Geometría analítica del plano 1 Unidad 5: Geometría analítica del plano. 1.- Vectores. Operaciones con vectores. Un vector fijo es un segmento entre dos puntos, A y B del plano, al que se le da una orientación al indicar qué punto es el origen y cuál es el extremo. Si el punto A es el origen y el punto B el extremo del vector, entonces lo denotaremos como. Características de un vector fijo: El módulo del vector es la longitud del segmento que lo determina. Lo denotaremos por La dirección del vector es la recta sobre la que está situado el vector. Cada dirección admite dos sentidos opuestos. El sentido del vector es la del recorrido que parte de A y llega hasta B. Dos vectores tienen la misma dirección si están situados sobre la misma recta o sobre rectas paralelas.
Geometría analítica del plano 2 Dos vectores que tienen la misma dirección, sentido y módulo se dice que son equipolentes. Los vectores y tienen la misma dirección y el mismo módulo, pero tienen sentidos opuestos. El conjunto de vectores fijos equipolentes a un vector dado se llama vector libre. Cualquier representante del vector libre nos puede servir para denotarlo. Así representa tanto al vector fijo con origen A y extremo B, como a todos los vectores equipolentes a él. De esta manera, no es necesario indicar los puntos origen y extremo para designar un vector libre, sino que se puede hacer mediante una letra, por ejemplo la. Componentes de un vector Un vector libre puede venir determinado por un par ordenado de números que se llaman componentes del vector. Dados dos puntos y del plano en una referencia cartesiana, las componentes del vector se calculan como:
Geometría analítica del plano 3 Ejemplo: Las componentes del vector del gráfico son (3, 2) y su módulo (utilizando el teorema de Pitágoras) Si el vector tiene como componentes, entonces su módulo viene dado por Aunque dos vectores equipolentes tengan distintos orígenes y extremos, tienen las mismas componentes.
Geometría analítica del plano 4 Dos vectores son paralelos (misma dirección aparecen triángulos rectángulos semejantes) tienen sus componentes proporcionales, es decir Son paralelos si y solo si Operaciones con vectores: Suma de vectores. Dados los vectores, entonces se define la suma de como Producto de un número por un vector. Dado el vector y el número real k, se define el producto de k por como. Vector opuesto. El vector opuesto de es el vector -, que tiene el mismo módulo y dirección pero el sentido es contrario a. Por tanto Diferencia de vectores. La diferencia de dos vectores se calcula como la suma de con el opuesto de, es decir. Interpretación geométrica de estas operaciones: Suma de vectores
Geometría analítica del plano 5 Producto de un número por un vector y vector opuesto Diferencia de dos vectores 1.- Encuentra las componentes del vector con origen en el punto y extremo en 2.- Calcula el módulo de los vectores 3.- Dados los vectores, calcula las componentes de los vectores 2, -, 3 + 6 y 2-3. Represéntalos gráficamente.
Geometría analítica del plano 6 2.- Combinación lineal de vectores. Dependencia lineal. Una combinación lineal de dos vectores es un vector de la forma, siendo a y b números reales. Por ejemplo, es combinación lineal de puesto que. Por otro lado, se dice que un vector es combinación lineal de si existen dos números reales a y b tales que. Por ejemplo, es combinación lineal de puesto que. El vector nulo = (0,0) es combinación lineal de cualquier conjunto de vectores, pues 4.- Determina si el vector es combinación lineal de los vectores. Un conjunto de vectores son linealmente dependientes si alguno de los vectores es combinación lineal de los restantes. En caso contrario, se dicen linealmente independientes. Obsérvese: Si el vector nulo forma parte de un conjunto de vectores estos son linealmente dependientes. Un conjunto de vectores distintos de son linealmente independientes si la única combinación lineal posible del vector nulo a partir de ellos es: 5.- Determina si los vectores son linealmente independientes. 3.- Base de vectores del plano. Sistemas de referencia. Una base de vectores del plano es un conjunto B de dos vectores linealmente independientes,, tales que cualquier otro vector del plano puede escribirse, de
Geometría analítica del plano 7 forma única, como combinación lineal de, es decir,. La base B puede escribirse como Un sistema de referencia denominaremos origen de coordenadas, y una base B. del plano consta de un punto fijo O, que El sistema de referencia cartesiano es el que tiene como origen de coordenadas a y como base B=. Coordenadas de un vector en un sistema de referencia Dada una base, un vector puede escribirse como combinación lineal de ( ). Los números a y b son las coordenadas de respecto de la base B. Lo escribiremos como. Obsérvese que las coordenadas coinciden con las componentes del vector cuando consideramos como sistema de referencia el cartesiano. En lo que sigue, salvo que se indique lo contrario, consideraremos siempre el sistema de referencia cartesiano, donde todo vector se puede escribir como siendo las componentes del vector, o lo que es lo mismo las coordenadas del vector en la base B=. 6.- Determina si es una base del plano. 7.- Encuentra las coordenadas del vector respecto de la base. 4.- Producto escalar de vectores. El producto escalar de dos vectores, denotado como, es el número real definido como, donde, es el ángulo que forman. Propiedades Es conmutativo Es distributivo respecto de la suma (resta) de vectores.
Geometría analítica del plano 8 Para cualquier número real k se cumple: El producto escalar de un vector por si mismo es igual al cuadrado de su módulo, es decir, Expresión analítica del producto escalar Si. Teniendo en cuenta que y, se tiene aplicando las propiedades del producto escalar de vectores que Como y, se tiene que 8.- Calcula el producto escalar de los vectores (1, 3) y (5, -2). 9.- Calcula el producto escalar de, sabiendo que sus módulos valen y que forman un ángulo de 60º. Ángulo entre dos vectores Si, utilizando la definición de producto escalar y su expresión analítica, podemos encontrar el ángulo que forman dichos vectores mediante la expresión: 10.- Calcula el ángulo que forman los vectores. Vectores unitarios, vectores ortogonales y vectores ortonormales. Decimos que un vector es unitario si su módulo es 1, es decir, si. Se dice que dos vectores son ortogonales entre sí, si su producto escalar es 0, es decir, si. Dos vectores son ortonormales si ambos son unitarios y ortogonales entre sí. Obsérvese: - Si dos vectores son ortogonales, sus direcciones son perpendiculares entre sí.
Geometría analítica del plano 9 - El vector (a, b) es ortogonal al vector (-b, a) y a todos sus proporcionales (misma dirección). - Para encontrar un vector unitario con la misma dirección y sentido que un vector (a, b), basta con dividir cada componente entre el módulo del vector, es decir, entre. 11.- Determina si los vectores son ortogonales entre sí. 12.- Encuentra un vector unitario con la misma dirección y sentido que. 13.- Encuentra los vectores unitarios que forman un ángulo de 60º con el vector. 5.- Ecuaciones de la recta. Ecuación vectorial de la recta Una recta r viene determinada por un punto P y una dirección. El vector se denomina vector de posición y el vector es el vector director de la recta r. Si Q es un punto cualquiera de la recta, el vector se puede expresar como suma del vector de posición con un múltiplo del vector director de la recta Si, entonces. Si, entonces. Si, teniendo en cuenta la relación, se tiene:
Geometría analítica del plano 10 Ejemplo: La ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto P (3, 7) y tiene como vector director es: Ecuación paramétrica de la recta Realizando operaciones en la ecuación vectorial se obtiene: Igualando componentes: Ejemplo: La ecuación paramétrica de la recta del ejemplo anterior es: Ecuación continua de la recta Si las dos componentes del vector son no nulas, entonces es posible despejar el parámetro t de la ecuación paramétrica para igualar posteriormente las dos expresiones, obteniéndose: La ecuación continua de la recta del ejemplo es: 14.- Calcula la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto A (- 1, 1) y cuyo vector director es. 15.- Encuentra la ecuación continua de la recta que pasa por los puntos A= (3, -2) y B= (1,3). 16.- Calcula la ecuación continua de la recta cuyas ecuaciones paramétricas son
Geometría analítica del plano 11 Ecuación general de la recta Si las dos componentes del vector son no nulas, transformando la ecuación continua en una ecuación equivalente sin denominadores (efectuando el producto en cruz), y llevando todos los términos al primer miembro, se obtiene: Llamando, podemos escribir la ecuación como Observa que si es la ecuación general de la recta: El vector director de la recta es es un vector ortogonal a al vector. Por tanto, nos proporciona la dirección perpendicular a la recta r. Ejemplo: La ecuación general de la recta es: Ecuación explícita de la recta Si en la ecuación general de la recta r, entonces podemos despejar la y de la ecuación obteniendo Si llamamos (pendiente) y (ordenada en el origen) obtenemos la ecuación Obsérvese que la pendiente m de la recta cumple: siendo el ángulo que forma la recta con la horizontal.
Geometría analítica del plano 12 Ejemplo: La ecuación explícita de la recta del ejercicio anterior es Ecuación punto- pendiente de la recta Si las componentes del vector son no nulas, a partir de la ecuación continua podemos obtener la siguiente expresión: Teniendo en cuenta que tenemos 17.- Encuentra la ecuación general de la recta r que tiene a como vector director y que contiene al punto. 18.- Encuentra la ecuación general de la recta r cuyo vector director es y que pasa por el punto. 19.- Calcula la pendiente y la ordenada en el origen de la recta r que une los puntos. 20.- Encuentra la ecuación punto pendiente de la recta r cuyo vector director es y que pasa por el punto. 6.- Posiciones relativas de rectas en el plano (rectas secantes, rectas paralelas y rectas coincidentes). Para averiguar la posición relativa podemos realizar una de los siguientes procedimientos: 1.- Resolver el sistema formado por las ecuaciones de las rectas(sistema compatible determinado secantes; sistema incompatible paralelas; sistema compatible indeterminado coincidentes). 2.- Comparar sus pendientes y sus ordenadas en el origen (distintas pendientes secantes; pendientes iguales pueden ser paralelas si tienen distinta ordenada en el origen o coincidentes si tienen la misma ordenada en el origen)
Geometría analítica del plano 13 21.- Estudia la posición relativa de las rectas. 22.- Dadas las rectas, estudia su posición relativa. 23.- Estudia la posición relativa de la recta r que pasa por los puntos con la recta r que pasa por los puntos. 7.- Ángulo que forman dos rectas Se llama ángulo entre dos rectas r y r al menor ángulo que forman las rectas al cortarse. Este ángulo coincide con el ángulo que forman sus vectores directores. Si las rectas vienen dadas por sus respectivas ecuaciones explícitas, entonces podemos calcular los ángulos que forman las rectas con el eje de abscisas mediante: Una vez que tenemos, el ángulo que forman las rectas r y r es: 24.- Calcula el ángulo que forman las rectas. 25.- Halla el ángulo que forman las rectas.
Geometría analítica del plano 14 Se puede demostrar que si dos rectas son perpendiculares el producto de sus pendientes es -1. 8.- Distancias entre puntos y rectas. Distancia entre dos puntos P y Q (Módulo del vector que los une) Distancia entre un punto P y una recta r La distancia es la distancia entre el punto P y el punto intersección de r con la recta perpendicular a r que pasa por P. Si la recta viene dada en la forma general y, se puede demostrar que: 26.- Calcula la distancia entre los puntos. 27.- Calcula la distancia entre el punto y la recta
Geometría analítica del plano 15 28.- Calcula la distancia entre el punto medio del segmento definido por y la recta dada por Distancia entre dos rectas La distancia entre dos rectas r y r del plano puede definirse como la mínima distancia entre los puntos de cada recta. De esta manera, si las rectas son secantes o coincidentes, tienen puntos comunes y por lo tanto, la distancia entre ellas es igual a 0 Si las rectas son paralelas, no tienen puntos comunes. Así, su distancia se calcula como la distancia entre un punto cualquiera de una de las rectas y la otra recta. 29.- Calcula la distancia entre las rectas 30.- Calcula la distancia entre las rectas 31.- Encuentra la distancia entre las rectas dadas por las ecuaciones Soluciones 1.- (1, -1) 2.- 3.- 4.- 5.- sí 6.- sí 7.- 8.- -1 9.- 3 10.- 45º 11.- sí 12.-
Geometría analítica del plano 16 13.- 14.- 15.- 16.- 17.- 18.- 19.- 20.- 21.- secantes 22.- paralelas 23.- paralelas 24.- 25.- 26.- 27.- 28.- 29.- secantes, luego la distancia es 0 30.- paralelas 31.- coincidentes, luego la distancia es 0.