TRIGONOMETRÍA. Es el estudio de los elementos de un triángulo; de sus lados y sus triángulos. Dado el siguiente triángulo rectángulo: Deducimos las razones trigonométricas como: Seno α = cateto opuesto (b) hipotenusa (c) = sen α = b c Coseno α = cateto adyacente (a) hipotenusa (c) = cos α = a c tangente α = cateto opuesto (b) cateto adyacente (a) = tg α = b a Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Trigonometría. Página
Los catetos del triángulo rectángulo son los lados menores y la hipotenusa el lado mayor. En todo ángulo rectángulo existen tres ángulos. Un ángulo recto de 90º y dos ángulos agudos (menores de 90º). El cateto opuesto hace referencia al cateto que hay enfrente del ángulo de referencia y que es este caso está marcado como α. El cateto adyacente o contiguo es el que está debajo del ángulo. La hipotenusa es el lado más largo del triángulo. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS. He declarado 3 razones trigonométricas de dividir cada lado del triángulo por los otros lados, pero en realidad se pueden dividir cada lado por los dos lados. Por ejemplo, el seno del ángulo de referencia (a partir de ahora α), es igual b c. Pero también podría dividir c b, no? Así obtendríamos otras razones trigonométricas como: Cosecante α = c b cosec α = c b Secante α = c a sec α = c a Cotangente α = a b Cotg α = a b Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Trigonometría. Página 2
Estas 6 expresiones mostradas a continuación se llaman razones trigonométricas y se muestran en la lista las razones inversas de las 3 principales. Cosα Senα tgα a c b c b a Secα Cosecα cotgα c a c b a b La tangente también se puede definir de la forma: tgα = senα cosα Ya que b c : a c = b c c a = b a cotgα = cosα senα ; Ya que a c : b c = a c c b = a b Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Trigonometría. Página 3
CALCULO DE ÁNGULOS. Para dicho fin vamos a utilizar una circunferencia goniométrica. Dicha circunferencia se caracteriza en que su radio es y se divide en 4 partes iguales designando los ángulos de 0º hasta 360º. Los ángulos se clasifican: Rectos si miden 90º. Llano cuando mide 80º. Agudo si es menor de 90º. Obtuso si es mayor de 90º. Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Trigonometría. Página 4
Dado un ángulo de radio α, considera la circunferencia de radio con centro el vértice del ángulo. La medida del ángulo será la longitud del arco de circunferencia de dicho ángulo. Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Trigonometría. Página 5
Sabiendo que el radio de una circunferencia es 2ᴫR, si el radio de la circunferencia es, la longitud del radio es 2ᴫ. TEORÉMA DE PITÁGORAS. En un triángulo rectángulo (con ángulo de 90º y dos lados iguales), la hipotenusa es igual al cuadrado es igual al cuadrado de los catetos del triángulo. c 2 = a 2 + b 2 Poniendo el radio de la hipotenusa, que es el radio de una circunferencia goniométrica, desconociendo el valor de los lados, pero sabiendo que son iguales, asignaremos una variable a su valor. Así a = b = X. Aplicando ahora Pitágoras: 2 = x 2 + x 2 = = 2 x 2 Despejando la x para resolver: Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Trigonometría. Página 6
X 2 = 2 = X = 2 X = = = 2 = 2 2 2 2 2 2 Por lo que ahora podemos sustituir los lados por su valor correcto. Y como sabemos por lógica que el ángulo de referencia es de 45º (porque el ángulo recto es de 90º y la suma de los ángulos en un triángulo rectángulo suman el ángulo recto), podemos calcular las razones trigonométricas básicas de dicho ángulo: Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Trigonometría. Página 7
sen 45º = 2 2 = =,4423562 cos 45 = 2 2 = =,4423562 tg 45 = 2 = 2 RADIANES. Volviendo a nuestra circunferencia goniométrica, la medida de la longitud total de la circunferencia se da en radianes. Una circunferencia tiene una medida de 2ᴫ radianes. Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Trigonometría. Página 8
Por lo tanto 90º tendrán 2ᴫ radianes; 45º serán pues 4 2ᴫ 2ᴫ radianes, y 80º tendrán = ᴫ 2 = 2ᴫ radianes y teniendo 4 2 resuelto el valor de los lados del ángulo de 45º en la operación anterior, podemos deducir que la longitud de la circunferencia de un ángulo de 45º es de 2ᴫ, o lo que es lo mismo 0,78539863 radianes. Podrían llegar a esta misma conclusión si hicieses una regla de tres directa de la forma siguiente: Si 360º son 2ᴫ radianes, 45º serán x: 360º ------------- 6,28385 45º ------------- X 8 8 X = 282,74333 360 = 0,78539 radianes. GRADOS. Pero como en España somos muy tradicionales y la medida de 2ᴫ rad nos suena a chino, sabiendo que 2ᴫ rad = 360º entonces con esa variable podemos pasar cualquier radian a grado. De la deducción que no interesa nos queda que: º = ᴫ 80 rad. rad = 80 ᴫ grados. Así que con las formulas anteriores ya podemos pasar a cualquier grado o radian. Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Trigonometría. Página 9
Y teniendo en cuenta el valor anterior de 0,78539863 son: 0,78539863 x 80 ᴫ = 45º. LONGITUD DE UN ARCO CIRCULAR. Antes hemos calculado la circunferencia del ángulo de 45º de acuerdo a sus radianes. Pero para una circunferencia de mayor tamaño, el mismo ángulo dará el mismo resultado? Para calcular la nueva longitud de la circunferencia deberíamos de calcular otra vez los radianes de manera manual teniendo que en cuenta que ahora los lados valen 2 2 + x, con lo cual complica mucho más el proceso de desarrollo. Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Trigonometría. Página 0
Pero existe una formula específica para ese cálculo y así ahorrarnos trabajo: S = r x α Siendo el ángulo dado en radianes. Por lo tanto, en el anterior ejemplo: S = x 0,78539863 = 0,78539863 rad = 45º En este ejemplo da el mismo resultado porque r =, pero el radio puede ser diferente si abrimos el radio de la circunferencia. Para el anterior ejemplo deberíamos de conocer el radio total de + x. y lo podríamos resolver directamente. NOTA: En los ejercicios se te dará algún valor para que puedas realizar cálculos trigonométricos. EJERCICIO: Una correa conecta dos poleas de R = 0cm y otra R2 = 25cm. Si la grande da un giro completo, Qué ángulo expresado en grados habrá girado la pequeña? Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Trigonometría. Página
Aplicando la fórmula anterior a la fórmula del radio de una circunferencia: Radio de una circunferencia = 2ᴫR R 2 = 2ᴫ x 25cm = 57,08 cm R = 2ᴫ x 0cm = 62,83 cm Así que si en una vuelta R gira 57,08 cm, cada 62,83cm será una vuelta de R2, por lo que: 57,08 62,83 = 2,500007958 vueltas. Para pasarlo a grados simplemente multiplica por 360º. 2,500007958 x 360º = 900,02º Y pasando a radianes, por practicar y aplicando fórmula: 900,02º ᴫ = 5,708 rad. 80 ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR. Fijándonos en la siguiente imagen. Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Trigonometría. Página 2
El área de un ángulo vendrá dado por la fórmula siguiente: A sector = 2 r2 α De donde se ha derivado del área de la circunferencia (ᴫr 2 ). El área se expresa en radianes. EJERCICIO. Un aspersor funciona con un mecanismo que le produce un movimiento de ida y vuelta de 60º. El chorro alcanza 6m. Cuál es el área de la superficie regada? Primero transforma los grados a radianes, ya que el área se da en radianes. Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Trigonometría. Página 3
60º ᴫ 80 =,0479 rad Pues teniendo el ángulo y teniendo el radio aplicamos directamente la fórmula del área. A sector = 2 62,0479 = 34,04m IDENTIDADES TROGONOMÉTRICAS. Se llaman identidades trigonométricas a ciertas relaciones que se satisfacen para todo ángulo. tg α = senα cosα sen 2 α + cos 2 α = sen α = tg α x cos α cos α = senα tgα sen α =± cos 2 α cos α = ± sen 2 α + tg 2 α = cos 2 α Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Trigonometría. Página 4