Integando con Pit agoa M. en C. Ren e Ben ³tez L oez Deatamento de Matem atica UAM-I Recibido: 0 de etiembe de 004. Acetado: 8 de febeo de 005. Intocci on Lo libo uuale de c alculo integal, tatan lo cao de la t ecnica de integaci on o utituci on tigonom etica, identi cando eectivamente a la uma de cuadado y a la difeencia de cuadado con una exei on ue e ate de una euivalencia tigonom etica. Po ejemlo, el cao en el ue un integando contiene una a ³z de la foma a x, dicho libo identi can la difeenciaa x con una exei on tigonom etica conocida, obeve: ³ x a x a µ a a en µ a co µ; ieme ue enµ x a : En cuyo cao a x acoµ; adem a: tanµ enµ coµ x a x ; cotµ coµ enµ a x ; x ecµ coµ a a x ; ccµ enµ a x ; Con la identi caci on anteio, la vaiablexe exea en funci on de la vaiableµ etableci endoe a ³ uno de lo cao de utituci on tigonom etica de la mencionada t ecnica. A abe: x aenµ; a x acoµ; d(aenµ) acoµdµ; N otee ue aa exea a x como funci on de µ no e alic o exl ³citamente el teoema de Pit agoa, e u o la conocida euivalencia tigonom etica co µ en µ la cual e una conecuencia de dicho teoema. A difeencia de eto ue hacen lo libo de c alculo, en ete at ³culo cada uno de lo cao de utituci on tigonom etica e tata a ati del teoema de Pit agoa, identi cando a la a ³z cuadada de una uma de cuadado con la hiotenua de un ti angulo ect angulo, y a la a ³z cuadada de una difeencia de cuadado con uno de lo cateto de un ti angulo ect angulo. 9
0 ContactoS 55, 9{4 (005) Adem a con ete tatamiento e etablece la f omula ue igue: (ax +bx +c) n x +b (n )() (n )()(ax n + +bx +c) (n )() (ax +bx +c) n ; en dondene un n umeo enteo oitivo mayo ue ; y4ac b 6 0: Lo libo uuale de c alculo no etablecen eta f omula, y no obtante ueella e batante util aa intega o faccione aciale, mucho de ello ni iuiea la mencionan. Teoema de Pit agoa Recu edee ue un ti angulo ect angulo e un ti angulo ue tiene un angulo ecto. El lado oueto al angulo ecto e llama hiotenua y lo lado ue deteminan el angulo ecto e llaman cateto. En el ti angulo de la gua adjunta: ² La hiotenua ec; ² a ybon lo cateto. Po el teoema de Pit agoa (58-497 a.c.) alicado al ti angulo ect angulo anteio, e tiene: 8 c a >< +b ; a +b c ) a c b ; >: b c a : Po lo ue, en lo uceivo: La a ³z cuadada de una uma de cuadado, e inteeta a geom eticamente como la medida de la hiotenua de un ti angulo ect angulo y en dicha uma cada umando e el cuadado de uno de lo cateto de dicho ti angulo. La a ³zcuadada deuna difeencia de cuadado, e inteeta a geom eticamente como uno de lo cateto de un ti angulo ect angulo, y en dicha difeencia el minuendo e elcuadado de la hiotenua y el utaendo e el cuadado del oto cateto del mencionado ti angulo. Ejemlo En x + x + ; hay una uma de cuadado y e inteeta geom eticamente como la hiotenua de un ti angulo ect angulo, cuyo cateto midenxy ; como e mueta eneguida.
Integando con Pit agoa. Ren e Ben ³tez L oez. En cuyo cao: tanµ x ) x tanµ; ecµ x + ) x + ecµ: O bien a ³: En ete cao: cotµ x ) x cotµ; ccµ x + ) x + ccµ: Ejemlo En 4x (x) ; hay una difeencia de cuadado y e inteeta geom eticamente como uno de lo cateto de un ti angulo ect angulo cuya hiotenua e ; como e muta eneguida. En cuyo cao: coµ x ) x enµ 4x coµ; ) 4x enµ: O a ³: En ete cao: enµ x ) x coµ 4x enµ; ) 4x coµ: Ejemlo En e x (e x ) ; hay una difeencia de cuadado y e inteeta geom eticamente como uno de lo cateto de un ti angulo ect angulo cuya hiotenua ee x ; como e mueta eneguida.
ContactoS 55, 9{4 (005) En tal cao: ecµ ex ) ex ecµ ) x ln(ecµ); e x tanµ ) e x tanµ: O a ³: En ete cao: ccµ ex ) ex ccµ ) x ln(ccµ); e x cotµ ) e x cotµ: Integaci on o utituci on tigonom etica La t ecnica de integaci on o utituci on tigonom etica e alica a integale cuyo integando et a en t emino de la a ³z cuadada de una uma de cuadado o en t emino de la a ³z cuadada de una difeencia de cuadado, y conite en inteeta geom eticamente a la a ³z cuadada, aa exeala a ella y a la vaiable de integaci on en t emino de una funci on tigonom etica. x Ejemlo 4 Calcula + : Soluci on En x + x + ; hay una uma de cuadado y e inteeta geom eticamente como la hiotenua de un ti angulo ect angulo, cuyo cateto midenxy ; como e mueta eneguida. En cuyo cao: tanµ x ) x tanµ ) ec µdµ; x + ecµ ) x + ecµ: Dado ue ec n x ecn x tanx n + n n ec n x in6 ; e ecx lnjecx + tanxj +c;
Integando con Pit agoa. Ren e Ben ³tez L oez. entonce: Ejemlo 5 Calcula x + µ tanµecµ + x x + ecµ ec µdµ + ln x 9 x : ecµdµ x + x + ec µdµ tanµecµ + lnjecµ + tanµj +c 8 < tanµ +c Poue: x ; : ecµ x + : Soluci on En 9 x x hay una difeencia de cuadado, entonce eta a ³z geom eticamente eeenta uno de lo catetode un ti angulo act angulo. Dicho cateto e ecogeo cotumbe como el cateto oueto al anguloµ; como e mueta eneguida. En cuyo cao: coµ x ) x coµ ) enµdµ; enµ 9 x ) 9 x enµ: A ³ ue, utituyendo e tiene: x 9 x enµdµ ( coµ) (enµ) 7 µ tanµecµ + ecµdµ 7 dµ co µ 7 tanµ ecµ lnjecµ + tanµj +c 54 54 Peo en el ti angulo ect angulo ue e et a uando, e tiene: 9 x tanµ ; y ecµ x x : Po tanto: 9 x x 9 x 8x 54 ln + 9 x x +c: Ejemlo 6 Calcula : (4x + 5) ec µdµ Soluci on En 4x + 5 (x) + 5 hay una uma de cuadado, entonce 4x + 5 geom eticamente e la hiotenua de un ti angulo ect angulo, y dicha uma e la uma de lo cuadado de lo cateto. o lo ue e tiene la iguiente gua.
4 ContactoS 55, 9{4 (005) En cuyo cao: tanµ x 5 ) x 5 tanµ ) 5 ec µdµ; ecµ 4x + 5 5 ) 4x + 5 5ecµ: Entonce utituyendo e tiene: (4x + 5) 0 5 4x + 5 ec µdµ (5ecµ) coµdµ enµ +c 0 0 x 4x + 5 +c Poue: enµ x 4x + 5 Integale de la foma x 0 4x + 5 +c: (ax +bx +c) n Pooici on Si 4ac b ; entonce 8 x +b actan +c i> 0; >< ax +bx +c +c i 0; x +b >: ln x +b x +b+ +c i< 0: Demotaci on N otee ue µ ax +bx +c a x + b a x +c a a à µ x + b! + : 4a Po lo ue: Si>0; entonce : Po tanto: ax +bx +c a x + b + 4a
Integando con Pit agoa. Ren e Ben ³tez L oez. 5 a a a Geom eticamente u + 4a u + à ³ u + u + Sutituci on: u x+ b Poue: ( ) : ³ como e mueta eneguida. ³! Poue: u + µ ) : 0 @ u + µ e la hiotenua de un ti angulo ect angulo cuyo cateto midenuy ; A : Entonce utituyendo e tiene: a à ³! a u + En tal cao: tanµ u ) u tanµ 8 >< ec µdµ; ) >: µ actan u : ecµ u + ec µdµ ³ ecµ ³ ) u + dµ µ +c µ ecµ: actan u +c x +b actan +c: Si<0; entonce > 0; o lo ue ( ) ( ) : Po tanto: ax +bx +c a x + b + a 4a x + b ³ a à x + b ³! i x< b o x> b + : a à u ³! (Sutituci on: u x+ b ) :)
6 ContactoS 55, 9{4 (005) µ Geom eticamente u e uno de lo cateto de un ti angulo ect angulo cuya hiotena euy e el oto cateto, como e mueta en la gua ue igue. En tal cao: ecµ u ) u ecµ ) 8 >< >: µ acec u : ecµ tanµdµ; tanµ µ u ) u µ tanµ: Entonce utituyendo e tiene: a à u ³! a ecµ tanµdµ ³ tanµ ecµ tanµ dµ ln u u ln ccµdµ lnjccµ cotµj +c ³ u (u) ( ) () +c u ³ 8 ccµ >< +c Poue: cotµ >: u ³ u ³ u ; :
Integando con Pit agoa. Ren e Ben ³tez L oez. 7 u ln (u ) (u + ) +c ln u u + +c ln u u + +c ln x +b x +b + x +b +c Poue: u : Si 0; entonce: ax +bx +c a x + b + 4a a x + b Ejemlo 7 a u (u x + b ) :) a + u + +c a x+b (x + ) Calcula x x : +c x +b +c: Soluci on Po la ooici on y el hecho de ue (x + ) x + x x x x u 0 (x) lnju(x)j +c; e tiene: u(x) x + + x x (x ) x x + 5 x + x x x + 5 x x x x ln x x + 5 5 ln x 5 x + 5 +c: Pooici on Sin e un n umeo enteo oitivo mayo ue y 4ac b 6 0; entonce x +b (ax +bx +c) n (n )()(ax +bx +c) n + + (n )() (n )() (ax +bx +c) n :
8 ContactoS 55, 9{4 (005) Demotaci on Si 4ac b ; entonce (ax +bx +c) n a n a n à µ x + b + 4a ³ u + n: 4a! n µ u x + b ) : Si> 0; entonce (ax +bx +c) n a n 0 µ @ u + A n : µ Geom eticamente u + e la hiotenua de un ti angulo ect angulo cuyo cateto midenuy como e mueta en la gua ue igue. ; En ete cao: tanµ ) dµ u ) u ec µ tanµ ) ec µdµ 0 @ ³ u + à A u + ³! : Dado ue ecµ u + ³ co m x com xenx m + m m ) u + µ ecµ: co m x; en dondeme un enteo oitivo; e tiene:
Integando con Pit agoa. Ren e Ben ³tez L oez. 9 a n à u + ³! n ec µdµ a n ³ ecµ n a n ( ) n () n ec n µdµ n a n a n () n co n µdµ n a n n n a n µ co n µ enµ n + n n n co n 4 µdµ co n µdµ Peo: co n µ 0 B @ u + ³ C A n n () n Ãu + ³! n : enµ u + u ³ : Entonce: n a n n con µ enµ n n a n n n () n Ãu + ³! n (n ) u u + ³ u µ (a n )()(n ) u + ³ n u (a n )()(n ) a n (ax +bx +c) n x +b (n )()(ax +bx +c) n Po ota ate:
40 ContactoS 55, 9{4 (005) Po lo ue (ax +bx +c) n n a n n n n n a n n n n co n 4 µdµ 0 B @ u + n a n (n ) n 4 n (n )() n 4 () ³ C A Ã (n ) a n (n )() (n ) a n (n )() (n ) (n )() x +b (n )()(ax +bx +c) n + + (n )() (n )() n 4 0 u + B Ã @ u + µ u + ³! n ³ n ³ (ax a +bx +c) n n (ax +bx +c) n (ax +bx +c) n :! C A Deivando el egundo lado de la igualdad anteio e tiene: " d x +b (n )() (n )()(ax n + +bx +c) (n )() # (ax +bx +c) n h(x +b) ( n) ax +bx +c n + ax +bx +c i n () (n )() + h(n )() ax +bx +c i n (n )() (n )() (n )() " ( n)(x +b) + ax +bx +c # ( + (n )()) (ax +bx +c) n " ( n)(x +b) + ax +bx +c # (n )(4a) (ax +bx +c) n (ax +bx +c) n :
Integando con Pit agoa. Ren e Ben ³tez L oez. 4 Dado ue la deivada anteio et a de nida aa todo 4ac b 6 0; entonce x +b (ax +bx +c) n (n )()(ax +bx +c) n + ieme ue 4ac b 6 0: + (n )() (n )() (ax +bx +c) n ; Ejemlo 8 Calcula (x x + ) : Soluci on Po la ooici on, aa 4()() ( ) 5< 0 e tiene: (x x + ) x ( 5)(x x + ) 5 x x + x (5)(x x + ) 5 5 ln x 5 x + 5 +c: Ejemlo 9 Calcula (4x 4x + ) : Soluci on En ete cao 4ac b 4(4)() (4) 0; entonce el olinomio 4x 4x + tiene una a ³z de multilicidad, la cual ex ; o ea, µ x e facto del olinomio 4x 4x + ; como e mueta eneguida. µ 4x 4x + (x ) 4 x : Entonce uando el cmbio de vaiableu x ; e tiene ue Bibliogaf ³a (4x 4x + ) 64 ³ 4 x 64 x 6 64 u 6 u 6 µ u 6+ +c µ x 5 +c 64 6 + 0 0(x ) 5 +c:. Haae/LaSalle/Sullivan. An alii Matem atico Volumen. Edit. Tilla. M exico. 970.. Leithold Loui C alculo con geomet ³a anal ³tica. Edit. Hala. M exico. 98.