La teoría de la relatividad de Einstein Atividades del interior de la unidad. Desde una nave que se mueve a 50 000 km/s se emite un rayo de luz en la direión y sentido del movimiento. Calula la veloidad del rayo para un observador en la Tierra utilizando la transformaión de Galileo. Si u 8 es la veloidad de la nave (sistema S 4) respeto a la Tierra (sistema S) y 4 es la veloidad del rayo de luz respeto a la nave, omo se india en la figura, de auerdo on las transformaiones de Galileo para la veloidad, tendremos: v = v 4 + u 8 = 4 + u = 300000 km/s + 50000 km/s = 550000 km/s Y S Y' S' O X O' ' X' u Z Z' El resultado obtenido queda invalidado por el segundo postulado de la relatividad espeial de Einstein. Un niño deja aer una manzana desde la ventanilla de un vagón que se mueve a 00 km/h. Esribe sus euaiones de movimiento y alula su trayetoria, referidas al vagón y a un observador en el andén. Respeto al sistema de referenia del vagón (S 4), si la posiión iniial era y 4 0, tenemos, de auerdo on la figura: x 4 = 0 ; y 4 = y 0 4 g t Y Y' S S' y 0 ' u O X O' X' Z Z' Unidad. La teoría de la relatividad de Einstein 353
Respeto al sistema fijo en el andén (S): x = x 4 + u t = 0 + 7,78 t = 7,78 t ; y = y 4 = y 0 g t donde hemos supuesto que, en t = 0, x = x 4 e y = y 4, y hemos tenido en uenta que u = 00 km/h = 7,78 m/s. Si llamamos h a la altura desde la que se suelta la manzana, y sustituimos el valor de la aeleraión de la gravedad, las euaiones de movimiento respeto al vagón, quedan: Y respeto al andén: x 4 = 0 y 4 = h 4,9 t x = 7,78 t y = h 4,9 t Vemos que, respeto al vagón, la trayetoria es la reta x 4 = 0. Para hallar la trayetoria respeto al andén, despejamos t en la euaión de x y sustituimos en la euaión de y: t = x 8 y = h 4,9 x = h 6,35 0 3 x 7,78 77,6 Es deir, la trayetoria respeto al andén es una parábola. 3. Comenta la afirmaión siguiente: «Si en el interior de un baro se deja aer una piedra, su movimiento no se ve alterado por el del baro debido a que este va muy despaio». Es una afirmaión falsa, ya que, por el prinipio de relatividad de Galileo, el movimiento de la piedra no se verá afetado por el del baro siempre que este se mueva on veloidad onstante, independientemente de su valor. 4. A qué rees que se debe que los primeros en alular medidas aeptables de la veloidad de la luz fueran los astrónomos? Se debe a que, debido a la elevadísima veloidad de propagaión de la luz, los intervalos de tiempo que emplea esta en sus reorridos solo eran lo sufiientemente grandes omo para ser medidos en la esala astronómia. En esalas del orden de las dimensiones de un laboratorio, los intervalos de tiempo son tan pequeños que no se disponía de aparatos tan preisos para apreiarlos. 5. Por qué esperaban Mihelson y Morley que el diagrama de interferenias variase al rotar 90 el interferómetro? Porque desde el sistema de referenia del éter, el reorrido de la luz por el brazo perpendiular al desplazamiento de la Tierra sería más largo que el reorrido de la luz por el brazo alineado on el movimiento. Si los brazos rotan 90, aquel por el que el reorrido era más orto pasa ahora a tener el más largo, y vieversa. De ahí que la operaión de rotaión del interferómetro se esperaba que impliase una variaión en el diagrama de interferenias, osa que no suedió. 354 Unidad. La teoría de la relatividad de Einstein
6. Razona en qué irunstanias debería realizarse el experimento de Mihelson-Morley para poder desartar que la Tierra arrastra al éter en su movimiento. Sería de esperar que, si la Tierra arrastra al éter en su movimiento, no arrastraría a todo el éter del universo, sino solo al que se enuentra rodeándola. Por tal motivo, si el experimento se realiza a una altura onsiderable, pareería razonable pensar que estaría fuera del éter arrastrado por la Tierra. Sin embargo, Piard realizó el experimento en un globo a gran altitud y nuevamente obtuvo el mismo resultado: el diagrama de interferenias no se veía afetado por la orientaión del interferómetro. 7. A qué veloidad se debe mover una barra para que su longitud se reduza a la mitad? Como queremos que la longitud se reduza a la mitad, l = l 0 /, se umplirá: l l = l 0 v 8 0 = l 0 v 8 v = 8 v = 0,87 Es deir, la veloidad de la barra debe ser: v = 60000 km/s. 8. Representa una novedad el heho de que la veloidad de la luz no dependa de la veloidad del foo emisor? No representa una novedad, pues es una propiedad de las ondas. Lo que sí es una novedad es que la veloidad de la luz no dependa del estado de movimiento del reeptor. 9. Las oordenadas de un sueso en el interior de una nave que se desplaza on veloidad v = 0,5 son, respeto a ella (0, 0, 0, 00). Interprétalas y alula las oordenadas del sueso respeto a tierra. Estas oordenadas indian que el sueso ha ourrido en el punto de oordenadas (0, 0, 0), referidas a S 4, y en el instante t 4 = 00 s, es deir, medido on el reloj que está en S 4: (x 4, y 4, z 4, t 4) = (0, 0, 0, 00) Para alular las oordenadas del sueso respeto a Tierra (sistema S) apliamos las transformaiones de Lorentz. En este aso, el valor de g es: Por tanto: g = = =,5 ( ) v 0,5 x = g (x 4 + v t 4) =,5 (0 + 0,5 00) =,5 50 =,73 0 0 m Donde hemos heho uso de la aproximaión 0 + 50 50. Además: y = y 4 z = z 4 t = g ( t 4 + v ) ( x 4 =,5 00 + 0,5 ) 0,5 00 8 t = 5 s Por tanto, las oordenadas del sueso respeto a Tierra, en el S.I., son: (x, y, z, t) = (,73 0 0, 0, 0, 5) Unidad. La teoría de la relatividad de Einstein 355
0. En el interior de una nave que se desplaza a 80 000 km/s se elebra el primer umpleaños de un niño que naió durante el viaje. Qué edad tendrá respeto a la Tierra? Como la nave se mueve a una veloidad próxima a la de la luz, el tiempo transurrido, medido desde la Tierra (la edad del niño referida a la Tierra), será: t = g t 0 = t 0 = =,79 años ( ( ) v ),8 0 8 3 0 8. Obtén la ontraión que experimentarán los lados de un uadrado de m de lado al desplazarse a 0,7, si dos de ellos están alineados on su veloidad. La longitud de los dos lados perpendiulares a la veloidad no varía, y la de los dos lados alineados on la veloidad sí lo hae. Por ejemplo, respeto a un sistema de referenia situado en la Tierra, será: l 0g ( ) l = = l 0 v = 0,7 = 0,7 m Por tanto, desde la Tierra veríamos un retángulo de m de alto por 0,7 m de largo.. Un foo supuesto en reposo emite un fotón. Calula su veloidad respeto a un observador que se aera a él a veloidad v. Qué resultado se obtiene si utilizas las transformaiones de Galileo? La veloidad del fotón en movimiento, medida desde el sistema de referenia S 4, también en movimiento, donde u 4 es la veloidad del fotón respeto a S 4, y u =, respeto a S, es: u + v + v + v + v u 4 = = = = = v v v + v + u + + Como vemos, la veloidad del fotón es la misma medida respeto a ualquier observador en movimiento uniforme. Y S Y' S' Fotón u = 3 0 8 m/s v O X O' X' Z Z' En el maro de las transformaiones de Galileo, se tendría simplemente: u 4=3 0 8 + v Lo ual implia que la veloidad del fotón respeto al sistema S 4 sería mayor que 300 000 km/s, osa que no puede sueder si utilizamos la omposiión relativista de veloidades. 356 Unidad. La teoría de la relatividad de Einstein
3. Calula la masa de un protón uya veloidad es de 80 000 km/s, y ompárala on su masa en reposo. La masa en reposo del protón es m 0 =,673 0 7 kg, y en movimiento: m m = g m 0 = = =,79,673 0 7 = 4,668 0 7 kg 0,673 ( 0 7 ) v,8 0 8 3 0 8 La relaión entre ambas masas es, entones: m = g =,79 m 0 4. Obtén la energía total del protón anterior, así omo la que se le ha suministrado. La energía total del protón en movimiento es: E = m Su energía en reposo vale: E 0 = m 0 8 E = 4,668 0 7 (3 0 8 ) = 4,0 0 0 J 8 E 0 =,673 0 7 (3 0 8 ) =,506 0 0 J Por tanto, a ese protón se le ha suministrado una energía: DE = E E 0 = 4,0 0 0,506 0 0 =,695 0 0 J 5. Calula la antidad de movimiento y la energía total de una partíula de 0 8 kg on una veloidad de 50 000 km/s. Calulamos, en primer lugar, g: g = = =,8 ( ) v,5 0 8 3 0 8 La masa de la partíula en movimiento es: Y su energía total: m = g m 0 =,8 0 8 kg E = m =,8 0 8 (3 0 8 ) =,69 0 J Para hallar la antidad de movimiento, alulamos, previamente, su energía en reposo: E 0 = m 0 = 0 8 (3 0 8 ) = 9 0 J Despejando en la expresión que relaiona la energía relativista on la antidad de movimiento, resulta: p = E (,69 0 E 0 8 p = = ) (9 0 ) = E E 0 (3 0 8 ) = 4,53 0 0 kg m/s Se puede omprobar que habríamos llegado al mismo resultado usando diretamente la expresión p = g m 0 v. Unidad. La teoría de la relatividad de Einstein 357
6. En un reator nulear se transforman en energía kg de uranio. Calula la energía que se libera. Si suponemos que la masa que se transforma íntegramente en energía está en reposo, bastará on obtener su equivalente en energía de auerdo on la relaión siguiente: DE = Dm Como la variaión de masa es de kg, Dm = kg, tendremos: DE = (3 0 8 ) =,8 0 7 J 7. Calula la fuerza que será neesario apliar a un protón que se enuentra en reposo (m 0 =,67 0 7 kg) para suministrarle una aeleraión de m/s. Y si se mueve a 0,7? Si el protón está en reposo, podemos utilizar la expresión lásia de la aeleraión: F = m a 8 F =,67 0 7 =,67 0 7 N Sin embargo, si se mueve a una veloidad de 0,7, tenemos que utilizar la expresión relativista: Donde: F = m 0 g 3 a g = = =,4 ( ) v 0,7 Así, la fuerza neesaria en este aso es: F =,67 0 7,4 3 = 4,58 0 7 N Se trata de una fuerza,74 vees más intensa que la neesaria uando el protón está en reposo. 8. Comenta la afirmaión siguiente: «En el futuro, la tenología habrá avanzado tanto que se podrán onstruir naves que viajen a las estrellas a dos o tres vees la veloidad de la luz». La afirmaión es falsa, pues de auerdo on la teoría de la relatividad espeial es imposible que un objeto material viaje a una veloidad igual o superior a la de la luz. No se trata, por tanto, de un problema de tenología. 358 Unidad. La teoría de la relatividad de Einstein