Reporte de Actividades 30 Profesores: Arturo Ramírez, Alejandro Díaz. Acompañantes: Paulina Salcedo. 1. Sesión del 23 de noviembre de 2011. 1.1 Apuntes de la clase con Arturo Ramírez. 1.1.1. Semejanza de triángulos. Existen dos criterios para decidir si dos triángulos de lados a,b,c y a,b,c son semejantes: * Si a/a = b/b = c/c = k, entonces los triángulos tienen lados proporcionales y por tanto son semejantes; k es llamada la constante de semejanza. * Si los triángulos tienen 3 ángulos iguales, son semejantes. Caso especial: si dos triángulos son rectángulos, basta conocer el ángulo A o B (con la notación usual) para decidir si son o no semejantes. 1.1.2. Trigonometría. Conceptos básicos; con la notación usual de un triángulo rectángulo, se define: SenA = a/c = CosB; CosA = b/c = SenB. Nota: la función seno es el complemento de coseno. Definimos las funciones tangente (Tan) y cotangente (Cot) de un ángulo como sigue: Aquí, cada función de A es la co-función de B. TanA = a/b = SenA/CosA; CotA = b/a = CosA/SenA = TanB.
Por último, definimos cosecante (Csc) y secante (Sec) de un ángulo: CscA = c/a = SecB; SecA = c/b = CscB. 1.1.3. Identidades trigonométricas. Muchas las vamos a poder deducir de las definiciones preliminares y utilizando el Teorema de Pitágoras : a 2 +b 2 = c 2 1.- Dividiendo ambos lado de la igualdad por c 2, queda lo siguiente: 2.- Dividiendo por b 2 : 3.- Dividiendo por a 2 : (a 2 / c 2 )+( b 2 / c 2 ) = 1 => Sen 2 A + Cos 2 B = 1 a 2 / b 2 + 1 = c 2 / b 2 => Tan 2 A + 1 = Sec 2 A 1 + b 2 / a 2 = c 2 / a 2 => 1 + Cot 2 A = Csc 2 A 4.- Además, de las definiciones see deudcen las siguientes: TanA CotA = 1 SenA CscA = 1 CosA SecA = 1 Hay ángulos para los cuales el seno y coseno es muy fácil de calcular, guiándose de triángulos convenientemente dibujados. Considerar el triángulo rectángulo isósceles con catetos de medida 1; por Teorema de Pitágoras, la hipotenusa mide 2.
Como conocemos todos sus ángulos, se deduce fácilmente lo siguiente: Sen 45 = Cos 45 = 1 / 2; Tan 45 = 1. Vamos a racionalizar el primer valor, es decir, "quitar" la raíz cuadrada del denominador: Sen45 = 2 / 2. Ahora, dibujando un triángulo equilátero de lado 2, y calculando su altura, 3 podemos deducir fácilmente lo siguiente: Sen30 = Cos60 = 1/2 Sen60 = Cos30 = 3/2 Tan30 = Cot60 = 1/ 3 Tan60 = Cot30 = 3 Notar que hasta aquí, solamente hemos considerado ángulos entre 0 y 90, inclusive, pues estos ángulos están directamente relacionados con los triángulos rectángulos. Relacionemos estos conceptos con el plano coordenado. Dado un punto P = ( x p, y p ) en el plano, podemos trazar una paralela a los ejes coordenados por este punto. Estas líneas intersecan a los ejes coordenados en (x p, 0) y (0, y p ) como se muestra:
La distancia de este punto al origen es OP 2 2 = x p + y 2 p (Teo. de Pitágoras). Esto es cierto para cualquier punto del plano, por ejemplo, si tenemos otro punto Q = ( x q, y q ), en el cuadrante II, su distancia al origen está dada por OQ 2 2 = x q + y 2 q, a pesar de que en este caso x q < 0. Ahora, podemos definir seno (senα ) y coseno (cosα) de un ángulo (α) como las coordenadas de ciertos puntos y así tener definidos estos conceptos para todos los ángulos. Considerar la circunferencia unitaria (es decir de radio 1); cada punto P = (x,y) sobre ella, lo denominamos P = (cosα, senα), donde α es el ángulo recorrido en sentido contrario a las manecillas del reloj, a partir del eje X +. En la figura se ilustra el valor del seno y coseno de ángulos relevantes (algunos se calcularon anteriormente) y su ubicación en el círculo unitario dada en coordenadas. Por ejemplo, al ángulo 0 le corresponde el punto P = (cos0, sen0 ) = (1,0); al ángulo 30 le corresponde el punto P = (cos30, sen30 ) = ( 3/2, 1/2); etc.
Esto nos permite, calcular otros ángulos y visualizar algunas propiedades algebraicas de manera geométrica. Más notas en: http://cimat.mx/especialidad.seg/actual/documentos/trigonometriaelemental.pdf 1.2 Apuntes de la clase con Alejandro Díaz. 1.2.2 Números Naturales. Residuo de un número módulo 9. Residuo de un número módulo 11. Definición de número primo. Criba de Eratóstenes. Divisores de algunos números, vistos en su descomposición prima. Tarea. 1. Demostrar que el residuo de un número de 4 dígitos, abcd, al dividir entre 9 es a+b+c+d. 2. Demostrar que el residuo de un número de 4 dígitos, abcd, al dividir entre 11 es d c+b a. 3. Dar un argumento para justificar lo siguiente: Si un número natural n >1 no es primo entonces tiene un divisor primo menor o igual que su raíz cuadrada. 4. Describir todos los números que tienen exactamente 5 divisores 5. Cuántos divisores tienen los números de la forma p 2 q? p, q primos distintos PARA PENSAR: Cuántos divisores tiene un número natural? Fecha de entrega: viernes 30 de noviembre.
2. Sesión del 25 de noviembre de 2011. 2.1 Repaso de trigonometría. Coordenadas en el plano euclidiano. Círculo unitario. Conceptos básicos, seno y coseno como puntos sobre el círculo unitario. Algunas Propiedades de las funciones seno y coseno (rango, dominio, entre otras). Conversión de grados a radianes. 2.2 Ejercicios de trigonometría (siguiente hoja). Nota: no dio tiempo de resolver los incisos b y c de la sección 2. Se resolverán en otra ocasión. 2.3 Repaso de Teoría de Números. Repaso de la sesión con el Dr. Alejandro Díaz y ejercicios similares a los de la tarea.
Trigonometría Sede: Silao 25/nov/2011 Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios individualmente. Puedes utilizar calculadora a menos que se indique lo contrario. 1. Conversión de grados a radianes y viceversa. a) Convierte los siguientes valores a radianes: 60 = rad. 124 = rad. 20 = rad. 264 = rad. 90 = rad. 321 = rad. b) Convierte los siguientes valores a grados: π rad = 3π/2 rad = 1 rad = 0.4678567 rad = 2. Definiciones de seno y coseno. a) Dibuja sobre el círculo unitario los siguientes ángulos, calculando las coordenadas de cada uno: 0, 30, 45, 60, 90, 100. b) Demuestra las siguientes propiedades del seno y coseno guiándote del círculo unitario. Cos t = Sen(90 t) Sen t = Cos(90 - t) Sen (t + 360 ) = Sen t Cos(t + 360 ) = Cos t Sen t = Sen t Cos t = Cos t Sen (180 t) = Sen t Cos (180 t) = Cos t c) Utiliza las propiedades anteriores para encontrar el valor numérico de lo siguiente (sin calculadora), vale la pena apoyarse en el dibujo: Sen(120 ) = Cos(120 ) = Cos(135 ) = Sen(150 ) = Sen(225 ) = Cos(240 ) = Cos(300 ) = Sen(330 ) = Sen(3π/2) = Cos(3π/2) = Sen(π/4) = Cos(π/4) = Cos(7π/6) = Sen(7π/4) =