Funciones de Variable Compleja

U Contenido Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Eléctrica Departamento de Electrónica, Computación y Control Variable Compleja y Cálculo Operacional Funciones de Variable Compleja (Continuidad, Diferenciación y Funciones Elementales) William La Cruz Semestre 205-3 EIE-UCV Funciones de Variable Compleja /43 Funciones de Variable Compleja...4 Definición...4 Funciones Componentes... 8 Límite y Continuidad...9 Diferenciación...3 Ecuaciones de Cauchy-Riemann...6 Condiciones Necesarias y Suficientes para la Existencia de la Derivada...7 Funciones Anaĺıticas y Armónicas... 8 Funciones Elementales... 24 Función Exponencial...24 Funciones Trigonométricas...26 Funciones Hiperbólicas... 29 Función Logaritmo...32 EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 2 /43 Función Exponente Complejo... 37 Funciones Trigonométricas Inversas...39 Funciones Hiperbólicas Inversas...42 Funciones de Variable Compleja Este tema está dedicado a la compresión de los fundamentos matemáticos de las funciones de variable compleja, que poseen muchas aplicaciones en distintas áreas de la Ingeniería, por ejemplo, en la teoría de corrientes alternas o el procesamiento de señales. Definición Una función f de variable compleja es una regla de asignación que le hace corresponder a un número complejo z = x+iy uno o varios números complejos w = u+iv. El número w se llama valor o imagen de f en z y se designa por f(z); es decir, o, equivalentemente, w = f(z) u+iv = f(x+iy). EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 3 /43 EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 4 /43

Definición (Dominio y Rango). El conjunto de números complejos z donde la función f está bien definida se denomina dominio de f. El conjunto de todas las imágenes w = f(z) es llamado rango de f. Funciones monovaluadas Definición 2 (Polinomio complejo). Sean n 0 un entero. Sean a 0,a,...,a n constantes complejas. La función p(z) = a 0 +a z +a 2 z 2 + +a n z n, (a n 0) se denomina polinomio complejo o, simplemente, polinomio de grado n. Funciones multivaluadas Cuál es el dominio y el rango de un polinomio complejo? EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 5 /43 EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 6 /43 Definición 3 (Función racional). Sean p(z) y q(z) polinomios. La función r(z) definida por r(z) = p(z) q(z) se denomina función racional y está definida en todo número complejo z, excepto donde q(z) = 0. Cómo se determinan el dominio y el rango de una función racional? El dominio y rango de la función r(z) = z + z i respectivamente por: {z C : z i}, {w C : w }. están dados Funciones Componentes Sea f(z) una función de variable compleja. Entonces, existen funciones u : R 2 R y v : R 2 R, denominadas funciones componentes, tales que f(z) se puede expresar como donde z = x+iy. f(z) = u(x,y)+iv(x,y), Encuentre las funciones componentes de f(z) = z + z. Solución. Las funciones componentes de f(z) son u(x,y) = x(x2 +y 2 +), v(x,y) = y(x2 +y 2 ) x 2 +y 2 x 2 +y 2 EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 7 /43 EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 8 /43

Límite y Continuidad Definición 4 (Límite).Sea f una función definida en todos los puntos de cierta vecindad de z 0, excepto, posiblemente en el mismo z 0. Se dice que w 0 es un límite de f(z), si para cada número positivo ε, existe un número positivo δ tal que Se denota con f(z) w 0 < ε siempre que 0 < z z 0 < δ. lím z z 0 f(z) = w 0 cuando w 0 es un límite de f(z), al tender z a z 0. Teorema. Supongamos que lím f(z) = w 0 y lím g(z) = W 0. z z0 z z0 Entonces:. lím [f(z)+g(z)] = w 0 +W 0 ; z z0 2. lím [f(z) g(z)] = w 0 W 0 ; z z0 [ ] f(z) 3. lím = w 0, W 0 0. z z0 g(z) W 0 Teorema 2.Sean f(z) = u(x,y) + iv(x,y), z 0 = x 0 + iy 0, y w 0 = u 0 +iv 0. Entonces, f(z) si, y sólo si lím z z 0 f(z) = w 0 lím (x,y) (x 0,y 0 ) u(x,y) = u 0 y lím (x,y) (x 0,y 0 ) v(x,y) = v 0. EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 9 /43 EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 0 /43 Definición 5 (Continuidad). Se dice que una función f(z) es continua en z 0, si satisface las dos condiciones siguientes: i) f(z 0 ) está definido; ii) lím z z0 f(z) existe, y lím f(z) = f(z 0 ). z z 0 Se dice que f(z) es continua en un dominio D, si es continua en todo z D. Estudie la continuidad de la función { z 2 z f(z) =, z,, z =. Teorema3.Sean f(z) y g(z) dos funciones definidas en un dominio D C. Entonces:. la función f(z)+g(z) es continua en D; 2. la función f(z)g(z) es continua en D; 3. la función f(z)/g(z) es continua en D \{z : g(z) = 0}. Teorema 4. Sean f(z) y g(z) dos funciones definidas respectivamente en los dominios D C y E C, tales que f(d) E. Si f es continua en z 0 D y g es continua en f(z 0 ) E, entonces la función h(z) = g(f(z)) es continua en z 0. Teorema 5.Sea f(z) = u(x,y)+iv(x,y). Entonces, f es continua en z 0 = x 0 +iy 0 si, y sólo si u(x,y) y v(x,y) son continuas en el punto (x 0,y 0 ). EIE-UCV Funciones de Variable Compleja /43 EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 2 /43

Estudie la continuidad de la función Diferenciación f(z) = 2x+iy + x iy x 2 +y 2. Definición 6 (Derivada). Sea f(z) una función definida en un dominio D C. Sea z 0 un punto de acumulación de D. La derivada de f en z 0, denotada por f (z 0 ), se define como donde s es un número complejo. f f(z 0 +s) f(z 0 ) (z 0 ) = lím, s 0 s Fórmulas o Reglas de Diferenciación Sean f,f,f 2,...,f n funciones derivables en z. Entonces:. Si f(z) = c, entonces f (z) = 0, donde c C. 2. Si h(z) = cf(z), entonces h (z) = cf (z), donde c C. 3. Si f(z) = z, entonces f (z) =. 4. [f (z)+f 2 (z)+ +f n (z)] = f (z)+f 2(z)+ +f n(z). 5. [f (z)f 2 (z)] = f (z)f 2 (z)+f 2(z)f (z). 6. [(f(z)) m ] = m(f(z)) m f (z), donde m es un entero. 7. Si f(z) = z m, entonces f (z) = mz m, donde m es un entero. EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 3 /43 EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 4 /43 8. Si f(z) = a 0 +a z +a 2 z 2 + +a m z m, entonces 9. f (z) = a +2a 2 z +3a 3 z 2 + +ma m z m. [ ] f (z) = f (z)f 2 (z) f 2(z)f (z) f 2 (z) (f 2 (z)) 2, siempre y cuando f 2 (z) 0. 0. Regla de la Cadena. Sean f(z) derivable en z 0 y g(w) derivable en f(z 0 ). Entonces la función h(z) = g(f(z)) es derivable en z 0, y h (z 0 ) = g (f(z 0 ))f (z 0 ). Ecuaciones de Cauchy-Riemann Teorema 6.Sea f(z) = u(x,y)+iv(x,y) una función derivable en z 0 = x 0 +iy 0. Entonces, u(x,y) y v(x,y) satisfacen las Ecuaciones de Cauchy-Riemann en el punto (x 0,y 0 ), esto es: u x (x 0,y 0 ) = v y (x 0,y 0 ) Las funciones componentes de u y (x 0,y 0 ) = v x (x 0,y 0 ) f(z) = e x cosy +ie x seny satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todo (x,y) R 2. EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 5 /43 EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 6 /43

Condiciones Necesarias y Suficientes para la Existencia de la Derivada Teorema 7.Sean f(z) = u(x,y)+iv(x,y) y z 0 = x 0 +iy 0. Si u(x, y) y v(x, y) tienen primeras derivadas parciales continuas, en (x 0,y 0 ), y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en (x 0,y 0 ), entonces f (z 0 ) existe y está dada por ó f (z 0 ) = u x (x 0,y 0 )+i v x (x 0,y 0 ) f (z 0 ) = v y (x 0,y 0 ) i u y (x 0,y 0 ) Determine la derivada de f(z) = e x cosy +ie x seny en todo z C. Funciones Anaĺıticas y Armónicas Funciones Anaĺıticas Se dice que una función f(z) es analítica en z 0, si f (z) existe en z 0 y en todo punto z de alguna vecindad de z 0. Determine los puntos z = x+iy donde la función f(z) = x 2 +iy 2 es anaĺıtica. EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 7 /43 EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 8 /43 Solución. La función f(z) = x 2 + iy 2 solamente es derivable en los números complejos z que pertenecen a la recta y = x, como se muestra en la siguiente figura. Determine los puntos z = x+iy donde la función es anaĺıtica. f(z) = x(x2 +y 2 +) x 2 +y 2 +i y(x2 +y 2 ) x 2 +y 2 Solución. La función f(z) es anaĺıtica en todo C excepto en z = 0. Definición 7 (Punto singular).se dice que z 0 C es un punto singular de una función f(z), si f(z) es analítica en al menos un punto z de toda vecindad de z 0 excepto en el mismo z 0. Por tanto, en ningún z C, la función f(z) es anaĺıtica. Definición 8 (Función entera). Una función f(z) que es analítica en todo punto z del plano complejo se denomina entera. EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 9 /43 EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 20 /43

Proposición. Sean f(z) y g(z) funciones analíticas en un dominio D C. Entonces:. f(z)±g(z) es analítica en D; 2. f(z)g(z) es analítica en D; 3. f(z)/g(z) es analítica en D \{z : g(z) = 0}. Determine los puntos z C donde la función es anaĺıtica. f(z) = z2 + z Solución. La función f(z) es anaĺıtica en todo C excepto en z = 0. Funciones Armónicas Conjugadas Definición 9 (Función armónica).se dice que una función h : R 2 R es armónica en un dominio D R 2, si en todo punto (x,y) D tiene derivadas parciales, primera y segunda, continuas y satisface la ecuación en derivadas parciales 2 h(x,y) = 2 h 2 h x 2(x,y)+ y2(x,y) = 0, conocida como ecuación de Laplace. La función es armónica en todo R 2. h(x,y) = x 2 y 2 EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 2 /43 EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 22 /43 Definición 0 (Armónica Conjugada). Si dos funciones dadas u : R 2 R y v : R 2 R son armónicas en un dominio D R 2 y sus primeras derivadas parciales satisfacen las ecuaciones de Cauchy- Riemann para todo punto (x,y) D, se dice que v es armónica conjugada de u. Teorema 8.Una función f(z) = u(x,y)+iv(x,y) es analítica en un dominio D si, y sólo si v es armónica conjugada de u. Determine la función armónica conjugada de u(x,y) = x+y. Solución. La función armónica conjugada de u(x,y) = x+y es donde c es una constante real. v(x,y) = y x+c, Funciones Elementales Función Exponencial Para cada z = x+iy, la función exponencial se define como Propiedades e z = e x cosy +ie x seny La función exponencial es entera, además, (e z ) = e z. El rango de la función exponencial es todo el plano complejo excepto z = 0. La función exponencial es periódica con un periodo imaginario de 2πi. EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 23 /43 EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 24 /43

Propiedades algebraicas. Sean z = x +iy y z 2 = x 2 +iy 2. Las siguientes identidades son ciertas:. e z e z 2 = e z +z 2 2. ez e z 2 = ez z 2 3. e 0 = 4. e = z e z 5. (e z ) n = e nz, para n =,2,... Resuelva la ecuación e z = i. Solución. El conjunto de números complejos que resuelven la ecuación e z = i es {z = x+iy : x = 0, y = (2k +) π 2, k = 0,±2,±4,±6,... } Funciones Trigonométricas Para cada z = x+iy, la función seno se define como y la función coseno como Propiedades senz = eiz e iz 2i cosz = eiz +e iz 2 Las funciones senz y cosz son enteras, además, (senz) = cosz y (cosz) = senz. EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 25 /43 EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 26 /43 Se satisfacen las identidades trigonométricas, por ejemplo, sen 2 z +cos 2 z =. Las funciones senz y cosz son periódicas con periodo de 2π. Las funciones senz y cosz también se pueden expresar como: senz = senxcoshy +i cosxsenhy, cosz = cosxcoshy i senxsenhy. Los ceros de senz y cosz son: senz = 0 si, y sólo si z = nπ, Otras funciones trigonométricas Las demás funciones trigonométricas se definen como: tanz = senz cosz, secz = cosz cotz = senz, cosz, cscz = senz. Para los valores de z donde no se anule el denominador de las funciones anteriores, su derivada existe y es, respectivamente, (tanz) = sec 2 z, (cotz) = csc 2 z, cosz = 0 si, y sólo si z = (2n+) π 2, para n = 0,±,±2,... (secz) = tanz secz, (cscz) = cotz cscz. EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 27 /43 EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 28 /43

Funciones Hiperbólicas Para cada z = x+iy, la función seno hiperbólico se define como senhz = ez e z 2 y la función coseno hiperbólico como coshz = ez +e z 2 Propiedades Las funciones senhz y coshz son enteras, además, (senhz) = coshz y (coshz) = senhz. Se satisfacen las identidades hiperbólicas, por ejemplo, cosh 2 z senh 2 z =. Las funciones senhz y coshz también se pueden expresar como: senhz = senhxcosy +i coshxseny, coshz = coshxcosy +i senhxseny. Las funciones senhz y coshz son periódicas con periodo de 2πi. Los ceros de senhz y coshz son: senhz = 0 si, y sólo si z = nπi, coshz = 0 si, y sólo si z = (2n+) π 2 i, para n = 0,±,±2,... EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 29 /43 EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 30 /43 Otras funciones hiperbólicas Las demás funciones trigonométricas se definen como: tanhz = senhz coshz, sechz = coshz cothz = senhz, coshz, cschz = senhz. Para los valores de z donde no se anule el denominador de las funciones anteriores, su derivada existe y es, respectivamente, (tanhz) = sech 2 z, (cothz) = csch 2 z, (sechz) = tanhz sechz, (cschz) = cothz cschz. Función Logaritmo Para todo z 0, la función logaritmo se define como donde ln denota el logaritmo natural. La función logaritmo es multivaluada. logz = ln z +i argz, () El valor principal del logaritmo, denotado por Logz, es el valor de logz que se obtiene cuando se utiliza el argumento principal de z en (), esto es además, anaĺıtica en el dominio Logz = ln z +iargz, ( z > 0, π < argz < π) EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 3 /43 EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 32 /43

Calcular los valores de log(+i). Solución. Los valores de log(+i) vienen dado por log(+i) = ln( 2)+i ( π 4 +2nπ ), n = 0,±,±2,... Ramas del Logaritmo Definición (Rama de una función multivaluada). Una rama de una función multivaluada f es una función monovaluada F que es analítica en cierto dominio D y que coincide con f en D, es decir, F(z) = f(z) para todo z D. Definición 2 (Corte ramal y punto ramal).un corte ramal es una línea o curva de puntos singulares que se introducen al definir una rama de una función multivaluada. El punto común a todos los cortes ramales de una función multivaluada se denomina punto ramal. EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 33 /43 EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 34 /43 Definición 3 (Rama del logaritmo). Una rama del logaritmo es una función logaritmo monovaluada definida como Dada la rama del logaritmo logz = ln z +i argz ( z > 0, α < argz < α+2π), logz = ln z +i argz ( z > 0, π/4 < argz < 7π/4), donde α es un número real fijo. calcule log( i). Además, calcule Log( i). Solución. Se tiene que α log( i) = 3π 2 i, Log( i) = π 2 i EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 35 /43 EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 36 /43

Función Exponente Complejo Para cada z C diferente de cero, se define la función exponente complejo como z c = e c logz, donde c es una constante compleja. Observaciones: En general, la función exponente complejo es multivaluada. Dada f(z) = z i. Entonces, el valor de f(i) está dado por y i i = e (4n+)π/2, para n = 0,±,±2,... f (z) = iz i. Por otra parte, si f(z) = z 2, entonces el valor de f(i) es Las ramas de la función exponente complejo se definen según la rama del logaritmo que se esté utilizando. La derivada de cada rama de la función exponente complejo está dada por: (z c ) = cz c y i 2 =. f (z) = 2z. EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 37 /43 EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 38 /43 Funciones Trigonométricas Inversas Las funciones inversas de senz, cosz y tanz, se definen, respectivamente, como ( sen z = i log iz +( z 2 ) /2), ( cos z = i log z +i( z 2 ) /2), tan z = i ( ) i+z 2 log. i z Observaciones: Las funciones trigonométricas inversas son multivaluadas. Las ramas de las funciones trigonométricas inversas se definen según la rama del logaritmo y el valor de la raíz cuadra que se estén utilizando. La derivada de cada rama de las funciones sen z, cos z y tan z está dada, respectivamente, por: (sen z) = ( z 2 ) /2, Ejercicio Deducir las expresiones de las funciones cot z y csc z. (cos z) = (tan z) = ( z 2 ) /2, +z 2. EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 39 /43 EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 40 /43

Resuelva la ecuación sen 2 z +2i senz = 0. Solución. El conjunto solución, S, de la ecuación dada está definido por S = S S 2, donde S = {z C : z = 2kπ ln ( + ) 2 i, k = 0,±,±2,...} S 2 = {z C : z = (2n+)π ln 2 i, n = 0,±,±2,...} Funciones Hiperbólicas Inversas Las funciones inversas de senhz, coshz y tanhz, se definen, respectivamente, como ( senh z = log z +(z 2 +) /2), ( cosh z = log z +(z 2 ) /2), tanh z = ( ) +z 2 log. z Ejercicio Deducir las expresiones de las funciones coth z y csch z. EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 4 /43 EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 42 /43 Observaciones: Las funciones hiperbólicas inversas son multivaluadas. Las ramas de las funciones hiperbólicas inversas se definen según la rama del logaritmo y el valor de la raíz cuadra que se estén utilizando. La derivada de cada rama de las funciones senh z, cosh z y tanh z está dada, respectivamente, por: (senh z) = (cosh z) = (tanh z) = (z 2 +) /2, (z 2 ) /2, z 2. EIE-UCV Funciones de Variable Compleja 43 /43