x 2 25 Binomio al Cubo ó Cubo de un Binomio (a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 Ejemplo: (x + 3) 3 = x 3 + 3 x 2 3 + 3 x 3 2 + 3 3 = = x 3 + 9 x 2 + 27 x + 27 Ejemplo: (2x - 3) 3 = (2x) 3-3 (2x) 2 3 + 3 2x 3 2-3 3 = = 8x 3-36 x 2 + 54 x - 27 4
Trinomio al Cuadrado (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc Ejemplo: (x 2 x + 1) 2 = = (x 2 ) 2 + (-x) 2 + 1 2 +2 x 2 (-x) + 2 x 2 1 + 2 (-x) 1= = x 4 + x 2 + 1-2x 3 + 2x 2-2x= = x 4-2x 3 + 3x 2-2x + 1 Suma de Cubos a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 ab + b 2 ) Ejemplo: 8x 3 + 27 = (2x + 3) (4x 2-6x + 9) Diferencia de cubos a 3 b 3 = (a b) (a 2 + ab + b 2 ) Ejemplo: 8x 3 27 = (2x 3) (4x 2 + 6x + 9) Producto de dos Binomios que tienen un Término Común (x + a) (x + b) = x 2 + (a + b) x + ab Ejemplo: (x + 2) (x + 3) = = x 2 + (2 + 3)x + 2 3 = = x 2 + 5x + 6 5
Procedimiento General para el Desarrollo de Productos Notables 6
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2.3 CUADRADO DE UN BINOMIO Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Es decir: Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es: En ambos casos el tercer término tiene siempre signo positivo. Ejemplos: simplificando: Ilustración Gráfica del Binomio al Cuadrado. Fuente: http://es.wikipedia.org Regla: Un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, másmenos (dependiendo del signo utilizado) el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término. (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 8
Ejemplo 1 9
Ejemplo 2 10
2.4 PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS Dos binomios que sólo se diferencien en el signo de la operación se denominan binomios conjugados. O también podrías encontrarla como Suma por diferencia. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos, obteniendo una diferencia de cuadrados. Ejemplo: agrupando términos: Ilustración Gráfica del Producto de Binomios Conjugados. Fuente: http://es.wikipedia.org Regla: El producto de binomios conjugados, es igual a la resta de cada monomio elevado al cuadrado. (a + b) (a b) = a 2 b 2 11
Ejemplo 1 12
Ejemplo 2 13
2.5 PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el cuadrado del término común con el producto el término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes. Ejemplo: agrupando términos: luego: Ilustración Gráfica del Producto de dos Binomios con un Término Común. Fuente: http://es.wikipedia.org 14
2.6 TEOREMA DEL BINOMIO. Como ya hemos vistos, un Binomio es la expresión algebraica que está formada exactamente por dos términos separados por + o -, como x + y o ab - cd. El teorema del binomio nos dice que la expresión general de un binomio cualquiera, como (x + y), elevado a la n-ésima potencia está dada por: ( x + y) n = x n + nx n 1 y + ( n ) n( n 1)( n 2) n 1 2 1 n 2 2 n 3 3 x y + 1 2 3 x y +... + ( n 1) 2 n 2 1 n 1 n n 1 2 x y + nx y + y El desarrollo completo contiene n + 1 términos, empezando con el término cero y terminando con el término n-ésimo. En este ejemplo, el término cero es x n. El coeficiente genérico del término k en la expresión anterior es: ( 1)( 2)( 3 )...( + 1) n n n n n k 1 2 3 4...( k) Este teorema fue formulado en la edad media y desarrollado (alrededor de 1676) para exponentes fraccionarios por el científico inglés sir Isaac Newton, lo que le permitió el uso de sus recién descubiertos métodos de cálculo para resolver muchos problemas difíciles. El teorema del binomio, también llamado binomio de Newton, es muy útil en varias ramas de las matemáticas, en particular en la teoría de la probabilidad. 15
Ejemplos de uso del Teorema del Binomio: Para n=2, n=3, n=4: Y si el binomio fuera una resta, aparecería el signo negativo intercalándose entre cada monomio a partir del segundo monomio. Esto es: 4 4 3 2 2 3 4 ( x y) = x 4x y + 6x y 4xy + y Ahora bien, para calcular los coeficientes binomiales de cualquier binomio como (x + y), elevado a la n-ésima potencia, podemos usar como una alternativa práctica, el Triángulo de Pascal. El Triángulo de Pascal es un triángulo de números enteros, infinito, y simétrico cuyas diez primeras líneas han sido representadas en la ilustración siguiente: n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 n = 8 n = 9 Se construye de la siguiente manera: Se empieza por el «1» de la cumbre. De una línea a la siguiente se conviene escribir los números con un desfase de media casilla. Así, las casillas (que no se dibujan) tendrán cada una dos casillas justo 16
encima, en la línea anterior. El valor que se escribe en una casilla es la suma de los valores de las dos casillas encima de ella. El valor cero no se escribe. Por ejemplo, en la última línea dibujada, el cuarto valor es 84 = 28 + 56, suma del tercer y cuarto valor de la línea anterior. Se observa, y no es difícil demostrarlo, que la capa exterior está formada de unos, la segunda capa de los naturales en orden creciente, que los números no hacen más que subir de una línea a la siguiente y que existe un eje de simetría vertical que pasa por el vértice. Sin embargo, el interés de este triángulo no radica en estas propiedades, sino en el vínculo que tiene con el Álgebra elemental. En efecto, las cifras 1; 2; 1 y 1; 3; 3; 1 recuerdan las identidades: y pues son los coeficientes de sus monomios. Este parecido no es casual y se generaliza a cualquier potencia del binomio a + b. 17
REFERENCIAS Autores varios (2002) Enciclopedia Libre Universal en Español. Consultado en Agosto 4, 2009 en http://enciclopedia.us.es/index.php/coeficiente_binomial_y_tri%c3%a1ngulo_de_ Pascal Fernández, J.C. (2008) Vitutor.com sitio web de libre acceso, y con contenidos gratuitos para todos sus usuarios. Consultado en Mayo 23, 2009 en http://www.vitutor.com/ab/p/a_1.html# Fundación Wikimedia (2001) Wikipedia. La Enciclopedia Libre Consultado en Julio 28, 2009 en http://es.wikipedia.org/wiki/productos_notables FORTEC, Formación y Tecnología S.L. (2009) Consultado en Julio 28, 2009 en http://www.deberesmatematicas.com Micronet. Enciclopedia Junior Micronet. Enciclopedia Multimedia. Micronet. Microsoft (2006). Microsoft Encarta (2006). Biblioteca Premium. Microsoft, Corporation. 18