UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL BAHÍA BLANCA DEPARTAMENTO INGENIERÍA MECÁNICA M E C Á N I C A R A C I O N A L DR. ING. LIBERTO ERCOLI Profesor Titular TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD -005-
III. 7. Teoría espeial de la relatiidad Introduión: Debido a las omplejidades inherentes a esta teoría, también denominada de la relatiidad restringida, este apartado intenta introduir al tema desribiendo las prinipales euaiones y onseuenias oneptuales, sin entrar en un extenso detalle teório, el ual resulta de ineitable letura en la bibliografía reomendada. En los apartados preedentes, las antidades dinámias y inemátias introduidas para objetos marosópios (posiión, tiempo, antidad de moimiento, energía) son mensurables y pueden ser espeifiadas on ualquier grado de preisión deseado mediante la instrumentaión adeuada. Cuando se intenta haer mediiones de preisión sobre objetos mirosópios, existe una limitaión fundamental para la preisión de los resultados, ya que las mediiones perturban el moimiento estudiado. Basado en este heho, Heisenberg enunió su prinipio de inertidumbre, según el ual la meánia newtoniana no puede apliarse a objetos pequeños. Así, ésta última se adeua perfetamente a la desripión de fenómenos de gran esala, mientras que una nuea meánia la uántia- se hae neesaria para el análisis de proesos en el dominio atómio. Además de esta limitaión, existen otras referidas a los oneptos de tiempo, distanias muy pequeñas y altas eloidades, tal omo eremos a ontinuaión. Habiendo delarado omo objeto de la Meánia el estudio de los moimientos, la inlusión de esta teoría dentro de la formaión del ingeniero se e justifiada en el heho de que si bien prealee en un ampo de apliaión un tanto lejano al de la Ingeniería Meánia, onstituye un estudio general de los moimientos que omprende omo aso partiular al apliable en la dinámia de meanismos. La omprobaión experimental de Mihelson y Morley en 88-887 de la inexistenia del éter (medio elástio que se reía- oupaba los espaios aíos del unierso onstituyendo un maro de referenia absoluto) y de que la eloidad de la luz es finita e independiente de ualquier moimiento uniforme relatio entre la fuente y el obserador, requirieron una reorganizaión fundamental de la estrutura de la dinámia. Esta fue proista entre 904 y 905 por H. Poinaré, H. A. Lorenz y A. Einstein, quienes formularon la teoría para maros de referenia en moimiento uniforme. La base de la teoría de la relatiidad está ontenida en dos postulados:. Las leyes de los fenómenos físios son idéntias en todos los maros de referenia ineriales (es deir, sólo puede medirse moimiento relatio entre maros ineriales; el onepto de moimiento relatio a reposo absoluto no tiene sentido). En otras palabras, las leyes del moimiento a que se llega obserando aonteimientos desde maros en moimiento, deben tener la misma forma en todos ellos.. La eloidad de la luz (en el espaio libre), 300.000 Km/seg), es una onstante uniersal independiente del moimiento de la fuente. Utilizando estos postulados omo base, Einstein onstruyó una teoría elegante que onforma un modelo de preisión lógia y desribe ompletamente una gran ariedad de fenómenos que ourren a altas eloidades y que no pueden ser interpretados en el esquema de Newton. En 96, Einstein presentó un tratamiento más general on maros de referenia aelerados, la que reibió el nombre de teoría general de la relatiidad.
III. 7.. La Transformaión de Lorentz Un maro de referenia puede asimilarse omo un sistema oordenado on un onjunto de relojes sinronizados en todo el espaio oordenado y en reposo respeto de este. Por lo tanto, posee tres oordenadas espaiales x,y,z y una oordenada temporal, t; desde un punto de ista matemátio, un maro de referenia es un objeto tetradimensional espaio-tiempo. Sean los maros ineriales 0 y 0. El maro 0 se muee en la direión y sentido +x a la eloidad on respeto al maro 0. y y z 0 x z 0 x El prinipio de inariania galileana, que asegura el umplimiento de los Postulados de Newton isto en un apartado anterior, predie que la eloidad de la luz es diferente en estos dos maros de referenia ineriales que están en moimiento relatio, lo ual es ontraditorio al segundo postulado de la relatiidad. En efeto, si se emite un pulso de luz desde el origen omún de los sistemas en moimiento uando están oinidentes, los frentes de onda obserados en los dos sistemas iajan on eloidades: en el (0,x,y,z) y en el (0,x,y,z ) Es deir que siguiendo a Galileo, obseradores diferentes estarán de auerdo en el tiempo que duró el iaje del pulso (ya que en su modelo el tiempo es un onepto absoluto), pero no estarán de auerdo en la distania reorrida (porque el espaio no es un onepto absoluto). Dado que la eloidad de la luz es simplemente la distania reorrida diidida por el tiempo empleado en reorrerla, obseradores diferentes medirán eloidades de la luz diferentes, es deir: x/t y x /t Este sólo heho hae neesaria una nuea ley de transformaión. Veremos a ontinuaión que en relatiidad, por el ontrario, todos los obseradores deben estar de auerdo en lo rápido que iaja la luz. Ellos ontinuarán, no obstante, sin estar de auerdo en la distania reorrida por la luz, por lo que tampoo estarán de auerdo en el tiempo empleado (ya que éste es el espaio reorrido sobre el que los obseradores no están de auerdo- diidido por la eloidad de la luz sobre la que sí están de auerdo). O sea que ahora, será: x/t y x /t Por ello, Lorentz propuso entre x y x una relaión del tipo: x γ (x t) (3.55) en la que γ es una onstante de proporionalidad independiente de x y de t. Si γ, entones se obtiene omo aso partiular a la transformaión galileana. Cambiando el signo de (para ontemplar la diferenia de sentido del moimiento relatio), tendremos: 3
x γ (x + t ) (3.56 a) En las direiones normales a, se tiene: y y (3.56 b) z z (3.56 ) Sin embargo, t y t son distintos. En efeto, sustituyendo (3.55) en (3.56) y despejando, se obtiene: ' γ t t x γ. + (3.57) γ Las euaiones (3.55) a (3.57) satisfaen el primer postulado. La satisfaión del segundo postulado permite alular γ. En t 0, 0 0, y por ello es t 0. Si se eniende una linterna en 0 0 uando t t 0 y un obserador en ada sistema miden la eloidad a la ual se propaga la luz, ambos deben obtener, es deir: en 0 es x t (3.58 a) en 0 es x t (3.58 b) Sustituyendo en ésta última x y t mediante las (3.55) y (3.57), y despejando x, se obtiene: + x. t - ( γ -) para que esta última se orresponda on (3.58 a), el orhete debe aler, y de allí: γ (3.59) Notar que si <<, entones γ Introduiendo este alor en (3.55) y (3.57) se obtiene la transformaión de Lorentz: x' x t (3.60) y y (3.6) z z (3.6) 4
. x t t' (3.63) Estas expresiones transforman ompletamente las medidas de un aonteimiento ourrido en 0, en las medidas orrespondientes realizadas en 0. Para transformar las mediiones en 0 a alores en 0, se sustituye en (3.60 3.63) las ariables on omillas por ariables sin omillas y ieersa, además de ambiar el signo de la. Esta es la transformaión inersa de Lorentz: x' +. t' x (3.64) y y (3.65) z z (3.66). x' t' + t (3.67) Pueden extraerse de (3.60 3.63) y (3.64 3.67) dos onlusiones muy importantes: a) Las mediiones de tiempo y de lugar dependen del maro de referenia del obserador. Dos aonteimientos simultáneos en un maro en diferentes lugares, no tienen porqué ser simultáneos en el otro. Cada obserador debe tener su propia medida del tiempo, que es la que registraría un reloj que se muee junto a él, y relojes idéntios moiéndose on obseradores diferentes no tienen porqué oinidir. b) Cuando la eloidad relatia entre los maros 0 y 0 es pequeña on relaión a, las euaiones de Lorentz se onierten en las de Galileo. Como emos, esta teoría nos fuerza a ambiar nuestros oneptos de espaio y tiempo. Así omo las leyes de Newton aabaron on la idea de Aristóteles de que el estado natural de un uerpo en el espaio era estar en reposo y que éste se moía sólo si era empujado por una fuerza o un impulso, la teoría de la relatiidad elimina el onepto de un tiempo absoluto. Debe aeptarse que el tiempo no está ompletamente separado e independiente del espaio, sino que por el ontrario se ombina on él para formar un objeto llamado espaio-tiempo. Así, un sueso es algo que ourre en un punto partiular del espaio y en un instante espeífio del tiempo (dónde y uándo), por lo ual se puede desribir por medio de uatro números o oordenadas. La eleión del sistema de oordenadas es, omo antes, arbitrario: pueden usarse tres oordenadas espaiales ualesquiera y una medida del tiempo. En relatiidad no existe una distinión real entre las oordenadas espaiales y la temporal, exatamente igual a omo no hay ninguna diferenia real entre dos oordenadas espaiales ualesquiera. Las uatro oordenadas 5
de un sueso espeifian su posiión en un espaio tetradimensional llamado espaiotiempo. III.7.. Algunas onseuenias de la transformaión de Lorentz Es importante menionar que solamente las partíulas atómias tales omo eletrones, protones, mesones, et tienen eloidades sufiientemente altas para que sean medibles los fenómenos relatiistas. III.7... Contraión espaial Lorentz y Fitzgerald analizaron la longitud de una arilla en los maros 0 y 0. En 0, las oordenadas de sus extremos son x y x, por lo que su longitud es Lo x x en el maro respeto al ual está en reposo. Qué longitud L x - x erá un obserador desde el maro 0? Sustituyendo para x y x en (3.64) se pasa de las oordenadas en el 0 al 0 ; y restando: L 0 x x x ' x ' L o: L Lo (3.68) Contraión de Lorentz - Fitzgerald La euaión (3.68) establee que la longitud de un objeto en moimiento on respeto a un obserador paree a este más orta que uando está en reposo on respeto a él (puede ejemplifiarse imaginando que el ondutor de un auto que se desplaza elozmente e aortada a una arilla al ostado del amino). Esto implia que la máxima longitud medible de un mismo objeto resultará uando se lo hae desde un maro respeto del ual es estaionario. Si la longitud de un ohete es Lo uando está en la rampa de lanzamiento, su longitud L uando se muea a la eloidad, estará dada por la euaión (3.68), mientras que al astronauta en el ohete los objetos en la tierra le pareen más ortos que uando el estaba en ella por un fator Se deja para el alumno demostrar mediante la euaión (3.68) que para una eloidad.000 Km/s (3.600.000 Km/h), la ual paree enorme para la Meánia Clásia, es L/Lo 0,9987 o sea (L Lo) Mientras que para 0,9, es L/Lo 0,436 o sea (L 43,6 % de Lo) Este fenómeno físio de ontraión tiene lugar solamente en la direión del moimiento relatio. En nuestro aso, las dimensiones y y z de un objeto son las mismas. Para un uerpo tridimensional (p/ej, un ubo) se produe un efeto isual debido a que la luz proedente de las partes más alejadas del objeto fue emitida antes que la que proede de partes más próximas, aumentando la longitud aparente del 6
objeto en la direión del moimiento, generando una distorsión omo si ambiara de orientaión y por lo tanto de forma. III.7... Dilataión temporal Los interalos de tiempo también están afetados por el moimiento relatio. Imaginemos un reloj situado en el punto x del maro en moimiento 0. En un determinado instante, para un obserador en el maro 0, el tiempo es t, mientras que para uno en 0 es, por (3.67): t. x' t' + Después de un ierto interalo, el tiempo para el obserador en 0 es t, y el interalo: t t - t El obserador en 0 mide para el final del mismo interalo:. x' t ' + t de manera que el interalo para él dura: t t t t ' t ' t o sea t t γ t (3.69) Dilataión del tiempo Un reloj estaionario mide mayores interalos de tiempo entre aonteimientos que ourren en un maro de referenia en moimiento que un reloj situado en el maro en moimiento. Los relojes que se mueen on respeto a un obserador paree que tienen un ti-ta más lento que uando están en reposo respeto del mismo. Este fenómeno puede ser analizado geométriamente mediante un senillo razonamiento, utilizando un reloj idealizado que onsiste de dos espejos paralelos dispuestos ertialmente entre los uales rebota un destello de luz, de forma que ada rebote es un ti o un ta. Si el reloj se desplaza on el maro en moimiento a eloidad respeto del obserador en reposo, éste obsera que en un ierto t el destello reorre una distania inlinada t, mientras que el reloj reorre la distania t paralela al eje x. A su ez, el obserador en moimiento obsera que el destello reorre la distania ertial t. Es deir, que la trayetoria de la luz en moimiento es mayor que la distania entre los espejos. Gráfiamente: 7
t t t Apliando el Teorema de Pitágoras: de donde: ( t) - ( t) ( t ) t γ t Como ejemplo de apliaión se deja para el alumno inestigar en la bibliografía las ontraiones de tiempo y longitud que se presentan en el moimiento de los mesones µ -partíulas que iajan a una 0,998 y uya existenia dura t x 0-6 seg. Mientras que el mesón ree que en ese lapso reorre 600 m, desde la tierra se mide una distania de 9.500 m. III.7..3. Relatiidad de la masa Otra interesante onseuenia de la transformaión de Lorentz es el onepto de ariaión de la masa. Partiendo del análisis desde los maros 0 y 0 de la olisión de dos partíulas A y B de masas iguales uando están en reposo respeto de un obserador en 0, apliando las transformaiones orrespondientes e inoando la onseraión de la antidad de moimiento, resulta: m A m B La diferenia entre las masas obseradas desde distintos maros signifia que las mediiones de masa también dependen de la eloidad relatia entre el obserador y lo que es obserado. En el análisis preedente, tanto A omo B se mueen en 0. En el aso que se desee expresar la masa m de un uerpo, medida mientras está en moimiento, en funión de su masa m o medida uando está en reposo, resulta: m0 m (3.70) Masa relatiista La masa de un uerpo que se muee a la eloidad on respeto a un obserador, es mayor que su masa uando está en reposo on respeto al obserador por el fator. Este inremento de masa es reíproo; para un obserador en 0 es m A m y m B m o. Medida desde la tierra, una nae en uelo es más orta y on mayor masa que otra igual situada en el suelo. Al piloto en uelo le paree también que la nae en el suelo es más orta y que tiene más masa. Notar que la masa tiende a infinito uando se aera a. Esto implia que la eloidad debe siempre ser menor que, ya que se neesitaría una fuerza infinita para aelerar a un uerpo hasta un alor de eloidad para el ual su masa fuese infinita. 8
Al igual que en la meánia lásia la onseraión de la antidad de moimiento es álida si se define omo m. m0. (3.7) Sin embargo, dada la ariaión de la masa, la ley del moimiento de Newton sólo es orreta en la forma F d/dt (m ) d/dt [m o / ] (3.7) La fuerza resultante sobre un uerpo es igual a la rapidez de ariaión de su antidad de moimiento. III.7..4. Masa y Energía Esta relaión es la más élebre que Einstein obtuo de los postulados de la relatiidad espeial. Partiendo de la definiión de la energía inétia (e) de un uerpo y haiendo uso de las expresiones deduidas en los apartados anteriores, Einstein enontró que la energía total (E m ) del uerpo es: E m e + m o (3.73) Es deir que uando el uerpo está en reposo (e 0), aún posee la energía m o que reibe el nombre de energía en reposo (Eo) de un uerpo uya masa en reposo es m o. Se obsera que la energía (además de sus manifestaiones inétia, potenial, térmia, et), puede manifestarse omo masa. El fator de onersión entre la unidad de masa (Kg) y la de energía (Joule) es, por lo que Kg de materia ontiene una energía de 9 x 0 6 Joule. Aún siendo muy pequeña, una porión de materia posee gran antidad de energía que es liberada en las reaiones exotérmias de la físia y la químia. Debido a que la masa y la energía no son independientes, los prinipios estableidos separadamente de onseraión de la masa y de la energía, onstituyen en realidad uno sólo: el prinipio de onseraión de la masa-energía. Así, la masa puede ser reada o destruida, pero sólo si simultáneamente desaparee o aparee una antidad equialente de energía y ieersa. Veamos si para << se umple que e / m o. De (3.73) y (3.70), es: m0. e m. m0 m0 Apliando el teorema del binomio: (- ½) / + ½ / luego, e ( + ½ / ) m o - m o ½ m o 9
por lo que para bajas eloidades la expresión relatiista de la energía inétia de una partíula en moimiento se redue a la expresión lásia. La energía total de la partíula en este aso es: E m o + ½ m o La equialenia de masa y energía es onstantemente obserada en la físia de partíulas atual. Pero todaía no está laro de dónde proienen las masas de las partíulas. El Centro Europeo de Inestigaiones CERN tiene en onstruión un aelerador de partíulas que entrará en funiones en 007, el que dará probablemente una respuesta a esa uestión. Quizá entones pueda omprenderse realmente qué signifia la fórmula de Einstein. III. 8. Teoría general de la relatiidad Si bien los ontenidos oneptuales de la asignatura no inluyen el estudio de la relatiidad general, es importante dejar someramente expliitado ómo ha seguido progresando el modelo relatiista. La teoría ista en el apartado anterior tuo un gran éxito al expliar porqué la eloidad de la luz era la misma para todos los obseradores (tal y omo había demostrado el experimento de Mihelson-Morley) y al desribir adeuadamente lo que suede uando los objetos se mueen on eloidades eranas a la de la luz. Sin embargo, la teoría era inonsistente on la teoría de la graitaión de Newton, que deía que los objetos se atraían mutuamente on una fuerza dependiente de la distania entre ellos. Esto signifia que si se muee uno de los objetos, la fuerza sobre el otro ambiará instantáneamente o, en otras palabras, que los efetos graitatorios deberían iajar on una eloidad infinita, en ez de on una eloidad igual o menor que la de la luz, omo requiere la teoría de la relatiidad espeial. Einstein realizó entre 908 y 94 arios intentos, sin éxito, para enontrar una teoría de la graedad que fuera onsistente on la relatiidad espeial. Finalmente, en 95, propuso lo que hoy en día se onoe omo teoría de la relatiidad general. Einstein hizo la sugerenia reoluionaria de que la graedad no es una fuerza omo las otras, sino que es una onseuenia de que el espaio-tiempo no sea plano, omo preiamente se había supuesto, sino que está urado, o deformado, por la distribuión de masa y energía en él presente. Los uerpos omo la Tierra por ejemplono están forzados a moerse en órbitas uras por una fuerza llamada graedad; en ez de esto, siguen una geodésia (la trayetoria más pareida a una línea reta en un espaio uro). En relatiidad general los uerpos siguen siempre líneas retas en el espaio tetradimensional; sin embargo, paree que se mueen a lo largo de trayetorias uradas en el espaio tridimensional. La masa del Sol ura el espaio-tiempo tetradimensional de modo tal que a pesar que la Tierra sigue un amino reto en él, paree que se muee en una órbita ligeramente elíptia en el espaio tridimensional. Cuando un esarabajo se arrastra por una rama ura, no se da uenta de que la rama está urada. Yo tue la suerte de darme uenta de aquello que el esarabajo no adirtió A. Einstein, de una onersaión on su hijo Eduard, en 99. 0