50CAPÍTULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE PRIMITIVAS y y f(x) x y y F (x) x F (x) 8 >< >: x si x [0, ] x + six (, ] x si x (, ] Figura 5.5: B. Cálculo de primitivas. 5.. Integración inmediata. Definición 5. (Primitiva). Una función F (x) se llama primitiva de otra función f(x) si F (x) f(x). Proposición 5.. Si una función tiene una primitiva, entonces tiene infinitas, que se diferencian entre sí en una constante. Definición 5. (Integral indefinida). Se llama integral indefinida de una función f(x) al conjunto formado por todas sus primitivas, y se denota por: f(x) F (x)+c Ejemplo 5.. Hallar x +x + Solución. Buscamos una primitiva del integrando, es decir una función tal que al derivarla nos de el integrando. En consecuencia, x +x + x4 4 + x + x + C Nota. Como consecuencia del Teorema fundamental del Cálculo se puede afirmar que toda función continua tiene una primitiva. Pero eso no significa que esa primitiva se pueda expresar en términos elementales. Por ejemplo R sen x x solamente se puede calcular desarrollando en series la integral el senx, con lo cual obtenemos como resultado de la integral, un desarrollo en serie. Es decir, obtenemos el desarrollo en serie de la primitiva, pero no obtenemos la primitiva expresada en términos elementales. 5... Propiedades de la integral indefinida. d ( R f(x) ) f(x)
5.. INTEGRACIÓN INMEDIATA. 5. ( R f(x) ) f(x). 4. 5. R df (x) f(x)+c R [f(x) ± g(x)] R f(x) ± R g(x) R rf(x) r R f(x) Un factor constante puede sacarse fuera del signo de integración. 5... Tabla de integrales inmediatas R x + C R x n xn+ n + R + C x R ln x + C e x e x + C R sen x cos x + C R cos xsenx + C R sec xtgx + C R csc x cot x + C R a R x ax ln a + C senh x cosh x + C R R +x arctgx + C cosh xsenhx + C R a + x a arc tg x R a + C cosh x tghx + C R R arcsenx + C x R a x arcsenx a + C senh x coth x + C Aunque no son inmediatas, también deben tenerse presente las siguientes integrales por aparecer con mucha frecuencia. R R x x + C x x + C R tg x ln cos x + C R cotg xln sen x + C R R x ln fi x x +fi + C ln x + R x + + C ln x + x + C +x x Ejemplo 5.. Hallar la integral x + x Solución. Realizando el cuadrado tenemos: x + x x ++ x x +x +ln x + C
5CAPÍTULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE PRIMITIVAS (x +) Ejemplo 5.. Hallar la integral x + x Solución. Operando tenemos: (x +) x x + x +x + (x x(x +) +)+x x(x +) x + +x ln x + arc tg x + C Ejemplo 5.4. Hallar la integral tg x +cotx Solución. Operando tenemos: tg x +cotx tg x +tgx cot x +cot x tg x ++cot x tg x +++cot x tg x + + +cot x sec x + csc x Ejemplo 5.5. hallar x x + tgx cot x + C Solución. En este caso tenemos que tener en cuenta la derivada de una función compuesta. x x + x / x / + + x + C / x + x ++C 5.4. Integración mediante cambio de variable El cambio de variable en una integral indefinida se puede efectuar de dos formas:. Cambiando la variable x por una función x g(t), donde g(t) es una función monótona continuamente derivable de una nueva variable t. f(x) x g(t) g (t)dt f g(t) g (t) dt. Cambiando parte del integrando por una nueva variable g(x) t: f g(x) g (x) g(x) t g (x) dt f(t) dt
5.4. INTEGRACIÓN MEDIANTE CAMBIO DE VARIABLE 5 En la práctica se combinan ambos métodos, ya que x g(t) t g (x). La función que se utilice tendrá que tener derivada continua para que se pueda realizar la nueva integral, e inversa para poder deshacer el cambio. Ejemplo 5.6. Hallar la integral x x + 4 Solución. Hacemos el cambio de variable buscando la derivada de una potencia: x x + 4 " u x + du x # u 4 du u 4 du u 5 x 5 5 + C + + C 0 cos t Ejemplo 5.7. Hallar la integral ( + sen t) 5 dt Solución. Hacemos el cambio de variable buscando la derivada de una potencia: " # cos tdt ( + sen t) 5 u +sent ( + sen t) 5 cos tdt du costdt Ejemplo 5.8. Hallar la integral u 5 du u 4 4 + C u + C e x sen e x ( + sen t) 4 + C Solución. Hacemos el cambio de variable buscando la derivada del sen: e x sen e x " u e x du e x Ejemplo 5.9. Hallar la integral # sen udu cos u + C cos e x + C ln cos x tg x Solución. Hacemos el cambio de variable llamando t a una parte del integrando, de manera que podamos identificar dt en el resto: ln cos x tg x 4 dt sen x cos x Ejemplo 5.40. Hallar la integral t lncosx tg x t + C x x + 5 tdt ln(cos x) + C
54CAPÍTULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE PRIMITIVAS Solución. Hacemos el cambio de variable llamando t x +, sin embargo, para hallar dt no derivamos directamente, sino que previamente eliminamos la raíz cuadrada: " x t x + t x + x + x t tdt t 4 t dt t5 5 t Ejemplo 5.4. Hallar la integral # t t tdt 5 x + x + + C 5 e 6x e 6x + Solución. Teniendo en cuenta que el numerador es la derivada del denominador, salvo un factor constante, hacemos el cambio de variable buscando la derivada del ln: " # e 6x e 6x e 6x + +t 6e 6x dt ln t ln e 6x + + C + C dt 6 t 6 6 e x Ejemplo 5.4. Hallar la integral e 6x + + C Solución. En este caso hacemos el cambio de variable buscando la derivada del arc tg: # e x e x t e 6x + " e x dt dt t + arc tg t+c arc tg ex +C Ejemplo 5.4. Hallar la integral sen x x Solución. En este caso hacemos el cambio de variable buscando dejar el seno exclusivamente en función de la variable de integración: x t sen x x 64 75 x dt sen tdt cost + C cos x + C Ejemplo 5.44. Hallar la integral (x +) x + Solución. En este caso hacemos el cambio de variable buscando eliminar la raíz cuadrada, para lo cual hacemos x + t, sin embargo, en vez de derivar esta expresión directamente, la elevamos al cuadrado previamente: " x +t x +t (x +) x + x t tdt tdt (t +)t dt (t +) arc tg t + C arc tg x ++C #
5.4. INTEGRACIÓN MEDIANTE CAMBIO DE VARIABLE 55 Ejemplo 5.45. Hallar la integral x x + Solución. En este caso podemos elegir entre dos opciones; hacemos el cambio de variable buscando eliminar la raíz cuadrada, o bien, tenemos encuenta que lo expresión que hay fuera de la raíz es la derivada del radicando. En el primer caso, x " # x x +t x +t + t tdt y en el segundo, t dt t + C 9 x x + " x +t x dt t / / + C 9 x tdt x + + C 9 (x +) # x + tdt El cambio de variable en la integral definida x ++C t / dt + C 9 (x +) x ++C Cuando se hace un cambio de variable en una integral definida hay que cambiar los límites de integración en función de la nueva variable. Si no queremos cambiar los límites de integración habrá que deshacer el cambio antes de la sustitución. En general, x x g(t) g f(x) (t) dt t f g(t) g (t) dt x 0 x 0 g(t 0 ); x g(t ) t 0 Ejemplo 5.46. Hallar x 0 Solución. Para resolver esta integral hacemos la sustitución trigonométrica x senx, con objeto de eliminar la raíz cuadrada generando un cuadrado en su interior. 0 x π/ 0 64 x sent costdt x 0 0sent t 0 x sent t π/ sen t cos tdt π/ 0 75 π/ cos +cost tdt dt 0 t sen t π/ + π 4 4 0
56CAPÍTULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE PRIMITIVAS 5.5. Integración por partes. R d(uv) R vdu+ R udv, de donde, uv R vdu+ R udv.esto Integrando la diferencial del producto de dos funciones d(uv) vdu+ udv resulta, nos permite expresar una de las dos integrales en función de la otra: udv uv vdu La constante de integración sólo se añade al final del proceso. Si la integral fuera definida, sería: b h i b b f(x)g (x) f(x)g(x) f (x)g(x) a a Ejemplo 5.47. Hallar la integral Solución. " u x x sen x dv senx x cos x + Ejemplo 5.48. Hallar la integral a x sen x ) du v cos x # cos x x cos x +senx + C x +x Solución. En este ejemplo la elección de u y dv no resultan evidentes. Forzamos la situación para que el dv elegido sea fácil de integrar. u x dv x +x ) de donde, 8 >< >: du x R v x +x +x x ( + x ) / / ( + x ) / con lo que resulta, x +x x ( + x ) / x ( + x ) / Ejemplo 5.49. Hallar la integral ( + x ) / x ( + x ) 5/ 5/ x ( + x ) / 5 ( + x ) 5/ + C ln x
5.5. INTEGRACIÓN POR PARTES. 57 Solución. Elegimos u lnx y como dv el propio. " ) u lnx du ln x x dv v x Ejemplo 5.50. Hallar la integral 5 x ln x arc tg x x ln x x + C Solución. Elegimos u arctgx y como dv el propio. arc tg x 4 u arctgx dv x arc tg x )du +x v x Ejemplo 5.5. Hallar la integral x e x Solución. Elegimos u x y dv e x. " u x x e x dv e x 5 x arc tg x x +x x +x x arc tg x ln( + x )+C ) # du x v e x x e x xe x x e x I Aparece una nueva integral I que tambien calculamos por partes. " ) # u x du I xe x dv e x v e x xe x e x xe x e x de donde resulta, x e x x e x (xe x e x )+C (x x +)e x + C Ejemplo 5.5. Hallar la integral e x sen x Solución. Elegimos u e x y dv senx. " ) u e e x x du e x sen x dv senx v cos x e x cos x + # e x cos x e x cos x + I Aparece una nueva integral I que también calculamos por partes. " ) # u e I e x x du e x cos x e x sen x e x sen x dv cosx v senx
58CAPÍTULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE PRIMITIVAS Apareciendo, nuevamente, la integral que, en un principio, tratábamos da calcular. Sustituimos y operamos como si se tratara de una ecuación, agrupando las dos integrales, e x sen x e x cos x + e x sen x e x sen x de donde resulta, e x sen x e x cos x + e x sen x y despejando la integral y añadiendo la constante, resulta Ejemplo 5.5. Hallar la integral e x sen x ex cos x + e x sen x + C a x Solución. Elegimos u a x y dv. " u a x a x dv ) du x a x v x # x a x + x a x Aparece una nueva integral I que calculamos sumando y restando a en el numerador. I x a a x (a x ) a x a a x a x a x La primera integral es inmediata. Para calcular la segunda integral racionalizamos la expresión con lo cual resulta, I a arc sen x a a x Apareciendo, nuevamente, la integral que, en un principio, tratábamos da calcular. Sustituimos y operamos como si se tratara de una ecuación, agrupando las dos integrales, a x x a x + a arc sen x a a x de donde resulta, a x x a x + a arc sen x a y despejando la integral y añadiendo la constante, resulta a x x a x + a arc sen x a + C
5.6. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES 59 5.6. Integración de funciones racionales Se llaman funciones racionales a las que vienen definidas por el cociente de dos polinomios. Pm (x) P n (x) 5.6.. Integración de fracciones elementales Se denominan fracciones simples (o elementales) a las fracciones racionales de los cuatro tipos siguientes: I. x a II. (x a) n III. Ax + B x + px + q IV. Ax + B (x + px + q) n siendo x + px + q irreducible. Las siguientes integrales racionales son inmediatas: f (x) ln x a + C ln f(x) + C x a f(x) (x a) n (x a) n (x a) n+ + C n + arctgx + C +x (n )(x a) n + C Integrales del tipo: x + px + q Ax + B x + px + q siendo x + px + q 0 En el trinomio cuadrado del denominador se separa el cuadrado perfecto del binomio. Ejemplo 5.54. Hallar la integral x +4x + Solución. Expresamos el denominador como el cuadrado de un binomio, de donde, x +4x + x +4x +(x +) 4+(x +) +9 (x +) +9 9 9 x + + / x + + arc tg x + + C
60CAPÍTULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE PRIMITIVAS Ejemplo 5.55. Hallar la integral x 4x +0 Solución. Expresamos el denominador como el cuadrado de un binomio, sacando previamente factor común, x 4x +0[x x + 5] [(x ) +5][(x ) +4] de donde, x 4x +0 (x ) +4 8 8 x + / x 4 + arc tg x + C Ejemplo 5.56. Hallar la integral x + x 4x +8 Solución. Esta integral es del tipo ln + arc tg. Para ello buscamos en el numerador la derivada del denominador x 4 y luego separamos en dos integrales; la primera es un ln y en la segunda buscamos el arc tg, expresando el denominador como el cuadrado de un binomio, (x +) (x +/) x 4x +8 x 4x +8 x +4/ x 4x +8 x 4+4+4/ x 4x +8 x 4 x 4x +8 + ln / x 4x +8 +4 x + ln(x 4x +8)+4arctg x 6/ (x ) +4 + C 5.6.. Integración de funciones racionales con ayuda del desarrollo en fracciones simples. Al integrar una función racional se deben seguir los siguientes pasos:. División de los polinomios.- Si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, la primera operación es efectuar la división. P (x) R(x) Q(x) C(x)
5.6. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES 6 De donde, aplicando la prueba de la división, resulta: P (x) Q(x) C(x)+R(x) P (x) Q(x) C(x)+R(x) Q(x) Con lo cual, la integral se transforma en dos integrales; la primera es inmediata por ser la integral de un polinomio, y la segunda es más fácil que la inicial ya que el grado de R(x) es inferior que el de Q(x). P (x) Q(x) C(x) + R(x) Q(x). Factorización del denominador. Pueden darse los siguientes casos: a) El denominador tiene sólo raíces reales simples. b) El denominador tiene sólo raíces reales, aunque alguna de ellas es múltiple. c) Entre las raíces del denominador las hay complejas simples, alguno de los factores es un polinomio de segundo grado irreducible. d) Entre las raíces del denominador las hay complejas múltiple, alguno de los factores es un polinomio de segundo grado irreducible que se repite.. Descomponer la fracción en fracciones simples. La determinación de los coeficientes se puede hacer por dos métodos:. Identificando los coeficientes de los términos del mismo grado de x.. Dando valores arbitrarios a x. NOTA: En todo momento debemos comprobar si la fracción que vamos a integrar es o no una fracción elemental, o la derivada de un ln. Ejemplo 5.57. Hallar la integral x +x 6x x 4 Solución. Efectuamos la división de los polinomios, x +x 6x x 4 x +8x x + x +x x +x 6x x x + 4 x x ++ x x 4
6CAPÍTULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE PRIMITIVAS Con lo cual, la integral se transforma en dos integrales, que en este caso ambas resultan inmediatas; la primera por ser polinómica, y la segunda por ser la derivada de un logaritmo. x +x 6x x x (x+)+ 4 x 4 x +x+ln x 4 +C Ejemplo 5.58. Hallar la integral x 5x 4x + x 4x +4 Solución. Efectuamos la división de los polinomios, x 5x 4x + x 4x +4 x +8x 8x x + x x + x +x Por consiguiente, aplicando la prueba de la división, resulta: x 5x 4x + x 4x +4 x ++ x 4x +4 Con lo cual, la integral se transforma en dos integrales, que en este caso ambas resultan inmediatas; la primera por ser polinómica, y la segunda por ser elemental. x 5x 4x + x 4x +4 x +x + (x +) + x 4x +4 (x ) x +x x + C (a) El denominador tiene sólo raíces reales simples. p(x) q(x) p(x) (x x )(x x ) (x x n ) A + x x B x x + + N x x n Ejemplo 5.59. Hallar la integral x +x 4 x x 8 Solución. Efectuamos la división de los polinomios, x +x 4 x x 8 x +x +8 5x +4 x +x 4 5x +4 x + x 8 x x 8
5.6. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES 6 Con lo cual, la integral se transforma en dos integrales, la primera es inmediata, por ser polinómica, pero la segunda no. x +x 4 x x 8 5x +4 + x x 8 x + I Para calcular la segunda integral factorizamos el denominador y descomponemos la fracción en fracciones simples. de donde resulta, x x 80 x ± 4+ ± 6 4 5x +4 x x 8 5x +4 (x 4)(x +) A x 4 + B A(x +)+B(x 4) x + (x 4)(x +) Los coeficientes los calculamos dando valores a x, Con lo cual resulta, I x 4 4 6A A 4 x 6 6B B 5x +4 x x 8 4 x 4 + 4ln x 4 +ln x + x + de donde, x +x 4 x x +4ln x 4 +ln x + + C x 8 (b) El denominador tiene sólo raíces reales, aunque alguna de ellas es múltiple. p(x) q(x) p(x) (x x )(x x ) A x x + B + x x x 4 x x Ejemplo 5.60. Hallar la integral x x Solución. Efectuamos la división de los polinomios, x 4 x x x x x 4 + x x x C (x x ) + D (x x ) x4 x x x x x + x x x Con lo cual, la integral se transforma en dos integrales, la primera inmediata, por ser polinómica, y la segunda no. x 4 x x x x x+ x x x x + I
64CAPÍTULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE PRIMITIVAS Para calcular la segunda integral factorizamos el denominador y descomponemos la fracción en fracciones simples. de donde resulta, x x x (x ) x x x x x (x ) A x + B x + C Ax(x ) + B(x ) + Cx x x (x ) Los coeficientes los calculamos dando valores a x, x 0 B B x C C x A + B +4C A + 8 A 4 A Con lo cual resulta, I x x x x + x + de donde, x 4 x x x x x ln x x ln x x +ln x ln x + C x (c) Entre las raíces del denominador las hay complejas simples, alguno de los factores es un polinomio de segundo grado irreducible. p(x) q(x) p(x) (x x )(x x ) (ax + bx + c) A x x + B x x + C (x x + Mx+ N ) ax + bx + c 8x +6x +6 Ejemplo 5.6. Hallar la integral x x +7x 5 Solución. Factorizamos el denominador y descomponemos la fracciónen fracciones simples. - 7-5 - 5-5 0 De donde resulta, x x +7x 5(x )(x x +5) x x +50 x ± 4 0 Sin solución. 8x +6x +6 x x +7x 5 8x +6x +6 (x )(x x +5) A x + Mx+ N x x +5 A(x x +5)+(Mx+ N)(x ) (x )(x x +5)
5.6. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES 65 Los coeficientes los calculamos dando valores a x, x 0 4A A 5 x 0 65A N N 5A 65 69 x 50 5A +M + N 50 5 + M +9 M 6 M Con lo cual resulta, 8x +6x +6 x x +7x 5 5 x + x +9 x x +5 5ln x + I Para calcular la integral I siempre seguimos el siguiente procedimiento: En primer lugar expresamos la parte literal del denominador como el cuadrado de un binomio y al binomio le llamamos t, x x +5(x ) +5(x ) +4 Con lo cual resulta la siguiente integral, I " # x +9 x x +5 x +9 x t (x ) +4 dt t + t +4 dt Para resolver esta integral separamos la parte literal de la parte numérica; con la parte literal buscamos un ln y con la numérica un arc tg t t +4 dt + t +4 dt t t dt + +4 4 t /4+ dt ln t +4 + 4 / (t/) + dt ln t +4 +arctg t ln x x +5 +arctg x con lo cual, resulta 8x +6x +6 x x +7x 5 5ln x + ln x x+5 +arctg x (d) Entre las raíces del denominador las hay complejas múltiple, alguno de los factores es un polinomio de segundo grado irreducible que se repite. Estas integrales se resuelven buscado una fórmula recurrente, o mediante el método de Hermite. Método de Hermite. Consiste en tratar todas las raíces como si fueran simples y añadir un término complementario que es la derivada respecto de x de un cociente en el que el denominador se obtiene multiplicando los factores de raíces multiples elevados a su exponente disminuido en una unidad y el +C
66CAPÍTULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE PRIMITIVAS numerador es un polinomio de grado una unidad menos que el denominador resultante. p(x) q(x) p(x) q(x) A x x + de donde, p(x) q(x) p(x) (x x )(x x ) (ax + bx + c)( + ex + f) B x x + A + x x Mx+ N ax + bx + c + Nota. Debemos observar lo siguiente: + + d B + x x Px+ Q + ex + f + Rx + Sx + T (x x )( + ex + f) Mx+ N ax + bx + c + Px+ Q + ex + f + Rx + Sx + T (x x )( + ex + f). Como el término complementario es una derivada no necesitamos integrarlo.. Las raíces simples no aparecen en el denominador del término complementario. Esquemáticamente el método de Hermite se puede recordar de la siguiente forma: p(x) X q(x) todas las raíces como simples Ejemplo 5.6. Calcular, + d 64 ( + x ) polinomio de grado el que resulte en el denominador - producto de factores múltiples, eleados a su exponente - Solución. Dado que x + 0 no tiene raíces, se trata de una raíz compleja de multiplicidad. Con lo cual, aplicamos el método de Hermite y resulta: ( + x ) Mx+ N +x + d Derivamos el cociente y sumamos las fracciones,» Ax + B +x ( + x ) Mx+ N +x + A( + x ) x(ax + B) ( + x ) (Mx+ N)( + x )+A( + x ) x(ax + B) ( + x ) 75
5.7. INTEGRACIÓN DE EXPRESIONES TRIGONOMÉTRICAS 67 calculamos los coeficientes dando valores a x x 0 N + A x (M + N) + A (A + B) x ( M + N) + A +( A + B) x (M + N)5 + 5A 4(A + B) N + A M +N B M +N +B 0M +5N A 4B luego, 9 > >; a + a 4 a a / d ( + x) +x + 9 > >; 9 > >; N + A M +N +A A B M +N +A A +B 0M +5N +5A 8A 4B A N M +N B 4N N / 6M + N A 9 > >; 9 > >; A / M B 0 N / 6M A / A / B M N / 6M 0» / x +x x arc tg x + 9 > >; A / B 0 N / M 0 9 > >; 9 > >; ( + x ) + C 5.7. Integración de expresiones trigonométricas 5.7.. Integración de potencias de funciones trigonométricas Consideremos integrales del tipo: sen m x cos n x existen dos casos para los que se puede resolver la integral,. Si alguno de los exponentes es un número impar y positivo, se separa uno para el diferencial y el resto se transforma en el contrario, mediante la formula fundamental de la trigonometría sen x +cos x, y al contrario se le llama t. El segundo coeficiente puede ser cualquier número real. Por ejemplo, si m k +, entonces, sen k+ x sen k x sen x (sen x) k sen x ( cos x) k sen x. Si los dos exponentes son pares positivos, se van rebajando los grados con las siguientes fórmulas trigonométricas. sen α cos α Ejemplo 5.6. Hallar la integral cos α +cosα sen x cos x
68CAPÍTULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE PRIMITIVAS Solución. Tenemos, sen x cos x sen x cos x sen x ( cos x)cos x sen x (cos x cos 4 x)senx» cos x t (t t 4 ) dt t sen x dt + t5 5 + C cos x + cos5 x + C 5 Ejemplo 5.64. Hallar la integral Solución. Tenemos, sen x (cos x) / sen x (cos x) / sen x (cos x) / sen x (cos x) / sen x ( cos x)(cos x) / sen x (cos / x) / (cos x) sen x (cos / x) / (cos x) ( senx)» cos x t senx dt Ejemplo 5.65. Hallar la integral Solución. Tenemos, 4 8 sen 4 x (t / t / ) dt t / / + t / / +C t / + t/ + C (cosx) / + (cos x)/ + C sen 4 x sen x cos x cos x + +cos4x cos x +cos x 4 4 cos x ++cos4x 4 cos x + cos 4x 8 x 4senx + sen 4x 4 8 + C x 8 sen x 4 + sen 4x + C
5.7. INTEGRACIÓN DE EXPRESIONES TRIGONOMÉTRICAS 69 5.7.. Integración de funciones racionales del sen y del cos R Consideremos las integrales del tipo R(sen x, cos x), donde R es una función racional. En general, esta integral siempre se puede transformar en una integral racional mediante el cambio tg(x/) t. Como resultado de esta sustitución tenemos: tg(x/) t x/ arc tg t x arc tg t +t dt +t t x/ sen x t +t cos x +t t +t sen x sen x cos x t +t +t cos x cos x x sen +t t +t t +t El cambio general tg(x/) t siempre resuelve la integral, pero en muchos casos conduce a cálculos complicados. Existen tres casos particulares en los que la integral se puede resolver de una manera más fácil que con el cambio general.. Si la función R(sen x, cos x) esimpar respecto a sen x, o sea, si R( senx, cosx) R(sen x, cosx), entonces la integral se racionaliza con ayuda de la sustitución cos x t. Si la función R(sen x, cos x) esimpar respecto a cos x, o sea, si R(sen x, cosx) R(sen x, cosx), entonces la integral se racionaliza con ayuda de la sustitución sen x t. Si la función R(sen x, cos x) espar respecto a sen x ycosx, o sea, si R( sen x, cos x) R(sen x, cos x), entonces la integral se racionaliza con ayuda de la sustitución tg x t En este caso, como resultado de esta sustitución tenemos: +t t x Ejemplo 5.66. Hallar la integral tg x t x arctgt +t dt t sen x cos x +t +t sen x
70CAPÍTULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE PRIMITIVAS Solución. La función es impar respecto al sen x, por tanto, hacemos el cambio cos x t, de donde resulta, " cos x t sen x t sen x sen x dt dt sen x t Que es una función racional, dt t dt dt t t dt t I t (t +)(t ) A t + + A A(t ) + B(t +) t (t +)(t ) Los coeficientes los calculamos dando valores a x # de donde, x B B / x A A / I / / t + dt+ dt t ln t+ + ln t ln fi t t +fi +C ln fi cos x cos x +fi + C Ejemplo 5.67. Hallar la integral ( + cos x senx)senx Solución. Hacemos el cambio general tg(x/) t, con lo cual resulta, dt +t sen x t +t cos x t +t de donde, ( + cos x senx)senx dt ( + t +t 4 t +t ) t +t +t +t t(t 4t +) dt I dt +t + t 4t +t t que es una integral racional, para resolverla la descomponemos en fracciones simples. t 4t +0 t 4 ± 6 4 ± 4 4 ± ρ
5.8. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES IRRACIONALES 7 +t t(t )(t ) A t + B t + Los coeficientes los calculamos dando valores a x de donde, / I t C A(t )(t ) + Bt(t ) + Ct(t ) t t(t )(t ) t 0 A A / t C C t 0 6B B 0/6 5/ 5/ dt + t dt + t dt ln t + 5 ln t ln t ln fi tg x fi + 5 ln fi tg x fi ln fi tg x fi + C 5.8. Integración de funciones irracionales 5.8.. Radicales semejantes Las integrales del tipo ax + b R x, cx + d m /n, ax + b cx + d m /n, ax + b mk /n k, cx + d se convierten en racionales con el cambio de variable, Ê α ax + b cx + d t ax + b cx + d tα donde α mcm{n,n,,n k } Ejemplo 5.68. Calcular la integral (x ) / (x ) / + Solución. Expresamos las raíces con índice común. (x ) / (x ) / + x x + y hacemos el siguiente cambio: 6 (x ) 6 (x ) + I 6 x t x t 6 6t 5 dt t 5 dt de donde, t t 8 I t + t5 dt t + dt I que es una integral racional, para resolverla efectuamos la división de los polinomios.
7CAPÍTULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE PRIMITIVAS t 8 t + t 8 t 6 t 6 t 4 +t t 6 t 6 +t 4 Por consiguiente: t 4 t 4 t t t + t 8 t + t6 t 4 +t + t + Con lo cual, la integral se transforma en dos integrales, que en este caso ambas resultan inmediatas; la primera por ser polinómica, y la segunda por ser elemental. I (t 6 t 4 +t t7 ) + t + 7 t5 5 + t t+arctgt+c 7 (x )7/6 5 (x )5/6 + (x )/6 (x ) /6 +arc tg(x ) /6 +C 5.8.. La sustitución trigonométrica Las integrales de la forma: R x, ax + bx + c, a 0, b 4ac 0 se suelen resolver mediante la sustitución trigonométrica o bien la sustitución hiperbólica. Para ello, formamos previamente el cuadrado perfecto en el trinomio ax + bx + c, y realizando la correspondiente sustitución lineal, la integral se reduce a uno de los siguientes tipos: R t, p t, R t, t p, R t, t + p A la primera integral se le aplica cualquiera de las sustituciones: a la segunda, las sustituciones: t p sen u, t p cos u, t p tgh u t p sec u, t p cosh u y a la tercera, las sustituciones: t p tg u, t p senh u En general, para elegir el tipo de sustituciónquesevaaaplicar,setiene en cuenta que de lo que se trata es de eliminar la raíz cuadrada, buscando
5.8. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES IRRACIONALES 7 un cuadrado en su interior, para ello se elige la fórmula fundamental de la trigonometría o de la trigonometría hiperbólica que convenga. cos α +sen α cos α sen α cosh α senh α cosh α +senh α En todos estos casos, el cuadrado se elimina con la raíz, ya que el radicando resulta positivo. Ejemplo 5.69. Calcular la integral x Solución. Aplicamos la sustitución x sent y transformamos la integral en una integral trigonométrica.» x sent x sen t cos tdt costdt +cost cos t cos tdt cos tdt dt t sen t + + C 4 t sentcos t + + C 4 arc sen x + x x + C de donde, al deshacer el cambio, se ha tenido en cuenta que: sen t x t arcsenx, cos t x Ejemplo 5.70. Calcular la integral x Solución. Aplicamos la sustitución x cosh t y transformamos la integral en una integral hiperbólica.» x cosh t x cosh t senhtdt senhtdt cosh t senh t senh tdt senh senh t tdt dt t 4 + C senhtcosh t t 4 + C x x i hx ln + x + C de donde, se han tenido en cuenta las siguientes fórmulas: senh cosh t t, senh t senht cosh t y al deshacer el cambio, se ha tenido enh cuenta que: i cosh t x t arg cosh x ln x + x, senh t Ejemplo 5.7. Calcular la integral 4x x x
74CAPÍTULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE PRIMITIVAS Solución. Formamos previamente el binomio cuadrado en el radicando. 4x x x 4x (x ) 4 4 (x ) de donde, aplicando la sustitución x sent, transformamos la integral en una integral trigonométrica, en efecto,» x sent 4x x 4 4 (x ) costdt 4 4sen t costdt4 sen t cos tdt +cost cos t cos tdt4 cos sen t tdt4 dt t + + C t +sent cos t + C arcsen x + x 4x x + C arcsen x + x de donde, se han tenido en cuenta las siguientes fórmulas: cos t +cost, sen t sent cos t y al deshacer el cambio, se ha tenido en cuenta que: sen t x t arcsen x, cos t Ejemplo 5.7. Calcular la integral r 4+x x 4x x + C 4x x Solución. Aplicamos la sustitución x senh t y transformamos la integral en una integral hiperbólica. 4+x Ê + x x/ senht coshtdt +cosht cosh t cosh tdt4 cosh tdt4 dt t senh t 4 + + C t +senht + C 4 arg senh x +senhtcosh t + C ψ Ê x x! Ê ln + + + x x + + C ln x + 4+x + x ln x + 4+x + C 4+x + x 4+x + C